2019-2020学年江苏省常州市溧阳市高三（上）期中数学 （文科）试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2019-2020学年江苏省常州市溧阳市高三（上）期中数学 （文科）试卷（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-13 16:25:11 | ||
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文档简介
2019-2020学年江苏省常州市溧阳市高三（上）期中数学试卷
（文科）
一.填空题
1．设集合，，则 ．
2．函数的值域是 ．
3．已知为单位向量，其夹角为，则 ．
4．“”是“函数为偶函数”的 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）
5．正六棱锥的侧棱长为，底面边长为6，这个正六棱锥的体积为 ．
6．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，，它们的终边分别与单位圆相交于，两点，已知，的横坐标分别为，，则 ．
7．在平面直角坐标系中，点在曲线为自然对数的底数）上，且该曲线在点处的切线经过原点，则点的坐标是 ．
8．当无限趋近于0时，无限趋近于常数，则的值是 ．
9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第五天走的路程为 里．
10．，均为锐角，且，则的最小值是 ．
11．设等差数列的前项和为，，，．其中且，则 ．
12．已知函数，其中是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是 ．
13．已知平面向量满足，，，的夹角为，且，则的最大值是 ．
14．已知函数，若关于的方程有个不同实数根，则的取值集合为 ．
二.解答题
15．如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．
（1）求证：；
（2）若平面与平面的交线为，求证：．
16．的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，的面积为2，求．
17．设等差数列的公差为，前项和为，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若等差数列的公差为正整数，，，其中是正整数，求数列的前项和．
18．已知等比数列的首项为，前项和为，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数，使得恒成立？如果存在，写出最小的，如果不存在请说明理由．
19．如图，是一张长、宽的长方形的纸片，现将纸片沿着一条直线折叠，折痕（线段）将纸片分成两部分，面积分别为、，．其中点在面积为的部分内，记折痕长为．
（1）若，求的最大值；
（2）若，求的取值范围．
20．已知函数，，其中为自然对数的底数，．
（1）求证：；
（2）若对于任意，恒成立，求的取值范围；
（3）若存在，使，求的取值范围．
2019-2020学年江苏省常州市溧阳市高三（上）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一.填空题
1．设集合，，则 ， ．
【解答】解：，，
，．
故答案为：，．
2．函数的值域是 ， ．
【解答】解：，且为增函数，
，
故答案为：，
3．已知为单位向量，其夹角为，则 ．
【解答】解：，
，
．
故答案为：．
4．“”是“函数为偶函数”的 充要 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）
【解答】解：条件：函数为偶函数，
可得，得，
，；
当时，，满足，是偶函数；
“”是函数为偶函数的充要条件；
故答案为：充分必要．
5．正六棱锥的侧棱长为，底面边长为6，这个正六棱锥的体积为 ．
【解答】解：正六棱锥的侧棱长为，底面边长为6，
底面积，
高，如图，
这个正六棱锥的体积为：
．
故答案为：．
6．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，，它们的终边分别与单位圆相交于，两点，已知，的横坐标分别为，，则 ．
【解答】解：、的横坐标分别为为，，且单位圆的半径为1，，，
又、为锐角，，，
所以，
故答案为：．
7．在平面直角坐标系中，点在曲线为自然对数的底数）上，且该曲线在点处的切线经过原点，则点的坐标是 ．
【解答】解：设，由，得，
，则该曲线在点处的切线方程为，
该曲线在点处的切线经过原点，，
解得．
点坐标为．
故答案为：．
8．当无限趋近于0时，无限趋近于常数，则的值是 16 ．
【解答】解：据题意．
故答案为：16．
9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第五天走的路程为 12 里．
【解答】解：依题意，每天走的路形成等比数列是以为公比的等比数列，设首项为，
则，得，
所以，
故答案为：12．
10．，均为锐角，且，则的最小值是 ．
【解答】解：，
则：，
整理得：，
解得：，
由于，均为锐角，
则：，，
，当且仅当，取等号．
故答案为：．
11．设等差数列的前项和为，，，．其中且，则 5 ．
【解答】解：由题意可得，
，
等差数列的公差，
由通项公式可得，
代入数据可得，①
再由求和公式可得，
代入数据可得，②
联立①②可解得
故答案为：5
12．已知函数，其中是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是 ．
【解答】解：；
为奇函数；
又；
，则；
在上单调递减；
由，则；
，则解得：，或；
故答案为：：，或．
13．已知平面向量满足，，，的夹角为，且，则的最大值是 ．
【解答】解：平面向量满足，，且，的夹角为，
，
又，
建立平面直角坐标系，如图所示，为坐标原点，，在轴上，，
则坐标，在第一象限，，，
则坐标，，，，，
设，则，
则，，
，
设，，，
所以
，
，的最大值，即，
则的最大值为．
14．已知函数，若关于的方程有个不同实数根，则的取值集合为 ，1，2，3，4，7， ．
【解答】解：当时，函数的图象如下：
当时，图象就是将当时，函数的图象进行上下平移而得到；
方程有，，或；
当时，方程有1个实数根；
当时，有一个实根， 有一个实数根；则方程有2个实数根；
当时，有4个实根， 有4个实数根；则方程有8个实数根；
当时，有3个实根， 有4个实数根；则方程有7个实数根；
当时，没有实根， 有4个实数根；则方程有4个实数根；
当时，没有实根， 有3个实数根；则方程有3个实数根；
当时，没有实根， 没有实数根；则方程有0个实数根；
故则的取值集合为，1，2，3，4，7，
二.解答题
15．如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．
（1）求证：；
（2）若平面与平面的交线为，求证：．
【解答】解：（1）设与的中点为，连结，
，，
底面是菱形，，
，
平面，
平面，
．
（2），面，面，
面．
平面与平面的交线为，
．
16．的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，的面积为2，求．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
，
，
；
（2）由（1）可知，
，
，
，
．
17．设等差数列的公差为，前项和为，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若等差数列的公差为正整数，，，其中是正整数，求数列的前项和．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，首项为，
由已知条件，得解得
．
（2）由（1）得，，
又因为是等差数列，
得
两式相减得，，即
因为和均为正整数，所以或
当时，，此时，所以
当时，，此时，所以
综上所述，或．
18．已知等比数列的首项为，前项和为，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数，使得恒成立？如果存在，写出最小的，如果不存在请说明理由．
【解答】解：（1）设等比数列的公比为，
则由，，成等差数列得，
所以，即，所以，
所以．
（2）由（1）得，
法，
当为奇数时，随的增大而减小，所以，
当为偶数时，随的增大而减小，所以，
综上，对任意，总有
所以存在正整数，使得恒成立，且最小的为3
法
当为奇数时，随的增大而减小，所以，
当为偶数时，随的增大而增大，所以，
令，则，
，
，可得时，；时，，
又，所以，即的最大值为，
所以存在正整数，使得恒成立，且最小的为3．
19．如图，是一张长、宽的长方形的纸片，现将纸片沿着一条直线折叠，折痕（线段）将纸片分成两部分，面积分别为、，．其中点在面积为的部分内，记折痕长为．
（1）若，求的最大值；
（2）若，求的取值范围．
【解答】解：如图所示，折痕有下列三种情形：①折痕的端点，分别在边，上；
②折痕的端点，分别在边，上；③折痕的端点，分别在边，上．
（1）在情形②、③中，故当时，折痕必定是情形①．
设，，则．
因为，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号．
即的最大值为9．
（2）由题意知，长方形的面积为．
又，，所以，．
当折痕是情形①时，设，，则，即．
由，得．
所以．
设，
因为在，上单调下降，在，上单调上升，，，，
所以的取值范围为，，从而的范围是；
当折痕是情形②时，设，，则，即．
由，得．
所以．
所以的范围为；
当折痕是情形③时，设，，则，即．
由，得．
所以．
所以的取值范围为．
综上，的取值范围为．
20．已知函数，，其中为自然对数的底数，．
（1）求证：；
（2）若对于任意，恒成立，求的取值范围；
（3）若存在，使，求的取值范围．
【解答】解：（1）证明：令，得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在处取得最小值，（1）；
（2）由题意，知恒成立，
当时，不等式显然成立，此时；
当时，；当时，．
记，则，
在区间和上为增函数，和上为减函数．
当时，，
又当时，，当时，，
综上，的取值范围为．
（3）设，题设等价于函数有零点时的的取值范围．
方法一：，
当，，恒成立，
在单调递增，，
若，则，
只需，则，
则，有零点．
当时，，对恒成立，
无零点，不成立．
当时，，得，
则，时，在，单调递减；
，时，在在，单调递增，
，
①时，，，
又，有零点；
②时，，（1），有零点；
③时，，，无零点，不成立．
综上，的取值范围是或．
方法二：当时，由，（1），有零点
当时，若，由，得；
若，由（1）知，，
，无零点．
当时，，
若，则，
只需，则，则，有零点．
综上，的取值范围是或．
（文科）
一.填空题
1．设集合，，则 ．
2．函数的值域是 ．
3．已知为单位向量，其夹角为，则 ．
4．“”是“函数为偶函数”的 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）
5．正六棱锥的侧棱长为，底面边长为6，这个正六棱锥的体积为 ．
6．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，，它们的终边分别与单位圆相交于，两点，已知，的横坐标分别为，，则 ．
7．在平面直角坐标系中，点在曲线为自然对数的底数）上，且该曲线在点处的切线经过原点，则点的坐标是 ．
8．当无限趋近于0时，无限趋近于常数，则的值是 ．
9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第五天走的路程为 里．
10．，均为锐角，且，则的最小值是 ．
11．设等差数列的前项和为，，，．其中且，则 ．
12．已知函数，其中是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是 ．
13．已知平面向量满足，，，的夹角为，且，则的最大值是 ．
14．已知函数，若关于的方程有个不同实数根，则的取值集合为 ．
二.解答题
15．如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．
（1）求证：；
（2）若平面与平面的交线为，求证：．
16．的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，的面积为2，求．
17．设等差数列的公差为，前项和为，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若等差数列的公差为正整数，，，其中是正整数，求数列的前项和．
18．已知等比数列的首项为，前项和为，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数，使得恒成立？如果存在，写出最小的，如果不存在请说明理由．
19．如图，是一张长、宽的长方形的纸片，现将纸片沿着一条直线折叠，折痕（线段）将纸片分成两部分，面积分别为、，．其中点在面积为的部分内，记折痕长为．
（1）若，求的最大值；
（2）若，求的取值范围．
20．已知函数，，其中为自然对数的底数，．
（1）求证：；
（2）若对于任意，恒成立，求的取值范围；
（3）若存在，使，求的取值范围．
2019-2020学年江苏省常州市溧阳市高三（上）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一.填空题
1．设集合，，则 ， ．
【解答】解：，，
，．
故答案为：，．
2．函数的值域是 ， ．
【解答】解：，且为增函数，
，
故答案为：，
3．已知为单位向量，其夹角为，则 ．
【解答】解：，
，
．
故答案为：．
4．“”是“函数为偶函数”的 充要 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）
【解答】解：条件：函数为偶函数，
可得，得，
，；
当时，，满足，是偶函数；
“”是函数为偶函数的充要条件；
故答案为：充分必要．
5．正六棱锥的侧棱长为，底面边长为6，这个正六棱锥的体积为 ．
【解答】解：正六棱锥的侧棱长为，底面边长为6，
底面积，
高，如图，
这个正六棱锥的体积为：
．
故答案为：．
6．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，，它们的终边分别与单位圆相交于，两点，已知，的横坐标分别为，，则 ．
【解答】解：、的横坐标分别为为，，且单位圆的半径为1，，，
又、为锐角，，，
所以，
故答案为：．
7．在平面直角坐标系中，点在曲线为自然对数的底数）上，且该曲线在点处的切线经过原点，则点的坐标是 ．
【解答】解：设，由，得，
，则该曲线在点处的切线方程为，
该曲线在点处的切线经过原点，，
解得．
点坐标为．
故答案为：．
8．当无限趋近于0时，无限趋近于常数，则的值是 16 ．
【解答】解：据题意．
故答案为：16．
9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第五天走的路程为 12 里．
【解答】解：依题意，每天走的路形成等比数列是以为公比的等比数列，设首项为，
则，得，
所以，
故答案为：12．
10．，均为锐角，且，则的最小值是 ．
【解答】解：，
则：，
整理得：，
解得：，
由于，均为锐角，
则：，，
，当且仅当，取等号．
故答案为：．
11．设等差数列的前项和为，，，．其中且，则 5 ．
【解答】解：由题意可得，
，
等差数列的公差，
由通项公式可得，
代入数据可得，①
再由求和公式可得，
代入数据可得，②
联立①②可解得
故答案为：5
12．已知函数，其中是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是 ．
【解答】解：；
为奇函数；
又；
，则；
在上单调递减；
由，则；
，则解得：，或；
故答案为：：，或．
13．已知平面向量满足，，，的夹角为，且，则的最大值是 ．
【解答】解：平面向量满足，，且，的夹角为，
，
又，
建立平面直角坐标系，如图所示，为坐标原点，，在轴上，，
则坐标，在第一象限，，，
则坐标，，，，，
设，则，
则，，
，
设，，，
所以
，
，的最大值，即，
则的最大值为．
14．已知函数，若关于的方程有个不同实数根，则的取值集合为 ，1，2，3，4，7， ．
【解答】解：当时，函数的图象如下：
当时，图象就是将当时，函数的图象进行上下平移而得到；
方程有，，或；
当时，方程有1个实数根；
当时，有一个实根， 有一个实数根；则方程有2个实数根；
当时，有4个实根， 有4个实数根；则方程有8个实数根；
当时，有3个实根， 有4个实数根；则方程有7个实数根；
当时，没有实根， 有4个实数根；则方程有4个实数根；
当时，没有实根， 有3个实数根；则方程有3个实数根；
当时，没有实根， 没有实数根；则方程有0个实数根；
故则的取值集合为，1，2，3，4，7，
二.解答题
15．如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．
（1）求证：；
（2）若平面与平面的交线为，求证：．
【解答】解：（1）设与的中点为，连结，
，，
底面是菱形，，
，
平面，
平面，
．
（2），面，面，
面．
平面与平面的交线为，
．
16．的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，的面积为2，求．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
，
，
；
（2）由（1）可知，
，
，
，
．
17．设等差数列的公差为，前项和为，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若等差数列的公差为正整数，，，其中是正整数，求数列的前项和．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，首项为，
由已知条件，得解得
．
（2）由（1）得，，
又因为是等差数列，
得
两式相减得，，即
因为和均为正整数，所以或
当时，，此时，所以
当时，，此时，所以
综上所述，或．
18．已知等比数列的首项为，前项和为，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数，使得恒成立？如果存在，写出最小的，如果不存在请说明理由．
【解答】解：（1）设等比数列的公比为，
则由，，成等差数列得，
所以，即，所以，
所以．
（2）由（1）得，
法，
当为奇数时，随的增大而减小，所以，
当为偶数时，随的增大而减小，所以，
综上，对任意，总有
所以存在正整数，使得恒成立，且最小的为3
法
当为奇数时，随的增大而减小，所以，
当为偶数时，随的增大而增大，所以，
令，则，
，
，可得时，；时，，
又，所以，即的最大值为，
所以存在正整数，使得恒成立，且最小的为3．
19．如图，是一张长、宽的长方形的纸片，现将纸片沿着一条直线折叠，折痕（线段）将纸片分成两部分，面积分别为、，．其中点在面积为的部分内，记折痕长为．
（1）若，求的最大值；
（2）若，求的取值范围．
【解答】解：如图所示，折痕有下列三种情形：①折痕的端点，分别在边，上；
②折痕的端点，分别在边，上；③折痕的端点，分别在边，上．
（1）在情形②、③中，故当时，折痕必定是情形①．
设，，则．
因为，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号．
即的最大值为9．
（2）由题意知，长方形的面积为．
又，，所以，．
当折痕是情形①时，设，，则，即．
由，得．
所以．
设，
因为在，上单调下降，在，上单调上升，，，，
所以的取值范围为，，从而的范围是；
当折痕是情形②时，设，，则，即．
由，得．
所以．
所以的范围为；
当折痕是情形③时，设，，则，即．
由，得．
所以．
所以的取值范围为．
综上，的取值范围为．
20．已知函数，，其中为自然对数的底数，．
（1）求证：；
（2）若对于任意，恒成立，求的取值范围；
（3）若存在，使，求的取值范围．
【解答】解：（1）证明：令，得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在处取得最小值，（1）；
（2）由题意，知恒成立，
当时，不等式显然成立，此时；
当时，；当时，．
记，则，
在区间和上为增函数，和上为减函数．
当时，，
又当时，，当时，，
综上，的取值范围为．
（3）设，题设等价于函数有零点时的的取值范围．
方法一：，
当，，恒成立，
在单调递增，，
若，则，
只需，则，
则，有零点．
当时，，对恒成立，
无零点，不成立．
当时，，得，
则，时，在，单调递减；
，时，在在，单调递增，
，
①时，，，
又，有零点；
②时，，（1），有零点；
③时，，，无零点，不成立．
综上，的取值范围是或．
方法二：当时，由，（1），有零点
当时，若，由，得；
若，由（1）知，，
，无零点．
当时，，
若，则，
只需，则，则，有零点．
综上，的取值范围是或．
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