1.4 二次根式
一、二次根式的相关概念
1、定义：形如________的式子叫做二次根式.
2、最简二次根式必须满足下面的两个条件：
（1）被开方数不含________；
（2）被开方数中不含________的因数或因式.
3、同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方数_____的二次根式，叫做同类二次根式.
4、分母有理化：把分母中的根号________叫做分母有理化.
5、有理化因式：把两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积________有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式（常用的有理化因式有：与；与）
二、二次根式的性质
1、双非负数：≥________（a________0）
2、 ；
3、；
4、（a≥0，b≥0）；
5、
三、二次根式的运算
1、二次根式的加减：将各二次根式化为最________后，再合并________.
2、二次根式的乘法：（a≥0，b≥0）.
3、二次根式的除法：
注意：二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成________.
考点一： 二次根式有意义的条件
函数/中，自变量/的取值范围是（ ）
A．/ B．/ C. / D．/
变式跟进1式子有意义，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣1 B．a≠2 C．a≥﹣1且a≠2 D．a＞2
考点二：最简二次根式、同类二次根式
化简：/= ．
变式跟进2当a=_________时，最简二根根式与是同类二次根式．
考点三： 二次根式的运算
下列计算：（1）(/)2＝2，（2）/＝2，（3）(/)2＝12，（4）/，其中结果正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式跟进3计算：4cos30°+（1﹣/）0﹣/+|﹣2|．
考点四：二次根式的化简与求值
设x、y均为实数，且y= ，求的值
变式跟进4观察下列等式：
第1个等式：a1==﹣1，
第2个等式：a2==﹣，
第3个等式：a3==2﹣，
第4个等式：a4==﹣2，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：an=___________；
（2）a1+a2+a3+…+an=_______．
一、选择题
1．（2017宁波）要使二次根式 /有意义，则 /的取值范围是（ ????）
A、/ B、/ C、/ D、/
2．（2017?荆州）下列根式是最简二次根式的是（?? ）
A、/ B、/ C、/ D、/
3．（2018·曲靖）下列二次根式中能与2
3
合并的是（ ）
A．
8
B．
1
3
C．
18
D．
9
4．（2018·聊城）下列计算正确的是（ ）
A． 3
10
?2
5
=
5
B．
7
11
?(
11
7
÷
1
11
)=
11
C． (
75
?
15
)÷
3
=2
5
D．
1
3
18
?3
8
9
=
2
5．（2018·十堰）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（ ）
1
2
3
2
5
6
7
2
2
3
10
?
?
?
A． 2
10
B．
41
C． 5
2
D．
51
6．（2019·山西）下列二次根式是最简二次根式的是( )
A． B． C． D．
7．（2019?益阳）下列运算正确的是( )
A．＝﹣2 B．(2)2＝6 C． D．
8．（2019?恩施）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
二、填空题
9．（2017?上海）方程 /=1的解是________．
10．（2017?荆门）已知实数m、n满足|n﹣2|+ /=0，则m+2n的值为________．
11．（2018·梧州）式子
???3
在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ．
12.（2018·烟台）
12
与最简二次根式5
??+1
是同类二次根式，则a=_____．
13．（2018·潍坊）用教材中的计算器进行计算，开机后依次按下，把显示结果输入如图的程序中，则输出的结果是_____．
/
14．（2019?绵阳）单项式与是同类项，则______．
15．（2019?菏泽）已知，那么的值是_____．
16．（2019?益阳）观察下列等式：
①3﹣2＝(﹣1)2，
②5﹣2＝(﹣)2，
③7﹣2＝(﹣)2，
…
请你根据以上规律，写出第6个等式____________．
三、解答题
17．（2017?大连）计算：（ /+1）2﹣ /+（﹣2）2 ．
18．（2018·陕西）计算：(－
3
)×(－
6
)＋|
2
－1|＋(5－2π)0
19．（2019?泰安）先化简，再求值：，其中.
20．（2019?嘉兴）小明解答“先化简，再求值：，其中．”的过程如图．
/
请指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
一、单选题
1．（2018·周口二模）下列计算正确的是（ ）
A． 2
1
2
=
2
B．
2
+
3
=
5
C． 4
3
-3
3
=1 D． 3+2
2
=5
2
2．（2018福州适应性练习·）下面式子是二次根式的是（ ）
A．
??
2
+1
B．
3
33
C．
?1
D．
1
2
a
3．（2018·唐山一模）下列计算：①(
2
)
2
=2；②
(?2
)
2
=2；③(?2
3
)
2
=12；④(
2
+
3
)(
2
?
3
)=?1.其中正确的有( )
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
4．（2018·安庆一模）
48??
是正整数，最小的整数n是（ ）
A． 3 B． 2 C． 48 D． 6
5．（2019?成都模拟）使代数式有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2019?南京模拟）下列运算中错误的是（ ）
A．×＝ B．2＋3＝5
C． D．＝4
7．（2019?潍坊模拟）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）
/
A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定
8．（2019?金华模拟）在整数范围内，有被除数＝除数×商+余数，即a＝bq+r(a≥b，且b≠0，0≤r＜b)，若被除数a和除数b确定，则商q和余数r也唯一确定，如：a＝11，b＝2，则11＝2×5+1此时q＝5，r＝1．在实数范围中，也有a＝bq+r(a≥b且b≠0，商q为整数，余数r满足：0≤r＜b)，若被除数是7，除数是2，则q与r的和( )
A．7﹣4 B．2﹣6 C．6-4 D．4-2
二、填空题
9．（2018·江苏模拟）如果
（(2???7)
）
2
=7?2??，那么x的取值范围是_____________
10．（2018·天津二模）计算
2
×（
6
﹣2
1
2
）的结果等于_____．
11．（2018·苏州六模）若
??+??
=
??
+
??
成立，则??、??满足条件_________________.
12．（2018·宜宾模拟）
1
1
+
2
+
1
2
+
3
+...+
1
99
+
100
的整数部分是________.
13．（2019?平度模拟）＝_____．
14．（2019?天津模拟）已知的值为0，则____________.
15．（2019?成都模拟）若a，b都是实数，b＝+﹣2，则ab的值为_____．
16．（2019?绥滨模拟）已知是整数，则正整数n的最小值为___
三、解答题
17．（2018·福州适应性练习）计算：(
5
?3
)
2
+(
11
+3)(
11
?3)
18．（2018·杭州月考）小斌同学在学习了
??
??
=
??
??
后，认为
??
??
=
??
??
也成立，因此他认为一个化简过程：
?20
?5
=
?20
?5
=
?5×4
?5
=
?5
?
4
?5
＝
4
=2是正确的.你认为他的化简对吗？如果不对，请说明理由并改正.
19．（2019?上饶模拟）已知：a、b、c满足
求：（1）a、b、c的值；
（2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由．
20．（2019?洛阳模拟）阅读下列材料，解答后面的问题：
+=-1
++=2-1=1
+++=-1
（1）写出下一个等式；
（2）计算+++…+的值；
（3）请直接写出（）+…）×（+）的运算结果．
/
1.4 二次根式
一、二次根式的相关概念
1、定义：形如 的式子叫做二次根式.
2、最简二次根式必须满足下面的两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
3、同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式.
4、分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化.
5、有理化因式：把两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式（常用的有理化因式有：与；与）
二、二次根式的性质
1、双非负数：≥0（a≥0）
2、 ；
3、；
4、（a≥0，b≥0）；
5、
三、二次根式的运算
1、二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根式后，再合并同类二次根式.
2、二次根式的乘法：（a≥0，b≥0）.
3、二次根式的除法：
注意：二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式.
考点一： 二次根式有意义的条件
函数/中，自变量/的取值范围是（ ）
A．/ B．/ C. / D．/
【答案】A.
【解析】/中，x+2≥0，即/，故选A.
【点评】根据二次根式的定义，可知被开方数是非负数，即可列出不等式.
变式跟进1式子有意义，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣1 B．a≠2 C．a≥﹣1且a≠2 D．a＞2
【答案】C.
【解析】式子有意义，则a+1≥0，且a﹣2≠0，解得：a≥﹣1且a≠2．故选C.
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，同时，要注意分母不等于零．
考点二：最简二次根式、同类二次根式
化简：/= ．
【答案】．
【解析】原式=3﹣2=．
【点评】先把二次根式化简，再合并同类二次根式即可.
变式跟进2当a=_________时，最简二根根式与是同类二次根式．
【答案】1
【解析】∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴a+2=5?2a，解得：a=1.
【点评】利用最简二次根式与同类二次根式的定义列出方即可.
考点三： 二次根式的运算
下列计算：（1）(/)2＝2，（2）/＝2，（3）(/)2＝12，（4）/，其中结果正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D.
【解析】根据二次根式的性质可得（1）、（2）、（3）正确；根据平方差公式可得（4）正确，故选D.
【点评】利用二次根式的性质及计算法则进行判断即可.
变式跟进3计算：4cos30°+（1﹣/）0﹣/+|﹣2|．
【答案】3
【解析】首先利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
解：原式=4×/+1﹣2/+2
=2/﹣2/+3
=3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
考点四：二次根式的化简与求值
设x、y均为实数，且y= ，求的值
【答案】
【解析】解：由题意得,x2?3≥0,3?x2≥0，1?x>0，
解得,x=?，
则y=2，
.
【点评】根据二次根式的有意义的条件求出x的值，代入已知式子求出y的值，代入计算即可．
变式跟进4观察下列等式：
第1个等式：a1==﹣1，
第2个等式：a2==﹣，
第3个等式：a3==2﹣，
第4个等式：a4==﹣2，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：an=___________；
（2）a1+a2+a3+…+an=_______．
【答案】 ，-1
【解析】（1）∵第1个等式：a1=/=/﹣1，
第2个等式：a2=/=/﹣/，
第3个等式：a3=/=2﹣/，
第4个等式：a4=/=/﹣2，
∴第n个等式：an=/=/﹣/；
（2）a1+a2+a3+…+an
=（/﹣1）+（/﹣/）+（2﹣/）+（/﹣2）+…+（/﹣/）=/﹣1．
故答案为/=/﹣/；/﹣1．
【点评】根据分母有理化，并借助规律即可解答.
一、选择题
1．（2017宁波）要使二次根式 /有意义，则 /的取值范围是（ ????）
A、/ B、/ C、/ D、/
【答案】D
【解析】解：依题可得：x-3≥0.
∴x≥3.
故选D.
【点评】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0即可得出答案.
2．（2017?荆州）下列根式是最简二次根式的是（?? ）
A、/ B、/ C、/ D、/
【答案】C
【解析】解：A、该二次根式的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误； B、该二次根式的被开方数中含有小数，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、该二次根式符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
D、20=22×5，该二次根式的被开方数中含开的尽的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：C．
【点评】根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，可得答案．
3．（2018·曲靖）下列二次根式中能与2
3
合并的是（ ）
A．
8
B．
1
3
C．
18
D．
9
【答案】B
【解析】先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为3的二次根式即可．
解：A、
8
＝2
2
，不能与2
3
合并，故该选项错误；
B、
1
3
=
3
3
能与2
3
合并，故该选项正确；
C、
18
＝3
2
不能与2
3
合并，故该选项错误；
D、
9
＝3不能与2
3
合并，错误；
故选B．
【点评】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
4．（2018·聊城）下列计算正确的是（ ）
A． 3
10
?2
5
=
5
B．
7
11
?(
11
7
÷
1
11
)=
11
C． (
75
?
15
)÷
3
=2
5
D．
1
3
18
?3
8
9
=
2
【答案】B
【解析】根据二次根式的加减乘除运算法则逐一计算可得.
解: A、3
10
与?2
5
不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B、
7
11
?(
11
7
÷
1
11
)=
7
11
?
11
7
×11
=
7
11
×
11
7
×11
=
11
，此选项正确；
C、(
75
?
15
)÷
3
=（5
3
-
15
）÷
3
=5-
5
，此选项错误；
D、
1
3
18
?3
8
9
=
2
?2
2
=?
2
，此选项错误；
故选：B
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算顺序和运算法则.
5．（2018·十堰）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（ ）
1
2
3
2
5
6
7
2
2
3
10
?
?
?
A． 2
10
B．
41
C． 5
2
D．
51
【答案】B
【解析】由图形可知，第n行最后一个数为
1+2+3+???
=
??
??+1
2
，据此可得答案．
解：由图形可知，第n行最后一个数为
1+2+3+???
=
??
??+1
2
，
∴第8行最后一个数为
8×9
2
=
36
=6，
则第9行从左至右第5个数是
36+5
=
41
，
故选B．
【点评】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为
??
??+1
2
．
6．（2019·山西）下列二次根式是最简二次根式的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据最简二次根式的概念逐一进行判断即可.
解：A. ，故A选项不符合题意；
B. ，故B选项不符合题意；
C. ，故C选项不符合题意；
D. 是最简二次根式，符合题意，
故选D.
【点评】本题考查了最简二次根式的识别，熟练掌握二次根式的化简以及最简二次根式的概念是解题的关键.
7．（2019?益阳）下列运算正确的是( )
A．＝﹣2 B．(2)2＝6 C． D．
【答案】D
【解析】根据二次根式的性质以及二次根式加法，乘法及乘方运算法则计算即可．
解：A：＝2，故本选项错误；
B：(2)2＝12，故本选项错误；
C：与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
D：根据二次根式乘法运算的法则知本选项正确，
故选D．
【点评】本题考查的是二次根式的性质及二次根式的相关运算法则，熟练掌握是解题的关键.
8．（2019?恩施）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【解析】根据分式及二次根式有意义的条件解答即可.
解：∵有意义，
∴x+1≠0，2-3x≥0，
解得：且，
故选D.
【点评】本题考查分式及二次根式有意义的条件，要使分式有意义，分母不为0；要使二次根式有意义，被开方数大于等于0.
二、填空题
9．（2017?上海）方程 /=1的解是________．
【答案】x=2
【解析】解： /，
两边平方得，2x﹣3=1，
解得，x=2；
经检验，x=2是方程的根；
故答案为x=2．
【点评】根据无理方程的解法，首先，两边平方，解出x的值，然后，验根解答出即可．
10．（2017?荆门）已知实数m、n满足|n﹣2|+ /=0，则m+2n的值为________．
【答案】3
【解析】解：由题意可知：n﹣2=0，m+1=0， ∴m=﹣1，n=2，
∴m+2n=﹣1+4=3，
故答案为：3
【点评】根据非负数的性质即可求出m与n的值．
11．（2018·梧州）式子
???3
在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ．
【答案】x≥3
【解析】直接利用二次根式的有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案.
解：由题意可得：x﹣3≥0，
解得：x≥3，
故答案为：x≥3．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.
12.（2018·烟台）
12
与最简二次根式5
??+1
是同类二次根式，则a=_____．
【答案】2
【解析】先将
12
化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可．
解：∵
12
与最简二次根式5
??+1
是同类二次根式，且
12
=2
3
，
∴a+1=3，解得：a=2．
故答案为2．
【点评】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
13．（2018·潍坊）用教材中的计算器进行计算，开机后依次按下，把显示结果输入如图的程序中，则输出的结果是_____．
/
【答案】34+9
2
【解析】先根据计算器计算出输入的值，再根据程序框图列出算式，继而根据二次根式的混合运算计算可得．
解：由题意知输入的值为32=9，
则输出的结果为[（9+3）﹣
2
]×（3+
2
）
=（12﹣
2
）×（3+
2
）
=36+12
2
﹣3
2
﹣2
=34+9
2
，
故答案为：34+9
2
．
【点评】本题主要考查计算器﹣基础知识，解题的关键是根据程序框图列出算式，并熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
14．（2019?绵阳）单项式与是同类项，则______．
【答案】1
【解析】先根据同类项的定义列出方程，再结合二次根式的性质求出，的值，然后代入代数式计算即可．
解：由题意知，即，
∴，，，
则，
故答案为：1．
【点评】此题考查了同类项的定义和二次根式的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握同类项的定义，难度一般．
15．（2019?菏泽）已知，那么的值是_____．
【答案】4
【解析】将所给等式变形为，然后两边分别平方，利用完全平方公式即可求出答案．
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4
【点评】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算以及完全平方公式.注意正确的变形可以使得运算简便.
16．（2019?益阳）观察下列等式：
①3﹣2＝(﹣1)2，
②5﹣2＝(﹣)2，
③7﹣2＝(﹣)2，
…
请你根据以上规律，写出第6个等式____________．
【答案】
【解析】第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n(n+1)，利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为(﹣)2(n≥1的整数)．
解：∵①3﹣2＝(﹣1)2，
②5﹣2＝(﹣)2，
③7﹣2＝(﹣)2，
…，
∴第n个等式为：(2n+1)-2=(﹣)2，
∴第6个等式为：，
故答案为：．
【点评】本题考查了规律题，涉及了二次根式的混合运算，通过所给等式发现等式左边与右边的变化规律是解题的关键.
三、解答题
17．（2017?大连）计算：（ /+1）2﹣ /+（﹣2）2 ．
【答案】7
【解析】解：原式=3+2 /﹣2 /+4 =7．
【点评】首先利用完全平方公式计算乘方，化简二次根式，乘方，然后合并同类二次根式即可．
18．（2018·陕西）计算：(－
3
)×(－
6
)＋|
2
－1|＋(5－2π)0
【答案】4
2
【解析】按顺序先分别进行二次根据的乘法运算、绝对值的化简、0次幂的计算，然后再按运算顺序进行计算即可.
解：(－
3
)×(－
6
)＋|
2
－1|＋(5－2π)0
＝3
2
＋
2
－1＋1
＝4
2
.
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键.
19．（2019?泰安）先化简，再求值：，其中.
【答案】
【解析】首先将分式化简，化成最简式，再将参数代入计算即可.
解：原式
当时，原式
【点评】本题主要考查分式的化简，根据化简的分式求值，这是中考的必考题，应当熟练掌握.
20．（2019?嘉兴）小明解答“先化简，再求值：，其中．”的过程如图．
/
请指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
【答案】步骤①、②有误,.
【解析】异分母分式的的加减应通分，而不是去分母，据此可找出小明错误的步骤；然后按照异分母分式的运算法则计算即可.
解：步骤①、②有误.
原式：.
当时，原式.
【点评】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减.分式运算的结果要化为最简分式或者整式.也考查了二次根式的除法.
一、单选题
1．（2018·周口二模）下列计算正确的是（ ）
A． 2
1
2
=
2
B．
2
+
3
=
5
C． 4
3
-3
3
=1 D． 3+2
2
=5
2
【答案】A
【解析】根据二次根式的计算法则即可得出每一个的正确答案，从而得出．
解：A、计算正确；B和D不是同类二次根式，不能进行加法计算；C、原式=
3
，故选A．
【点评】本题主要考查的是二次根式的加减法计算法则，属于基础题型．理解计算法则是解决这个问题的关键．
2．（2018福州适应性练习·）下面式子是二次根式的是（ ）
A．
??
2
+1
B．
3
33
C．
?1
D．
1
2
a
【答案】A
【解析】直接利用二次根式定义分析得出答案．
解：A、
??
2
+1
，∵a2+1＞0，∴是二次根式，符合题意；
B、
3
33
是三次根式，不合题意；
C、
?1
，无意义，不合题意；
D、
1
2
a是整式，不合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键．
3．（2018·唐山一模）下列计算：①(
2
)
2
=2；②
(?2
)
2
=2；③(?2
3
)
2
=12；④(
2
+
3
)(
2
?
3
)=?1.其中正确的有( )
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
【答案】D
【解析】根据二次根式的性质与化简、二次根式的乘法及平方差公式分别进行计算各选项即可.
解：①∵(
2
)
2
=2，故①正确；
②∵
(?2
)
2
=2，故②正确；
③∵(?2
3
)
2
=12，故③正确；
④∵(
2
+
3
)(
2
?
3
)=?1，故④正确；
故选D.
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘法，平方差公式，属于基础题,掌握基本的运算法则是关键.
4．（2018·安庆一模）
48??
是正整数，最小的整数n是（ ）
A． 3 B． 2 C． 48 D． 6
【答案】A
【解析】先化简二次根式，然后依据被开方数是一个完全平方数求解即可．
解：
48??
=4
3??
，
∵
48??
是正整数，
∴3n是一个完全平方数,
∴n的最小整数值为3.
故选A.
【点评】考查二次根式，先把
48??
化简是解题的关键.
5．（2019?成都模拟）使代数式有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据二次根式被开方数为非负数可得关于x的不等式，解不等式即可得.
解：使代数式有意义，则x-10≥0，
解得：x≥10，
故选A．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
6．（2019?南京模拟）下列运算中错误的是（ ）
A．×＝ B．2＋3＝5
C． D．＝4
【答案】B
【解析】根据二次根式的乘法法则对A进行判断;利用二次根式的加减法对B进行判断;利用分母有理化对C进行判断;利用二次根式的性质对D进行判断
解：A.原式=×＝,所以A选项的计算正确;
B. 2和3不能合并,所以B选项的计算错误
C.原式=,所以C选项的计算正确;
D.原式=＝4,所以D选项的计算正确。
故选B.
【点评】此题考查二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题关键
7．（2019?潍坊模拟）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）
/
A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定
【答案】C
【解析】根据数轴上点的位置判断出a﹣4与a﹣11的正负，原式利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
解：根据数轴上点的位置得：5＜a＜10，
∴a﹣4＞0，a﹣11＜0，
则原式＝|a﹣4|﹣|a﹣11|＝a﹣4+a﹣11＝2a﹣15，
故选：C．
【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，以及实数与数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（2019?金华模拟）在整数范围内，有被除数＝除数×商+余数，即a＝bq+r(a≥b，且b≠0，0≤r＜b)，若被除数a和除数b确定，则商q和余数r也唯一确定，如：a＝11，b＝2，则11＝2×5+1此时q＝5，r＝1．在实数范围中，也有a＝bq+r(a≥b且b≠0，商q为整数，余数r满足：0≤r＜b)，若被除数是7，除数是2，则q与r的和( )
A．7﹣4 B．2﹣6 C．6-4 D．4-2
【答案】A
【解析】根据的整数部分即为q即可先求出q的值，再将a、q、b的值代入a=bq+r中即可求出r的值，从而作答．
解：∵且4＜＜5
∴的整数部分是4
∴商q＝4
∴余数
∴q+r＝
故选A．
【点评】本题考查了整式的除法、估算无理数的大小，解决本题的关键理解q即的整数部分．
二、填空题
9．（2018·江苏模拟）如果
（(2???7)
）
2
=7?2??，那么x的取值范围是_____________
【答案】x≤
7
2
【解析】根据二次根式的性质，可知7-2x≥0，解不等式即可．
解：由题意得： 7-2x≥0，
解得：x ≤
7
2
，
故答案为：x ≤
7
2
.
【点评】本题考查了二次根式的性质，熟知
??
2
=
??
是解题的关键.
10．（2018·天津二模）计算
2
×（
6
﹣2
1
2
）的结果等于_____．
【答案】2
3
﹣2
【解析】利用二次根式的乘法法则运算．
解：原式=
2×6
-2
2×
1
2
=2
3
﹣2．
故答案为2
3
﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
11．（2018·苏州六模）若
??+??
=
??
+
??
成立，则??、??满足条件_________________.
【答案】????=0且??≥0,??≥0
【解析】根据二次根式有意义的条件可得a+b≥0，a≥0，b≥0，再根据已知条件即可得.
解：由题意可知a+b≥0，a≥0，b≥0，
又
??+??
=
??
+
??
成立，
所以a、b中至少有一个为0，
所以??、??满足条件是：????=0且??≥0，??≥0，
故答案为：????=0且??≥0，??≥0.
【点评】本题考查了二次根式的性质以及化简，得出a、b中至少有一个为0是解题的关键.
12．（2018·宜宾模拟）
1
1
+
2
+
1
2
+
3
+...+
1
99
+
100
的整数部分是________.
【答案】9
【解析】解：∵
1
2
+
1
=
2
﹣1，
1
2
+
3
=
3
﹣
2
…
1
99
+
100
=﹣
99
+
100
，∴原式=
2
﹣1+
3
﹣
2
+…﹣
99
+
100
=﹣1+10=9．
【点评】本题是一道找规律题.将每个式子进行分母有理化是解题的关键.
13．（2019?平度模拟）＝_____．
【答案】14
【解析】先把括号内的根式分别乘以，然后相加即可．
解：原式＝
＝12+2
＝14．
故答案为14．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式的远算法则是解答此题的关键．
14．（2019?天津模拟）已知的值为0，则____________.
【答案】-1．
【解析】利用分式值为0的条件和二次根式有意义的条件求解即可．
解：∵ 值为0
∴=0且1-x＞0，
解得：x=2或x=-1，且x＜1，
∴x=-1， 故答案为：-1．
【点评】本题主要考查了分式值为0的条件，和二次根式的意义及分式的意义，注意分母不为0是解答此题的关键．
15．（2019?成都模拟）若a，b都是实数，b＝+﹣2，则ab的值为_____．
【答案】4
【解析】直接利用二次根式有意义的条件得出a的值，进而利用负指数幂的性质得出答案．
解：∵b＝+﹣2，
∴
∴1-2a=0， 解得：a=，则b=-2， 故ab=（）-2=4． 故答案为：4．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及负指数幂的性质，正确得出a的值是解题关键．
16．（2019?绥滨模拟）已知是整数，则正整数n的最小值为___
【答案】5
【解析】因为是整数，且，则5n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为5．
解：∵，且是整数， ∴是整数，即5n是完全平方数； ∴n的最小正整数值为5． 故答案为：5．
【点评】主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数进行解答．
三、解答题
17．（2018·福州适应性练习）计算：(
5
?3
)
2
+(
11
+3)(
11
?3)
【答案】16-6
5
【解析】分别运用完全平方公式和平方差公式进行计算即可.
解：原式=5?6
5
+9+11?9
=16-6
5
.
【点评】本题主要考查了二次根式的运算，熟记完全平方公式和平方差公式是解题关键.
18．（2018·杭州月考）小斌同学在学习了
??
??
=
??
??
后，认为
??
??
=
??
??
也成立，因此他认为一个化简过程：
?20
?5
=
?20
?5
=
?5×4
?5
=
?5
?
4
?5
＝
4
=2是正确的.你认为他的化简对吗？如果不对，请说明理由并改正.
【答案】不对，理由见解析
【解析】试题根据负数是没有平方根的可判定
?20
?5
=
?20
?5
这一步是错误的，根据二次根式的除法法则计算即可.
试题解析：
不对
理由：因为只有正数有平方根，负数是没有平方根的，
所以
?20
?5
=
?20
?5
这一步是错误的.
注意
??
??
=
??
??
的前提条件是/
正确的化简过程是：
?20
?5
=
20
5
=
20
5
=
5×4
5
=
5
×
4
5
=
4
=2.
【点评】本题考查了二次根式的除法法则，注意
??
??
=
??
??
的前提条件是/.
19．（2019?上饶模拟）已知：a、b、c满足
求：（1）a、b、c的值；
（2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由．
【答案】（1）a=2，b=5，c=3；（2）能，5+5．
【解析】（1）根据非负数的性质列式求解即可；
（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边进行验证即可．
解：（1）根据题意得，a-=0，b-5=0，c-3=0，
解得a=2，b=5，c=3；
（2）能．
∵2+3=5＞5，
∴能组成三角形，
三角形的周长=2+5+3=5+5．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，三角形的三边关系．
20．（2019?洛阳模拟）阅读下列材料，解答后面的问题：
+=-1
++=2-1=1
+++=-1
（1）写出下一个等式；
（2）计算+++…+的值；
（3）请直接写出（）+…）×（+）的运算结果．
【答案】（1）-1；（2）9；（3）2020．
【解析】（1）利用前面的规律写出下一个等式； （2）利用题中的等式规律得到原式=； （3）先分母有理化，然后把括号内合并后利用平方差公式计算．
解：（1）++++=-1；
（2）原式=-1+-+2-+…+-
=-1
=10-1
=9；
（3）原式=（-+…+-）（+）
=（-）（+）
=2120-100
=2020．
【点评】本题考查了二原式=次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
/
