1.3 分式
一、分式的概念
1、定义：若A，B表示两个整式，且B中含有________，那么式子________就叫做分式．
2、分式有意义的条件是分母________0；
分式无意义的条件是分母________0；
分式的值为零的条件是分子________0且分母________0.
二、分式的基本性质
1．分式的分子分母都乘以（或除以）同一个________的整式，分式的值不变．
即：=________， =________（m≠0）
2．分式的变号法则：=________．
3．约分：根据________把一个分式分子和分母的________约去叫做分式的约分；约分的关键是确定分式的分子和分母中的________ ，约分的结果必须是 ________分式或整式．
4．通分：根据 ________把几个异分母的分式化为________的同分母分式的过程叫做分式的通分，通分的关键是确定各分母的________．
5、确定最简公分母的方法：取各分母的系数的________与所有字母的________的积作公分母.
三、分式的运算：
1．分式的乘除
（1）分式的乘法：=________
（2）分式的除法：= ________= ________
2．分式的加减
（1）用分母分式相加减：= ________
（2）异分母分式相加减：= ________ =________
3．分式的乘方：应把分子分母各自乘方：即 = ________
4．分式的混合运算：应先算________再算________最后算________，有括号的先算________里面的．
四、分式求值：
1、先化简，再求值；
2、由化简后的形式直接代数求分式的值；
3、式中字母表示的数隐含在方程等题设条件中．
考点一：分式有意义的条件
要使分式有意义，x应满足的条件是（ ）
A．x＞3 B．x=3 C．x＜3 D．x≠3
变式跟进1若代数式有意义，则x的取值范围是 ．
考点二：分式的值为零的条件
已知分式的值为0，那么x的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．1或﹣2
变式跟进2已知分式，当x=﹣5时，该分式没有意义；当x=﹣6时，该分式的值为0，则（m+n）2020= ．
考点三：分式的运算
计算： = ．
变式跟进3计算：（a+2﹣）÷．
考点四：分式的化简与求值
先化简，再求值：，其中x=6．
变式跟进4先化简，再求值：，其中x的值从不等式组的整数解中选取．
一、选择题
1．（2017?广州）计算（a2b）3?的结果是（ ）
A．a5b5 B．a4b5 C．ab5 D．a5b6
2．（2017?丽水）化简+的结果是（ ）
A．x+1 B．x﹣1 C．x2﹣1 D．
3．（2018·葫芦岛）若分式
??
2
?1
??+1
的值为0，则x的值为（ ）
A． 0 B． 1 C． ﹣1 D． ±1
4．（2018·河北）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
/
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A． 只有乙 B． 甲和丁 C． 乙和丙 D． 乙和丁
5．（2018·淄博）化简
??
2
???1
?
1?2??
1???
的结果为（ ）
A．
??+1
???1
B． a﹣1 C． a D． 1
6．（2019·眉山）函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．
7．（2019?毕节）下列四个运算中，只有一个是正确的.这个正确运算的序号是( )
①30+3﹣1＝﹣3；②﹣＝；③（2a2）3＝8a5；④﹣a8÷a4＝﹣a4.
A．① B．② C．③ D．④
8．（2019?河北）如图，若为正整数，则表示的值的点落在（ ）
/
A．段① B．段② C．段③ D．段④
二、填空题
9．（2017?枣庄）化简：÷= ．
10．（2017?镇江）当______时，分式的值为零．
11．（2018·攀枝花）如果a+b=2，那么代数式（a﹣
??
2
??
）÷
?????
??
的值是______．
12．（2018·贵港）若分式
2
??+1
的值不存在，则x的值为_____．
13．（2018·江西）若分式
1
???1
有意义，则??的取值范围是_______________ .
14．（2019?泰州）若分式有意义，则的取值范围是_____．
15．（2019?镇江）氢原子的半径约为m，用科学记数法把表示为_________.
16．（2019?玉林）设，则，则m的取值范围是_____．
三、解答题
17．（2017?宜宾）化简（1﹣）÷（）．
18．（2017?达州）设A=÷（a﹣）．
（1）化简A；
（2）当a=3时，记此时A的值为f（3）；当a=4时，记此时A的值为f（4）；…解关于x的不等式：﹣≤f（3）+f（4）+…+f（11），并将解集在数轴上表示出来．
/
19．（2019?鄂州）先化简，再从﹣1、2、3、4中选一个合适的数作为x的值代入求值．.
20．（2019?桂林）先化简，再求值：，其中．
一、选择题
1．（2018·宝鸡一模）计算a﹣b+
2
??
2
??+??
=（ ）
A．
?????+2
??
2
??+??
B． a+b C．
??
2
+
??
2
??+??
D． a﹣b
2．（2018·河北三模）如果a﹣b=
1
2
，那么代数式（a﹣
b
2
a
）?
a
a+b
的值是（ ）
A． ﹣2 B． 2 C． ﹣
1
2
D．
1
2
3．（2018·赣县一模）某早点店的油条的售价开始是n根/元，第一次涨价后的售价是(???1)根/元，每根油条的单价的增长率为a；第二次涨价后的售价是(???2)根/元，每根油条的单价的增长率为b．若从开始到第二次涨价后的每根油条的单价的增长率为c，则下列判断错误的是（ ）
A． ??4．（2018·邵阳三模）分式
??
?2
???2
的值为零，则x的值为（?? ）
A． 0 B． 2 C． ﹣2 D． 2或﹣2
5．（2019·瑞安模拟）若分式
??
2
?9
??+3
的值为零，则x值为（ ）
A．x＝±3 B．x＝0 C．x＝﹣3 D．x＝3
6．（2019?恩施模拟）函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．
7．（2019?普宁模拟）若分式
??
2
???1
□
??
???1
运算结果为??，则在“□”中添加的运算符号为( )
A．+ B．— C．—或÷ D．+或×
8．（2019?唐山模拟）在化简分式的过程中，开始出现错误的步骤是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2018·邗江二模）若
2???3
??+1
( A (
5
??+1
，则 A （___________）
10．（2018·嘉兴适应性训练）当x=________时，分式
??
???1
没有意义．
11．（2018·青岛一模）如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1 的小正方形，图2是一个边长为(a﹣1)的正方形．记图1，图2中阴影部分的面积分别为
??
1
,
??
2
，则
??
2
??
1
可化简为_____________．
/
12．（2018·昌平二模）如果
??
2
+???3=0，那么代数式(??+
2??+1
??
)?
??
2
??+1
的值是______
13．（2019?东台模拟）0.0002019用科学记数法可表示为___________________．
14．（2019?大庆模拟）若，则_____．
15．（2019?滨州模拟）如果记y＝＝f（x），并且f（1）表示当x＝1时y的值．即f（1）＝＝；f（）表示当x＝时y的值，f（）＝＝…，那么f（﹣1）+f（﹣2）+f（﹣）+f（﹣3）+f（﹣）+…+f（﹣2019）+f（﹣）＝_____．
16．（2019?北京模拟）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设正实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d都为正整数），即，则是x的更精确的不足近似值或过剩近似值. 已知π=3.14159···，且，则第一次使用“调日法”后得到π的近似分数是，它是π的更为精确的不足近似值，即. 那么第三次使用“调日法”后得到π的近似分数是________.
三、解答题
17．（2018·泉州模拟）化简：
2
???1
+
??+3
1?
??
2
．（按要求填空）
解答过程
解答步骤说明
解题依据（用文字或符号填写知识的名称和具体内容，每空一个）
2
???1
+
??+3
1?
??
2
此处不填
此处不填
=
2??+2?
??+3
??+1
???1
示例：通分
示例：分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以同一个不等于零的整数，分式的值不变（或者同分母分式相加减法则：
??
??
±
??
??
=
??±??
??
）
=
2??+2????3
??+1
???1
去括号
①
=
???1
??+1
???1
合并同类项
此处不填
= ②
③
④
18．（2018·莆田模拟）先化简，再求值：(
??+1
??
2
?1
+
??
???1
)÷
??+1
??
2
?2??+1
，其中x=2019
19．（2019?济南模拟）先化简：，再从﹣1≤m≤2中选取合适的整数代入求值．
20．（2019?哈尔滨模拟）先化简，再求代数式﹣的值，其中x＝2sin45°+tan45°
/
1.3 分式
一、分式的概念
1、定义：若A，B表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式．
2、分式有意义的条件是分母不等于0；
分式无意义的条件是分母等于0；
分式的值为零的条件是分子等于0且分母不等于0.
二、分式的基本性质
1．分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变．
即：=， =（m≠0）
2．分式的变号法则：=．
3．约分：根据 分式的基本性质 把一个分式分子和分母的 公因式 约去叫做分式的约分；约分的关键是确定分式的分子和分母中的 公因式 ，约分的结果必须是 最简 分式或整式．
4．通分：根据 分式的基本性质 把几个异分母的分式化为与原来分式相等的同分母分式的过程叫做分式的通分，通分的关键是确定各分母的 最简公分母 ．
5、确定最简公分母的方法：取各分母的系数的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积作公分母.
三、分式的运算：
1．分式的乘除
（1）分式的乘法：=
（2）分式的除法：= =
2．分式的加减
（1）用分母分式相加减：=
（2）异分母分式相加减：= =
3．分式的乘方：应把分子分母各自乘方：即 =
4．分式的混合运算：应先算乘方再算乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的．
四、分式求值：
1、先化简，再求值；
2、由化简后的形式直接代数求分式的值；
3、式中字母表示的数隐含在方程等题设条件中．
考点一：分式有意义的条件
要使分式有意义，x应满足的条件是（ ）
A．x＞3 B．x=3 C．x＜3 D．x≠3
【解析】当x﹣3≠0时，分式有意义，即当x≠3时，分式有意义，故选D．
【答案】D．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
变式跟进1若代数式有意义，则x的取值范围是 ．
【解析】根据题意得：且，解得：。故答案为：。
【答案】
【点评】式子必须同时满足被开方数大于等于0和分母不等于0这两个条件才有意义。
考点二：分式的值为零的条件
已知分式的值为0，那么x的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．1或﹣2
【解析】∵分式的值为0，
∴（x﹣1）（x+2）=0且x2﹣1≠0，解得：x=﹣2．故选：B．
【答案】B．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分母不为零是解题关键．
变式跟进2已知分式，当x=﹣5时，该分式没有意义；当x=﹣6时，该分式的值为0，则（m+n）2020= ．
【解析】∵当x=﹣5时，该分式没有意义，∴m=5．
∵当x=﹣6时，该分式的值为0，∴n=﹣6．
∴原式=（5﹣6）2020=1．故答案为：1．
【答案】1．
【点评】本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．
考点三：分式的运算
计算： = ．
【解析】原式 ===．
【答案】．
【点评】本题主要考查了分式的混合运算，能正确运用分式的运算法则进行化简是解题的关键，注意运算顺序．
变式跟进3计算：（a+2﹣）÷．
【解析】原式=（）×==．
【答案】．
【点评】本题主要考查了分式的混合运算，运算过程中注意运算顺序．分式的运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减．有括号的先算括号里面的．注意分式运算的结果需化为最简分式．
考点四：分式的化简与求值
先化简，再求值：，其中x=6．
【解析】原式=
==，
当x=6时，原式=．
【答案】．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，运算过程中首先要注意变号，其次把分式化到最简是解答的关键，通分、因式分解和约分是基本环节．
变式跟进4先化简，再求值：，其中x的值从不等式组的整数解中选取．
【解析】解：原式＝＝＝
解不等式组得，
x的值从不等式组的整数解中选取
时，原式＝＝－1
【答案】，－1
【点评】本题考查了分式的化简求值，分式中的一些特殊值的题并非一味的化简，灵活选取解题方法是解题的关键。
一、选择题
1．（2017?广州）计算（a2b）3?的结果是（ ）
A．a5b5 B．a4b5 C．ab5 D．a5b6
【解析】原式=a6b3?=a5b5．
【答案】A
【点评】本题考查了分式的乘除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
2．（2017?丽水）化简+的结果是（ ）
A．x+1 B．x﹣1 C．x2﹣1 D．
【解析】原式=﹣===x+1．
【答案】A
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（2018·葫芦岛）若分式
??
2
?1
??+1
的值为0，则x的值为（ ）
A． 0 B． 1 C． ﹣1 D． ±1
【答案】B
【解析】根据分式值为0的条件，分子为0分母不为0列式进行计算即可得.
∵分式
??
2
?1
??+1
的值为零，
∴
??2?1=0
??+1≠0
，
解得：x=1，
故选B．
【点评】本题考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键.
4．（2018·河北）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
/
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A． 只有乙 B． 甲和丁 C． 乙和丙 D． 乙和丁
【答案】D
【解析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．
解：∵
??
2
?2??
???1
÷
??
2
1???
=
??
2
?2??
???1
·
1???
??
2
=
??
2
?2??
???1
·
?
???1
??
2
=
??
???2
???1
·
?
???1
??
2
=
?
???2
??
=
2???
??
，
∴出现错误是在乙和丁，
故选D．
【点评】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键.
5．（2018·淄博）化简
??
2
???1
?
1?2??
1???
的结果为（ ）
A．
??+1
???1
B． a﹣1 C． a D． 1
【答案】B
【解析】根据同分母分式加减法的运算法则进行计算即可求出答案．
解：原式=
??
2
???1
+
1?2??
???1
，
=
(???1)
2
???1
，
=a﹣1
故选：B．
【点评】本题考查同分母分式加减法的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
6．（2019·眉山）函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．
【答案】A
【解析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
解：根据二次根式有意义，分式有意义得：x+2≥0且x-1≠0，
解得：x≥-2且x≠1．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义：①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y=2x+13中的x．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y=x+2x-1．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
7．（2019?毕节）下列四个运算中，只有一个是正确的.这个正确运算的序号是( )
①30+3﹣1＝﹣3；②﹣＝；③（2a2）3＝8a5；④﹣a8÷a4＝﹣a4.
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【解析】直接利用负指数幂的性质以及二次根式的加减运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则分别化简即可得出答案.
解：①30+3﹣1＝，故①错误；
②﹣无法计算，故②错误；
③(2a2)3＝8a6，故③错误；
④﹣a8÷a4＝﹣a4，正确，
故选D.
【点评】本题考查了实数的运算、二次根式的加减、积的乘方、同底数幂的乘法等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.
8．（2019?河北）如图，若为正整数，则表示的值的点落在（ ）
/
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【答案】B
【解析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x为正整数，从所给图中可得正确答案．
解：解∵1．
又∵x为正整数，∴1，故表示的值的点落在②．
故选B．
【点评】本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．
二、填空题
9．（2017?枣庄）化简：÷= ．
【解析】÷=?=．
【答案】
【点评】此题考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．（2017?镇江）当______时，分式的值为零．
【答案】5
【解析】
解：由题意得：x﹣5=0且2x+3≠0，解得：x=5，故答案为：5．
11．（2018·攀枝花）如果a+b=2，那么代数式（a﹣
??
2
??
）÷
?????
??
的值是______．
【答案】2
【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
解：当a+b=2时，
原式=
??
2
?
??
2
??
?
??
?????
=
(??+??)(?????)
??
?
??
?????
=a+b
=2
故答案为：2
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
12．（2018·贵港）若分式
2
??+1
的值不存在，则x的值为_____．
【答案】﹣1
【解析】直接利用分式无意义的条件得出x的值，进而得出答案．
解：若分式
2
??+1
的值不存在，
则x+1=0，
解得：x=﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了分式无意义的条件，熟知分母为0时分式无意义是解题的关键.
13．（2018·江西）若分式
1
???1
有意义，则??的取值范围是_______________ .
【答案】??≠1
【解析】根据分式有意义的条件进行求解即可得.
解：由题意得：x-1≠0，
解得：x≠1，
故答案为：x≠1.
【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟知分母不为0时分式有意义是解题的关键.
14．（2019?泰州）若分式有意义，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】根据若分式有意义则分式的分母不等于0列式计算即可．
解：根据题意得，，解得．故答案为．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，可以从以下三个方面理解分式的概念：
（1）分式无意义?分母为零；
（2）分式有意义?分母不为零；
（3）分式值为零?分子为零且分母不为零．
15．（2019?镇江）氢原子的半径约为m，用科学记数法把表示为_________.
【答案】
【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：用科学记数法把0.0000 0000 005表示为5×10-11．
故答案为：5×10-11．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
16．（2019?玉林）设，则，则m的取值范围是_____．
【答案】
【解析】根据分式的性质化简m，再根据不等式的性质即可求解.
解：，
∵，
∴，
∴，
即．
故答案为：
【点评】此题主要考查不等式的应用，解题的关键是熟知分式的运算及不等式的性质.
三、解答题
17．（2017?宜宾）化简（1﹣）÷（）．
【解析】原式=÷=?=．
【答案】
【点评】本题考查了分式的混合运算，能灵活运用知识点进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
18．（2017?达州）设A=÷（a﹣）．
（1）化简A；
（2）当a=3时，记此时A的值为f（3）；当a=4时，记此时A的值为f（4）；…解关于x的不等式：﹣≤f（3）+f（4）+…+f（11），并将解集在数轴上表示出来．
/
【解析】（1）A=÷（a﹣）
==
===；
（2）∵a=3时，f（3）=，
a=4时，f（4）=，
a=5时，f（5）=，…
∴﹣≤f（3）+f（4）+…+f（11），
即﹣≤++…+
∴﹣≤+…+，
∴﹣≤，
∴﹣≤，
解得，x≤4，
∴原不等式的解集是x≤4，在数轴上表示如下所示，
/．
【答案】（1）；（2）x≤4．
【点评】本题考查分式的混合运算、在数轴表示不等式的解集、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计算方法和解不等式的方法．
19．（2019?鄂州）先化简，再从﹣1、2、3、4中选一个合适的数作为x的值代入求值．.
【答案】x+2；当时，原式=1.
【解析】先化简分式，然后将的值代入计算即可．
解：原式
∵，，
∴且，
∴当时，
原式．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
20．（2019?桂林）先化简，再求值：，其中．
【答案】
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x、y的值代入计算可得．
解：原式
，
当时，
原式．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
一、选择题
1．（2018·宝鸡一模）计算a﹣b+
2
??
2
??+??
=（ ）
A．
?????+2
??
2
??+??
B． a+b C．
??
2
+
??
2
??+??
D． a﹣b
【答案】C
【解析】首先把两式子进行通分，然后进行计算．
解：a-b+
2
??
2
??+??
=
??
2
?
??
2
+2
??
2
??+??
=
??
2
+
??
2
??+??
，
故选C．
【点评】当整式与分式相加减时，一般可以把整式看作分母为1的分式，与其它分式进行通分运算．
2．（2018·河北三模）如果a﹣b=
1
2
，那么代数式（a﹣
b
2
a
）?
a
a+b
的值是（ ）
A． ﹣2 B． 2 C． ﹣
1
2
D．
1
2
【答案】D
【解析】直接利用分式的混合运算法则将原式变形进而得出答案．
解：（a-
??
2
??
）?
a
a+b
=
??
2
?
??
2
??
?
??
??+??
=
??+??
?????
??
?
??
??+??
=a-b，
∵a-b=
1
2
，
∴原式=
1
2
．
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
3．（2018·赣县一模）某早点店的油条的售价开始是n根/元，第一次涨价后的售价是(???1)根/元，每根油条的单价的增长率为a；第二次涨价后的售价是(???2)根/元，每根油条的单价的增长率为b．若从开始到第二次涨价后的每根油条的单价的增长率为c，则下列判断错误的是（ ）
A． ??【答案】C
【解析】先计算每根单价，再计算a,b,c便可分析出结果.
解：据题意可知，开始时油条的单价为
1
??
元/根，第一次涨价后的单价为
1
???1
元/根，第二次涨价后的单价为
1
???2
元/根，因而可求得a=
1
???1
?
1
??
÷
1
??
=
1
???1
,
b=
1
???2
?
1
???1
÷
1
???1
=
1
???2
, c=
1
???2
?
1
??
÷
1
??
=
2
???2
,
所以，a＜b＜c，2a＜c，2b=c是正确的，a+b≠c，所以C是错误的，
故选：C
【点评】本题考核知识点：分式运算.解题关键点：熟记分式的基本运算.
4．（2018·邵阳三模）分式
??
?2
???2
的值为零，则x的值为（?? ）
A． 0 B． 2 C． ﹣2 D． 2或﹣2
【答案】C
【解析】分式的值为0，则分子等于0，且分母不等于0.
解：因为，分式
??
?2
???2
的值为零.
所以，
??
?2=0，且???2≠0.
所以，x=-2.
故选：C
【点评】本题考核知识点：分式. 解题关键点：理解分式值为0的条件.
5．（2019·瑞安模拟）若分式
??
2
?9
??+3
的值为零，则x值为（ ）
A．x＝±3 B．x＝0 C．x＝﹣3 D．x＝3
【答案】D
【解析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．由分式值为零的条件可知x2﹣9＝0且x+3≠0．
解：∵分式
??
2
?9
??+3
的值为零，
∴x2﹣9＝0且x+3≠0．
解得：x＝3．
故选：D．
【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，分式是0的条件中特别需要注意的是分母不是0.
6．（2019?恩施模拟）函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．
【答案】A
【解析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
解：根据二次根式有意义，分式有意义得：x+2≥0且x-1≠0，
解得：x≥-2且x≠1．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义：①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y=2x+13中的x．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y=x+2x-1．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
7．（2019?普宁模拟）若分式
??
2
???1
□
??
???1
运算结果为??，则在“□”中添加的运算符号为( )
A．+ B．— C．—或÷ D．+或×
【答案】C
【解析】依次计算+、－、×、÷，再进行判断.
解：当□为“－”时，
??
2
???1
?
??
???1
=
??(???1)
???1
=??；
当□为“+”时，
??
2
???1
+
??
???1
=
??
2
+1
???1
；
当□为“×”时，
??
2
???1
×
??
???1
=
??
3
(???1)
2
；
当□为“÷”时，
??
2
???1
÷
??
???1
=??；
所以结果为x的有—或÷.
故选：C.
【点评】考查了分式的加、减、乘、除运算，解题关键是熟记其运算法则.
8．（2019?唐山模拟）在化简分式的过程中，开始出现错误的步骤是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】将四选项与正确的解题步骤比较，即可知错误的步骤．
解：∵正确的解题步骤是：
，
∴开始出现错误的步骤是．去括号是漏乘了.
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的加减法，比较简单．
二、填空题
9．（2018·邗江二模）若
2???3
??+1
( A (
5
??+1
，则 A （___________）
【答案】2
【解析】由
2???3
??+1
( A (
5
??+1
，得A=
2???3
??+1
(
5
??+1
,计算可得.
解：由
2???3
??+1
( A (
5
??+1
，得A=
2???3
??+1
(
5
??+1
=2.
故答案为：2
【点评】本题考查知识点：分式的加法.解题关键点：掌握分式的加法法则.
10．（2018·嘉兴适应性训练）当x=________时，分式
??
???1
没有意义．
【答案】≠1
【解析】根据分式有意义的条件是：分母≠0，列不等式求解即可.
解：根据题意得：x-1≠0
解之：x≠1
故答案为：≠1.
【点评】此题主要考查了分式无意义的条件，关键是掌握分式无意义的条件为分母为0.
11．（2018·青岛一模）如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1 的小正方形，图2是一个边长为(a﹣1)的正方形．记图1，图2中阴影部分的面积分别为
??
1
,
??
2
，则
??
2
??
1
可化简为_____________．
/
【答案】
???1
??+1
【解析】首先表示S1=a2﹣1，S2=（a﹣1）2，再约分化简即可．
解：
??
1
??
2
=
??
2
?1
（???1
）
2
=
（???1）（??+1）
（???1
）
2
=
??+1
???1
．
故答案为：
??+1
???1
．
【点评】本题主要考查了完全平方公式、平方差公式的几何背景和分式的化简，关键是正确表示出阴影部分面积．
12．（2018·昌平二模）如果
??
2
+???3=0，那么代数式(??+
2??+1
??
)?
??
2
??+1
的值是______
【答案】3
【解析】先将(a+
2a+1
a
)?
a
2
a+1
化简，再由
a
2
+a?3=0得
a
2
+a=3，两者结合便可解得答案.
解：由
a
2
+a?3=0得
a
2
+a=3，
所以，
??+
2??+1
??
?
??
2
??+1
=
??
2
+2??+1
??
?
??
2
??+1
=
??+1
2
??
?
??
2
??+1
=
??
2
+??=3.
故答案为：3.
【点评】本题考核知识点:分式化简求值. 解题关键点：把分式进行化简，把已知式子根据需要进行变形.
13．（2019?东台模拟）0.0002019用科学记数法可表示为___________________．
【答案】2.019×10-4．
【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.0002019=2.019×10-4．
故答案为：2.019×10-4．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14．（2019?大庆模拟）若，则_____．
【答案】-
【解析】先根据题意得出a-b=-2ab，代入原式进行计算即可．
解：∵，
∴a?b=?2ab.
∴原式=?=?2+=?.
故答案为：?
【点评】此题考查分式的加减法，掌握运算法则是解题关键.
15．（2019?滨州模拟）如果记y＝＝f（x），并且f（1）表示当x＝1时y的值．即f（1）＝＝；f（）表示当x＝时y的值，f（）＝＝…，那么f（﹣1）+f（﹣2）+f（﹣）+f（﹣3）+f（﹣）+…+f（﹣2019）+f（﹣）＝_____．
【答案】2018.5.
【解析】通过计算f（﹣2），f（﹣3），f（﹣）的值得到f(﹣2）+f（﹣）＝1，f（﹣3）+f（﹣）＝1，从而得到规律f（﹣x）+＝1，然后利用此规律解答即可．
解：∵f（﹣2）＝＝，，
∴f（﹣2）+＝1，
∵f（﹣3）＝，f（﹣）＝，
∴f（﹣3）+f（﹣）＝1，
同理可得f（﹣2019）+f（﹣）＝1，
∴f（﹣1）+f（﹣2）+f（﹣）+f（﹣3）+f（﹣）+…+f（﹣2019）+f（﹣）＝+1×2018＝2018.5，
故答案为：2018.5
【点评】本题考查了分式的加减法：同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
16．（2019?北京模拟）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设正实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d都为正整数），即，则是x的更精确的不足近似值或过剩近似值. 已知π=3.14159···，且，则第一次使用“调日法”后得到π的近似分数是，它是π的更为精确的不足近似值，即. 那么第三次使用“调日法”后得到π的近似分数是________.
【答案】
【解析】根据“调日法”的计算方法进行计算即可得出答案.
解：根据“调日法”的计算方法可得：
第二次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即； 第三次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即；
故答案为：
【点评】本题考查分式，解题的关键是读懂题意，知道“调日法”的计算方法.
三、解答题
17．（2018·泉州模拟）化简：
2
???1
+
??+3
1?
??
2
．（按要求填空）
解答过程
解答步骤说明
解题依据（用文字或符号填写知识的名称和具体内容，每空一个）
2
???1
+
??+3
1?
??
2
此处不填
此处不填
=
2??+2?
??+3
??+1
???1
示例：通分
示例：分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以同一个不等于零的整数，分式的值不变（或者同分母分式相加减法则：
??
??
±
??
??
=
??±??
??
）
=
2??+2????3
??+1
???1
去括号
①
=
???1
??+1
???1
合并同类项
此处不填
= ②
③
④
【答案】①乘法分配律；②
1
??+1
；③约分；④分式的基本性质：分式的分值和分母都乘以同一个不等于零的整式，分式的值不变．
【解析】根据乘法分配律，可去括号；根据分式的基本性质，可约分，即可得答案.
解：
①乘法分配律
②
1
??+1
③约分
④分式的基本性质：分式的分值和分母都乘以同一个不等于零的整式，分式的值不变．
【点评】本题考查了分式的加减,通分利用了分式的性质,去括号要注意符号:括号前是正数去括号不变号,括号前是负数去括号全变号.
18．（2018·莆田模拟）先化简，再求值：(
??+1
??
2
?1
+
??
???1
)÷
??+1
??
2
?2??+1
，其中x=2019
【答案】x-1, 2018
【解析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
解：原式=
??+1+??（??+1）
（??+1）（???1）
?
（???1
）
2
??+1
=
（??+1
）
2
（??+1）（???1）
?
（???1
）
2
??+1
=x﹣1，
当x=2019时，原式=2019﹣1=2018．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
19．（2019?济南模拟）先化简：，再从﹣1≤m≤2中选取合适的整数代入求值．
【答案】，原式＝.
【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
解：原式＝
＝，
根据分式有意义的条件可知：m＝﹣1，
∴原式＝
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
20．（2019?哈尔滨模拟）先化简，再求代数式﹣的值，其中x＝2sin45°+tan45°
【答案】；.
【解析】先算除法，再算加法，化为最简，再把x的值求出代入原式即可．
解：原式＝﹣×+
＝﹣+
＝
＝，
当x＝2sin45°+tan45°＝2×+1＝+1时，
原式＝＝﹣．
【点评】本题考查了分式的化简求值以及特殊角的三角函数值，此题计算时一定要细心才行，不然很容易出错．
/
