《三年中考两年模拟》资料用作中考复习用，按地区进行划分，以章节为模式，以考点为线索，精选当地近三年中考真题中含金量最高的原题和两年名校模拟试题进行整理汇编。资料环节设置科学，考点梳理，典例精析，解题技巧，最新名校模拟试题环环相扣，助力广大师生中考备考。
目录
contents
1.1 实数与运算
1.2 整式
1.3 分式
1.4 二次根式
2.1 一元一次方程
2.2 二元一次方程组
2.3 不等式(组）
2.4 分式方程
2.5 一元二次方程
3.1 图形的初步
3.2 投影与视图
3.3 对称图形（平移、旋转与对称）
3.4 尺规作图
4.1 三角形
4.2 全等三角形
4.3 特殊三角形
4.4 相似三角形
4.5 锐角三角函数
5.1 平行四边形
5.2 菱形
6.1 平面直角坐标系
6.2 一次函数
6.3 反比例函数
6.4 二次函数
7.1 圆的概念、定理
7.2 与圆有关的位置关系
7.3 与圆有关的计算
8.1 统计
8.2 概率
9.1 探索规律问题
9.2 方案设计问题
9.3 图形综合证明
9.4 动点综合问题
9.5 存在性问题
1.1 实数与运算
一、实数的分类
1、实数：________和________统称为有理数，_______________叫做无理数，________和________统称实数.
2、分类：
或
二、实数的有关概念
1、数轴的三要素为________、________和________. 数轴上的点与________构成一一对应的关系.
2、实数的相反数为________.
（1）若，互为相反数，则=________.
（2）若，互为相反数，则________.
3、非零实数的倒数为________.
即：若，互为倒数，则=________.
4、绝对值．
三、实数的大小比较
1、数轴上两个点表示的数，________的点表示的数总比________的点表示的数大.
2、正数________0，负数________0，正数________负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而________．
四、数的乘方
1、________，其中叫做________，n叫做________.
2、________，（________0）________，（________0）
五、数的开方
1、任何正数都有________个平方根,它们互为________.其中正的平方根叫________.________没有平方根，0的算术平方根为________.
2、任何一个实数都有立方根，记为________.
3、.
六、实数的运算
1、先算________，再算________，最后算________；
2、同一级运算按照从________到________的顺序依次进行；
3、如果有括号，先算________里面的，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行.
七、科学记数法与近似数
1、科学记数法：把一个大于10的数表示成________的形式（其中1≤a<10，n是正整数），这种记数法叫做科学记数法.
注意：小于1的正数也可以用科学记数法表示为________的形式（其中1≤a<10，n是正整数且等于第一个非零数字前面零的________）.
2、近似数：一个近似数，四舍五入到哪一位，我们就说这个近似数________到哪一位.
考点一：实数的有关概念
－3的倒数是（ ）
A． B． C．-2 D．2
变式跟进1 ﹣的相反数的倒数是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2020 D．﹣2020
考点二：数的乘方
计算（﹣1）2019的结果是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2019 D．2019
变式跟进2 ﹣12等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
考点三：数的开方
8的立方根为_______.
变式跟进3计算的结果为（ ）
A．6 B．-6 C．18 D．-18
考点四：实数的分类与大小比较
下列各数中为无理数的是（ ）
A．﹣1 B．3.14 C．π D．0
变式跟进4估计+1的值应在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
考点五：实数的运算
计算：|﹣4|﹣（）﹣2= ．
变式跟进5计算：；
考点六：科学记数法
近年来，国家重视精准扶贫，收效显著．据统计约有65 000 000人脱贫，把65 000 000用科学记数法表示，正确的是（ ）
A. 0.65×108 B. 6.5×107 C. 6.5×108 D. 65×106
变式跟进6预计到2025年，中国5G用户将超过460 000 000，将460 000 000用科学计数法表示为（ ）
A． B． C． D．
一、选择题
1． (2017山东滨州)计算－(－1)＋|－1|，结果为（ ）
A．－2 B．2 C．0 D．－1
2.（2017浙江宁波市）在，，0，这四个数中，为无理数的是( )
A. B. C. D.
3.（2018?呼和浩特）﹣3﹣（﹣2）的值是（ ）
A. ﹣1 B. 1 C. 5 D. ﹣5
4.（2018?邵阳）据《经济日报》2018年5月21日报道：目前，世界集成电路生产技术水平最高已达到7nm（1nm=10﹣9m），主流生产线的技术水平为14～28nm，中国大陆集成电路生产技术水平最高为28nm．将28nm用科学记数法可表示为（ ）
A. 28×10﹣9m B. 2.8×10﹣8m C. 28×109m D. 2.8×108m
5．（2018?十堰）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（ ）
123256722310???
A. 210 B. 41 C. 52 D. 51
6．（2019?新疆）-2的绝对值是（ ）
A．2 B．-2 C．±2 D．
7．（2019?甘肃八市）华为手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为( )．
A． B． C． D．
8．（2019?资阳）设，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．无法确定
二、填空题
9.（2017甘肃平凉市）估计与0.5的大小关系是： 0.5．（填“＞”、“=”、“＜”）
10．（2017江苏无锡市）如图是我市某连续7天的最高气温与最低气温的变化图，根据图中信息可知，这7天中最大的日温差是 ℃．
11．（2018·盘锦）计算：27﹣12=_________．
12．（2018·咸宁）按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：12，16，112，120，…，则这个数列前2018个数的和为_____．
13．（2019?福建）如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是－4和2, 点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是_______.
14．（2019?遂宁）阅读材料：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：；
；
；
根据以上信息，完成下面计算：
_______．
15．（2019?台州）若一个数的平方等于5，则这个数等于_____．
三、解答题
16.（2017江苏徐州市）计算：；
17.（2017河北省）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB=2，BC=1，如图所示．设点A，B，C所对应数的和是p．
（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？
（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，求p．
18.（2018?大连）（观察）1×49=49，2×48=96，3×47=141，…，23×27=621，24×26=624，25×25=625，26×24=624，27×23=621，…，47×3=141，28×2=96，49×1=49．
（发现）根据你的阅读回答问题：
（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为 ；
（2）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是 ．
（类比）观察下列两数的积：1×59，2×58，3×57，4×56，…，m×n，…，56×4，57×3，58×2，59×1．
猜想mn的最大值为 ，并用你学过的知识加以证明．
19．（2019?浙江台州）计算：.
20．（2019?重庆A）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数—“纯数”．定义；对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“数”，例如：32是”纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24＋25时，个位产生了进位．
（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；
（2）求出不大于100的“纯数”的个数．
一、选择题
1．（2018丹东三模）下列算式中，运算结果为负数的是( )
A. |-1| B. (-2)3 C. (-1)×(-2) D. (-3)2
2．（2018白仓镇二模）如图，在数轴上表示互为相反数的两数的点是（?? ）
A. 点A和点C B. 点B和点A C. 点C和点B D. 点D和点B
3．（2018哈尔滨三模）哈市某天的最高气温为11°C，最低气温为-6°C，则最高气温与最低气温的差为( )
A. 5℃ B. 17℃ C. -17℃ D. -5℃
4．（2018海南模拟三）-2018的绝对值是 ( )
A. 12018 B. ?12018 C. ? 2018 D. 2018
5．（2019?梧州模拟）四个数，0，1，9﹣1中最大的是（ ）
A． B．0 C．1 D．9﹣1
6．（2019?深圳三模）据统计，2019年第一季度，深圳新出台的小微企业普惠性减税政策合计减税13.53亿元．“13.53亿”用科学记数法表示为（ ）
A．13.53×102 B．1.353×109 C．0.1353×102 D．1.353×102
7．（2019?衡水模拟）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如：取自然数5，经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（ ??）
A．6个 B．5个
C．4个 D．3个
8．（2019?大庆模拟）对于实数a，b下列判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
二、填空题
9．（2018邵阳押题）一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越________。
10．（2018南京二模）﹣2的绝对值是______，﹣2的相反数是_________．
11．（2018贵港二模）若a=1，b是3的相反数，则a+b的值为________．
12．（2019?连云港二模）-5的相反数是______．
13．（2019?宝鸡模拟）已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则﹣a_____b．（填“＜”“＞”或“＝”）
14．（2019?深圳模拟）对于m，n（n≥m）我们定义运算Anm＝n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n﹣（m﹣1）），A73＝7×6×5＝210，请你计算A42＝_____．
三、解答题
15．（2018盐城二模）计算：9??2+(13)?1+3?27
16．（2018唐山一模）已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足（c﹣5）2+|a+b|=0，试回答下列问题：
（1）求a，b，c的值
（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点C以每秒5个单位长度的速度向右运动，试求几秒后点A与点C距离为12个单位长度？
17．（2018重庆联考）已知1?3a和︱2b－3︱互为相反数，求(ab)2+2的平方根.
18．（2019?上海二模）计算：（﹣1）2019﹣|1﹣|+．
19．（2019?北京模拟）有这样一个题目：
按照给定的计算程序，确定使代数式n（n+2）大于2000的n的最小正整数值．想一想，怎样迅速找到这个n值，请与同学们交流你的体会．
小亮尝试计算了几组n和n（n+2）的对应值如下表：
n
50
40
n（n+2）
2600
1680
（1）请你继续小亮的尝试，再算几组填在上表中（几组随意，自己画格），并写出满足题目要求的n的值；
（2）结合上述过程，对于“怎样迅速找到n值”这个问题，说说你的想法．
20．（2019?青岛模拟）阅读材料：求31+32+33+34+35+36的值
解：设S=31+32+33+34+35+36①
则3S=32+33+34+35+36+37②
用②﹣①得，3S﹣S=（32+33+34+35+36+37）﹣（31+32+33+34+35+36）=37﹣3
∴2S=37﹣3，即S=37?32，∴31+32+33+34+35+36=37?32
以上方法我们成为“错位相减法”，请利用上述材料，解决下列问题：
（一）棋盘摆米
这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏？阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了，结果国王输了
（1）国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放 粒米（用幂表示）
（2）设国王输给阿基米德的米粒数为S，求S
（二）拓广应用：
1．计算：14+142+143+...+14n（仿照材料写出求解过程）
2．计算：4?14+42?142+43?143+...+4n?14n= （直接写出结果）
《三年中考两年模拟》资料用作中考复习用，按地区进行划分，以章节为模式，以考点为线索，精选当地近三年中考真题中含金量最高的原题和两年名校模拟试题进行整理汇编。资料环节设置科学，考点梳理，典例精析，解题技巧，最新名校模拟试题环环相扣，助力广大师生中考备考。
目录
contents
1.1 实数与运算
1.2 整式
1.3 分式
1.4 二次根式
2.1 一元一次方程
2.2 二元一次方程组
2.3 不等式(组）
2.4 分式方程
2.5 一元二次方程
3.1 图形的初步
3.2 投影与视图
3.3 对称图形（平移、旋转与对称）
3.4 尺规作图
4.1 三角形
4.2 全等三角形
4.3 特殊三角形
4.4 相似三角形
4.5 锐角三角函数
5.1 平行四边形
5.2 菱形
6.1 平面直角坐标系
6.2 一次函数
6.3 反比例函数
6.4 二次函数
7.1 圆的概念、定理
7.2 与圆有关的位置关系
7.3 与圆有关的计算
8.1 统计
8.2 概率
9.1 探索规律问题
9.2 方案设计问题
9.3 图形综合证明
9.4 动点综合问题
9.5 存在性问题
1.1 实数与运算
一、实数的分类
1、实数：整数和分数统称为有理数，无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数.
2、分类：
或
二、实数的有关概念
1、数轴的三要素为原点、正方向和单位长度. 数轴上的点与实数构成一一对应的关系.
2、实数的相反数为－a.
（1）若，互为相反数，则=0.
（2）若，互为相反数，则－1.
3、非零实数的倒数为.
即：若，互为倒数，则=1.
4、绝对值．
三、实数的大小比较
1、数轴上两个点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.
2、正数＞0，负数＜0，正数＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
四、数的乘方
1、，其中叫做底数，n叫做指数.
2、1，（≠0），（≠0）
五、数的开方
1、任何正数都有两个平方根,它们互为相反数.其中正的平方根叫算术平方根.负数没有平方根，0的算术平方根为0.
2、任何一个实数都有立方根，记为.
3、.
六、实数的运算
1、先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；
2、同一级运算按照从左到右的顺序依次进行；
3、如果有括号，先算括号里面的，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行.
七、科学记数法与近似数
1、科学记数法：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中1≤a<10，n是正整数），这种记数法叫做科学记数法.
注意：小于1的正数也可以用科学记数法表示为a×10－n的形式（其中1≤a<10，n是正整数且等于第一个非零数字前面零的个数）.
2、近似数：一个近似数，四舍五入到哪一位，我们就说这个近似数精确到哪一位.
考点一：实数的有关概念
－3的倒数是（ ）
A． B． C．-2 D．2
【答案】A
【解析】性质符号相同，分子分母位置颠倒的两个数称为互为倒数，所以-3的倒数是
【点评】本题主要考查倒数的定义.
变式跟进1 ﹣的相反数的倒数是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2020 D．﹣2020
【答案】C．
【解析】根据相反数的概念可知﹣的相反数是；根据倒数的定义可得的相反数的倒数是2020．故答案选C．
【点评】本题主要考查相反数与倒数.]
考点二：数的乘方
计算（﹣1）2019的结果是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2019 D．2019
【答案】A
【解析】（﹣1）2019=－1，故选A．
【点评】本题考查的知识点是有理数的乘方.
变式跟进2 ﹣12等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】B.
【解析】﹣12=﹣1，故选：B．
【点评】根据乘方的意义可得
考点三：数的开方
8的立方根为_______.
【答案】2.
【解析】根据立方根的定义可得8的立方根为2.
【点评】本题考查立方根的定义.
变式跟进3计算的结果为（ ）
A．6 B．-6 C．18 D．-18
【答案】A.
【解析】=6
故选A.
【点评】本题考查算术平方根，要注意表示的含义是求36的算术平方根.
考点四：实数的分类与大小比较
下列各数中为无理数的是（ ）
A．﹣1 B．3.14 C．π D．0
【答案】C.
【解析】π是无限不循环小数是无理数．故答案选C.
【点评】无理数是无限不循环小数无理数.
变式跟进4估计+1的值应在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】B．
【解析】∵3＜＜4，
∴4＜+1＜5．
故选B．
【点评】本题主要考查无理数的估算.
考点五：实数的运算
计算：|﹣4|﹣（）﹣2= ．
【答案】﹣2．
【解析】原式＝
【点评】根据立方根的性质、绝对值的性质、负整数指数幂的性质进行化简合并即可.
变式跟进5计算：；
【答案】-1.
【解析】原式=3+1-（-2）2-2×=4-4-1=-1
【点评】根据零指数幂的意义、特殊角的锐角三角函数以及负整数指数幂的意义即可求出答案.
考点六：科学记数法
近年来，国家重视精准扶贫，收效显著．据统计约有65 000 000人脱贫，把65 000 000用科学记数法表示，正确的是（ ）
A. 0.65×108 B. 6.5×107 C. 6.5×108 D. 65×106
【答案】B
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
解：65 000 000=6.5×107．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
变式跟进6预计到2025年，中国5G用户将超过460 000 000，将460 000 000用科学计数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
解：460 000 000=4.6×108．
故选C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
一、选择题
1． (2017山东滨州)计算－(－1)＋|－1|，结果为（ ）
A．－2 B．2 C．0 D．－1
【答案】B.
【解析】原式=1+1=2，故选B.
【点评】本题主要考查绝对值、符号化简及有理数的运算．
2.（2017浙江宁波市）在，，0，这四个数中，为无理数的是( )
A. B. C. D.
【答案】A.
【解析】在，，0，这四个数中，是无理数
故选A.
【点评】根据无理数的定义即可进行判断..
3.（2018?呼和浩特）﹣3﹣（﹣2）的值是（ ）
A. ﹣1 B. 1 C. 5 D. ﹣5
【答案】A
【解析】利用有理数的减法的运算法则进行计算即可得出答案．
解：﹣3﹣（﹣2）
=﹣3+2
=﹣1，
故选A．
【点评】本题主要考查了有理数的减法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
4.（2018?邵阳）据《经济日报》2018年5月21日报道：目前，世界集成电路生产技术水平最高已达到7nm（1nm=10﹣9m），主流生产线的技术水平为14～28nm，中国大陆集成电路生产技术水平最高为28nm．将28nm用科学记数法可表示为（ ）
A. 28×10﹣9m B. 2.8×10﹣8m C. 28×109m D. 2.8×108m
【答案】B
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
解：28nm =28×10﹣9m = 2.8×10﹣8m ，
所以28nm用科学记数法可表示为：2.8×10﹣8m，
故选B．
【点评】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（2018?十堰）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（ ）
123256722310???
A. 210 B. 41 C. 52 D. 51
【答案】B
【解析】由图形可知，第n行最后一个数为1+2+3+?n=nn+12，据此可得答案．
解：由图形可知，第n行最后一个数为1+2+3+?n=nn+12，
∴第8行最后一个数为8×92=36=6，
则第9行从左至右第5个数是36+5=41，
故选B．
【点评】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为nn+12．
6．（2019?新疆）-2的绝对值是（ ）
A．2 B．-2 C．±2 D．
【答案】A
【解析】根据绝对值的性质进行解答即可
解：﹣2的绝对值是：2．
故选：A．
【点评】此题考查绝对值，难度不大
7．（2019?甘肃八市）华为手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为( )．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由科学记数法知；
解：；
故选：D．
【点评】本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法中与的意义是解题的关键．
8．（2019?资阳）设，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【解析】根据无理数的估计解答即可．
解：∵，
∴，
故选：B．
【点评】此题考查估算无理数的大小，关键是根据无理数的估计解答．
二、填空题
9.（2017甘肃平凉市）估计与0.5的大小关系是： 0.5．（填“＞”、“=”、“＜”）
【答案】＞
【解析】∵-0.5==， ∵＞0， ∴＞0． 【点评】本题主要考查实数的大小比较．
10．（2017江苏无锡市）如图是我市某连续7天的最高气温与最低气温的变化图，根据图中信息可知，这7天中最大的日温差是 ℃．
【答案】11.
【解析】通过计算可知，温差是大的一天是周日：16-5＝11（℃）
【点评】分别计算出这七天的温差即可得出答案.
11．（2018·盘锦）计算：27﹣12=__．
【答案】3
【解析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
解：原式=33-23
=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题得关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
12．（2018·咸宁）按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：12，16，112，120，…，则这个数列前2018个数的和为_____．
【答案】20182019
【解析】根据数列得出第n个数为1nn+1，据此可得前2018个数的和为11×2+12×3+13×4+14×5+?+12018×2019，再用裂项求和计算可得．
解：由数列知第n个数为1nn+1，
则前2018个数的和为12+16+112+120+?+12018×2019
=11×2+12×3+13×4+14×5+?+12018×2019
=1?12+12?13+13?14+14?15+?+12018?12019
=1﹣12019
=20182019，
故答案为：20182019．
【点评】本题考查了规律题、有理数的加减混合运算等，熟练掌握有理数混合运算的法则以及得出第n个数为1nn+1是解题的关键.
13．（2019?福建）如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是－4和2, 点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是_______.
【答案】－1
【解析】根据A、B两点所表示的数分别为?4和2，利用中点公式求出线段AB的中点所表示的数即可．
解：∵数轴上A，B两点所表示的数分别是?4和2，
∴线段AB的中点所表示的数＝（?4＋2）＝?1．
即点C所表示的数是?1．
故答案为：?1
【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．
14．（2019?遂宁）阅读材料：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：；
；
；
根据以上信息，完成下面计算：
_______．
【答案】
【解析】根据题目材料，可得复数计算方法，先去括号，再进行加减运算.
解：
．
故答案为：．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是读懂题意，掌握有理数的混合运算.
15．（2019?台州）若一个数的平方等于5，则这个数等于_____．
【答案】
【解析】根据平方根的定义即可求解.
解：若一个数的平方等于5，则这个数等于：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查平方根的定义，解题的关键是熟知平方根的性质.
三、解答题
16.（2017江苏徐州市）计算：；
【答案】3．
【解析】＝
【点评】根据负整数指数幂、零指数幂进行解答.
17.（2017河北省）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB=2，BC=1，如图所示．设点A，B，C所对应数的和是p．
（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？
（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，求p．
【答案】（1）-2，1，-1，-4；（2）-88．
【解析】（1）以B为原点，点A，C分别对应-2，1，p=-2+0+1=-1．以点C为原点，p=（-1-2）+（-1）+0=-4．
（2）p=（-28-1-2）+（-28-1）+（-28）=-88．
【点评】（1）先确定原点，再根据两点间的距离确定点A，C所对应的数，从而计算出p；
（2）原点在点C的右边，说明点C表对应的数是-28，由此确定点A，B对应的数．
18.（2018?大连）（观察）1×49=49，2×48=96，3×47=141，…，23×27=621，24×26=624，25×25=625，26×24=624，27×23=621，…，47×3=141，28×2=96，49×1=49．
（发现）根据你的阅读回答问题：
（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为 ；
（2）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是 ．
（类比）观察下列两数的积：1×59，2×58，3×57，4×56，…，m×n，…，56×4，57×3，58×2，59×1．
猜想mn的最大值为 ，并用你学过的知识加以证明．
【答案】（发现）（1）625；（2）a+b=50；（类比）为900，证明见解析.
【解析】（发现）（1）观察题目给出的等式即可发现两数相乘，积的最大值为625；
（2）观察题目给出的等式即可发现a与b的数量关系是a＋b＝50；
（类比）由于m＋n＝60，将n＝60?m代入mn，得mn＝?m2＋60m＝?（m?30）2＋900，利用二次函数的性质即可得出m＝30时，mn的最大值为900．
解：（发现）（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为625．
故答案为：625；
（2）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是a+b=50．
故答案为：a+b=50；
（类比）由题意，可得m+n=60，将n=60﹣m代入mn，
得mn=﹣m2+60m=﹣（m﹣30）2+900，
∴m=30时，mn的最大值为900．
故答案为：900．
【点评】本题考查了因式分解的应用，配方法，二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．
19．（2019?浙江台州）计算：.
【答案】
【解析】根据实数的性质进行化简，即可求解.
解：原式.
【点评】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知实数的性质.
20．（2019?重庆A）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数—“纯数”．定义；对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“数”，例如：32是”纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24＋25时，个位产生了进位．
（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；
（2）求出不大于100的“纯数”的个数．
【答案】（1）2019不是“纯数”，2020时“纯数”，见解析；（2）13个.
【解析】（1）根据题目中的新定义可以解答本题，注意各数位都不产生进位的自然数才是“纯数”；（2）根据题意可以推出不大于100的“纯数”的个数，本题得以解决.
解：（1）当时，，
∵计算时，个位为，需要进位，
∴2019不是“纯数”；
当时，，
∴个位为，不需要进位：十位为，不需要进位：百位为，不需要进位：千位为，不需要进位：
∴2020是“纯数”；
综上所述，2019不是“纯数”，2020时“纯数”.
（2）由题意，连续的三个自然数个位不同，其他位都相同；
并且，连续的三个自然数个位为0、1、2时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、2、3时，不会产生进位；
①当这个数为一位的自然数的时候，只能是0、1、2，共3个；
②当这个数为二位的自然数的时候，十位只能为1、2、3，个位只能为0、1、2，共9个；
③当这个数为100时，100是“纯数”；
∴不大于100的“纯数”有个.
【点评】本题考查整式的加减、有理数的加法、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新定义解答.
一、选择题
1．（2018丹东三模）下列算式中，运算结果为负数的是( )
A. |-1| B. (-2)3 C. (-1)×(-2) D. (-3)2
【答案】B
【解析】本题涉及乘法、绝对值、乘方等知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算．
解：A.|?1|＝1，错误；
B.(-2)3＝?8，正确；
C.（?1）×（?2）＝2，错误；
D.(-3)2＝9，错误；
故选：B．
【点评】此题考查了乘法、绝对值、乘方等知识点．注意(-2)3和(-3)2的区别是关键．
2．（2018白仓镇二模）如图，在数轴上表示互为相反数的两数的点是（?? ）
A. 点A和点C B. 点B和点A C. 点C和点B D. 点D和点B
【答案】A
【解析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
解：由题意，得：点A表示的数为：2，
点B表示的数为：1，
点C表示的数为：-2，
点D表示的数为：-3，
则A与C互为相反数，
故选：A．
【点评】本题考查了数轴和相反数的定义，知道数轴上某点表示的数，并熟练掌握相反数的定义即可．
3．（2018哈尔滨三模）哈市某天的最高气温为11°C，最低气温为-6°C，则最高气温与最低气温的差为( )
A. 5℃ B. 17℃ C. -17℃ D. -5℃
【答案】B
【解析】根据有理数的减法，用最高气温减去最低气温即可求得答案.
解：哈市某天的最高气温为11°C，最低气温为-6°C，
则温差为：11-（-6）=11+6=17（℃），
故选B．
【点评】本题考查了有理数的减法在生活中的应用，根据题意列出减法算式，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数的减法法则是解题的关键．
4．（2018海南模拟三）-2018的绝对值是 ( )
A. 12018 B. ?12018 C. ? 2018 D. 2018
【答案】D
【解析】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值.负数的绝对值等于它的相反数.
解：-2018的绝对值是2018.
故选：D
【点评】本题考核知识点：绝对值.解题关键点：理解绝对值的意义.
5．（2019?梧州模拟）四个数，0，1，9﹣1中最大的是（ ）
A． B．0 C．1 D．9﹣1
【答案】A
【解析】先确定9﹣1的大致范围，然后依据法则进行比较即可．
解：∵9﹣1＝，
∴根据实数比较大小的方法，可得
0＜9﹣1＜1＜，
∴各数中，最大的数是．
故选：A．
【点评】本题考查实数大小的比较，解题的关键是熟练掌握实数大小的比较方法.
6．（2019?深圳三模）据统计，2019年第一季度，深圳新出台的小微企业普惠性减税政策合计减税13.53亿元．“13.53亿”用科学记数法表示为（ ）
A．13.53×102 B．1.353×109 C．0.1353×102 D．1.353×102
【答案】B
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于13.53亿有10位，所以可以确定n=10-1=9．
解：“13.53亿”用科学记数法表示为1.353×109；
故选：B．
【点评】本题考查科学记数法，解题的关键是熟练掌握科学记数法.
7．（2019?衡水模拟）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如：取自然数5，经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（ ??）
A．6个 B．5个
C．4个 D．3个
【答案】C
【解析】首先根据题意，应用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分类讨论，判断出所有符合条件的m的值为多少即可．
解：定义新运算
故答案为：C
【点评】本题考查逆推法，熟练掌握计算法则是解题关键.
8．（2019?大庆模拟）对于实数a，b下列判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】根据二次根式的性质、绝对值以及平方运算，即可解答.
解：A也可能是a=-b，故A错误；B，只能说明|a|＞b，故B错误；
C，a，b也可能互为相反数；D，都表示算术平方根，故D正确；
【点评】本题根据二次根式的性质、绝对值以及平方运算，解题的关键是对概念、定义的灵活应用以及具有严密的思维.
二、填空题
9．（2018邵阳押题）一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越________。
【答案】近
【解析】绝对值是指这个点到原点之间的距离．
解：一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越近．
【点评】本题主要考查的是绝对值的性质，属于基础题型．理解绝对值的几何定义是解决这个问题的关键．
10．（2018南京二模）﹣2的绝对值是______，﹣2的相反数是_________．
【答案】2，2
【解析】正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，零的绝对值为零；当两数的和为零时则两数互为相反数．
解：?2=2， ∵－2+2=0， ∴－2的相反数为2．
【点评】本题主要考查的是绝对值的定义以及相反数的定义，属于基础题型．理解定义是解决这个问题的关键．
11．（2018贵港二模）若a=1，b是3的相反数，则a+b的值为________．
【答案】-2
【解析】根据相反数的定义求出b，由a=1可得：a=1.然后进行计算即可求解.
解：由题意知：b=-3，且a=1.
∴a=1.
则a+b=1+?3=?2.
【点评】本题考查了相反数的定义、等式的性质.
12．（2019?连云港二模）-5的相反数是______．
【答案】5
【解析】根据相反数的定义直接求得结果．
解：-5的相反数是5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
13．（2019?宝鸡模拟）已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则﹣a_____b．（填“＜”“＞”或“＝”）
【答案】＜．
【解析】根据在数轴上右边的数据大于左边的数据即可得出答案．
解：如图所示：|a|＞|b|．
∴﹣a在b的左边，
∴﹣a＜b．
故答案为：＜．
【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确掌握数轴上数据大小关系是解题关键．
14．（2019?深圳模拟）对于m，n（n≥m）我们定义运算Anm＝n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n﹣（m﹣1）），A73＝7×6×5＝210，请你计算A42＝_____．
【答案】12
【解析】根据题中的定义，进行计算即可得到答案.
解：A42＝4×（4﹣1）＝12，故答案为：12．
【点评】本题考查有理数的乘法，解题的关键是读懂题意，掌握有理数的乘法.
三、解答题
15．（2018盐城二模）计算：9??2+(13)?1+3?27
【答案】1
【解析】根据算术平方根的意义，绝对值的意义，负整数指数幂意义，立方根的意义计算即可.
解：原式=3?2+3?3=1.
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握算术平方根的意义，绝对值的意义，负整数指数幂意义，立方根的意义是解答本题的关键.
16．（2018唐山一模）已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足（c﹣5）2+|a+b|=0，试回答下列问题：
（1）求a，b，c的值
（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点C以每秒5个单位长度的速度向右运动，试求几秒后点A与点C距离为12个单位长度？
【答案】(1) a=﹣1，b=1，c=5；(2) 1秒后点A与点C距离为12个单位长度．
【解析】（1）根据非负数的性质列出算式，求出a、b、c的值；
（2）根据题意列出方程，解方程即可．
解：（1）由题意得，b=1，c-5=0，a+b=0，
则a=-1，b=1，c=5；
（2）设x秒后点A与点C距离为12个单位长度，
则x+5x=12-6，
解得，x=1，
答：1秒后点A与点C距离为12个单位长度．
【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．
17．（2018重庆联考）已知1?3a和︱2b－3︱互为相反数，求(ab)2+2的平方根.
【答案】±32
【解析】根据非负数的性质，由二次根式有意义的条件求得a的值，再根据绝对值的意义求出b的值，然后代入求解即可.
解：由题得1?3a+︱2b－3︱=0，
∴1?3a=0，且︱2b－3︱=0
∴1-3a=0, ∴a=1/3,
2b-3=0 b=3/2,
∴(ab)2+2=( 13×32 )2+2=14+2=94
∴(ab)2+2的平方根是±32
【点评】此题主要考查了非负数的意义，关键是明确几个非负数的和为0的条件是让各部分分别为0，然后求解即可.
18．（2019?上海二模）计算：（﹣1）2019﹣|1﹣|+．
【答案】1．
【解析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．
解：原式＝
＝1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
19．（2019?北京模拟）有这样一个题目：
按照给定的计算程序，确定使代数式n（n+2）大于2000的n的最小正整数值．想一想，怎样迅速找到这个n值，请与同学们交流你的体会．
小亮尝试计算了几组n和n（n+2）的对应值如下表：
n
50
40
n（n+2）
2600
1680
（1）请你继续小亮的尝试，再算几组填在上表中（几组随意，自己画格），并写出满足题目要求的n的值；
（2）结合上述过程，对于“怎样迅速找到n值”这个问题，说说你的想法．
【答案】（1）44；（2）答案见解析
【解析】（1）表格见图,（2）利用二分法即可解题.
解：（1）见下表：
n
50
40
45
44
43
nn+2
2600
1680
2115
2024
1935
∴n=44,
（2）可以利用二分法,先确定两侧的值,再找中点值判断与结果的大小,连续求值,直到找到n的值.
【点评】本题考查了程序框图和二分法的应用,属于简单题,熟悉概念是解题关键.
20．（2019?青岛模拟）阅读材料：求31+32+33+34+35+36的值
解：设S=31+32+33+34+35+36①
则3S=32+33+34+35+36+37②
用②﹣①得，3S﹣S=（32+33+34+35+36+37）﹣（31+32+33+34+35+36）=37﹣3
∴2S=37﹣3，即S=37?32，∴31+32+33+34+35+36=37?32
以上方法我们成为“错位相减法”，请利用上述材料，解决下列问题：
（一）棋盘摆米
这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏？阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了，结果国王输了
（1）国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放 粒米（用幂表示）
（2）设国王输给阿基米德的米粒数为S，求S
（二）拓广应用：
1．计算：14+142+143+...+14n（仿照材料写出求解过程）
2．计算：4?14+42?142+43?143+...+4n?14n= （直接写出结果）
【答案】答案见解析.
【解析】（一）（1）根据棋盘摆米特点写出即可；
（2）根据题意表示出S，利用阅读材料中的计算方法计算即可；
（二）1、原式利用阅读材料中的计算方法计算即可求出值；
2、结合1计算即可求出值.
解：（一）（1）国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放263粒米；
故答案为：263；
（2）根据题意得：S=1+21+22+…+264，
则有2S=21+22+…+265，②
②﹣①得：S=265﹣1；
（二）1、设S=14+142+143+...+14n，①
则有4S=1+14+142+143+...+14n?1，②
②﹣①得：3S=1﹣14n，
则S=13﹣13×4n；
2、根据题意得：原式=1+1+…+1﹣（14+142+143+...+14n）=n﹣13﹣13×4n，
故答案为：n﹣13﹣13×4n.
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
