北师大版数学八年级上册同步学案
第七章 平行线的证明
2 定义与命题
要 点 讲 解
要点一 定义与命题的概念
1. 对一些名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义.
如:“两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义.
经典例题1 下列语句属于定义的是( )
A. 两点确定一条直线
B. 两直线平行,同位角相等
C. 等角的补角相等
D. 线段是直线上的两点和两点间的部分
答案:D
2. 判断一件事情的句子,叫做命题.
3. 命题的定义包含两层含义:①命题必须是一个完整的句子,常为陈述句;②命题必须对某件事情作出肯定或否定的判断.
经典例题2 下列语句中不是命题的是( )
A. 相等的角不是对顶角 B. 两直线平行,内错角相等
C. 两点之间线段最短 D. 过点O作线段MN的垂线
解析:根据命题的定义可知,只有对一件事情作出判断,才能叫命题,A,B,C项都对某件事情作出了判断,只有D没有对事情作出任何判断.
答案:D
要点二 命题的结构
1. 每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项,结论是由已知事项推断出的事项.
2. 一般地,命题都可以写成“如果……那么……”的形式,其中,“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.
3. 指出一个命题的条件和结论时,可以在原语句上适当添加一些词语,以使语言通顺.有些命题的条件和结论不够明显,这时要认真分析,先把命题改写成“如果……那么……”的形式,再找条件和结论.在改写时,应适当地补充一些修饰成分,但内容要保持不变.
经典例题3 下列各命题的条件是什么?结论是什么?
(1)如果两个角相等,那么它们是对顶角;(2)若a>b,b>c,则a>c.
解析:两命题中条件和结论比较明显,很容易作出判断.
解:(1)条件:两个角相等,结论:它们是对顶角;(2)条件:a>b,b>c,结论:a>c.
要点三 真命题、假命题与反例
1. 正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题.
2. 要说明一个命题是假命题,常常可以举出一个例子,使它具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为反例.
经典例题4 判断下列命题是真命题还是假命题,若是假命题,请举一反例加以说明.
(1)两个角的和是180°,则这两个角是邻补角;
(2)同位角相等;
(3)如果a2=b2,那么a=b.
解析:(1)邻补角必须有公共边,两个没有公共边的角的和也可能为180°;(2)若两条直线不平行,则同位角就不相等;(3)a2=b2,a与b可能相等,也可能互为相反数.
解:(1)假命题.如图1所示,l1∥l2,则∠1+∠2=180°,但∠1与∠2不是邻补角.
图1 图2
(2)假命题.如图2所示,l1与l2不平行,∠1和∠2是同位角,但∠1≠∠2.
(3)假命题.例如(-3)2=32,但-3≠3,所以是假命题.
要点四 公理、证明与定理
1. 公认的真命题称为公理.
2. 演绎推理的过程称为证明.
3. 经过证明的真命题称为定理
4. 对于公理,它是不需要推理论证的真命题,它可以作为判定其他命题真假的依据;对于定理,它是经过证明的真命题,但并不是所有的真命题都是定理,定理可以作为判定其他命题真假的依据.
经典例题5 下列说法中不正确的是( )
A. 证实命题正确与否的推理过程叫做证明
B. 命题是判断一件事情的句子
C. 公理的正确与否必须用推理的方法来证实
D. 要证明一个命题是假命题,只要举出一个反例即可
解析:公认的真命题称为公理,其正确性不需要推理证实.
答案:C
易错易混警示 混淆命题的条件与结论
有些命题不是以“如果……那么……”的形式出现,在确定其条件和结论时易出错.
经典例题6 将“两点之间线段最短”写成“如果……那么……”的形式.
解:如果平面上有两点,那么在连接两点的所有线中,线段最短.
点拨:本题易出现“如果两点之间,那么线段最短”的错误,将一个命题写成“如果……那么……”的形式时,语句的表述要完整、准确.
当 堂 检 测
1. 下列语句中,属于定义的是( )
A. 平行线的同位角相等
B. 两点之间线段最短
C. 两点确定一条直线
D. 直线外一点到直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离
2. 下列命题:①全等三角形的面积相等;②面积相等的两个三角形全等;③成轴对称的两个图形全等;④两个全等三角形是轴对称图形.其中,真命题有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 某工程队在修建高速公路时,有时需将弯曲的道路改直,根据什么公理可以说明这样做能缩短路程( )
A. 直线的公理 B. 直线的公理或线段最短公理
C. 线段最短公理 D. 平行公理
4. 下列命题中,属于假命题的是( )
A. 若a⊥b,b⊥c,则a⊥c B. 若a∥b,b∥c,则a∥c
C. 若a⊥c,b⊥c,则a∥b D. 若a⊥c,b∥a,则b⊥c
5. 命题“同位角相等,两直线平行”中,条件是 ,结论是 .
6. 如果∠α=∠β,∠β=∠γ,那么∠α ∠γ,其依据是 .
7. “若ax=b,则x=”是一个假命题,若要变成真命题且结论不变,则需要增加的条件是 .
8. 在学完定义与命题后,小林在笔记本上记下了几个定义:①如果一个方程含有两个未知数,并且所含未知数项的次数都为1次,那么这个整式方程就叫做二元一次方程;②不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接得到的图形是三角形;③正比例函数是特殊的一次函数.你认为其中正确的是 .(填写序号)
9. 将下列命题改写为“如果……那么……”的形式,并判断其是真命题还是假命题.
(1)互为补角的两个角相等;
(2)周长相等的两个长方形,它们的面积也相等.
8. 请判断下列命题的真假性,若是假命题,请举反例说明.
(1)若a>b,则a2>b2;
(2)两个无理数的和仍是无理数;
(3)若三条线段a,b,c满足a-b<c,则这三条线段a,b,c能够组成三角形.
当堂检测参考答案
1. D 2. B 3. C 4. A
5. 同位角相等 两直线平行
6. = 等量代换
7. a≠0
8. ①②③
9. 解:(1)如果两个角互为补角,那么这两个角相等.是假命题.
(2)如果两个长方形的周长相等,那么这两个长方形的面积相等.是假命题.
8. 解:(1)假命题,例如:0>-1,但02<(-1)2.
(2)假命题,例如:-+=0,和是有理数.
(3)假命题,例如:三条线段a=3,b=2,c=5满足a-b<c,但这三条线段不能够组成三角形.