7.5.2 三角形的外角学案(要点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学八年级上册同步学案
第七章　平行线的证明
5　三角形内角和定理
第2课时　三角形的外角
要 点 讲 解
要点　三角形的外角
1. 三角形外角的概念：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角.
如图，∠ACD就是△ABC的一个外角.
2. 外角特征：(1)顶点是三角形的顶点；(2)一条边是三角形的一边；(3)另一条边是三角形某边的延长线.
3. 外角的实质：三角形一个内角的邻补角.
4. 三角形内角和定理的推论：
由公理或定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的推论.推论可以当做定理来使用.由三角形的内角和定理我们就可以得到如下的推论：
推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
推论：三角形的一个外角大于任何—个和它不相邻的内角.
经典例题1　点P是△ABC内的一点，连接BP，CP.
求证：∠BPC＞∠BAC.
解析：要求证明∠BPC＞∠BAC，通常有两种方法：一是找到第三个角，利用不等式的传递性得证；二是将∠BPC和∠BAC都分成两个角，利用同向不等式的和所得不等式仍然成立来证明.
证明：证法一：如图1所示，延长BP交AC于点D.
∵∠BPC是△DPC的外角，∴∠BPC＞∠CDP.
∵∠CDP是△ABD的外角，∴∠CDP＞∠BAC.
∴∠BPC＞∠BAC.
图1 图2
证法二：如图2所示，连接AP并延长AP.
∵∠1是△ABP的外角，∴∠1＞∠3.
∵∠2是△APC的外角，∴∠2＞∠4.
∴∠1＋∠2＞∠3＋∠4.
又∵∠1＋∠2＝∠BPC，∠3＋∠4＝∠BAC，
∴∠BPC＞∠BAC.
点拨：要证明角的不等关系，经常用到三角形的外角性质.在利用三角形的外角大于任何一个和它不相邻内角证明角不相等时，如果直接证明证不出来，可以连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角(或它的一部分)处于是某个三角形外角的位置上，小角处在该三角形内角的位置上，再结合不等式的性质解决.
易错易混警示　对三角形的形状考虑不全面
在解决有关三角形的问题时，由于题中没有给出图形，则需根据条件画出图形解决问题.而三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，在画图时，一定要考虑三角形的形状，易出现的错误是对三角形的形状考虑不全，尤其是钝角三角形极易被忽略，从而导致解题错误.
经典例题2　在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，求∠C的度数.
解：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示，
在△ABC中，∵BD是AC边上的高，∴∠ADB＝90°，∴∠A＝180°－∠ADB－∠ABD＝180°－90°－30°＝60°.
又∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴∠ABC＋∠C＝120°.
∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°.
图1 图2
当△ABC为钝角三角形时，如图2所示，
在Rt△ABD中，∵∠ABD＝30°，
∴∠BAC＝∠ABD＋∠D＝120°.又∵∠BAC＋∠ABC＋∠C＝180°，
∴∠ABC＋∠C＝60°.
∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝30°.
综上所述，∠C的度数60°或30°.
点拨：已知三角形的条件而没有相应的图形时，要注意分类讨论，防止漏解.
当 堂 检 测
1. 下列命题中，正确的是(　　)
A. 三角形的两个内角平分线一定垂直 B. 等边三角形的每个外角都是120°
C. 三角形的一个外角大于任何一个内角 D. 三角形的一个外角等于两个内角的和
2. 如图，下列式子中，不正确的是(　　)
A. ∠B＋∠ACB＝180°－∠A B. ∠HEC＞∠B
C. ∠B＋∠ACB＜180° D. ∠CED＞∠B

第2题 第3题
3. 如图，已知l1∥l2，∠A＝40°，∠1＝60°，则∠2的度数为(　　)
A. 40° B. 60° C. 80° D. 100°
4. 如图，顺次连接同一平面内A，B，C，D四点，已知∠A＝40°，∠C＝20°，∠ADC＝120°，若∠ABC的平分线BE经过点D，则∠ABE的度数是(　　)
A. 20° B. 30° C. 40° D. 60°

第4题 第5题
5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，点E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于(　　)
A. 15° B. 17.5° C. 20° D. 22.5°
6. 在△ABC中，已知∠A＝40°，∠B＝60°，则∠C的外角的度数是 .
7. 如图，在△ABC中，∠A＝40°，D点是∠ABC和∠ACB平分线的交点，则∠BDC＝ .
8. 如图，∠A＝65°，∠ABD＝∠DCE＝30°，求∠BEC的度数.

9. 如图，D是△ABC中∠ACB的外角的平分线与BA的延长线的交点.求证：∠BAC＞∠B.

当堂检测参考答案
1. B 2. D 3. D 4. B 5. A
6. 100°
7. 110°
8. 解：∵∠A＝65°，∠ABD＝30°，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝65°＋30°＝95°.∴∠BEC＝∠EDC＋∠DCE＝95°＋30°＝125°.
9. 证明：∵∠BAC是△ADC的外角，∴∠BAC＞∠ACD.又∵∠DCE是△DBC的外角，∴∠DCE＞∠B.而CD平分∠ACE，即∠ACD＝∠DCE.∴∠BAC＞∠DCE＞∠B，即∠BAC＞∠B.