北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似4.3相似多边形教案

相似多边形
●教学目标
（一）教学知识点
经历探究图形的形状、大小，图形的边、角之间的关系，掌握相似多边形的定义以及相似比，并能根据定义判断两个多边形是否是相似多边形.
（二）能力训练要求
经历探索图形的边、角关系，培养学生的观察能力，分析判断能力.
（三）情感与价值观要求
通过观察、推断可以获得教学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性.
●教学重点
探索相似多边形的定义，以及用定义去判断两个多边形是否相似.
●教学难点
探索相似多边形的定义的过程.
●教学方法
指导探索法.
●教具准备
投影片两张
第一张（记作A）
第二张（记作B）
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
［师］大家从语文的角度来分析一下“相似”一词的意思.
［生］“相似”就是差不多，但也不是完全相同，既有相同部分也有不同部分.
［师］很好，那“相似多边形”应怎么理解呢？
［生］“相似多边形”即为两个边数相同的多边形，并且形状一样、大小可能不同.
［师］大家的分析能力非常棒，究竟“两个相似多边形”需满足什么条件呢？本节课我们将进行探索.
Ⅱ.新课讲解
1.探究相似多边形的定义
投影片（A）
下图中的两个多边形分别是幻灯片上的多边形ABCDEF和银幕上的多边形A1B1C1D1E1F1，它们的形状相同吗？

图4－14
（1）在上图的两个多边形中，是否有相等的内角？设法验证你的猜测.
（2）在上图的两个多边形中，相等内角的两边是否成比例？
［师］请大家动手验证一下.
［生］在上图中，六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1是形状相同的图形，其中 ∠A与∠A1，∠B与∠B1，∠C与∠C1，∠D与∠D1，∠E与∠E1，∠F与∠F1分别对应相等，AB与A1B1，BC与B1C1，CD与C1D1，DE与D1E1，EF与E1F1，FA与F1A1的比都相等.
［师］从上可知，幻灯片上的六边形与银幕上的六边形形状相同，只是大小不同，它们的对应角相等、对应边成比例.那么，形状相同的多边形是都有这种关系呢，还是只有六边形才有呢？下面我们继续进行探讨.
［例题］
下列每组图形形状相同，它们的对应角有怎样的关系呢？对应边呢？
（1）正三角形ABC与正三角形DEF；
（2）正方形ABCD与正方形EFGH.
［师］请大家互相交流.
［生］解：（1）由于正三角形每个角都等于60°，所以
∠A=∠D=60°，∠B=∠E=60°,∠C=∠F=60°
由于正三角形三边相等，所以
.
（2）由于正方形的每个角都是直角，所以
∠A=∠E=90°，∠B=∠F=90°，
∠C=∠G=90°，∠D=∠H=90°.
由于正方形四边相等，所以

［师］从上面的讨论结果来看，大家能否猜测出相似多边形的定义呢？
［生］可以.
对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形（similar polygons）.
相似多边形对应边的比叫做相似比（similarity ratio）.
［师］相似应该怎样表示呢？请认真看书.
［生］六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似.记作六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1，其中AB∶A1B1等于相似比.
［师］在记两个多边形相似时，要注意什么？
［生］要注意把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.
2.想一想（1）
如果两个多边形相似，那么它们的对应角有什么关系？对应边呢？
若两个多边形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例.
3.议一议
投影片（§4.4 B）
1.观察下面两组图形，（1）中的两个图形相似吗？为什么？（2）中的两个图形呢？与同伴交流.

图4－15
2.如果两个多边形不相似，那么它们的各角可能对应相等吗？它们的各边可能对应成比例吗？
［生］1.（1）中的两个图形不相似.
因为相似形需要满足两个条件，一个是对应角相等，一个是对应边成比例，虽然（1）中的两个图形对应边成比例，但对应角不相等,所以两个图形不相似.
（2）中的两个图形也不相似.
因为它们的对应边不成比例，所以两个图形不相似.
2.如果两个多边形不相似，那么它们的对应角也可能都相等，如（2）中的两个图形；
如果两个多边形不相似，那么它们的对应边也可能成比例，如（1）中的两个图形对应边成比例，但对应角不相等.
4.做一做
一块长3 m，宽1.5 m的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5 cm.边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？请大家交流后回答.

图4－16
［生］答：不相似.
内边缘的矩形长为300 cm，宽为150 cm，外边缘的矩形长为315 cm，宽为165 cm，因为≠，所以内外边缘所成的矩形不相似.
5.想一想（2）
所有的边数相同的正多边形都相似吗？
［师］正多边形是指各边都相等，各角都相等的多边形，请大家根据定义进行判断.
［生］相似，因为各角都相等，各边都相等，所以在两个图形中满足对应角相等、对应边成比例，因此这两个正多边形肯定相似.比如：两个正三角形相似.
Ⅲ.课堂练习
判断下列每组中的两个图形是相似多边形吗？并说明理由.
（1）两个大小不等的矩形；
（2）两个大小不等的正五边形；
（3）一个正方形与一个平行四边形；
（4）两个大小不等的菱形.
解：（1）两个大小不等的矩形不一定相似，虽然它们的对应角相等，都是直角，但它们的对应边不一定成比例.
（2）两个大小不等的正五边形是相似多边形，因为它们的对应角相等，对应边成比例.
（3）一个正方形与一个平行四边形不相似，因为平行四边形的四个角不相等，四条边也不相等，所以对应角不相等，对应边也不成比例
（4）两个大小不等的菱形不一定相似.因为菱形的边长相等，两个菱形满足对应边成比例，但对应角不一定相等，所以不一定相似.
Ⅳ.课时小结
本节课通过探究相似多边形满足的条件，从而推导出相似多边形的定义，并能根据定义判断某些图形是否为相似多边形.
Ⅴ.课后作业
1.解：对应边的比为2∶3.
2.解：两个正六边形的边长分别为a和b，这两个正六边形相似.因为正六边形的每个角都等于120°，所以满足对应角相等，对应边成比例，所以它们相似.
3.解:小路内外边缘所成的矩形不相似，虽然它们的对应角相等，但对应边，即对应边不成比例，所以不相似.
Ⅵ.活动与探究
纸张的大小

图4－17
如图，将一张长、宽之比为的矩形纸ABCD依次不断对折，可以得到矩形纸BCFE，AEML，GMFH，LGPN.
（1）矩形ABCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN长与宽的比改变了吗？
（2）在这些矩形中，有成比例的线段吗？
（3）你认为这些大小不同的矩形相似吗？
解：（1）矩形ABCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN长与宽的比不改变.
设纸的宽为a，长为a，则
BC=a，BE=a
AE=a，ME=
MF=，HF=a
LG=a，LN=
∴=a∶a=
= a∶=
∶
a∶=
所以五个矩形的长与宽的比不改变.
（2）在这些矩形中有成比例的线段.
（3）这些大小不同的矩形都相似.
●板书设计
相似多边形
一、1.探究相似多边形的定义.
例题
2.想一想（1）
3.议一议（根据定义判断两个多边形是否相似）
4.做一做
5.想一想（2）
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业

●备课资料
经典名题
苏轼巧分田产
相传，北宋大文学家苏轼在凤翔作官时，为官清正，秉公执法，深得百姓拥戴.一天，有兄弟四人前来告状.苏轼坐在公案前，展开状纸一看：“小民杨大毛，家住城南寨.先父临终时，留下两顷田.只因分不均，兄弟反目.青天大老爷，请把理来断.”

图4－18
苏轼接过地契，心中暗暗盘算，杨家田地为工字形，如何分配，才让四兄弟满意呢？沉思片刻，计上心来,遂唤一名差役耳语道：“只需如此如此……”差役遵嘱叫上四兄弟当场丈量，不一会儿，只见四兄弟满面带笑地跑过来，叩头不迭道：“多谢恩公明断！”
你知道苏轼是怎样使分开后的四块田地形状相同，面积相等的吗？
分法如下：