7.5.1 三角形内角和定理学案(要点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学八年级上册同步学案
第七章　平行线的证明
5　三角形内角和定理
第1课时　三角形内角和定理
要 点 讲 解
要点　三角形内角和定理
1. 三角形三个内角的和等于180°.
(1)三角形的内角和等于180°是一个共性的结论，与三角形的具体形状或种类没有关系，所有三角形的三个内角之和均等于180°.
(2)由三角形内角和定理可知直角三角形两锐角互余.
2. 此定理的证明方法有多种，下面我们就利用平行线的性质，通过作平行线的方法来证明.
如图，已知△ABC，求证：∠BAC＋∠B＋∠C＝180°.
证明：如图所示，过点A作MN∥BC，则∠MAB＝∠B，∠NAC＝∠C(两直线平行，内错角相等).
∵∠MAB＋∠BAC＋∠NAC＝180°(平角的定义)，
∴∠BAC＋∠B＋∠C＝180°(等量代换).
解决问题的时候，如果条件不够明确，可添加辅助线，构成新图形，形成新关系把未知问题转化为已知问题，这是数学中常用的方法之一.
经典例题　在△ABC中，已知∠A－∠B＝30°，∠C＝4∠B，求∠A，∠B，∠C的度数.
解析：题目中给出了两个已知条件，且这两个已知条件都与∠B有关，如果把这两个条件都用∠B表示，根据三角形内角和定理可列出关于∠B的方程，解方程可求得∠B，进而得到其他两角的度数.
解：设∠B＝x，则∠A＝x＋30°，∠C＝4x.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴(x＋30°)＋x＋4x＝180°，解得x＝25°.∴∠A＝x＋30°＝55°，∠C＝4x＝100°.故三角形各角的度数分别为∠A＝55°，∠B＝25°，∠C＝100°.
当 堂 检 测
1. 如图是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝110°，∠B＝30°，这块三角形木板的另外一个角∠C的度数为(　　)
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°

第1题 第2题
2. 将一副三角板按图中的方式叠放，则∠1等于(　　)
A. 75° B. 60° C. 45° D. 30°
3. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠C等于(　　)
A. 40° B. 60° C. 80° D. 90°
4. 如图，有一块直角三角形DEF放置在△ABC上，恰好三角板DEF的两条直角边DE，DF分别经过点B，C，在△ABC中，∠A＝30°，则∠ABD＋∠ACD的度数是(　　)
A. 60° B. 45° C. 30° D. 25°

第4题 第5题
5. 如图，∠1＋∠2与∠B＋∠C的关系是 .
6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝25°，CD⊥AB于点D，则∠ACD＝ .
7. 已知等腰三角形两个内角的度数之比是4∶1，这个三角形三个内角的度数分别是 .
8. 如图，若∠C＝60°，∠BED＝70°，AD是△ABC边BC上的高，BE平分∠ABC交AD于点E.求∠ABC和∠BAC的度数.

9. 在△ABC中，已知AE⊥BC于点E，∠B＝50°，∠C＝60°，AD平分∠BAC，求∠DAE的度数.

当堂检测参考答案
1. B 2. A 3. C 4. A
5. 相等
6. 25°
7. 80°，80°，20°或30°，30°，120°
8. 解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝90°.又∵∠DBE＋∠ADB＋∠BED＝180°，∠BED＝70°，∴∠DBE＝180°－∠ADB－∠BED＝20°.∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠DBE＝40°.又∵∠BAC＋∠ABC＋∠C＝180°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝80°.
9. 解：∵∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝70°.∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAC＝35°.∵AE⊥BC，∴∠EAC＝180°－90°－60°＝30°.∴∠DAE＝∠CAD－∠EAC＝5°.