高中物理教科版选修3-1 期末复习学案　电场的基本性质 Word版含解析

　电场的基本性质

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1．电场强度的三个表达式
(1)定义式：E＝____；
(2)点电荷电场：E＝____；
(3)匀强电场：E＝____．
2．电势、电势差、电场力做功与电势差的关系
(1) φ＝____；
(2)UAB＝__φA－φB__；
(3)UAB＝__Ed__；(只适用于匀强电场)
(4)WAB＝__qUAB__；
(5)Ep＝__qφ__．
3．等势面与电场线的关系
(1)电场线总是与等势面__垂直__，且从电势高的等势面指向电势低的等势面．
(2)电场线越密的地方，等差等势面也越密．
(3)沿等势面移动电荷，电场力不做功，沿电场线移动电荷，电场力__一定做功__．

考点一　库仑定律及其应用
例1 (多选)与行星绕太阳做匀速周运动类似，处于基态的氢原子的核外电子绕核做匀速圆周运动，其轨道半径为r1，速度为v1，加速度为a1，周期为T1，形成的环形电流为I1；处于n＝2的激发态的氢原子的核外电子绕核做匀速圆周运动，其轨道半径为r2，速度为v2，加速度为a2，周期为T2，形成的坏形电流为I2.已知r1∶r2＝1∶4，则以下关系正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　
A．v1∶v2＝2∶1 B．a1∶a2＝4∶1
C．T1∶T2＝1∶4 D．I1∶I2＝8∶1
【解析】电子受核的引力提供向心力，则k＝m，则v＝，则＝，故A正确；由k＝ma，则a＝，＝，故B错误；由k＝mr，则T＝2π，＝，故C错误；由I＝，则I1∶I2＝8∶1，故D正确．
【答案】AD
【方法总结】库仑力产生的效果服从牛顿力学中的所有规律，计算库仑力时根据库仑定律的条件进行；在分析其作用效果时，应根据力学的解题思路去分析与解答．在解题过程中，库仑力的正、负号不表示引力或斥力，而是与规定的正方向相比．
变式训练1
如图所示，距小滑轮O正下方l处的B点用绝缘底座固定一带电荷量为＋q的小球1，绝缘轻质弹性绳一端悬挂在光滑的定滑轮O正上方处的D点，另一端与质量为m的带电小球2连接，发现小球2恰好在A位置平衡，已知OA长为l，与竖直方向的夹角为60°.由于弹性绳的绝缘效果不是很好，小球2缓慢漏电，一段时间后，当滑轮下方的弹性绳与竖直方向夹角为30°时，小球2恰好在AB连线上的C位置．已知静电力常量为k，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A．小球2带负电
B．小球2在C位置时所带电荷量为
C．小球2在A位置时所带电荷量为
D．弹性绳原长为l
【解析】两个小球之间相互排斥，可知带同种电荷，所以小球2也带正电；故A错误；小球在C点时，受力分析如图，由几何关系可得：F＝mgsin 30°＝0.5mg　 ①
T＝mgcos 30°＝mg　②
根据库仑定律得：F＝　③
联立①③式可得：q2＝；故B错误；
小球2在A位置时，受到的重力、电场力和绳子的拉力，三个力之间的夹角互为120°，所以三个力的大小相等，即T′＝F′＝mg；根据库仑定律得：F′＝，小球2在A位置时所带电荷量：q1＝；故C正确；
小球2在A位置时，弹性绳的长度：l1＝＋l＝l，小球2在C位置时，弹性绳的长度l2＝＋l，设弹性绳的劲度系数为k，则：T′＝k(l1－l0)，T＝k(l2－l0)；联立可得：l0＝0.5l；故D错误．
【答案】C
考点二　电场强度、电势及其叠加　　例2
(多选)如图所示，均匀带电的半圆环在圆心O点产生的电场强度为E、电势为φ，把半圆环分成AB、BC、CD三等分．下列说法正确的是(　　)
A．BC部分在O点产生的电场强度的大小为
B．BC部分在O点产生的电场强度的大小为
C．BC部分在O点产生的电势为
D．BC部分在O点产生的电势为
【解析】
如图所示，B、C两点把半圆环等分为三段．设每段圆弧在O点产生的电场强度大小均为E′，AB段和CD段在O处产生的场强夹角为120°，它们的合场强大小为E′，则整个半圆环在O点的合场强：E＝2E′，则：E′＝；故圆弧BC在圆心O处产生的场强为.电势是标量，设圆弧BC在圆心O点产生的电势为φ′，则有 3φ′＝φ，则 φ′＝，故选A、D.
【答案】AD
【方法总结】电场强度是矢量，同一直线上的电场强度的叠加，可简化为代数和；不在同一直线上的两个电场强度的叠加，用平行四边形定则求合电场强度．分析电场叠加问题的常用的方法：(1)矢量合成法；(2)平衡条件法；(3)对称法；(4)补偿法；(5)等效法；(6)微元法等．电势是标量，可以直接进行代数求和．
变式训练2
(多选)如图所示，真空有三个正点电荷q1、q2、q3，q1＝2q2＝2q3，它们固定在等边三角形的三个顶点A、B、C上，D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，O为等边三角形中心，下列说法正确的是(　　)
A．D、O两点电场强度大小相等
B．一带负电的点电荷在E点的电势能小于该点电荷在F点的电势能
C．若将q2、q3分别用－q2、－q3替换，O点电场强度大小变成之前的3倍
D．若将q2、q3分别用－q2、－q3替换，O点的电势为0
【解析】
各点电荷在D、O两点产生的电场强度如图所示，由电场强度叠加原理知D、O两点电场强度不等，故A错；将一负点电荷由E点沿直线移动到F点，电场力做负功，电势能增大，故B正确；因为AO＝BO＝CO，所以q1在O点产生的电场强度为q2、q3两电荷在O点产生的电场强度大小的两倍，又因为q2、q3在O点的电场强度夹角为120°，故q2、q3在O点产生的合电场强度总是和q1在O点产生的电场强度共线，则改变电性前，O点的总电场强度大小是q1在O点产生的电场强度的；改变电性后，O点的电场强度为原来的3倍，所以C对；电场中电场线总是由正电荷指向负电荷，且顺着电场线电势逐渐降低，正电荷周围电势为正，负电荷周围电势为负值，故O点电势为0.
【答案】BCD
考点三　电场性质的理解与应用
例3 (2019·全国卷Ⅱ)(多选)静电场中，一带电粒子仅在电场力的作用下自M点由静止开始运动，N为粒子运动轨迹上的另外一点，则(　　)
A．运动过程中，粒子的速度大小可能先增大后减小
B．在M、N两点间，粒子的轨迹一定与某条电场线重合
C．粒子在M点的电势能不低于其在N点的电势能
D．粒子在N点所受电场力的方向一定与粒子轨迹在该点的切线平行
【解析】 如图甲，若有一个带负电的粒子放在M点，则它将在电场力作用下向下加速运动到O点，然后再减速运动到N点，则可能存在粒子的速度先增大后减小的情况，A对；如图甲，显然其轨迹并没有沿着电场线，因此B错；带电粒子仅在电场力作用下由静止开始运动，电场力做正功电势能降低，即使如图甲中所示，也仅能得到在M点的电势能和在N点的电势能相等，即粒子在M点的电势能不低于其在N点的电势能，C对；若是匀强电场，则成立；若非匀强电场(如图乙)，则不成立．因此，D错．
【答案】AC
【方法总结】(1)电势高低的判断
判断角度
判断方法
依据电场线方向
沿电场线方向电势逐渐降低
依据电场力做功
根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低
依据场源
电荷的正负
取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低
依据电势
能的大小
正电荷电势能越大，所在位置电势越高；负电荷电势能越大，所在位置电势越低
(2)电势能大小的判断
判断角度
判断方法
做功判断法
电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大
电荷电势法
正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大
公式法
由Ep＝qφ，将q、φ的大小、正负号一起代入公式，Ep的正值越大，电势能越大；Ep为负值时绝对值越小，电势能越大
能量守恒法
在电场中，若只有电场力做功，则电荷的动能和电势能相互转化，动能增大，电势能减小；反之，动能减小，电势能增大
　　(3)电场线、等势面及带电粒子的运动轨迹综合问题分析方法
①“运动与力两线法”——画出“速度线”(运动轨迹在某一位置的切线)与“力线”(在同一位置电场线的切线方向且指向轨迹的凹侧)，从二者的夹角情况来分析带电粒子做曲线运动的情况．
②“三不知时要假设”——电荷的正负、场强的方向(或等势面电势的高低)、电荷的运动方向，是题目中相互制约的三个方面．若三个都不知(三不知)，则要用“假设法”进行分析．
变式训练3
(多选)一半径为R的均匀带正电圆环水平放置，圆心为O点，质量为m的带正电小球(可视为质点)从O点正上方距离为h的A点由静止下落，并穿过圆环．小球在从A点运动到A点关于O点对称的A′点的过程中，其加速度a、重力势能EpG、机械能E、电势能Ep电，随位置变化的图象如图所示(规定O点为坐标原点且重力势能为0，竖直向下为加速度的正方向，并取无限远处电势为0)，其中可能正确的是(　　)
【解析】圆环中心的电场强度为零，无穷远处电场强度也为零，则小球从A到圆环中心的过程中，电场强度可能先增大后减小，则小球所受的电场力先增大后减小，方向竖直向上，由牛顿第二定律得知，重力不变，则加速度可能先减小后增大；小球穿过圆环后，小球所受的电场力竖直向下，加速度方向向下，为正值，根据对称性可知，电场力先增大后减小，则加速度先增大后减小，故A错误．小球从A到圆环中心的过程中，重力势能EpG＝mgh，小球穿过圆环后，EpG＝－mgh，根据数学知识可知B正确．小球从A到圆环中心的过程中，电场力做负功，机械能减小，小球穿过圆环后，电场力做正功，机械能增大，故C正确．由于圆环所产生的是非匀强电场，小球下落的过程中，电场力做功与下落的高度之间是非线性关系，电势能变化与下落高度之间也是非线性关系，故D错误．
【答案】BC
例4
如图所示，以O点为圆心、半径R＝0.2 m的圆处于匀强电场(图中未画出)中，电场方向平行于圆面，ac、bd为圆的两条相互垂直的直径．已知a、b、c三点的电势分别为2 V、2 V、－2 V，则下列说法正确的是(　　)
A．d点电势为2 V
B．电子从d点运动到a点电势能增加
C．电场方向由b点指向c点
D．该匀强电场的电场强度大小为20 V/m
【解析】
根据匀强电场中电势差与电场强度的关系式U＝Ed，可知当线段与电场方向平行时，在电场线方向上距离相等的两点，电势差也相等，因为φa＝2 V，φc＝－2 V，可知O点电势为0，而bO＝Od，则b、O间的电势差等于O、d间的电势差，可知d点的电势为－2 V，A项错误；电子从d点运动到a点电势增加，根据Ep＝qφ，可知电子从d点运动到a点电势能减小，B项错误；在O、b之间找a的等势点a′，设Oa′＝x，则ba′＝R－x，根据U＝Ed可知＝，解得x＝R，即∠a′aO＝30°，根据几何知识可知a、c两点沿电场强度方向的距离l＝a′c′＝2Rsin 30°＝2×0.2× m＝0.2 m，故该匀强电场的电场强度大小E＝＝ V/m＝20 V/m，电场方向与b、c连线的方向不平行，C项错误，D项正确．
【答案】D
【方法总结】“等分法”处理电场强度、电场线间的关系
(1)等分法
在匀强电场中，沿任意一个方向(垂直于电场线方向除外)，电势变化都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等．如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点的电势差等于原电势差的，像这样采用等分间距求电势问题的方法，叫作等分法．
(2)等分法常用的四个重要结论
①在匀强电场中，沿任意方向相互平行且相等的线段两端点的电势差相等．
②匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝，如图所示．
③在匀强电场中，相互平行的两条线段，无论它们是否与电场线方向平行，只要一条线段是另一线段的n倍，这条线段两端点的电势差就一定是另一线段两端点电势差的n倍．
④电场强度的方向是电势降落最快的方向．
变式训练4
(多选)一匀强电场的方向平行于纸面，平面内有矩形abcd，已知ab＝8 cm，bc＝6 cm，如图所示．a、b、c三点的电势分别为10 V、16 V、22 V．一电荷量为＋e的粒子从b点沿bd方向以4 eV的初动能射入电场，恰好经过a点，不计粒子重力，下列说法正确的是(　　)
A．a点的电势比d点低4.8 V
B．电场强度的大小为125 V/m
C．粒子到达a点时的动能为10 eV
D．仅改变粒子的电性，粒子能通过c点
【解析】
根据题意：Uda＝Ucb，即φd－φa＝φc－φb，代入数据解得：φd＝16 V，a点的电势比d点低6 V，故A错误；因为φd＝φb＝16 V，所以bd为等势线，过c点作垂直于bd的电场线cn交bd于n，如图所示，因为φc＝22 V，φn＝16 V，所以Ucn＝22 V－16 V＝6 V．设cn＝d，根据几何知识：d＝＝4.8 cm＝4.8×10－2 m，根据匀强电场的定义式：E＝＝ V/m＝125 V/m，故B正确；因为φb＝16 V，φa＝10 V，所以Uba＝16 V－10 V＝6 V，电子从b到a，由动能定理：eUba＝Eka－Ekb，代入数据解得：Eka＝10 eV，故C正确；仅改变粒子的电性，粒子所受电场力方向和电场方向相反，轨迹与电性未改变之前关于bd对称，故不能通过c点，故D错误．
【答案】BC
考点四　三类图象问题
例5(多选)静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系如图所示，x轴正向为电场强度正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，则点电荷(　　)
A．在x2和x4处电势能相等
B．由x1运动到x3的过程中电势能增大
C．自x1运动到x4的过程中电场力先增大后减小
D．由x1运动到x4的过程中电场力先减小后增大
【解析】由于沿x轴正向为电场强度正方向，因此0～x1间电场强度方向水平向右，x1右侧电场强度方向水平向左，顺着电场强度的方向电势逐渐降低，因此x2处电势比x4处电势低，正电荷在x2处电势能比x4处电势能小，A项错误；正电荷从x1运动到x3的过程中，电场力做负功，电势能增大，B项正确；由x1运动到x4的过程中，电场强度先增大后减小，因此电场力先增大后减小，C项正确，D项错误．
【答案】BC
【方法总结】(1)E－x、φ－x图象的特点
E－x
图象
①反映了电场强度随位移变化的规律；
②E>0表示电场方向沿x轴正方向；E<0表示电场方向沿x轴负方向；
③图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定
φ－x
图象
①电场强度的大小等于φ－x图线的斜率大小，电场强度为零处，φ－x图线存在极值，其切线的斜率为零；
②在φ－x图象中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向；
③在φ－x图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后做出判断
　　(2)φ－x图象的斜率表示电场强度的大小和方向；
(3)E－x图象中，曲线与坐标轴所围图形的“面积”表示两点间的电势差；
(4)Ep－x图象的斜率表示电场力的大小和方向．
变式训练5
真空中沿某一条直线上的静电场的电势变化如图所示，则根据图象可知(　　)
A．x＝R处的电场强度E＝0
B．该电场有可能是处在O点的正的点电荷激发产生的
C．将试探电荷从x1处移到x2处，电场力不一定做功
D．x1处与x2处的电场强度方向相同
【解析】φ－x图象中，曲线上任意一点的切线的斜率表示电场强度；R处切线的斜率不为零，故电场强度不为零；故A错误；若该电场是O处正点电荷激发的，离电荷越近，电场强度越大，故φ－x图象的斜率越大；而在O点向右，切线斜率变大，故B错误；若试探电荷从x1处移到x2处，电势降低，根据公式WAB＝qUAB，如果是正电荷，电场力做正功；如果是负电荷，电场力做负功，故C错误；x1处与x2处的切线斜率同为负值，故x方向的电场强度分量的方向相同，故D正确；故选D.
【答案】D
变式训练6
电荷量为q1和q2的两点电荷分别固定在x轴上的O、C两点，规定无穷远处电势为零，一带正电的试探电荷在x轴上各点具有的电势能Ep随x的变化关系如图所示．其中，试探电荷在B、D两点处的电势能均为零；在DJ段中H点处电势能最大．下列说法正确的是(　　)
A．q1的电荷量小于q2的电荷量
B．G点处电场强度的方向沿x轴正方向
C．若将一带负电的试探电荷自G点由静止释放，仅在电场力作用下一定能到达D点
D．若将一带负电的试探电荷从D点移到J点，电场力先做正功后做负功
【解析】由Ep＝qφ知正电荷的电势能变化和电场的电势变化相同．由图知无穷远处的电势为0，B点的电势为零，由于沿着电场线电势降低，所以O点的电荷q1带正电，C点电荷q2带负电，由于B点距离O点比较远而距C点比较近，所以q1电荷量大于q2的电荷量，故A错误；沿着电场线电势逐渐降低可知G点的电场强度沿x轴负方向，选项B错误；带负电的试探电荷在G点受沿x正方向的电场力，故沿x正向加速运动，选项C错误；负电荷从D点到J点受到的电场力先沿x正向后沿x负向，故电场力先做正功后做负功，选项D正确．
【答案】D