(共26张PPT)
15.2 线段的垂直平分线
第15章 轴对称图形与等腰三角形
市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处才能使得它到三个小区的距离相等?
A
B
C
一、情境引入
二、讲授新课：
问题：怎样作出线段的垂直平分线？
做一做：
在半透明纸上画一条线段AB，折纸使A与B重合，得到的折痕l就是线段AB的垂直平分线.
想一想：
这样折纸怎么就是垂直平分线呢？
A
B
A(B)
A
B
l
O
l
C
O
线段垂直平分线的尺规作图
作法：
（2）作直线CD.
CD即为所求.
特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点.
例1 如图，已知点A、点B以及直线l.
(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；
(2)在(1)中所作的图中，若AM＝PN，BN＝PM，求证：∠MAP＝∠NPB.
三、例题剖析：
解：(1)如图所示：
(2)在△AMP和△BNP中，
∵AM=PN，AP＝BP，PM＝BN，
∴△AMP≌△PNB(SSS)，
∴∠MAP＝∠NPB.
P
1、问题：如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B长，你能发现什么，请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 距离之间的数量关系．
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
＝
＝
＝
四、线段垂直平分线的性质
2、猜想：
点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等．
命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
由此你能得到什么结论？
你能验证这一结论吗？
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．
求证：PA =PB．
证明：∵ l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
又 AC =CB，PC =PC，
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
∴ PA =PB．
3、验 证 结 论：
例2 如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，求BC的长.
解：∵△DBC的周长为BC＋BD＋CD＝35cm，
又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，
故BC＋AD＋CD＝35cm.
∵AC＝AD＋DC＝20cm，
∴BC＝35－20＝15(cm).
【方法总结】利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
练一练：1.如图①所示，直线CD是线段PB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长是 .
B
10cm
图①
例3 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．
(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可．
证明：(1)∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠ECF.
∵E是CD的中点，∴DE＝EC.
又∵∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△FCE，
∴FC＝AD.
(2)∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，AD＝CF.
∵BE⊥AE，
∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.
∵AD＝CF， ∴AB＝BC＋AD.
定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
逆
命
题
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
它是真命题吗？你能证明吗？
五、线段垂直平分线的判定：
已知：PA=PB，
求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
证明：作PC⊥AB,垂足为C.
∴∠ACP=∠BCP=90°.
在Rt△ACP和Rt△BCP中，
∴Rt△ACP≌Rt△BCP（HL），
∴AC=BC，
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
PA=PB，
PC=PC，
六、 线段垂直平分线的判定
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
应用格式：
∵ PA =PB，
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
例4 如图,已知△ABC的边AB,AC的垂直平分线相交于点P. 求证:点P在BC的垂直平分线上.
B
C
A
P
证明：连接PA，PB，PC.
∵点P在AB，AC的垂直平分线上，
∴PA=PB，PA=PC，
（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）
∴PB=PC，（等式性质）
∴点P在BC的垂直平分线上.
(与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）
三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等.
现在你能回答讲课前提出的问题吗？
你知道购物中心应该建在何处了吗？
七、总 结 归 纳：
例5 已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线.
证明：
∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴DE=CE(角平分线上的点到角的两边的距离相等）.
∴ OE是CD的垂直平分线.
D
八、当堂练习：
2.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（ ）
A．AB垂直平分CD；
B ．CD垂直平分AB ；
C．AB与CD互相垂直平分；
D．CD平分∠ ACB ．
A
3.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是△ABC
( )
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点
D
4.如图，y轴垂直平分线段BC，点A在y轴上，点B、C在x轴上.
（1）若点C的坐标为（3，0），则点B的坐标是__________；
（2）若点B的坐标为（m，0），则点C的坐标是___________.
（-3，0）
（-m，0）
O
C
B
A
y
x
5.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则△BCE的周长是 cm.
16
6.如图，有A，B，C三个村庄，现准备要建一所希望小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.
B
C
学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线的交点处.
A
九、课堂小结：
线段的垂直平分的性质和判定
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
教材P131第2、3、4题
十、课后作业：
15.2 线段的垂直平分线
教学目标 【知识与技能】
1.经历探究、猜想、验证的过程,进一步发展学生的推理论证能力.
2.培养学生的逻辑思维能力和数学语言表达能力.
3.已知底边及底边上的高,能应用尺规作出线段的垂直平分线.
【过程与方法】
在探究过程中,增强协作交流,进一步发展学生的推理证明意识和能力.
【情感、态度及价值观】
1.积极参与数学学习活动,增强学生对数学的好奇心和求知欲.
2.在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.
【重点】写出线段垂直平分线的性质定理及其逆命题.
【难点】线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的应用上的区别和各自的应用.
一、情境引入
市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处才能使得它到三个小区的距离相等?
二、讲授新课：
线段垂直平分线的尺规作图
问题：怎样作出线段的垂直平分线？
做一做：
在半透明纸上画一条线段AB，折纸使A与B重合，得到的折痕l就是线段AB的垂直平分线.
想一想：
这样折纸怎么就是垂直平分线呢？
作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点.
（2）作直线CD.
CD即为所求.特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点.
三、例题剖析：
例1 已知点A、点B以及直线l.
(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；
(2)在(1)中所作的图中，若AM＝PN，BN＝PM，求证：∠MAP＝∠NPB.
解：(1)如图所示：
(2)在△AMP和△BNP中，
∵AM=PN，AP＝BP，PM＝BN，
∴△AMP≌△PNB(SSS)，
∴∠MAP＝∠NPB.
四、线段垂直平分线的性质
1、问题：直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B长，你能发现什么，请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 距离之间的数量关系．
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
2、猜想：
点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等．
由此你能得到什么结论？
命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
你能验证这一结论吗？
3、验 证 结 论：
已知：直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．
求证：PA =PB．
证明：∵ l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
又 AC =CB，PC =PC，
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
∴ PA =PB．
例2 在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，求BC的长.
解：∵△DBC的周长为BC＋BD＋CD＝35cm，
又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，
故BC＋AD＋CD＝35cm.
∵AC＝AD＋DC＝20cm，
∴BC＝35－20＝15(cm).
【方法总结】利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
练一练：1.直线CD是线段PB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2.在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长是 .
例3 在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．
(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可．
证明：(1)∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠ECF.
∵E是CD的中点，∴DE＝EC.
又∵∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△FCE，
∴FC＝AD.
(2)∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，AD＝CF.
∵BE⊥AE，
∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.
∵AD＝CF， ∴AB＝BC＋AD.
线段垂直平分线的判定：
定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
逆命题是：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
它是真命题吗？你能证明吗？
已知：PA=PB，
求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
证明：作PC⊥AB,垂足为C.
∴∠ACP=∠BCP=90°.
在Rt△ACP和Rt△BCP中，
PA=PB，PC=PC，
∴Rt△ACP≌Rt△BCP（HL），
∴AC=BC，
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
六、 线段垂直平分线的判定
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
应用格式：
∵ PA =PB，
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
例4 已知△ABC的边AB,AC的垂直平分线相交于点P. 求证:点P在BC的垂直平分上.
证明：连接PA，PB，PC.
∵点P在AB，AC的垂直平分线上，
∴PA=PB，PA=PC，
（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）
∴PB=PC，（等式性质）
∴点P在BC的垂直平分线上.
(与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）
总 结 归 纳：
三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等.
现在你能回答讲课前提出的问题吗？
你知道购物中心应该建在何处了吗？
例5 已知：点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线.
证明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴DE=CE(角平分线上的点到角的两边的距离相等）.
∴ OE是CD的垂直平分线.
当堂练习：
1.在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（ ）
A．∠A的平分线 B．AC边的中线 C．BC边的高线 D．AB边的垂直平分线
2，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（ ）
A．AB垂直平分CD；B ．CD垂直平分AB ；
C．AB与CD互相垂直平分；D．CD平分∠ ACB ．
3.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是△ABC ( )
A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三边垂直平分线的交点
4.y轴垂直平分线段BC，点A在y轴上，点B、C在x轴上.
（1）若点C的坐标为（3，0），则点B的坐标是__________；
（2）若点B的坐标为（m，0），则点C的坐标是___________.
5.△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则△BCE的周长是__________cm.
6.有A，B，C三个村庄，现准备要建一所希望小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.
学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线的交点处.
九、课堂小结：
线段的垂直平分的性质和判定
性质（1） 内容：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用：见垂直平分线，得线段相等
2、判定（1）内容：到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
（2）判断一个点是否在线段的垂直平分线上
十、课后作业：
教材P131第2、3、4题
教学反思
本节课先复习线段垂直平分线的概念,然后用尺规作图画出垂直平分线,并让学生思考为什么用这种方法画出的就是垂直平分线,可以激发学生学习数学的兴趣.由垂直平分线的作图过程可得到线段垂直平分线的性质定理,随后我带领学生对这个定理进行了严格的证明,让学生自己思考怎么写已知、求证.然后让学生说出这个命题的逆命题,并证明它是真命题,并把这个命题作为定理熟记,锻炼了学生的逻辑推理能力,培养了学生求真务实的精神.
