2019-2020学年陕西省西安电子科技大学附中高二（上）期中数学（理科）试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2019-2020学年陕西省西安电子科技大学附中高二（上）期中数学（理科）试卷（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-13 15:29:42 | ||
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文档简介
2019-2020学年陕西省西安电子科技大学附中高二（上）
期中数学试卷（理科）
一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）
1．已知数列，则是这个数列的第 项．
A．20 B．21 C．22 D．23
2．“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是
A． B． C． D．
4．已知锐角三角形的边长分别为1，3，，则的取值范围是
A． B． C． D．
5．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲哀偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求赔偿5斗栗．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还栗升，升，升，1斗为10升，则下列判断正确的是
A．，，依次成公比为2的等比数列，且
B．，，依次成公比为2的等比数列，且
C．，，依次成公比为的等比数列，且
D．，，依次成公比为的等比数列，且
6．在中，则为
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
7．已知为数列的前项和，若恒成立，则整数的最小值为
A．1026 B．1025 C．1024 D．1023
8．已知，，则的取值范围是
A．， B． C．， D．
9．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为
A． B．
C． D．
10．下列命题中为真命题的是
A．命题“若，则”的逆命题
B．命题“，则”的否命题
C．命题“若，则”的否命题
D．命题“若，则”的逆否命题
11．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则当角取得最大值时，的周长为
A．3 B． C． D．
12．若函数在上的最小值为15，函数，则函数的最小值为
A．2 B．6 C．4 D．1
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若，则最大值是 ．
14．在数列中，，，则通项公式 ．
15．已知，且（1）是假命题，（2）是真命题，则实数的取值范围为 ．
16．设，满足约束条件，且的最小值为7，则 ．
三、解答题（17题10分，18-21题每题15分，共70分）
17．已知命题；命题，且是的充分条件，求的取值范围．
18．若，，，且满足．
（1）求的最大值；
（2）求的最小值．
19．在中，角，，的对边分别是，，，且．
（1）求边的值；
（2）若，求面积的最大值．
20．在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，
（1）求与；
（2）证明：．
21．已知函数．
（1）求（4）的解集；
（2）设函数，，若对任意的都成立，求的取值范围．
2019-2020学年陕西省西安电子科技大学附中高二（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）
1．已知数列，则是这个数列的第 项．
A．20 B．21 C．22 D．23
【解答】解：数列，则该数列的通项公式为，
若，即，
解可得，
则是这个数列的第23项；
故选：．
2．“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【解答】解：，
或，
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
3．下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是
A． B． C． D．
【解答】解：；
反之，例如，满足，但即推不出，
故是成立的充分而不必要的条件．
故选：．
4．已知锐角三角形的边长分别为1，3，，则的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：三边长分别为1、3、，
又为锐角三角形，
当3为最大边时，设3所对的角为，
则根据余弦定理得：，
，
，
解得；
当为最大边时，设所对的角为，
则根据余弦定理得：，
，
解得：，
综上，实数的取值范围为，．
故选：．
5．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲哀偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求赔偿5斗栗．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还栗升，升，升，1斗为10升，则下列判断正确的是
A．，，依次成公比为2的等比数列，且
B．，，依次成公比为2的等比数列，且
C．，，依次成公比为的等比数列，且
D．，，依次成公比为的等比数列，且
【解答】解：由题意可知，，依次成公比为的等比数列，
则，
解得，
，
故选：．
6．在中，则为
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【解答】解：在中，由，
得，即，则；
又，，即，则．
．
为直角三角形．
故选：．
7．已知为数列的前项和，若恒成立，则整数的最小值为
A．1026 B．1025 C．1024 D．1023
【解答】解：，
，
，
又，
整数最小值为1024．
故选：．
8．已知，，则的取值范围是
A．， B． C．， D．
【解答】解：令
则，
，
又，①
，
②
①②得．
则，．
故选：．
9．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为
A． B．
C． D．
【解答】解：由正弦定理可得4个等腰三角形的面积和为：
由余弦定理可得正方形边长为：
故正方形面积为：
所以所求八边形的面积为：
故选：．
10．下列命题中为真命题的是
A．命题“若，则”的逆命题
B．命题“，则”的否命题
C．命题“若，则”的否命题
D．命题“若，则”的逆否命题
【解答】解：中命题“若，则”的逆命题是“若，则”，无论是正数、负数、0都成立；
中命题的否命题是“，则”，当时不成立；
中命题的否命题是“若，则”，当时，，故错误；
中逆否命题与原命题同真假，原命题假，故错误．
故选：．
11．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则当角取得最大值时，的周长为
A．3 B． C． D．
【解答】解：由，则，为钝角，由正弦定理可得：，
由，
则，即，
由，可得，且，
，
当且仅当，即时取等号；
取得最大值时，，；
，，；
三角形的周长为．
故选：．
12．若函数在上的最小值为15，函数，则函数的最小值为
A．2 B．6 C．4 D．1
【解答】解：由
，
当且仅当时，即时，取得最小值，
由题意可得，解得；
函数，
由，
当且仅当，即时，取得等号．
则的最小值为4．
故选：．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若，则最大值是 2 ．
【解答】解：由基本不等式可得，，
当且仅当且，即，时取等号，
，
则最大值是2．
故答案为：2．
14．在数列中，，，则通项公式 ．
【解答】解：
以上个式子相加可得，
，
故答案为：
15．已知，且（1）是假命题，（2）是真命题，则实数的取值范围为 ， ．
【解答】解：因为（1）是假命题，
所以，
解得，又因为（2）是真命题，
所以，
解得，
所以实数的取值范围是．
故答案为：，
16．设，满足约束条件，且的最小值为7，则 3 ．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
联立，解得，，．
①当时为，，的最小值为，不满足题意；
②当时，由得，
要使最小，则直线在轴上的截距最大，满足条件的最优解不存在；
③当时，由得，
由图可知，当直线过点时直线在轴上的截距最小，最小．
此时．
即
解得：或（舍．
故答案为：3．
三、解答题（17题10分，18-21题每题15分，共70分）
17．已知命题；命题，且是的充分条件，求的取值范围．
【解答】解：由得；
由得或，
是的充分条件，则或，
或，又，．
的取值范围是，．
18．若，，，且满足．
（1）求的最大值；
（2）求的最小值．
【解答】解：，，，且满足．
（1），当且仅当时取等号，
故的最大值；
（2）
，
当且仅当时取等号
的最小值．
19．在中，角，，的对边分别是，，，且．
（1）求边的值；
（2）若，求面积的最大值．
【解答】解：（1）在中，角，，的对边分别是，，，且．
由余弦定理和正弦定理得
化简得，得；
（2）由得，
所以又，，
由得，
，
当且仅当时等号成立，
所以面积的最大值为．
20．在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，
（1）求与；
（2）证明：．
【解答】解：（1）设数列的公差为．
因为等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，
且，，
所以：，
则：解得或（舍，
，
故，
证明：（2）由于，
则：，
所以：，
则：，
，
由于：，
则：，
所以：，
所以：，
即：．
21．已知函数．
（1）求（4）的解集；
（2）设函数，，若对任意的都成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）函数
，
（4）即．
①，或②，或③．
得不等式①：；
解②可得无解；
解③求得：．
所以（4）的解集为，或．
（2）对任意的都成立，即的图象恒在图象的上方，
．
由于函数的图象为恒过定点，且斜率变化的一条直线，
作函数和的图象如图，其中，，，
．
由图可知，要使得的图象恒在图象的上方，
实数的取值范围为，．
期中数学试卷（理科）
一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）
1．已知数列，则是这个数列的第 项．
A．20 B．21 C．22 D．23
2．“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是
A． B． C． D．
4．已知锐角三角形的边长分别为1，3，，则的取值范围是
A． B． C． D．
5．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲哀偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求赔偿5斗栗．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还栗升，升，升，1斗为10升，则下列判断正确的是
A．，，依次成公比为2的等比数列，且
B．，，依次成公比为2的等比数列，且
C．，，依次成公比为的等比数列，且
D．，，依次成公比为的等比数列，且
6．在中，则为
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
7．已知为数列的前项和，若恒成立，则整数的最小值为
A．1026 B．1025 C．1024 D．1023
8．已知，，则的取值范围是
A．， B． C．， D．
9．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为
A． B．
C． D．
10．下列命题中为真命题的是
A．命题“若，则”的逆命题
B．命题“，则”的否命题
C．命题“若，则”的否命题
D．命题“若，则”的逆否命题
11．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则当角取得最大值时，的周长为
A．3 B． C． D．
12．若函数在上的最小值为15，函数，则函数的最小值为
A．2 B．6 C．4 D．1
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若，则最大值是 ．
14．在数列中，，，则通项公式 ．
15．已知，且（1）是假命题，（2）是真命题，则实数的取值范围为 ．
16．设，满足约束条件，且的最小值为7，则 ．
三、解答题（17题10分，18-21题每题15分，共70分）
17．已知命题；命题，且是的充分条件，求的取值范围．
18．若，，，且满足．
（1）求的最大值；
（2）求的最小值．
19．在中，角，，的对边分别是，，，且．
（1）求边的值；
（2）若，求面积的最大值．
20．在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，
（1）求与；
（2）证明：．
21．已知函数．
（1）求（4）的解集；
（2）设函数，，若对任意的都成立，求的取值范围．
2019-2020学年陕西省西安电子科技大学附中高二（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）
1．已知数列，则是这个数列的第 项．
A．20 B．21 C．22 D．23
【解答】解：数列，则该数列的通项公式为，
若，即，
解可得，
则是这个数列的第23项；
故选：．
2．“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【解答】解：，
或，
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
3．下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是
A． B． C． D．
【解答】解：；
反之，例如，满足，但即推不出，
故是成立的充分而不必要的条件．
故选：．
4．已知锐角三角形的边长分别为1，3，，则的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：三边长分别为1、3、，
又为锐角三角形，
当3为最大边时，设3所对的角为，
则根据余弦定理得：，
，
，
解得；
当为最大边时，设所对的角为，
则根据余弦定理得：，
，
解得：，
综上，实数的取值范围为，．
故选：．
5．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲哀偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求赔偿5斗栗．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还栗升，升，升，1斗为10升，则下列判断正确的是
A．，，依次成公比为2的等比数列，且
B．，，依次成公比为2的等比数列，且
C．，，依次成公比为的等比数列，且
D．，，依次成公比为的等比数列，且
【解答】解：由题意可知，，依次成公比为的等比数列，
则，
解得，
，
故选：．
6．在中，则为
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【解答】解：在中，由，
得，即，则；
又，，即，则．
．
为直角三角形．
故选：．
7．已知为数列的前项和，若恒成立，则整数的最小值为
A．1026 B．1025 C．1024 D．1023
【解答】解：，
，
，
又，
整数最小值为1024．
故选：．
8．已知，，则的取值范围是
A．， B． C．， D．
【解答】解：令
则，
，
又，①
，
②
①②得．
则，．
故选：．
9．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为
A． B．
C． D．
【解答】解：由正弦定理可得4个等腰三角形的面积和为：
由余弦定理可得正方形边长为：
故正方形面积为：
所以所求八边形的面积为：
故选：．
10．下列命题中为真命题的是
A．命题“若，则”的逆命题
B．命题“，则”的否命题
C．命题“若，则”的否命题
D．命题“若，则”的逆否命题
【解答】解：中命题“若，则”的逆命题是“若，则”，无论是正数、负数、0都成立；
中命题的否命题是“，则”，当时不成立；
中命题的否命题是“若，则”，当时，，故错误；
中逆否命题与原命题同真假，原命题假，故错误．
故选：．
11．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则当角取得最大值时，的周长为
A．3 B． C． D．
【解答】解：由，则，为钝角，由正弦定理可得：，
由，
则，即，
由，可得，且，
，
当且仅当，即时取等号；
取得最大值时，，；
，，；
三角形的周长为．
故选：．
12．若函数在上的最小值为15，函数，则函数的最小值为
A．2 B．6 C．4 D．1
【解答】解：由
，
当且仅当时，即时，取得最小值，
由题意可得，解得；
函数，
由，
当且仅当，即时，取得等号．
则的最小值为4．
故选：．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若，则最大值是 2 ．
【解答】解：由基本不等式可得，，
当且仅当且，即，时取等号，
，
则最大值是2．
故答案为：2．
14．在数列中，，，则通项公式 ．
【解答】解：
以上个式子相加可得，
，
故答案为：
15．已知，且（1）是假命题，（2）是真命题，则实数的取值范围为 ， ．
【解答】解：因为（1）是假命题，
所以，
解得，又因为（2）是真命题，
所以，
解得，
所以实数的取值范围是．
故答案为：，
16．设，满足约束条件，且的最小值为7，则 3 ．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
联立，解得，，．
①当时为，，的最小值为，不满足题意；
②当时，由得，
要使最小，则直线在轴上的截距最大，满足条件的最优解不存在；
③当时，由得，
由图可知，当直线过点时直线在轴上的截距最小，最小．
此时．
即
解得：或（舍．
故答案为：3．
三、解答题（17题10分，18-21题每题15分，共70分）
17．已知命题；命题，且是的充分条件，求的取值范围．
【解答】解：由得；
由得或，
是的充分条件，则或，
或，又，．
的取值范围是，．
18．若，，，且满足．
（1）求的最大值；
（2）求的最小值．
【解答】解：，，，且满足．
（1），当且仅当时取等号，
故的最大值；
（2）
，
当且仅当时取等号
的最小值．
19．在中，角，，的对边分别是，，，且．
（1）求边的值；
（2）若，求面积的最大值．
【解答】解：（1）在中，角，，的对边分别是，，，且．
由余弦定理和正弦定理得
化简得，得；
（2）由得，
所以又，，
由得，
，
当且仅当时等号成立，
所以面积的最大值为．
20．在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，
（1）求与；
（2）证明：．
【解答】解：（1）设数列的公差为．
因为等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，
且，，
所以：，
则：解得或（舍，
，
故，
证明：（2）由于，
则：，
所以：，
则：，
，
由于：，
则：，
所以：，
所以：，
即：．
21．已知函数．
（1）求（4）的解集；
（2）设函数，，若对任意的都成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）函数
，
（4）即．
①，或②，或③．
得不等式①：；
解②可得无解；
解③求得：．
所以（4）的解集为，或．
（2）对任意的都成立，即的图象恒在图象的上方，
．
由于函数的图象为恒过定点，且斜率变化的一条直线，
作函数和的图象如图，其中，，，
．
由图可知，要使得的图象恒在图象的上方，
实数的取值范围为，．
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