3.1.2 函数的单调性
第1课时 函数的单调性的定义与证明
学习目标 1.了解函数的单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.
3.会用定义证明函数的单调性.4.能通过变化率掌握函数递增(减)的充要条件．
知识点一 增函数与减函数的定义
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I?D.
(1)如果对任意x1，x2∈I，当x1
(2)如果对任意x1，x2∈I，当x1f(x2)，则称y＝f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减)．
思考 (1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？
(2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈M”改为“存在x1，x2∈M”？
答案 (1)不是 (2)不能
知识点二 函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在I上是增函数(或减函数)，则称函数在I上具有单调性，当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间．
特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
(2)单调区间I?定义域D.
(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．
知识点三 函数的平均变化率
1．一般地，若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，＝，则：
(1)y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是>0在I上恒成立；
(2)y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是＜0在I上恒成立．
2．一般地，当x1≠x2时，称＝为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率．
1．如果f(x)在区间[a，b]和(b，c]上都是增函数，则f(x)在区间[a，c]上是增函数．( × )
2．函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3)．( √ )
3．若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)4．若函数y＝f(x)在区间M上是增函数，则函数y＝－f(x)在区间M上是减函数．( √ )
一、利用图像判断函数的单调性
例1 (1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
解 y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上是减函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是增函数．
(2)作出函数f(x)＝的图像，并指出函数f(x)的单调区间．
解 f(x)＝的图像如图所示，
由图可知，函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2]，单调递增区间为[2，＋∞)．
反思感悟 (1)函数单调区间的两种求法
①图像法．即先画出图像，根据图像求单调区间．
②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
跟踪训练1 (1)函数y＝的单调递减区间是________．
答案 (－∞，1)，(1，＋∞)
解析 y＝的图像可由y＝的图像向右平移一个单位得到，如图，
所以单调减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．
(2)函数y＝|x2－2x－3|的图像如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性．
解 y＝|x2－2x－3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调递增区间是[－1,1]，[3，＋∞)．
二、函数单调性的判定与证明
例2 根据定义，研究函数f(x)＝在x∈(－1,1)上的单调性．
解 当a＝0时，f(x)＝0，在(－1,1)上不具有单调性，
当a≠0时，设x1，x2为(－1,1)上的任意两个数，且x1所以f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
因为x1，x2∈(－1,1)且x1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
所以>0，
当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(－1,1)上单调递减，
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在(－1,1)上单调递增．
综上，当a＝0时，f(x)在(－1,1)上不具有单调性；
当a>0时，f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f(x)在(－1,1)上单调递增．
反思感悟 利用定义判断或证明函数单调性的步骤
跟踪训练2 求证：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．
证明 对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1Δy＝f(x1)－f(x2)＝－＝＝.
∵x10，x1＋x2<0，xx>0.
∴＝－>0，
∴函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数．
对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1Δy＝f(x1)－f(x2)＝.
∵00，x2＋x1>0，xx>0.
∴＝－<0.
∴函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．
三、单调性的应用
例3 (1)已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围为________．
答案 (－∞，－3]
解析 f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的开口方向向上，对称轴为x＝1－a，
∵f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，∴4≤1－a，∴a≤－3，
∴a的取值范围是(－∞，－3]．
(2)若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)答案
解析 因为y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，
f(1－a)，
所以所求a的取值范围是.
延伸探究
在本例(2)中，若将定义域R改为(－1,1)，其他条件不变，则a的取值范围又是什么？
解 由题意可知
解得0因为f(x)在(－1,1)上是增函数，且f(1－a)所以1－a<2a－1，即a>.②
由①②可知，即所求a的取值范围是.
反思感悟 函数单调性的应用
(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．
(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，求实数a的取值范围．
解 函数f(x)＝x2－2ax－3的图像开口向上，
对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．
由图像可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性，
因此要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2，
从而a的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．
1．函数y＝的减区间是( )
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．(－∞，0)，(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
答案 C
2．函数f(x)在R上是减函数，则有( )
A．f(3)C．f(3)>f(5) D．f(3)≥f(5)
答案 C
解析 因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，所以f(3)>f(5)．
3．函数y＝|x＋2|在区间[－3,0]上( )
A．递减 B．递增
C．先减后增 D．先增后减
答案 C
解析 因为y＝|x＋2|
＝
作出y＝|x＋2|的图像，如图所示，
易知函数在[－3，－2]上为减函数，在[－2，0]上为增函数．
4．已知函数f(x)＝x2＋4上两点A，B，xA＝1，xB＝1.3，则直线AB的斜率为( )
A．2 B．2.3 C．2.09 D．2.1
答案 B
解析 f(1)＝5，f(1.3)＝5.69.
∴kAB＝＝＝2.3，故选B.
5．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)答案
解析 由题设得解得－1≤x<.
1．知识清单：
(1)增函数、减函数的定义．
(2)函数的单调区间．
2．方法归纳：数形结合法．
3．常见误区：函数的单调区间误用并集．
1．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是( )
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1,4]上单调递增
C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减
D．函数在区间[－5,5]上没有单调性
答案 C
解析 单调区间不能用“∪”连接．
2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( )
A．y＝3－x B．y＝x2＋1
C．y＝ D．y＝－|x＋1|
答案 B
解析 y＝x2＋1在(0,2)上是增函数．
3．若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则有( )
A．k> B．k>－ C．k< D．k<－
答案 C
4．若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是( )
A．f(a)>f(2a) B．f(a2)C．f(a2＋a)答案 D
解析 因为f(x)是区间(－∞，＋∞)上的减函数，
且a2＋1>a2，所以f(a2＋1)5．已知函数y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是( )
A．减函数且f(0)<0 B．增函数且f(0)<0
C．减函数且f(0)>0 D．增函数且f(0)>0
答案 A
解析 因为y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，
所以a<0，b<0，f(x)＝bx＋a为减函数且f(0)＝a<0，故选A.
6．已知函数f(x)＝则f(x)的单调递减区间是________．
答案 (－∞，1)
解析 当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，
所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)．
7．如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上是增函数，则实数a的取值范围为____．
答案 (－∞，2]
解析 因为二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的图像的对称轴为直线x＝，又函数f(x)在区间上是增函数，所以≤，解得a≤2.
8．已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)答案
解析 由题意，得解得1≤x<，
故满足条件的x的取值范围是.
9．已知函数f(x)＝，证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为减函数．
证明 任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
因为x2>x1>－1，
所以x2－x1>0，(x1＋1)(x2＋1)>0，
因此f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(－1，＋∞)上为减函数．
10．画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图像并写出函数的单调区间．
解 y＝
即y＝的图像如图所示，
单调增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间为(－1,0]和(1，＋∞)．
11．若函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，b)∪(b，c)上( )
A．必是增函数 B．必是减函数
C．是增函数或减函数 D．无法确定单调性
答案 D
解析 函数在区间(a，b)∪(b，c)上无法确定单调性．如y＝－在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性．
12．定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，则( )
A．f(3)C．f(2)答案 A
解析 对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，
则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，
则f(x)在R上是减函数．
又3>2>1，则f(3)13．已知函数f(x)＝若f(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围为________．
答案 [4,8)
解 因为f(x)是R上的增函数，直线单调递增且要在抛物线下方，所以
解得4≤a<8.
14．函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在(－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．
答案 [－3,0]
解析 ①a＝0时，f(x)＝－3x＋1在R上单调递减，
∴a＝0满足条件；
②a≠0时，f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1，
对称轴为x＝－，∴解得－3≤a<0.
由①②得－3≤a≤0，故a的取值范围是[－3,0]．
15．已知函数f(x)＝若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)
答案 A
解析 画出f(x)的图像(图略)可判断f(x)在R上单调递增，故f(4－a)>f(a)?4－a>a，解得a<2.
16．已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
解 设11.
因为函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
所以f(x1)－f(x2)＝x1－＋－
＝(x1－x2)<0.
因为x1－x2<0，所以1＋>0，即a>－x1x2.
因为11，
所以－x1x2<－1，所以a≥－1.
所以a的取值范围是[－1，＋∞)．
