人教版九年级数学下册28.1锐角三角函数 教学设计

课题： 锐角三角函数（第一课时）
教材：人教版九年级下册28.1
【教学目标】
1. 经历回顾及提出问题的过程，能将实际问题转化为几何模型，感悟研究直角三角形边角关系的重要性．
2. 参与锐角三角函数定义的活动过程，会计算特殊角对应边的比值，能结合图形陈述锐角三角函数概念、表示方法、取值范围，体会概念形成过程和所蕴含的归纳、类比思想．
3. 通过求锐角三角函数值的活动，掌握特殊角的三角函数值，积累求锐角三角函数值的数学活动经验．
【教学重难点】
教学重点：通过求锐角三角函数值的活动，掌握特殊角的三角函数值，能用锐角三角函数解直角三角形．
教学难点：探索并认识锐角三角函数．
【教学方法与教学手段】
教学方法：自学．议论．引导教学法．
教学手段：利用生活中的实例引入教学，抽象出要解决的问题，师生共同探究归纳总结生成结论．
【教学过程】
1、 情境导入
活动1
问题 如图，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使水管出水口到水平面的高度为35m，那么需准备多长的管？





导图
【设计意图】对这样实际问题，教师引导学生如何将这一实际问题转化为数学模型，让学生在相互交流中获得结论.教师重点关注学生获取结论的过程，即是否运用“ = ”这一结论．
二、师生议学
探究1
问题 如果将上述问题中出水口到水平面的高度改为50m，那么需准备多长的水管？通过对前面问题和探究的思考，你有什么发现？
【设计意图】在学生自主探究，获得结论后，让他们相互交流各自体会，为掌握本节知识积累感性认识.最后教师与学生一道进行简要总结．
【归纳结论】在一个直角三角形中，如果一个锐角为30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于，是一个定值．
探究2
问题 如图1，如果将上述问题中的斜坡与水平面所成角的度数改成固定角度α，那么这个角的对边和斜边的比值还是定值吗？




图1
【设计意图】由特殊到一般的推理，学生可以利用相似三角形的性质发现当Bi点在射线AB上移动时，每个直角三角形中锐角对边和斜边的比值是定值.
【归纳结论】直角三角形中，锐角的对边和斜边的比值是定值．
探究3
问题 如果将上述问题中的斜坡与水平面所成角的度数改成变化的角度α，那么随着角的变化，这个角的对边和斜边的比值还是定值吗？
【设计意图】学生通过上述问题理解随着角的变化，这个
角的对边和斜边的比值也在变化，感悟比值就是这个角的
函数.



【归纳结论】如图2，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A
的正弦函数，记作sinA,即sinA=．




图2
【典例剖析】
例1 如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，求 sinA和sinB的值．




图3
活动2
探究4
问题 刚才我们研究了∠A的正弦函数，也就是∠A的对边和斜边之比，那么类似的还能提出哪些关于边之比的问题？
【设计意图】类比已经学过的知识，学生通过思考，自主建构，可能会提出邻边与斜边、对边与邻边、斜边与邻边、邻边与对边之比等各位结论，引导学生建构余弦、正切函数．
【归纳结论】我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦函数，记作cosA,即cosA=,我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切函数，记作tanA,即tanA=,初中阶段我们只研究这3个函数，这里sinA, cosA， tanA都是一个完整的符号，单独的“sin”没有意义．其中A前面的 “∠”一般省略不写．∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数．
探究5
问题 根据图形，能得出这三个三角函数的取值范围吗？
【设计意图】通过取值范围的探究，学生会更注重数形结合，能够加深对这三个函数的理解，有利于建立角与边之间的关系.
【归纳结论】00．
活动3
自主整理30°，45°，60°的三角函数值，小组交流结论，并提出猜想.
【设计意图】学生自主探究特殊角的三角函数值，进一步增加对三角函数的理解，同时为后续利用特殊角的三角函数值解决问题打下基础．
【归纳结论】

特殊角的三角函数值
三角函数 30° 45° 60°
sinA
cosA
tanA 1
除此之外还可能生成很多结论，比较重要的如：sinA= cos（90°－A），cosA=sin（90°－A）, tanA×tan（90°－A）=1，sin2A+cos2A=1等结论．
【典例剖析】
例2 （1）求sin45°cos60°－cos45°;
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，，求AB的长及sinB，cosA和tanA．
【设计意图】所选例题，可由学生自主探究完成.学生既能独立思考，又可相互合作，师生共同寻求解题方法，完成解答过程.本题学生先画图，利用图形的直观性来获得结论更好些.
【归纳结论】(2)利用参数思想，学生可以具体化对应边长，最终容易得出结论。
解：，设，则，，，
解得：或（舍，，，，，
．
三、运用新知
1. 如图4，在Rt△ABC中，是斜边上的高，，
则下列比值中不等于的是　　
A． B． C． D． 图4
2．求下列各式的值：
（1）cos260°+sin260°;
（2）．
3．如图5，一块平行四边的木板两条邻边的长分别为
20cm和10cm，它们之间的夹角的正弦值为，求
这块木板的面积． 图5
【设计意图】巩固已经学习的知识点，进一步增加其数学活动经验．
【答案】1. D 2. （1）1，（2）0 3. 120cm2
四、归纳总结
学生小结本节课学到的知识点，教师帮助完善．
五、板书设计

【教学说明】
相对于其他函数而言，锐角三角函数难度加大，主要是因为其他函数是以某一个实数作为自变量，并不是所有的函数都可以用象限图表示，而锐角三角函数是以角度作为自变量，每个种类的三角函数都可画出相应的象限图，并且有一定的规律可循。但是锐角三角函数这一章节的内容较为复杂，对于学生而言一时难以辨认三角函数的种类及算法，若老师在课堂上运用的教学方法不当，会严重影响学生学习效果，因此，老师在正式上课前必须做好教学设计工作，结合实际情况完善教学方法．采用从实际问题中抽象出研究问题的方式，能体现抽象能力、 模型化能力，能使学生感悟研究锐角三角函数的意义．按 “锐角的正弦—锐 角的余弦、正切—锐角三角函数”的教学顺序展开，并把教学的侧重点放在锐角的 正弦函数上，显得比较自然，贴近学生的最近发展区，有利于学生自主建构．





邻边