3.3 函数的应用
学习目标 初步体会分段函数、一次函数、二次函数等函数模型的广泛应用，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题．
知识点一 一次函数模型
形如y＝kx＋b的函数为一次函数模型，其中k≠0.
知识点二 二次函数模型
1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
3两点式：y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)．
1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图像是( )
答案 C
解析 由题意，先匀速行驶，位移时间图像应是直线，停留一段时间，应该是平行于x轴的一段线段，之后加速，应该是上凸的曲线．
2．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x%，八月份的销售额比七月份增加x%，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7 000万元，则x的最小值为________．
答案 20
解析 由题意得七月份的销售额为500(1＋x%)万元，八月份的销售额为500(1＋x%)2万元，记一月份至十月份的销售总额为y万元，则y＝3 860＋500＋2[500·(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥
7 000，解得1＋x%≤－(舍去)或1＋x%≥，即x%≥20%，所以x的最小值为20.
一、一次函数模型的应用实例
例1 某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，则报刊亭摊主应该每天从报社买进________份报纸，才能使每月所获利润最大．
答案 400
解析 设每天从报社买进x份(250≤x≤400)报纸，
每月所获利润是y元，则每月售出报纸共(20x＋10×250)份，
每月退回报社报纸共10×(x－250)份．
依题意得，y＝(0.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08)×10(x－250)．
即y＝0.16(20x＋2 500)－0.16(10x－2 500)，
化简得y＝1.6x＋800，其中250≤x≤400，
因为此一次函数(y＝kx＋b，k≠0)的k＝1.6>0，
所以y是一个单调增函数，再由250≤x≤400知，
当x＝400时，y取得最大值，
此时y＝1.6×400＋800＝1 440(元)．
所以每天买进400份可使每月所获利润最大，获利1 440元．
反思感悟 一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图像是一条直线．
(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解．
跟踪训练1 某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李．若超过规定的质量，则需购买行李票，行李费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数，其图像如图所示．
(1)根据图像数据，求y与x之间的函数关系式；
(2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少？
解 (1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．
由图像可知，当x＝60时，y＝6；
当x＝80时，y＝10.
所以解得k＝，b＝－6.
所以y与x之间的函数关系式为y＝
(2)根据题意，当y＝0时，x≤30.
所以旅客最多可免费携带行李的质量为30 kg.
二、二次函数模型的应用实例
例2 牧场中羊群的最大蓄养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率．已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．(空闲率为空闲量与最大蓄养量的比值)
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
(2)求羊群年增长量的最大值；
(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．
解 (1)根据题意，由于最大蓄养量为m只，实际蓄养量为x只，
则蓄养率为，故空闲率为1－，
由此可得y＝kx(0(2)对原二次函数配方，得y＝－(x2－mx)
＝－2＋.
即当x＝时，y取得最大值.
(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，
则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量，
即0因为当x＝时，ymax＝，
所以0<＋解得－2又因为k>0，所以0反思感悟 利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
(2)注意：取得最值的自变量与实际意义是否相符．
跟踪训练2 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示.
销售单价/元
6
7
8
9
10
11
12
日均销售量/桶
480
440
400
360
320
280
240
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
解 由表中数据可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，
设在进价的基础上增加x元后，日均销售利润为y元，
在此情况下的日均销售量为480－40(x－1)＝(520－40x)(桶)．
令520－40x>0，则0y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200
＝－40(x－6.5)2＋1 490,0易知，当x＝6.5时，y有最大值．
所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大利润．
三、分段函数模型
例3 某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(μg)与时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；
(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4 μg时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午7：00，问一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？
解 (1)依题意得y＝
(2)设第二次服药在第一次服药后t1小时，
则－t1＋＝4，
解得t1＝4，
因而第二次服药应在11：00.
设第三次服药在第一次服药后t2小时，
则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，
即有－t2＋－(t2－4)＋＝4，
解得t2＝9小时，
故第三次服药应在16：00.
设第四次服药在第一次服药后t3小时(t3＞10)，
则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量应为第二、第三次的和－(t3－4)＋－(t3－9)＋＝4，
解得t3＝13.5小时，
故第四次服药应在20：30.
反思感悟 (1)分段函数模型的应用
分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间．对每一个区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式．需注意分段函数的最值是各区间上所得最值的最大者或最小者．
(2)应用分段函数时的三个注意点
①分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
②分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
③分段函数的值域求法为：先求各段函数值的范围，再求各段函数值范围的并集.
跟踪训练3 经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N＋)，前30天价格为g(t)＝t＋30(1≤t≤30，t∈N＋)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N＋)．
(1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；
(2)求日销售额S的最大值．
解 (1)根据题意得
S＝
即S＝
(2)①当1≤t≤30，t∈N＋时，S＝－(t－20)2＋6 400，
当t＝20时，S的最大值为6 400.
②当31≤t≤50，t∈N＋时，S＝－90t＋9 000为减函数，
当t＝31时，S的最大值是6 210.
因为6 210<6 400，
所以当t＝20时，日销售额S有最大值6 400.
1．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )
A．200副 B．400副
C．600副 D．800副
答案 D
解析 每天的利润W(x)＝10x－y
＝10x－(5x＋4 000)
＝5x－4 000.
令W(x)≥0，∴5x－4 000≥0，解得x≥800.
∴为了不亏本，日产手套至少为800副．
2．一辆汽车在某段路程中的行驶速度v(km/h)与时间t(h)的关系图像如图所示，则当t＝2时，汽车已行驶的路程为( )
A．100 km B．125 km
C．150 km D．225 km
答案 C
解析 t＝2时，汽车行驶的路程为
s＝50×0.5＋75×1＋100×0.5＝25＋75＋50
＝150(km)．
3．生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂所获利润最大时应生产的机器台数为________．
答案 50
解析 设安排生产x台，则获得利润
f(x)＝25x－y＝－x2＋100x
＝－(x－50)2＋2 500.
故当x＝50台时，所获利润最大．
4．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______ m.
答案 3
解析 设隔墙的长为x m，矩形面积为S m2，
则S＝x·＝x(12－2x)＝－2x2＋12x
＝－2(x－3)2＋18,0所以当x＝3时，S有最大值为18.
5．某单位建造一间占地面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m．房屋正面的造价为400 元/m2，房屋侧面的造价为150 元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为________m时，总造价最低．
答案 4
解析 由题意可得，造价y＝3＋5 800＝900＋5 800(0则y＝900＋5 800≥900×2＋5 800＝13 000(元)，
当且仅当x＝，即x＝4时取等号．
故当侧面的长度为4 m时，总造价最低．
1．知识清单：实际问题中三种函数模型：一次函数模型，二次函数模型，分段函数模型．
2．方法归纳：
解函数应用题的基本步骤：审题，建模，求模，还原．
3．常见误区：函数的实际应用问题易忽视函数的定义域．
1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )
A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000，x∈N)
B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N)
C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000，x∈N)
D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N)
答案 D
解析 由题意知，变速车存车数为(2 000－x)辆次，
则总收入y＝0.5x＋(2 000－x)×0.8
＝0.5x＋1 600－0.8x
＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N)．
2．一种新型电子产品计划投产两年后，使成本降低36%，那么平均每年应降低成本( )
A．18% B．20%
C．24% D．36%
答案 B
解析 设平均每年降低成本x，
则(1－x)2＝0.64，得x＝0.2＝20%.
3.某公司市场营销人员的个人月收入y与其每月的销售量x成一次函数关系，其图像如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量的收入是( )
A．310元 B．300元 C．290元 D．280元
答案 B
解析 设y＝kx＋b(k≠0)，代入(1,800)和(2,1 300)，
则得
所以y＝500x＋300，当x＝0时，y＝300.
4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A．15 B．40 C．25 D．130
答案 C
解析 令y＝60，若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；
若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；
若1.5x＝60，
则x＝40<100，不合题意，
故拟录用人数为25.
5．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为( )
A．30元 B．42元 C．54元 D．越高越好
答案 B
解析 设当每件商品的售价为x元时，每天获得的销售利润为y元．
由题意得，y＝m(x－30)＝(x－30)(162－3x)．
上式配方得y＝－3(x－42)2＋432.
所以当x＝42时，利润最大．
6.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是________．(填序号)
①甲比乙先出发；②乙比甲跑的路程多；③甲、乙两人的速度相同；④甲比乙先到达终点．
答案 ④
解析 由题图知，甲、乙两人S与t的关系均为直线上升，路程S的增长速度不变，即甲、乙均为匀速运动，但甲的速度快．又甲、乙的路程S取值范围相同，即跑了相同的路程，故甲用时少，先到终点．
7．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10 min，那么y＝f(x)的解析式为________________．
答案 y＝f(x)＝
解析 由题图知所求函数是一个分段函数，且各段均是直线，可用待定系数法求得
y＝f(x)＝
8．某电脑公司2018年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2020年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2018年到2020年每年经营总收入的年增长率相同，则2019年预计经营总收入为________万元．
答案 1 300
解析 设从2018年到2020年每年经营总收入的年增长率为x.
由题意，得2018年经营总收入为＝1 000(万元)，
则有1 000(1＋x)2＝1 690.
解得x＝0.3，
故2019年预计经营总收入为
1 000(1＋0.3)＝1 300(万元)．
9．某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图像解决下列问题：
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，每天至少卖出多少张门票？
解 (1)由图像知，当x∈[0,200]时，可设y＝kx＋b(k≠0)，
代入点(0，－1 000)和(200,1 000)，
解得k＝10，b＝－1 000，
从而y＝10x－1 000，x∈[0,200]．
当x∈(200,300]时，设y＝k′x＋b′，代入点(200,500)和(300,2 000)，
解得k′＝15，b′＝－2 500，
从而y＝15x－2 500，x∈(200,300]．
所以y＝
(2)每天的盈利额超过1 000元，则x∈(200,300]，
由15x－2 500>1 000得，x>，
故每天至少需要卖出234张门票．
10．某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司有电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑12台．现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台．已知从甲地运往A，B两地每台电脑的运费分别是40元和30元，从乙地运往A，B两地每台电脑的运费分别是80元和50元．
(1)设甲地调运x台至B地，该公司运往A，B两地的总运费为y元，求y关于x的函数解析式；
(2)若总运费不超过1 000元，问能有几种调运方案？
解 (1)甲地调运x台到B地，
则剩下(6－x)台电脑调运到A地；
乙地应调运(8－x)台电脑至B地，运往A地12－(8－x)＝(x＋4)台电脑(0≤x≤6，x∈N)，
则总运费y＝30x＋40(6－x)＋50(8－x)＋80(x＋4)＝20x＋960，
所以y＝20x＋960(x∈N，且0≤x≤6)．
(2)若使y≤1 000，
即20x＋960≤1 000，得x≤2.
又0≤x≤6，x∈N，
所以0≤x≤2，x∈N.
所以x＝0,1,2，即有3种调运方案．
11．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0时到6时，该水池的蓄水量如图丙所示．
给出以下3个论断：
①0点到3点只进水不出水；
②3点到4点不进水只出水；
③4点到6点不进水不出水．
则一定正确的是( )
A．① B．①②
C．①③ D．①②③
答案 A
解析 由甲乙两图知，出水的速度是进水的2倍，所以0点到3点只进水不出水，3点到4点水量减少，则一个进水口进水，另一个关闭，出水口出水；4点到6点水量不变，可能是不进水不出水或两个进水口进水，一个出水口出水，所以只有①正确，故选A.
12．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供几人洗澡？( )
A．3人 B．4人
C．5人 D．6人
答案 B
解析 水箱内水量y＝200＋2t2－34t，
当t＝时，y有最小值，
此时共放水34×＝289(升)，≈4.4，
故至多可供4人洗澡．
13.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图所示，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x，y应分别为________．
答案 15,12
解析 由题干图知x，y满足关系式＝，
即y＝24－x，
矩形的面积S＝xy＝x＝－(x－15)2＋180，
故x＝15，y＝12时，S取最大值．
14．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速率v的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为______海里/小时时，总费用最少为________元．
答案 40 48
解析 设每小时的总费用为y元，则y＝kv2＋96，
又当v＝10时，k×102＝6，解得k＝0.06，
所以每小时的总费用y＝0.06v2＋96，
匀速行驶10海里所用的时间为小时，
故总费用为W＝y＝(0.06v2＋96)＝0.6v＋
≥2＝48，
当且仅当0.6v＝，即v＝40时等号成立．
故总费用最少时轮船的速度为40海里/小时，总费用最少为48元．
15．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1 000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )
A．a＝45，b＝－30 B．a＝30，b＝－45
C．a＝－30，b＝45 D．a＝－45，b＝－30
答案 A
解析 设生产x吨产品全部卖出，获利润为y元，
则y＝xQ－P＝x－
＝x2＋(a－5)x－1 000(x>0)．
由题意知，当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40.
所以解得
16．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解 (1)设旅行团人数为x，飞机票价格为y元，
则y＝
即y＝
(2)设旅行社获利S元，
则S＝
即S＝
S＝900x－15 000在区间(0,30]上单调递增，
当x＝30时，S取最大值12 000.
当x∈(30,75]时，S＝－10(x－60)2＋21 000，
当x＝60时，S取最大值21 000.
故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．
课件35张PPT。3.3 函数的应用第三章 函数学习目标XUEXIMUBIAO初步体会分段函数、一次函数、二次函数等函数模型的广泛应用，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 一次函数模型
形如_________的函数为一次函数模型，其中_____.
知识点二 二次函数模型
1.一般式：___________________.
2.顶点式：___________________.
3.两点式：_____________________.y＝kx＋bk≠0y＝ax2＋bx＋c(a≠0)y＝a(x－h)2＋k(a≠0)y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN1.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图像是√解析 由题意，先匀速行驶，位移时间图像应是直线，停留一段时间，应该是平行于x轴的一段线段，之后加速，应该是上凸的曲线.2.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x%，八月份的销售额比七月份增加x%，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7 000万元，则x的最小值为____.20解析 由题意得七月份的销售额为500(1＋x%)万元，
八月份的销售额为500·(1＋x%)2万元，
记一月份至十月份的销售总额为y万元，
则y＝3 860＋500＋2[500· (1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，即x%≥20%，所以x的最小值为20.2题型探究PART TWO例1 某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，则报刊亭摊主应该每天从报社买进_____份报纸，才能使每月所获利润最大.一、一次函数模型的应用实例400解析 设每天从报社买进x份(250≤x≤400)报纸，
每月所获利润是y元，则每月售出报纸共(20x＋10×250)份，
每月退回报社报纸共10×(x－250)份.
依题意得，y＝(0.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08)×10(x－250).
即y＝0.16(20x＋2 500)－0.16(10x－2 500)，
化简得y＝1.6x＋800，其中250≤x≤400，
因为此一次函数(y＝kx＋b，k≠0)的k＝1.6>0，
所以y是一个单调增函数，再由250≤x≤400知，
当x＝400时，y取得最大值，
此时y＝1.6×400＋800＝1 440(元).
所以每天买进400份可使每月所获利润最大，获利1 440元.反思感悟一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图像是一条直线.
(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解.跟踪训练1 某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李.若超过规定的质量，则需购买行李票，行李费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数，其图像如图所示.(1)根据图像数据，求y与x之间的函数关系式；解 设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0).
由图像可知，当x＝60时，y＝6；
当x＝80时，y＝10.(2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少？解 根据题意，当y＝0时，x≤30.
所以旅客最多可免费携带行李的质量为30 kg.例2 牧场中羊群的最大蓄养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率.已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0).(空闲率为空闲量与最大蓄养量的比值)
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；二、二次函数模型的应用实例解 根据题意，由于最大蓄养量为m只，实际蓄养量为x只，(2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围.解 由题意知为给羊群留有一定的生长空间，
则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量，
即0又因为k>0，所以0(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.
(2)注意：取得最值的自变量与实际意义是否相符.跟踪训练2 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示.请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？解 由表中数据可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，
设在进价的基础上增加x元后，日均销售利润为y元，
在此情况下的日均销售量为480－40(x－1)＝(520－40x)(桶).
令520－40x>0，则0y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200
＝－40(x－6.5)2＋1 490,0易知，当x＝6.5时，y有最大值.
所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大利润.例3 某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(μg)与时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线.三、分段函数模型(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4 μg时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午7：00，问一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？解 设第二次服药在第一次服药后t1小时，解得t1＝4，
因而第二次服药应在11：00.
设第三次服药在第一次服药后t2小时，
则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，解得t2＝9小时，
故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t3小时(t3＞10)，解得t3＝13.5小时，
故第四次服药应在20：30.反思感悟(1)分段函数模型的应用
分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间.对每一个区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式.需注意分段函数的最值是各区间上所得最值的最大者或最小者.
(2)应用分段函数时的三个注意点
①分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.
②分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
③分段函数的值域求法为：先求各段函数值的范围，再求各段函数值范围的并集. 跟踪训练3 经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的
函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N＋)，前30天价格为g(t)＝
＋30(1≤t≤30，t∈N＋)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N＋).
(1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；(2)求日销售额S的最大值.解 ①当1≤t≤30，t∈N＋时，S＝－(t－20)2＋6 400，
当t＝20时，S的最大值为6 400.
②当31≤t≤50，t∈N＋时，S＝－90t＋9 000为减函数，
当t＝31时，S的最大值是6 210.
因为6 210<6 400，
所以当t＝20时，日销售额S有最大值6 400.3随堂演练PART THREE1.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为
A.200副 B.400副
C.600副 D.800副解析 每天的利润W(x)＝10x－y
＝10x－(5x＋4 000)
＝5x－4 000.
令W(x)≥0，∴5x－4 000≥0，解得x≥800.
∴为了不亏本，日产手套至少为800副.√123452.一辆汽车在某段路程中的行驶速度v(km/h)与时间t(h)的关系图像如图所示，则当t＝2时，汽车已行驶的路程为解析 t＝2时，汽车行驶的路程为s＝50×0.5＋75×1＋100×0.5＝25＋75＋50
＝150(km).12345A.100 km
B.125 km
C.150 km
D.225 km√3.生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂所获利润最大时应生产的机器台数为_____.解析 设安排生产x台，则获得利润f(x)＝25x－y＝－x2＋100x
＝－(x－50)2＋2 500.
故当x＝50台时，所获利润最大.50123454.用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为___ m.解析 设隔墙的长为x m，矩形面积为S m2，123453＝－2(x－3)2＋18,0所以当x＝3时，S有最大值为18.5.某单位建造一间占地面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m.房屋正面的造价为400 元/m2，房屋侧面的造价为150 元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为____m时，总造价最低.123454故当侧面的长度为4 m时，总造价最低.1.知识清单：实际问题中三种函数模型：一次函数模型，二次函数模型，分段函数模型.
2.方法归纳：
解函数应用题的基本步骤：审题，建模，求模，还原.
3.常见误区：函数的实际应用问题易忽视函数的定义域.课堂小结KE TANG XIAO JIE本课结束
