3.2 函数与方程、不等式之间的关系
第1课时 函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
学习目标 1.体会函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系.2.通过一元二次函数的零点问题解一元二次不等式.3.了解高次不等式的解法．
知识点一 函数零点的概念
一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点．
思考 函数的零点是“点”吗？
答案 函数的零点不是点，而是函数y＝f(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一个实数．当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零．
知识点二 二次函数的零点与对应方程、不等式解集之间的关系
函数
y＝x2－2x－3
y＝x2－2x＋1
y＝x2－2x＋3
函数的图像
方程的实数根
x1＝－1，x2＝3
x1＝x2＝1
无实数根
不等式的解集
y＞0的解集(－∞，－1)
∪(3，＋∞)
y＞0的解集(－∞，1)
∪(1，＋∞)
y＞0的解集R
y＜0的解集(－1,3)
?
?
思考 函数的零点与方程的根及函数图像有何关系？
答案 函数f(x)的零点，即对应方程f(x)＝0的根，也是函数图像与x轴的交点横坐标．
1．所有的函数都有零点．( × )
2．若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1，0)，(x2，0)．( × )
3．f(x)＝x－只有一个零点．( × )
4．函数y＝x3－16x的零点有3个．( √ )
一、求函数的零点
例1 判断下列函数是否存在零点，若存在，则求出零点．
(1)f(x)＝x2－x－6；
(2)f(x)＝x3－x.
解 (1)方法一 由x2－x－6＝(x－3)(x＋2)＝0，得x1＝－2，x2＝3，
所以函数f(x)的零点是x1＝－2，x2＝3.
方法二 作出函数f(x)＝x2－x－6的图像，如图．
因为函数的图像是一条开口向上的抛物线，且f(0)＝－6<0，所以函数f(x)的图像与x轴有两个交点A(－2,0)，B(3,0)．故f(x)的零点是x1＝－2，x2＝3.
(2)因为x3－x＝x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)．
令f(x)＝0，即x(x－1)(x＋1)＝0，
所以f(x)的零点有x1＝0，x2＝1，x3＝－1.
反思感悟 函数零点的求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图像联系起来，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
跟踪训练1 若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．
解 由题意知f(－3)＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6，
∴f(x)＝x2＋x－6.
解方程x2＋x－6＝0，
得x＝－3或2.
∴函数f(x)其余的零点是2.
二、利用函数图像求不等式的解集
例2 解下列不等式：
(1)－x2＋5x－6>0；
(2)3x2＋5x－2≥0.
解 (1)设f(x)＝－x2＋5x－6，令f(x)＝0，
得－x2＋5x－6＝0，
即(x－2)(x－3)＝0，
从而x＝2或x＝3，
因此2和3都是函数f(x)的零点，从而f(x)的图像与x轴相交于(2,0)和(3,0)，
又因为函数的图像是开口向下的抛物线，
所以可以作出函数图像示意图，如图所示．
由图可知，
不等式的解集为(2,3)．
(2)设g(x)＝3x2＋5x－2，令g(x)＝0，
得3x2＋5x－2＝0，
即(x＋2)＝0.
从而x＝－2或x＝，
因此－2和都是函数g(x)的零点，从而g(x)的图像与x轴相交于(－2,0)和，
又因为函数的图像是开口向上的抛物线，
所以可以作出函数图像示意图，如图所示．
由图可知，
不等式的解集为(－∞，－2]∪.
反思感悟 解一元二次不等式的一般步骤
第一步：求函数的零点；
第二步：作出函数的图像；
第三步：求对应不等式的解集．
跟踪训练2 解下列不等式：
(1)4x2－4x＋1>0；
(2)－x2＋6x－10>0.
解 (1)∵方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝.作出函数y＝4x2－4x＋1的图像如图．由图可得原不等式的解集为∪.
(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，
∵Δ＝36－40＝－4<0，
∴方程x2－6x＋10＝0无实根，
∴原不等式的解集为?.
三、高次不等式的解法
例3 求函数f(x)＝(2x＋1)(x－1)(x－3)的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f(x)＞0和f(x)≤0的解集．
解 函数零点依次为－，1,3.
函数的定义域被这三个点分成了四部分，每一部分函数值的符号如下表所示.
x
(1,3)
(3，＋∞)
f(x)
－
＋
－
＋
由此可以画出函数图像的示意图如图所示．
由图可知f(x)＞0的解集为∪(3，＋∞)；
f(x)≤0的解集为∪[1,3]．
反思感悟 数轴穿根法的步骤
第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0(注意：一定要保证x前的系数为正数)；
第二步：将不等号换成等号解出所有根；
第三步：在数轴上从左到右依次标出各根；
第四步：画穿根线，以数轴为标准，从最右根的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过次右根，一上一下依次穿过各根；
第五步：观察不等号，如果不等号为＞，则取数轴上方穿根线以内的范围；如果不等号为＜，则取数轴下方穿根线以内的范围．
跟踪训练3 求函数f(x)＝(x＋1)(x＋2)(2x－3)的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f(x)≤0的解集．
解 函数零点依次为－2，－1，.
函数的定义域被这三个点分成了四部分，每一部分函数值的符号如下表所示.
x
(－∞，－2)
(－2，－1)
f(x)
－
＋
－
＋
由此可以画出函数图像的示意图如图所示．
所以f(x)≤0的解集为(－∞，－2]∪.
1．y＝x－2的图像与x轴的交点坐标及其零点分别是( )
A．2,2 B．(2,0)，2
C．－2，－2 D．(－2,0)，－2
答案 B
解析 由y＝x－2，得当y＝0时，x＝2，故交点坐标为(2,0)，由函数零点的定义知，函数y＝x－2的零点是2.
2．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是( )
A．－，－1 B.，1 C.，－1 D．－，1
答案 B
解析 方程2x2－3x＋1＝0的根为x1＝1，x2＝.
3．不等式x2－4x＋3＜0的解集为( )
A．(1,3) B．(－∞，1]∪[3，＋∞)
C．(－3，－1) D．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)
答案 A
解析 作出函数y＝x2－4x＋3的图像(图略)，由图可知选A.
4．已知某函数f(x)的图像如图所示，则函数y＝f(x)的最大零点所在的区间是________．(取整数区间，区间长度为1)
答案 (6,7)
解析 在函数f(x)与x轴所有的交点中，最右边的那个交点所对的坐标就是函数的最大零点，即此函数的最大零点所在的区间为(6,7)．
5．不等式(x＋1)(x－2)(x－3)＜0的解集为________．
答案 (－∞，－1)∪(2,3)
解析 函数的零点为－1,2,3.
利用数轴穿根法作出函数图像的示意图(略)，
不等式(x＋1)(x－2)(x－3)＜0的解集为(－∞，－1)∪(2,3)．
1．知识清单：
(1)函数零点的概念．
(2)由函数图像解不等式．
2．方法归纳：图像法、数轴穿根法．
3．常见误区：一元二次不等式含字母时需要讨论．
1．下列四个函数图像，在区间(－∞，0)内，函数fi(x)(i＝1,2,3,4)中有零点的是( )
答案 B
解析 由函数图像可知，f2(x)在(－∞，0)上与x轴有交点，故f2(x)在(－∞，0)上有零点．
2．下列函数没有零点的是( )
A．f(x)＝0 B．f(x)＝2 C．f(x)＝x2－1 D．f(x)＝x－
答案 B
解析 对于选项B，f(x)＝2表示对任意实数x，函数值都等于2，∴不存在x使f(x)＝0，∴f(x)＝2无零点．
3．若函数f(x)的零点与g(x)＝2x－2的零点相同，则f(x)可以是( )
A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝x2＋4x－5 D．f(x)＝x2－1
答案 B
解析 令g(x)＝2x－2＝0，得x＝1，
∴g(x)的零点为1.
由题意知方程f(x)＝0只有x＝1一个根．
只有选项B中函数f(x)＝(x－1)2满足．
4．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(1)＝0，且a>b>c，则该函数的零点个数为( )
A．1 B．2 C．0 D．不能确定
答案 B
解析 f(1)＝a＋b＋c＝0，又a>b>c，
∴a>0，c<0，
∴Δ＝b2－4ac>0，
即函数的零点有2个．
5．若一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根，则有( )
A．a<0 B．a>0 C．a<－1 D．a>1
答案 A
解析 方法一 令f(x)＝ax2＋2x＋1(a≠0)，
∵其图像经过(0,1)点，
∴欲使方程有一正根和一负根(即f(x)图像与x轴的交点一个在y轴左边，一个在y轴右边)，需满足a<0.
方法二 设方程两根为x1，x2，由题意得
∴∴a<0.
6．函数f(x)＝2x2－ax＋3有一零点为，则f(1)＝________.
答案 0
解析 ∵是f(x)的零点，
∴2×2－a×＋3＝0，
∴a＝5，∴f(x)＝2x2－5x＋3，
∴f(1)＝0.
7．不等式2x2－9x＋4≥0的解集为________．
答案 ∪[4，＋∞)．
解析 设f(x)＝2x2－9x＋4，令f(x)＝0，
得2x2－9x＋4＝0，
即(2x－1)(x－4)＝0.
从而x＝或x＝4，
因此和4都是函数f(x)的零点，从而f(x)的图像与x轴相交于和(4,0)，
又因为函数的图像是开口向上的抛物线，
所以可以作出函数图像示意图，如图所示，
由图可知：
不等式的解集为∪[4，＋∞)．
8．已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，其零点为x1，x2，x3，x4，x5，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝________.
答案 0
解析 由奇函数的对称性知：若f(x1)＝0，
则f(－x1)＝0，
即零点关于原点对称，且f(0)＝0，
故x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝0.
9．已知函数y＝x2－ax－b的零点为2和3，求函数f(x)＝bx2－ax－1的零点．
解 由2＋3＝a,2×3＝－b，得a＝5，b＝－6，
∴f(x)＝－6x2－5x－1，令f(x)＝0，得x1＝－，x2＝－.
∴函数f(x)的零点是－，－.
10．利用函数图像求下列不等式的解集．
(1)－x2－2x＋3＞0；
(2)x3－x2－4x＋4＜0.
解 设f(x)＝－x2－2x＋3，令f(x)＝0，
得－x2－2x＋3＝0，
即(x＋3)(x－1)＝0.
从而x＝－3或x＝1，
因此－3和1都是函数f(x)的零点，从而f(x)的图像与x轴相交于(－3,0)和(1,0)，
又因为函数的图像是开口向下的抛物线，
所以可以作出函数图像示意图，如图所示，
由图可知：
不等式的解集为(－3,1)．
(2)设g(x)＝x3－x2－4x＋4＝(x3－x2)－(4x－4)
＝x2(x－1)－4(x－1)
＝(x－1)(x2－4)
＝(x－1)(x＋2)(x－2)，
所以函数零点依次为－2,1,2.
函数的定义域被这三个点分成了四部分，每一部分函数值的符号如下表所示.
x
(－∞，－2)
(－2,1)
(1,2)
(2，＋∞)
g(x)
－
＋
－
＋
由此可以画出函数图像的示意图如图所示．
由图可知 x3－x2－4x＋4＜0的解集为(－∞，－2)∪(1,2)．
11．方程x3＋x－1＝0的一个根存在区间可能是( )
A．[0,1] B．[1,2]
C．[2,3] D．[3,4]
答案 A
解析 原方程可化为x3＝－x＋1，
由y＝x3与y＝x＋1的图像(图略)知两函数图像的交点横坐标在(0,1)之间，故原方程的根在[0,1]之间．
12．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是__________________．
答案 ∪
解析 原不等式等价于6x2＋x－2≥0.方程6x2＋x－2＝0的两根为－，，可得原不等式的解集为∪.
13．函数f(x)＝的零点为________．
答案 －3，
解析 令x2＋2x－3＝0，得x1＝1，x2＝－3，
又x≤0，∴x＝－3是函数的一个零点，由－2＋x2＝0，得
x＝±.
又x>0，∴x＝为函数的零点．故f(x)的零点为－3，.
14．设函数f(x)＝(x>0)．
(1)若0
(2)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，则m的取值范围是________．
答案 2 (0,1)
15．函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1，x2，且x12且x2>5；③x1<2且x2>5；④25；⑤x1＋x2＝7.其中错误的有________．
答案 ①②④
解析 令g(x)＝(x－2)(x－5)，则f(x)＝g(x)－1，
∴函数y＝f(x)的零点就是函数g(x)＝(x－2)(x－5)与函数y＝1图像交点的横坐标．
在同一坐标系内画出g(x)＝(x－2)(x－5)的图像与y＝1的图像如图所示，结合图像知只有③⑤正确．∴①②④错误．
16．已知函数f(x)＝x3－4x，
(1)求函数的零点并画出函数的草图；
(2)解不等式xf(x)<0.
解 (1)因为x3－4x＝x(x－2)(x＋2)，
所以所给函数的零点为0，－2,2，
3个零点把定义域分成4个区间：
(－∞，－2]，(－2,0]，(0,2]，(2，＋∞)，
由于f(－3)＝－15，f(－1)＝3，f(1)＝－3，f(3)＝15.
相邻两个零点之间的所有函数值保持同号，函数的草图如图所示．
(2)不等式xf(x)<0等价于
或结合函数图像得不等式的解集为(－2,0)∪(0,2)．
课件31张PPT。第1课时 函数的零点及其与对应方程、
不等式解集之间的关系第三章 3.2 函数与方程、不等式之间的关系学习目标XUEXIMUBIAO1.体会函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系.
2.通过一元二次函数的零点问题解一元二次不等式.
3.了解高次不等式的解法.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 函数零点的概念
一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称____为函数y＝f(x)的零点.思考 函数的零点是“点”吗？答案 函数的零点不是点，而是函数y＝f(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一个实数.当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零.α知识点二 二次函数的零点与对应方程、不等式解集之间的关系x1＝－1，x2＝3无实数根(－∞，－1)∪(3，＋∞)(－∞，1)∪(1，＋∞)(－1,3)?R思考 函数的零点与方程的根及函数图像有何关系？答案 函数f(x)的零点，即对应方程f(x)＝0的根，也是函数图像与x轴的交点横坐标.思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.所有的函数都有零点.( )
2.若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1，0)，(x2，0).
( )
3. 只有一个零点.( )
4.函数y＝x3－16x的零点有3个.( )×××√2题型探究PART TWO例1 判断下列函数是否存在零点，若存在，则求出零点.
(1)f(x)＝x2－x－6；一、求函数的零点解 方法一 由x2－x－6＝(x－3)(x＋2)＝0，得x1＝－2，x2＝3，
所以函数f(x)的零点是x1＝－2，x2＝3.
方法二 作出函数f(x)＝x2－x－6的图像，如图.因为函数的图像是一条开口向上的抛物线，且f(0)＝－6<0，
所以函数f(x)的图像与x轴有两个交点A(－2,0)，B(3,0).
故f(x)的零点是x1＝－2，x2＝3.(2)f(x)＝x3－x.解 因为x3－x＝x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1).
令f(x)＝0，即x(x－1)(x＋1)＝0，
所以f(x)的零点有x1＝0，x2＝1，x3＝－1.反思感悟函数零点的求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图像联系起来，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.跟踪训练1 若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点.解 由题意知f(－3)＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6，
∴f(x)＝x2＋x－6.
解方程x2＋x－6＝0，
得x＝－3或2.
∴函数f(x)其余的零点是2.例2 解下列不等式：
(1)－x2＋5x－6>0；二、利用函数图像求不等式的解集解 设f(x)＝－x2＋5x－6，令f(x)＝0，
得－x2＋5x－6＝0，
即(x－2)(x－3)＝0，
从而x＝2或x＝3，
因此2和3都是函数f(x)的零点，从而f(x)的图像与x轴相交于(2,0)和(3,0)，
又因为函数的图像是开口向下的抛物线，
所以可以作出函数图像示意图，如图所示.由图可知，
不等式的解集为(2,3).(2)3x2＋5x－2≥0.解 设g(x)＝3x2＋5x－2，令g(x)＝0，
得3x2＋5x－2＝0，又因为函数的图像是开口向上的抛物线，
所以可以作出函数图像示意图，如图所示.
由图可知，反思感悟解一元二次不等式的一般步骤
第一步：求函数的零点；
第二步：作出函数的图像；
第三步：求对应不等式的解集.跟踪训练2 解下列不等式：
(1)4x2－4x＋1>0；作出函数y＝4x2－4x＋1的图像如图.(2)－x2＋6x－10>0.解 原不等式可化为x2－6x＋10<0，
∵Δ＝36－40＝－4<0，
∴方程x2－6x＋10＝0无实根，
∴原不等式的解集为?.例3 求函数f(x)＝(2x＋1)(x－1)(x－3)的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f(x)＞0和f(x)≤0的解集.三、高次不等式的解法函数的定义域被这三个点分成了四部分，每一部分函数值的符号如下表所示.由此可以画出函数图像的示意图如图所示.反思感悟数轴穿根法的步骤
第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0(注意：一定要保证x前的系数为正数)；
第二步：将不等号换成等号解出所有根；
第三步：在数轴上从左到右依次标出各根；
第四步：画穿根线，以数轴为标准，从最右根的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过次右根，一上一下依次穿过各根；
第五步：观察不等号，如果不等号为＞，则取数轴上方穿根线以内的范围；如果不等号为＜，则取数轴下方穿根线以内的范围.跟踪训练3 求函数f(x)＝(x＋1)(x＋2)(2x－3)的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f(x)≤0的解集.函数的定义域被这三个点分成了四部分，每一部分函数值的符号如下表所示.由此可以画出函数图像的示意图如图所示.3随堂演练PART THREE1.y＝x－2的图像与x轴的交点坐标及其零点分别是
A.2,2 B.(2,0)，2
C.－2，－2 D.(－2,0)，－2解析 由y＝x－2，得当y＝0时，x＝2，
故交点坐标为(2,0)，
由函数零点的定义知，函数y＝x－2的零点是2.√123452.函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是12345√3.不等式x2－4x＋3＜0的解集为
A.(1,3) B.(－∞，1]∪[3，＋∞)
C.(－3，－1) D.(－∞，－3]∪[－1，＋∞)解析 作出函数y＝x2－4x＋3的图像(图略)，由图可知选A.√123454.已知某函数f(x)的图像如图所示，则函数y＝f(x)的最大零点所在的区间是______.(取整数区间，区间长度为1)解析 在函数f(x)与x轴所有的交点中，最右边的那个交点所对的坐标就是函数的最大零点，
即此函数的最大零点所在的区间为(6,7).12345(6,7)5.不等式(x＋1)(x－2)(x－3)＜0的解集为___________________.解析 函数的零点为－1,2,3.
利用数轴穿根法作出函数图像的示意图(略)，
不等式(x＋1)(x－2)(x－3)＜0的解集为(－∞，－1)∪(2,3).12345(－∞，－1)∪(2，3)1.知识清单：
(1)函数零点的概念.
(2)由函数图像解不等式.
2.方法归纳：图像法、数轴穿根法.
3.常见误区：一元二次不等式含字母时需要讨论.课堂小结KE TANG XIAO JIE本课结束第2课时 零点的存在性及其近似值的求法
学习目标 1.理解函数零点存在定理.2.会用二分法求函数变号零点的近似值，并能对二分法的过程作出程式化的步骤．
知识点一 函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间[a，b]中至少有一个零点，即?x0∈[a，b]，f(x0)＝0.
思考 所有函数的图像都是连续不断的吗？试举例说明．
答案 不是，如反比例函数y＝.
知识点二 二分法
1．定义：
对于在区间[a，b]上的图像连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点的方法叫做二分法．
2．用二分法求函数零点的一般步骤
已知函数y＝f(x)是定义在区间[a，b]上的连续函数，且f(a)f(b)<0，给定近似的精度 ε ，用二分法求零点x0的近似值x1，使得|x1－x0|＜ε的一般步骤如下：
第一步：检查|b－a|<2ε是否成立，如果成立，取x1＝，计算结束；如果不成立，转到第二步．
第二步：计算区间[a，b]的中点对应的函数值，若f ＝0，取x1＝，计算结束；若f ≠0，转到第三步．
第三步：若f(a)f <0，将的值赋给b，回到第一步；若f f(b)<0，将的值赋给a，回到第一步．
1．二分法所求出的方程的解都是近似解．( × )
2．函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．( × )
3．用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．( × )
4．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.( × )
一、二分法的概念
例1 下面关于二分法的叙述，正确的是( )
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循
D．只有在求函数零点时才用二分法
答案 B
解析 只有函数的图像在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号时，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错；求方程的近似解也可以用二分法，故D错．
反思感悟 运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图像在零点附近连续不断；
(2)在该零点左右函数值异号．
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．
跟踪训练1 已知函数f(x)的图像如图所示，其中零点的个数及可以用二分法求近似解的零点的个数分别为( )
A．4,4 B．3,4
C．5,4 D．4,3
答案 D
解析 由图像知函数f(x)与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足函数值异号，因此不能用二分法求零点近似解，而其余3个均可使用二分法求零点近似解．
二、变号零点与不变号零点的判断
例2 分别求出下列函数的零点，并指出是变号零点还是不变号零点．
(1)f(x)＝3x－6；
(2)f(x)＝x2－x－12；
(3)f(x)＝x2－2x＋1；
(4)f(x)＝(x－2)2(x＋1)x.
解 (1)零点是2，是变号零点．
(2)零点是－3和4，都是变号零点．
(3)零点是1，是不变号零点．
(4)零点是－1,0和2，其中变号零点是0和－1，不变号零点是2.
反思感悟 函数f(x)在[a，b]上的图像连续不间断，若f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在该区间上至少有一个变号零点，也可能有多个变号零点，还可能有不变号零点，但至少有一个变号零点是肯定的．这一结论可直接应用于函数变号零点判定之中．
跟踪训练2 判断下列函数是否有变号零点：
(1)y＝x2－5x－14；
(2)y＝x2＋x＋1；
(3)y＝x4－18x2＋81.
解 (1)零点是－2,7，是变号零点．函数有变号零点．
(2)无零点．函数无变号零点．
(3)零点是－3,3，都不是变号零点．函数无变号零点．
三、用二分法求函数零点的近似解
例3 求函数f(x)＝x5－x3－3x2＋3最右边的一个零点．(精确度0.01)
解 ∵f(x)＝x5－x3－3x2＋3
＝x3(x2－1)－3(x2－1)
＝(x＋1)(x－1)(x3－3)，
∴f(x)最右边的一个零点的横坐标就是方程x3－3＝0的根．令g(x)＝x3－3，以下用二分法求函数g(x)的零点．
由于g(1)＝1－3＝－2<0，g(2)＝23－3＝5>0，
故可取[1,2]作为计算的初始区间，列表如下：
零点所在区间
区间中点
中点函数近似值
[1,2]
1.5
g(1.5)＝0.375>0
[1,1.5]
1.25
g(1.25)≈－1.046 9<0
[1.25,1.5]
1.375
g(1.375)≈－0.400 4<0
[1.375,1.5]
1.437 5
g(1.437 5)≈－0.029 5<0
[1.437 5，1.5]
1.468 75
g(1.468 75)≈0.168 4>0
[1.437 5，1.468 75]
1.453 125
g(1.453 125)≈0.068 4>0
[1.437 5，1.453 125]
1.445 312 5
∵|1.453 125－1.437 5|＝0.015 625<2×0.01，
∴方程x3＝3的根的近似值可取为1.445 312 5.
故函数f(x)最右边的一个零点的近似值为1.445 312 5.
反思感悟 (1)用二分法求函数的零点应遵循的原则：
首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的零点，又要使其长度尽量小；其次要根据给定的精确度，及时检验所得区间的端点值之差的绝对值是否小于精确度的2倍，以决定是停止还是继续计算．
(2)用二分法求函数的零点的近似值，可借助于计算器一步步求解即可．在计算时可借助表格或数轴清晰地描述，逐步缩小零点所在的区间的过程．在区间两端点之差的绝对值小于精确度的2倍时，运算结束．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝x3－x－2，用二分法求它的一个正实数零点．(精确度0.06)
解 由f(1)＝－2<0，f(2)＝4>0，可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，具体如表.
零点所在区间
区间中点
中点的函数值
[1,2]
x0＝＝1.5
f(x0)＝－0.125<0
[1.5,2]
x1＝＝1.75
f(x1)≈1.609 4>0
[1.5,1.75]
x2＝＝1.625
f(x2)≈0.666 0>0
[1.5,1.625]
x3＝＝1.562 5
f(x3)≈0.252 2>0
[1.5,1.562 5]
x4＝＝1.531 25
由表中数据可知，|1.562 5－1.5|＝0.062 5<2×0.06，
所以所求函数的一个正实数零点近似值为1.531 25.
1．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2，－1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
答案 A
解析 由于f(－2)＝－3<0，f(－1)＝4>0，故可以取区间[－2，－1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．
2．在用二分法求方程f(x)＝0在(1,3)内近似解的过程中，得到f(1)<0，f(2)>0，f(1.5)<0，则方程的根所在区间为( )
A．(1.5,2) B．(1,1.5)
C．(2,3) D．不能确定
答案 A
解析 由题意知f(1.5)·f(2)<0，所以方程的根在区间(1.5,2)内．
3．下图中的函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
答案 A
解析 虽然这四个函数的图像在零点附近都是连续不断的，但由于A项中的函数不满足“函数在该零点左右函数值异号”，故只有A项不满足零点存在的条件，因此正确答案应为A项．
4．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( )
A．ε越大，零点的精确度越高
B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
答案 B
解析 依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．
5．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.437 5) ＝0.162
f(1.406 25) ＝－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为________．
答案 1.437 5
解析 根据题意知函数的零点在区间[1.375,1.5]内时，|1.5－1.375|＝0.125<2×0.1，故方程的一个近似根为1.437 5.
1．知识清单：
(1)函数零点存在定理．
(2)二分法的概念．
(3)求方程的近似解
2．常见误区：f(a)f(b)<0是连续函数存在零点的充分不必要条件，求近似解时精确度理解不准确．
1．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A．x1 B．x2 C．x3 D．x4
答案 C
解析 由图知x1，x2，x4是变号零点，可用二分法求出，x3不是变号零点，不能用二分法求出．
2．对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2 019)<0，f(2 020)<0，f(2 021)>0，则下列叙述正确的是( )
A．函数f(x)在(2 019,2 020)内不存在零点
B．函数f(x)在(2 020,2 021)内不存在零点
C．函数f(x)在(2 020,2 021)内存在零点，并且仅有一个
D．函数f(x)在(2 019,2 020)内可能存在零点
答案 D
解析 由题意得，f(x)在(2 019,2 020)内可能存在零点，在(2 020,2 021)内至少存在一个变号零点．
3．已知连续函数f(x)的部分对应值如下表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f(x)
14
8
－2
2
7
3
－2
－1
8
则函数f(x)在区间[1,9]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案 C
解析 ∵f(2)＝8>0，f(3)＝－2<0，f(4)＝2>0，
f(6)＝3>0，f(7)＝－2<0，f(8)＝－1<0，f(9)＝8>0，
∴f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，
f(6)·f(7)<0，f(8)·f(9)<0，
∴在(2,3)，(3,4)，(6,7)，(8,9)上都至少各有一个零点，
∴至少有4个零点，故选C.
4．函数f(x)＝x3－2x2＋3x－6在区间[－2,4]上的零点必定属于( )
A．[－2,1] B．[2.5,4]
C．[1,1.75] D．[1.75,2.5]
答案 D
解析 ∵f(－2)＝－28<0，f(4)＝38>0，
f(1)＝－4<0，f(2.5)＝4.625>0，
f(1.75)＝－1.515 625<0.
∴f(x)在[－2,4]上的零点必定属于[1.75,2.5]．故选D.
5．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度0.03的正实数零点的近似值为( )
A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6
答案 C
解析 已知f(0.64)<0，f(0.72)>0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]．又0.68＝(0.64＋0.72)，且f(0.68)<0，所以零点在区间[0.68,0.72]上，此时|0.72－0.68|＝0.04<2×0.03，＝0.7，所以0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．
6．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图像是一条连续的曲线，且f(1)＝－6<0，f(4)＝6>0.由零点存在定理可知函数在[1,4]内有零点．用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)＝________.
答案 －2.25
解析 [1,4]的中点为2.5.
f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.
7．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________.(填区间)
答案 (2,3)
解析 ∵f(2)f(4)<0，f(2)f(3)<0，
∴f(3)f(4)>0，故x0∈(2,3)．
8．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)<0，判断f(x)＝0在[a，b]内的实根情况．
解 f(x)＝－x－x3的图像在[a，b]上是连续的，并且是单调递减的，又因为f(a)·f(b)<0，可得f(x)＝0在[a，b]内有唯一一个实根．
9．借助计算器，用二分法求函数f(x)＝2x2－3x－1的一个正零点近似值．(精确度0.1)
解 令2x2－3x－1＝0，
得x＝.
其中1<<2，
由于f(1)＝－2<0，f(2)＝1>0，
可取区间[1,2]作为计算的初始区间，
用二分法逐步计算，列表如下：
零点所在区间
区间中点
中点的函数值
[1,2]
x1＝＝1.5
f(x1)＝－1<0
[1.5,2]
x2＝＝1.75
f(x2)＝－0.125<0
[1.75,2]
x3＝＝1.875
f(x3)＝0.406 25>0
[1.75,1.875]
x4＝＝1.812 5
|1.875－1.75|＝0.125<2×0.1，
所求函数的一个正零点近似值为1.812 5.
10．用二分法求方程x2－5＝0的一个正零点近似值．(精确度0.05)
解 令f(x)＝x2－5，
因为f(2.2)＝－0.16＜0，f(2.4)＝0.76＞0，
所以f(2.2)·f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0.
取区间[2.2,2.4]的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29，
因为f(2.2)·f(2.3)＜0，
所以x0∈[2.2,2.3]．
再取区间[2.2,2.3]的中点x2＝2.25，
f(2.25)＝0.062 5，
因为f(2.2)·f(2.25)＜0，
所以x0∈[2.2,2.25]．
由于|2.25－2.2|＝0.05＜2×0.05，
因此原方程的正零点近似值可取为＝2.225.
11．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0，x∈R)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
m
－4
－6
－6
－4
n
6
不求a，b，c的值，可以判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根所在的区间是( )
A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
答案 A
解析 由题意知，f(－3)·f(－1)<0，f(2)·f(4)<0.故选A.
12．若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图像是连续的，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一实根0，则f(－1)·f(1)的值( )
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．无法判断
答案 D
解析 根据连续函数零点的性质，若如图所示0是不变号零点，则f(－1)·f(1)>0；若0是变号零点，则f(－1)·f(1)<0.
13．已知函数y＝f(x)为[0,1]上的连续函数，且f(0)·f(1)<0使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到0.1，则需对区间至多等分的次数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
14．已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法中正确的是______．(填序号)
①函数f(x)在区间内一定有零点
②函数f(x)在区间或内有零点
③函数f(x)在区间内无零点
④函数f(x)在区间或内有零点，或零点为x＝
答案 ④
解析 根据二分法原理，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，因此零点应存在于区间或中或f＝0.
15．设方程2x＋x3＝10的唯一正实根为β，β所在区间为(n，n＋1)，n∈N＋，则n＝________.
答案 1
解析 设f(x)＝2x＋x3－10，
又f(0)＝－10，f(1)＝－7，f(2)＝2，
∴f(1)·f(2)＜0，∴β∈(1,2)，n＝1.
16．已知函数f(x)＝|x2－2x|－a，
(1)若函数f(x)没有零点，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围；
(3)若函数f(x)有三个零点，求实数a的取值范围；
(4)若函数f(x)有四个零点，求实数a的取值范围．
解 令|x2－2x|－a＝0，则|x2－2x|＝a，构造函数g(x)＝|x2－2x|，y＝a，作出函数g(x)＝|x2－2x|的图像，
如图所示，由图像可知：
(1)当a<0时，a≠|x2－2x|，
此时函数y＝a与y＝g(x)的图像没有交点．
即函数f(x)没有零点．
(2)当a＝0或a>1时，函数y＝a与y＝g(x)的图像有两个交点，即f(x)有两个零点．
(3)当a＝1时，函数y＝a与y＝g(x)的图像有三个交点，即f(x)有三个零点．
(4)当0课件29张PPT。第2课时 零点的存在性及其近似值的求法第三章 3.2 函数与方程、不等式之间的关系学习目标XUEXIMUBIAO1.理解函数零点存在定理.
2.会用二分法求函数变号零点的近似值，并能对二分法的过程作出程式化的步骤.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是__________的，并且__________(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间[a，b]中至少有一个零点，即?x0∈[a，b]，________.思考 所有函数的图像都是连续不断的吗？试举例说明.连续不断f(a)f(b)<0f(x0)＝0知识点二 二分法1.定义：
对于在区间[a，b]上的图像连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点的方法叫做二分法.2.用二分法求函数零点的一般步骤
已知函数y＝f(x)是定义在区间[a，b]上的连续函数，且f(a)f(b)<0，给定近似的精度ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得|x1－x0|＜ε的一般步骤如下：
第一步：检查|b－a|<2ε是否成立，如果成立，取 ，计算结束；如果不成立，
转到第二步.思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.二分法所求出的方程的解都是近似解.( )
2.函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点.( )
3.用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内.
( )
4.若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.( )××××2题型探究PART TWO例1 下面关于二分法的叙述，正确的是
A.用二分法可求所有函数零点的近似值
B.用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C.二分法无规律可循
D.只有在求函数零点时才用二分法一、二分法的概念解析 只有函数的图像在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号时，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错；
二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错；
求方程的近似解也可以用二分法，故D错.√反思感悟运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图像在零点附近连续不断；
(2)在该零点左右函数值异号.
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点.跟踪训练1 已知函数f(x)的图像如图所示，其中零点的个数及可以用二分法求近似解的零点的个数分别为A.4,4
B.3,4
C.5,4
D.4,3√解析 由图像知函数f(x)与x轴有4个交点，因此零点个数为4，
从左往右数第4个交点两侧不满足函数值异号，
因此不能用二分法求零点近似解，而其余3个均可使用二分法求零点近似解.例2 分别求出下列函数的零点，并指出是变号零点还是不变号零点.
(1)f(x)＝3x－6；二、变号零点与不变号零点的判断解 零点是2，是变号零点.(2)f(x)＝x2－x－12；解 零点是－3和4，都是变号零点.(3)f(x)＝x2－2x＋1；解 零点是1，是不变号零点.(4)f(x)＝(x－2)2(x＋1)x.解 零点是－1,0和2，其中变号零点是0和－1，不变号零点是2.反思感悟函数f(x)在[a，b]上的图像连续不间断，若f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在该区间上至少有一个变号零点，也可能有多个变号零点，还可能有不变号零点，但至少有一个变号零点是肯定的.这一结论可直接应用于函数变号零点判定之中.跟踪训练2 判断下列函数是否有变号零点：
(1)y＝x2－5x－14；解 零点是－2,7，是变号零点.函数有变号零点.解 无零点.函数无变号零点.解 零点是－3,3，都不是变号零点.函数无变号零点.(2)y＝x2＋x＋1；(3)y＝x4－18x2＋81.例3 求函数f(x)＝x5－x3－3x2＋3最右边的一个零点.(精确度0.01)三、用二分法求函数零点的近似解解 ∵f(x)＝x5－x3－3x2＋3
＝x3(x2－1)－3(x2－1)
＝(x＋1)(x－1)(x3－3)，
∴f(x)最右边的一个零点的横坐标就是方程x3－3＝0的根.
令g(x)＝x3－3，以下用二分法求函数g(x)的零点.
由于g(1)＝1－3＝－2<0，g(2)＝23－3＝5>0，故可取[1,2]作为计算的初始区间，列表如下：∵|1.453 125－1.437 5|＝0.015 625<2×0.01，
∴方程x3＝3的根的近似值可取为1.445 312 5.
故函数f(x)最右边的一个零点的近似值为1.445 312 5.反思感悟(1)用二分法求函数的零点应遵循的原则：
首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的零点，又要使其长度尽量小；其次要根据给定的精确度，及时检验所得区间的端点值之差的绝对值是否小于精确度的2倍，以决定是停止还是继续计算.
(2)用二分法求函数的零点的近似值，可借助于计算器一步步求解即可.在计算时可借助表格或数轴清晰地描述，逐步缩小零点所在的区间的过程.在区间两端点之差的绝对值小于精确度的2倍时，运算结束.跟踪训练3 已知函数f(x)＝x3－x－2，用二分法求它的一个正实数零点.(精确度0.06)解 由f(1)＝－2<0，f(2)＝4>0，可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，具体如表.由表中数据可知，|1.562 5－1.5|＝0.062 5<2×0.06，
所以所求函数的一个正实数零点近似值为1.531 25.3随堂演练PART THREE1.用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是
A.[－2，－1] B.[－1,0]
C.[0,1] D.[1,2]解析 由于f(－2)＝－3<0，f(－1)＝4>0，
故可以取区间[－2，－1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算.12345√2.在用二分法求方程f(x)＝0在(1,3)内近似解的过程中，得到f(1)<0，f(2)>0，f(1.5)<0，则方程的根所在区间为
A.(1.5,2) B.(1,1.5)
C.(2,3) D.不能确定√解析 由题意知f(1.5)·f(2)<0，
所以方程的根在区间(1.5,2)内.123453.下图中的函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是解析 虽然这四个函数的图像在零点附近都是连续不断的，
但由于A项中的函数不满足“函数在该零点左右函数值异号”，
故只有A项不满足零点存在的条件，因此正确答案应为A项.12345√4.用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是
A.ε越大，零点的精确度越高
B.ε越大，零点的精确度越低
C.重复计算次数就是ε
D.重复计算次数与ε无关解析 依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低.√123455.若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：解析 根据题意知函数的零点在区间[1.375,1.5]内时，
|1.5－1.375|＝0.125<2×0.1，
故方程的一个近似根为1.437 5.12345那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为________.1.437 51.知识清单：
(1)函数零点存在定理.
(2)二分法的概念.
(3)求方程的近似解
2.常见误区：f(a)f(b)<0是连续函数存在零点的充分不必要条件，求近似解时精确度理解不准确.课堂小结KE TANG XIAO JIE本课结束