2.4 理想气体状态方程

2.4 理想气体状态方程
一、知识点击：
1.理想气体：
理想气体是一个理论模型，从分子动理论的观点来看，这个理论模型主要有如下三点：
（1）分子本身的大小比起分子之间的平均距离来可以忽略不计。
（2）气体分子在做无规则运动过程中，除发生碰撞的瞬间外，分子相互之间以及分子与容器器壁之间，都没有相互作用力。
（3）分子之间以及分子与器壁之间的碰撞是完全弹性的，即气体分子的总动能不因碰撞而损失。
由于不计分子之间的相互作用力，因而也就不计分子的势能，理想气体的内能就是所有分子的动能的总和。一定质量的理想气体内能的多少就只取决于温度，而与体积无关。在温度不太低，压强不太大的条件下，真实气体可看作为理想气体。
2.理想气体的三条实验定律：
定律
变化过程
内容表述
数学表达式
图像描述
玻意耳定律
等
温
变
化
一定质量的气体，在温度不变的情况下，它的压强跟体积成反比；或压强跟体积乘积是不变的。
查理定律
等
容
变
化
1．一定质量的气体，在体积不变的情况下，温度每升高（或降低）1℃，增加（或减少）的压强等于它在0℃时压强的1/273。
2．一定质量的气体，在体积不变的情况下，它的压强跟热力学温度成正比。
盖·吕萨克定律
等
压
变
化
1、一定质量的气体，在压强不变的情况下，温度每升高（或降低）1℃，增加（或减少）的体积等于它在0℃时压强的1/273。
2、一定质量的气体，在体积不变的情况下，它的体积跟热力学温度成正比。
3．理想气体状态方程：一定质量的理想气体，其压强、体积和热力学温度在开始时分别为P1、V1、T1，经过某一变化过程到终了时分别变成P2、V2、T2，则应有。这就是理想气体的状态方程。
理想气体的状态方程是根据三条气体实验定律中的任意两条（例如玻意耳定律和查理定律）推导而得的。
证明：如右图所示，a(b为等容变化，根据查理定律有P1/T1= Pc/T2，b(c为等温变化，根据波意耳定律有Pc·V1＝P2·V2，两式联立起来，得到Pc＝P1/T1·T2＝P2·V2/ V1，变形得到。
二、能力激活：
题型一：图像的物理意义：
示例1：如图所示是a、b两部分气体的V－t图像，由图像可知：当t＝0℃时，气体a的体积为 m3；当t＝273℃时，气体a的体积比气体b的体积大 m3。
[分析]如图所示的V－t图像描述的是等压过程，由，可知t＝273℃时，气体的体积是0℃时气体体积的两倍，则气体a的体积为0.6m3，气体b的体积为0.2m3。
[解析]气体a的体积比气体b的体积大0.6－0.2＝0.4m3。
题型二：应用气体的P－V图、P－T(或P－t)图解题：
示例2：有两个容积相等的容器，里面盛有同种气体，用一段水平玻璃管把它们连接起来。在玻璃管的正中央有一段水银柱，当一个容器中气体的温度是0℃，另一个容器中气体的温度是20℃时，水银柱保持静止。如果使两容器中气体的温度都升高10℃，管中的水银柱会不会移动？如果移动的话，向哪个方向移动？
[分析]一般解法是，选假定两边密闭容器中的气体体积暂不改变，根据查理定律，分别计算出两边气体各升温10℃后的压强，再比较两方压强的大小，就能判断水银柱会不会移动和向哪个方向移动。即
∴P2>P2'，因此水银柱应向原来温度高的那一侧移动。
　　这种解法如改用P－T(或P－t)图像来表述，将会更直观、鲜明。解题思路跟上面的一样，即先假定两边密闭容器中的气体体积暂不改变，分别根据查理定律P－T图上画出各自的等容线。如图所示。其中在分别为273K和293K的初温时气体压强相等即P0。再标出温度各自升高10K(10℃)后的压强值P2与P2'，并与P0比较标明两侧压强的变化量(P与(P'。显然从图中可以看出，由于两条等容线的斜率不等，致使在相等的温度增量的情况下，压强的增量不等，(P>(P'。因此应有P2 (=P0+( P)>P2'(=P0+(P')的结论。即水银柱应向原来温度较高的那一侧移动。
[解析]水银柱应向原来温度较高的那一侧移动。
题型三：由三条实验定律的任意两条证明第三条实验定律：
示例3：证明：由玻意耳定律、查理定律证明盖·吕萨克定律。
[分析]设初状态1为（P1，V1，T1），则末状态2为（P1，V2，T2），利用玻意耳定律和查理定律研究V1，T1与V2，T2的关系我们还需要构造一个中间状态，即3（P2，V1，T2），1(3为等容过程，根据查理定律，有P1/T1= P2/T2，3(2为等温过程，由玻意耳定律有P2·V1＝P1·V2，
[解析] P1/T1= P2/T2
P2·V1＝P1·V2
两式联立起来，化简得到V1/T1= V2/T2。
题型四：与牛顿运动定律的结合：
示例4：有一水银气压计放置在升降电梯中，静止时气压计上的读数为76cmHg，电梯运动时，发现气压计的读数为85cmHg，那么这时升降机的运动情况是（ ）
A．加速上升； B．加速下降； C．减速上升； D．失重。
[分析]由于大气压为76cmHg，85cmHg受到的重力大于大气的支持力，合外力方向向下，水银柱处于失重状态，升降电梯可能加速下降，也可能减速上升。
[解析]BCD正确
题型五：与能量的结合：
示例5：一气缸竖直放置，内截面积S=50cm2，质量m=10kg的活塞将一定质量的气体封闭在缸内，气体柱长h0=15cm，活塞用销子销住，缸内气体的压强P=2.4×105Pa，温度177℃。现拔去活塞销s（不漏气），不计活塞与气缸壁的摩擦。当活塞速度达到最大时，缸内气体的温度为57℃，外界大气压为1.0×105Pa。求：
（1）此时气体柱的长度h；
（2）如活塞达到最大速度vm=3m/s，则缸内气体对活塞做的功。
[分析]活塞达到速度最大的时候即为受力平衡的时候，用力的平衡计算出此时的压强，即可得到气体柱的体积。而缸内气体的压强是变化的，因此可用动能定理计算气体对外作的功。
[解析]（1）当活塞速度达到最大时，气体受力平衡
P2=P0+=1.0×105+Pa=1.2×105Pa
根据理想气体状态方程：


解得 l=22cm
（2）根据动能定律： W-mgh- P0Sh=
W=1.0×105×50×10-4×(0.22-0.15)+10×10×(0.22-0.15)+ J=87J
题型六：应用理想气体状态方程解综合性问题：
示例6：如图所示，一个上下都与大气相通的直圆筒，内部横截面的面积S=0.01m2，中间用两个活塞A与B封住一定质量的理想气体，A、B都可沿圆筒无摩擦地上、下滑动，但不漏气，A的质量可不计。B的质量为M，并与一劲度系数K=5×103N/m的较长的弹簧相连。已知大气压强P0=1×105Pa，平衡时两活塞间的距离L0=0.6m。现用力压A，使之缓慢向下移动一定距离后，保持平衡。此时，用于压A的力F=5×102N。求活塞A向下移的距离(假定气体温度保持不变。)
[分析]题中将气体的状态变化及气体、活塞、弹簧等的相互作用和受力平衡问题相互渗透结合在一起。涉及到的物体有A、B两个活塞、被封闭的气体以及弹簧等。它们在发生题设的变化前后都分别处于平衡状态。即使是在向下压A的缓慢变化的过程中，也可把气体的经历视为平衡过程，活塞和弹簧也分别经历一系列平衡状态。首先选定被封闭的气体为研究对象。但同时还应看到，被封闭气体的等温压缩、活塞B在平衡状态的受力变化以及弹簧在外界压力作用下的形变导致弹力发生变化等这几个物理过程都是被它们之间力的相互作用这条主线贯穿在一起的。为了循这条主线抓住其间的内在联系，在解题中还要根据需要适时地变换研究对象──如始终处于平衡状态的活塞B及形变中的弹簧等，进行必要的受力分析，建立与被封闭气体力的作用关系，理顺思路，即可逐一解决。
[解析]设被封闭气体在等温压缩过程，活塞A向下移动距离为L，活塞B向下移动距离为x，根据玻意耳定律有，由于在这个过程中，弹簧增加的压缩量也就是B向下移动的距离x，弹簧对B增加的弹力也就等于F，因此根据胡克定律有F=kx，将上面两式联立，消去x，代入数据，即可得活塞A向下移动的距离L=0.3m。
题型七：多过程的分析：
示例7：如图所示，在水平放置内壁光滑，截面积不等的气缸里，活塞A的截面积SA=10cm2，活塞B的截面积SB=20cm2。两活塞用质量不计的细绳连接，活塞A还通过细绳、定滑轮与质量为1kg的重物C相连，在缸内气温t1=227(Ｃ时，两活塞保持静止，此时两活塞离开气缸接缝处距离都是L=10cm，大气压强P0 =1.0×105Pa保持不变，试求：
（１）此时气缸内被封闭气体的压强；
（２）在温度由t１缓慢下降到t２=-23(Ｃ过程中，气缸内活塞A、B移动情况。
（３）当活塞A、B间细绳拉力为零时，气缸内气体的温度。
[分析]这是一个多过程的问题，须先把过程分析清楚后再求解。气体降低温度，首先发生等压变化，两活塞一起向左运动，至右边活塞到达卡口处；然后降低温度，气体发生等容变化，压强减小，绳子中的拉力减小，当绳子中的拉力减到零时，压强减到最小，然后再降低温度，气体又发生等压变化。
[解析]（1）根据受力平衡
P1=P0+=1.0×105+Pa
=1.1×105Pa
（2）温度降低后，气缸内活塞A、B向左移动。
（3）当活塞A、B间细绳拉力为零时，气体压强变化
P2=P0-=1.0×105-Pa=0.9×105Pa
再根据理想气体状态方程：

=
解得 T=273K
三、小试身手：
1．一定质量的气体保持体积不变，则下列说法错误的是（ ）
A．温度每升高1℃，其压强就增加1／273；
B．温度每降低l℃，其压强就减少0℃时压强的1／273；
C．气体压强的增量与温度的增量成正比；
D．p－t图像在p轴上的截距是它在0℃时的压强。
2．一定质量的理想气体，在体积不变时，当温度升高1℃时，压强的增加量恰为原来压强的l／280，则气体原来的温度应为 （ ）
A．3℃； B．0℃； C．3℃； D．7℃。
3．如图，玻璃管竖直放置在汞槽中，保持温度不变，把玻璃管慢慢提起时，管内汞面的高度将（ ）
A．减少； B．增大； C．不变； D．不能确定。
4．一定质量的理想气体处于某一初始状态，要使它的温度经过下列状态变化回到初始温度，下列可以实现的过程是( )
A．先等容升压，后等压膨胀；
B．先等容降压，后等压膨胀；
C．先等压膨胀，后等容降压；
D．先等压压缩，后等容降压。
5．如图所示容器，A、B中各有一个可自由移动的活塞，活塞下面是水，上面是大气，大气压恒定．A、B间用带有阀门K的管道相连，整个装置与外界绝热．开始时A的水面比B高，开启K，A中的水逐渐向B中流，最后达到平衡。在这个过程中（ ）
A．大气压力对水做功，水的内能增加；
B．水克服大气压力做功，水的内能减少；
C．大气压力对水不做功，水的内能不变；
D．大气压力对水不做功，水的内能增加。
6．图中表示0.2mol某种气体的压强与温度的关系，图中C点气体的压强Po为标准大气压，C点气体的体积为 L，气体在B状态中的体积是 L。
7．（1）如图所示，用一个带刻度的注射器及计算机辅助系统来探究气体的压强和体积关系，实验中应保持不变的参量是 ；所研究的对象是 ，它的体积可用 直接读出，它的压强是由图中 、 得到。
（2）实验过程中，下列哪些操作是错误的( )
A．推拉活塞时，动作要慢；
B．推拉活塞时，手不能握住注射器筒；
C．压强传感器与注射器之间的软管脱落后，应立即重新接上，继续实验并记录数据；
D．活塞和针筒之间要保持润滑又不漏气。
8．如图所示，竖直圆筒固定不动，粗筒横截面积是细筒的4倍，细筒足够长，粗筒中A、B两个轻质活塞间封有一定质量的空气，气柱长l=20cm，活塞A上方的水银面深H=10cm，两活塞与筒间的摩擦不计，用外力F向上托住活塞B，使之处于平衡状态，水银面与圆筒上端相平。现使活塞B缓慢上移，直至水银的一半被推入细筒中，求活塞上移的距离。设在整个过程中气柱的温度不变，大气压强P0为75cmHg。
9．高压锅的锅盖通过几个牙齿似的锅齿与锅镶嵌旋紧，锅盖与锅之间有橡皮制的密封圈，不会漏气，锅盖中间有一排气孔，上面套上类似砝码的限压阀，将排气孔堵住。当加热高压锅，锅内气体压强增加到一定程度时，气体就把限压阀顶起来，蒸汽即从排气孔排出锅外。已知某高压锅的限压阀的质量为0.1kg，排气孔直径为0.3cm，则锅内气体的压强最大可达多大?设压强每增加2.7cmHg，水的沸点相应增加1℃，则锅内的最高温度可达多高？
10．有人设计了一种测温装置，其结构如图所示。玻璃泡A内封有一定量气体，与A相连的B管插入汞槽中，管内汞面的高度x即可反映泡内气体的温度，即环境温度，并可由B管上的刻度直接读出。设B管的体积与A管相比可略去不计。
（1）在标准大气压下对B管进行温度刻度（标准大气压相当于76cm高的汞柱产生的压强）。已知温度t1＝0℃时，管内汞柱高度x1＝26cm，此高度即为0℃的刻度线，问t＝27℃的刻度线在x为多少厘米处？
（2）若大气压强改变为相当于75cm高的汞柱产生的压强。利用该测温装置测量温度时的读数是24℃，问此时的实际温度是多少？
（3）影响这类测温装置测量环境温度精确程度的因素可能有哪些？（列举1～2个因素）
四、生活中的物理：
输液装置
医生在给病人做静脉注射时，常用一套输液装置，其连接方式如下图所示。A是一个贮有药液的输液瓶，它倒置着悬挂在支架D上，在瓶的橡胶盖上插入一个连有乳胶管的针头，乳胶管的另一头也有一个针头，插在人手臂的静脉血管中，乳胶管的中部还有一个观察滴液的小瓶E和一个控制流量的开关K。此外在瓶盖上还插有一根带针头的小乳胶管，系在瓶的旁边，开口向上，作为通气管。输液瓶中的药液为什么会不断地、自动地流入静脉血管中去呢?
原来，正常输液时，瓶内气体的压强接近于大气压P0，设瓶内液体的液面离手臂注射的高度为H，液体的密度为(，当液体的压强(gH大于人体的血压时，药液就能输入人体。瓶内药液流出之后，气体体积膨胀，压强减小为P′。设液面与C管底部高度差为h，则当P′+(gh那么图中的H大约应保持多高呢?
因为人体的血压大约是1×105Pa至1.5×105Pa，相当于1m至1.5m高的水柱产生的压强，因此H应有1.5 m左右的高度。若H过低则血液会回流到乳胶管内。(静脉中血压比动脉中的血压低一些，因此H可比1.5 m低一些)
如图，A、B两瓶输液瓶通过导管连通，初始时两液面高度相同，C、D处的气体压强也相同。输液时，B瓶药液流入出液管，B瓶液面下降，B瓶上方D处气体体积增大，设温度不变，根据理想气体气体方程可知D处气体的压强P2减小，平衡破坏，药液从A瓶流向B瓶。A瓶开始时P0S=P1S+PAS，当A瓶液体流入B瓶时，PA减小，P0S>P1S+PA′S，大气进入A瓶到达C处，随着进入A瓶空气的增多，C处气体压强P1增大，PA减小，直到P0S=P1′S+PA′S时再次平衡，A瓶药液比B瓶药液先用完。