人教版八年级上数学教学讲义，复习补习资料（巩固练习）：24【提高】等腰三角形性质及判定含答案

等腰三角形性质及判定（提高）

【学习目标】
1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．
2. 掌握等腰三角形的判定定理．
3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．
【巩固练习】
一.选择题
1．如图，在△ABC中，若AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A等于( )．
A．30° B．36° C．45° D．54°
/
2. 等腰三角形两边/、/满足｜/｜＋/＝0，则此三角形的周长是（ ）
A．7 B．5 C．8 D．7或5
3.（2019春?宜阳县期末）如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，EF∥BC，EF经过点O，若AB=10，AC=15，则△AEF的周长是（　　）
/
　 A．10 B． 15 C． 20 D． 25
4. （2019秋?西城区期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，与AC交于点D，DE⊥AB于点E，若BC=5，△BCD的面积为5，则ED的长为（　　）．
　 /
A．/ B．1 C．2 D．5
5．如图所示，在长方形ABCD的对称轴/上找点P，使得△PAB、△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有（ ）
A．1个 　 B．3个 C．5个 D．无数多个
/
6. 如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝/，点E是折线段A-D-C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点、在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（　　）
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
/
二.填空题
7．已知一个等腰三角形的顶角为/度,则其一腰上的高线与底边的夹角___________度（用含/的式子表示）.
8. 已知等腰三角形的两边长分别为2和3，则其周长为________.
9.（2019春?淄博期中）等腰三角形的周长为14，其中一边长为4，则另外两边长为　 　．
10. 如图，在ΔABC中，高AD、BE交于H点，若BH＝AC，则∠ABC＝______°．
/
11．如图，钝角三角形纸片ABC中，∠BAC＝110°，D为AC边的中点．现将纸片沿过点D的直线折叠，折痕与BC交于点E，点C的落点记为F．若点F恰好在BA的延长线上，则∠ADF ＝_________°．
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12.（2019?黄岛区校级模拟）如图，已知AB=A1B，在AA1的延长线上依次取A2、A3、A4、…、An，并依次在三角形的外部作等腰三角形，使A1C1=A1A2，A2C2=A2A3，A3C3=A3A4，…，An﹣1Cn﹣1=An﹣1An，若∠B=30°，则∠An=　　 °．
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三.解答题
13.（2019秋?海陵区期末）如图，点A的坐标为 （5，0），试在第一象限内网格的格点（网格线的交点）上找一点B，使其与点O、A构成等腰三角形，请写出图中所有满足条件的点B的坐标．
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14．已知，如图，△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF,试判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论.
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15.在/中，/，点/是直线/上一点（不与/重合），以AD 为一边在AD 的右侧作/，使/，连接/．
（1）如图1，当点/在线段/上，如果/，则/_________；
（2）设/，/．
①如图2，当点/在线段/上移动，则/之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点/在直线/上移动，则/之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
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【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】C；
【解析】设∠A＝/，则由题意∠ADE＝180°－2/，∠EDB＝/，∠BDC＝∠BCD＝90°－/，因为∠ADE＋∠EDB＋∠BDC＝180°，所以/＝45°.
2. 【答案】A；
【解析】/－/＋2=0且2/＋3/－11=0，解得/＝1，/＝3，选A；B选项不满足两边之和大于第三边，构不成三角形.
3. 【答案】D；
【解析】解：∵BO平分∠CBA，
∴∠EBO=∠OBC，
∵CO平分∠ACB，
∴∠FCO=∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴BE=OE，CF=OF，
∴△AEF的周长AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC，
∵AB=10，AC=15，
∴C△AEF=25．
故选D．
4. 【答案】C；
【解析】作DF⊥BC交BC的延长线于F，BC=5，△BCD的面积为5，得出DF=2，
又BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，得DE=DF=2。故选C
5. 【答案】C；
【解析】如图所示：A、B中垂线与/的交点为P点；
/
分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，与/交于4个P点；
//
6. 【答案】C；
【解析】P点在以B为圆心，AB为半径的圆上，作BC的中垂线（绿色），与/B交于两点为/，/点，以C为圆心，BC为半径画圆，与/B交于两点为/，/点.有4个P点，则能找到4个E点.
/
二.填空题
7. 【答案】/；
【解析】无论等腰三角形的顶角是锐角还是钝角，一腰上的高线与底边的夹角都是/.
8. 【答案】7或8；
【解析】2或3都可能是腰，要分情况讨论.
9. 【答案】5，5或6，4；
【解析】①当4为底边时，另外两边为5，5，因为4+5＞5，所以能构成三角形；
②当4是腰长时，另外两边为6，4，因为4+4＞6，所以能构成三角形；
故答案为：5，5或6，4．
10.【答案】45；
【解析】△ADC≌△BDH，AD＝BD，所以∠ABC＝45°.
11.【答案】40；
【解析】AD＝FD，∠FAD＝∠AFD＝70°，所以∠ADF＝40°.
12.【答案】/；
【解析】解：∵在△ABA1中，∠B=30°，AB=A1B，
∴∠BA1A=/=/=75°，
∵A1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠CA2A1=/=/=37.5°；
∴∠C1A3A2=18，75°，∠C2A4A3=9.375°，…，
∴∠An=/，
故答案为：/．
三.解答题
13.【解析】解：如图，OA是腰长时，以O点为圆心，以OA的长为半径作圆，交第一象限内网格的格点有2个点（红色的点）分别为：（3，4）、（4，3）、可以作为点B，
以A点为圆心，以OA的长为半径作圆，交第一象限内网格的格点有4个点（蓝色的点）分别为：（5，5）、（2，4）、（1，3）、（8，4）可以作为点B，
OA是底边时，OA垂直平分线上的点均不在格点上，所以，此时不存在满足条件的点B．
所以，满足条件的B的个数是2+4=6，分别为：（5，5）、（3，4）、（4，3）、（2，4）、（1，3）、（8，4）．
/
14.【解析】BE＋CF＞EF
证明：延长FD到G，使DG＝DF,连结BG、EG
∵D是BC中点
∴BD＝CD
又∵DE⊥DF
∴EG＝EF
在△FDC与△GDB中
/
∴△FDC≌△GDB(SAS)
∴BG＝CF
∵BG＋BE＞EG
∴BE＋CF＞EF.
15．【解析】（1）90°；
（2）①α＋β＝180°.证明：①∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC． 即∠BAD＝∠CAE． 在△ABD与△ACE中， /
∴△ABD≌△ACE， ∴∠B＝∠ACE． ∴∠B＋∠ACB＝∠ACE＋∠ACB． ∴∠B＋∠ACB＝β， ∵α＋∠B＋∠ACB＝180°， ∴α＋β＝180°； ②如图：当点D在射线BC上时，α＋β＝180°； 当点D在射线BC的反向延长线上时，α＝β．