微专题1 不等式恒成立、能成立问题
在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理，数学运算等素养．
一、“Δ”法解决恒成立问题
例1 (1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围；
(2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意．
当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，∵y<0恒成立，
∴其图像都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点．
∴解得－1
综上，实数k的取值范围是(－1,0]．
(2)原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0，
∵该不等式对任意实数x恒成立，∴Δ≤0，
即4－4(a2－3a－3)≤0，即a2－3a－4≥0，
解得a≤－1或a≥4，
∴实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[4，＋∞)．
反思感悟 (1)如图①一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立?一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R?二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像恒在x轴上方?ymin>0?
(2)如图②一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立?一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R?二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像恒在x轴下方?ymax<0?
二、数形结合法解决恒成立问题
例2 当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求m的取值范围．
解 令y＝x2＋mx＋4.
∵y<0在[1,2]上恒成立．
∴x2＋mx＋4＝0的根一个小于1上，另一个大于2.
如图，
得
∴
∴m的取值范围是(－∞，－5)．
反思感悟 结合函数的图像将问题转化为函数图像的对称轴，区间端点的函数值或函数图像的位置(相对于x轴)关系求解．可结合相应一元二次方程根的分布解决问题．
三、分离参数法解决恒成立问题
例3 设函数y＝mx2－mx－1,1≤x≤3，若y<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
解 y<－m＋5恒成立，
即m(x2－x＋1)－6<0恒成立，
∵x2－x＋1＝2＋>0，
又m(x2－x＋1)－6<0，
∴m<.
∵y＝＝在1≤x≤3上的最小值为，
∴只需m<即可．∴m的取值范围为.
反思感悟 通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题．
四、主参换位法解决恒成立问题
例4 已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围．
解 y<0?mx2－mx－6＋m<0?(x2－x＋1)m－6<0.
∵1≤m≤3，
∴x2－x＋1<恒成立，
∴x2－x＋1<?x2－x－1<0?∴x的取值范围为.
反思感悟 转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解．
五、利用图像解决能成立问题
例5 当10有解，则实数m的取值范围为________．
答案 (－5，＋∞)
解析 记y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图像知，不等式x2＋mx＋4>0(10或2m＋8>0，解得m>－5.
反思感悟 结合二次函数的图像，将问题转化为端点值的问题解决．
六、转化为函数的最值解决能成立问题
例6 若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围．
解 ∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，
∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，
∴m≥2x2－8x＋6能成立，
令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，
∴m≥－2，
∴m的取值范围为[－2，＋∞)．
反思感悟 能成立问题可以转化为m>ymin或m课件17张PPT。微专题1 不等式恒成立、能成立问题第二章 等式与不等式在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理，数学运算等素养.例1 (1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围；一、“Δ”法解决恒成立问题解 当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意.
当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，∵y<0恒成立，
∴其图像都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点.综上，实数k的取值范围是(－1,0].(2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.解 原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0，
∵该不等式对任意实数x恒成立，∴Δ≤0，
即4－4(a2－3a－3)≤0，即a2－3a－4≥0，
解得a≤－1或a≥4，
∴实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[4，＋∞).反思感悟(1)如图①一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立?一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R?二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的
图像恒在x轴上方?ymin>0?(2)如图②一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立?一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R?二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像恒在x轴
下方?ymax<0?例2 当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求m的取值范围.二、数形结合法解决恒成立问题解 令y＝x2＋mx＋4.
∵y<0在[1,2]上恒成立.
∴x2＋mx＋4＝0的根一个小于1上，另一个大于2.
如图，∴m的取值范围是(－∞，－5).反思感悟结合函数的图像将问题转化为函数图像的对称轴，区间端点的函数值或函数图像的位置(相对于x轴)关系求解.可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.例3 设函数y＝mx2－mx－1,1≤x≤3，若y<－m＋5恒成立，求m的取值范围.三、分离参数法解决恒成立问题解 y<－m＋5恒成立，
即m(x2－x＋1)－6<0恒成立，又m(x2－x＋1)－6<0，反思感悟通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题.例4 已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围.四、主参换位法解决恒成立问题解 y<0?mx2－mx－6＋m<0?(x2－x＋1)m－6<0.
∵1≤m≤3，反思感悟转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解.例5 当10有解，则实数m的取值范围为___________.五、利用图像解决能成立问题(－5，＋∞)解析 记y＝x2＋mx＋4，
则由二次函数的图像知，不等式x2＋mx＋4>0(1即m＋5>0或2m＋8>0，解得m>－5.反思感悟结合二次函数的图像，将问题转化为端点值的问题解决.解 ∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，
∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，
∴m≥2x2－8x＋6能成立，
令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，
∴m≥－2，
∴m的取值范围为[－2，＋∞).六、转化为函数的最值解决能成立问题反思感悟能成立问题可以转化为m>ymin或m在解答均值不等式的问题时，常常会用加项、凑项、凑系数、分离常数、整体代换等技巧，而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用．
一、加项变换
例1 已知关于x的不等式x＋≥7在x>a上恒成立，则实数a的最小值为________．
答案 5
解析 ∵x>a，
∴x－a>0，
∴x＋＝(x－a)＋＋a≥2＋a，
当且仅当x＝a＋1时，等号成立，
∴2＋a≥7，即a≥5.
反思感悟 加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用均值不等式求解．
二、平方后使用均值不等式
例2 若x>0，y>0，且2x2＋＝8，则x的最大值为________．
答案
解析 (x)2＝x2(6＋2y2)＝3·2x2
≤3·2＝3×2.
当且仅当2x2＝1＋，即x＝，y＝时，等号成立．
故x的最大值为.
三、展开后求最值
例3 若a，b是正数，则的最小值为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 C
解析 ∵a，b是正数，
∴＝1＋＋＋4＝5＋＋
≥5＋2＝5＋4＝9，
当且仅当b＝2a时取“＝”．
四、常数代换法求最值
例4 已知x，y是正数，且x＋y＝1，则＋的最小值为( )
A. B. C．2 D．3
答案 B
解析 由x＋y＝1得(x＋2)＋(y＋1)＝4，
即[(x＋2)＋(y＋1)]＝1，
∴＋＝·[(x＋2)＋(y＋1)]
＝
≥(5＋4)＝，
当且仅当x＝，y＝时“＝”成立，故选B.
反思感悟 通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用均值不等式求最值的式子，达到解题的目的．
五、代换减元求最值
例5 若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________．
答案 8
解析 ∵实数x，y满足xy＋3x＝3，
∴x＝，∴0<<，
解得y>3.
则＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当y＝4，x＝时取等号．
反思感悟 在解含有两个以上变元的最值问题时，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个或一个变元的问题，再使用均值不等式求解．
六、建立求解目标不等式求最值
例6 已知a，b是正数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，则3a＋4b的最小值等于________．
答案 6－1
解析 a，b是正数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，
即有(a＋b)(a＋2b＋1)＝9，
即(2a＋2b)(a＋2b＋1)＝18，
可得3a＋4b＋1＝(2a＋2b)＋(a＋2b＋1)
≥2＝6，
当且仅当2a＋2b＝a＋2b＋1时，上式取得等号，
即有3a＋4b的最小值为6－1.
例7 已知a>0，b>0，且a＋b＋＋＝5，则a＋b的取值范围是( )
A．1≤a＋b≤4 B．a＋b≥2
C．14
答案 A
解析 ∵a＋b＋＋＝5，
∴a＋b＋＝5.
∵a>0，b>0，ab≤2，
∴≥，
∴a＋b＋≥a＋b＋，
∴a＋b＋≤5，
即(a＋b)2－5(a＋b)＋4≤0，
∴(a＋b－4)(a＋b－1)≤0，
即1≤a＋b≤4，
当a＝b＝时，左边等号成立，
当a＝b＝2时，右边等号成立，故选A.
反思感悟 利用均值不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等式的解集即得求解目标的最值．
课件15张PPT。微专题2 均值不等式的应用技巧第二章 等式与不等式在解答均值不等式的问题时，常常会用加项、凑项、凑系数、分离常数、整体代换等技巧，而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用.解析 ∵x>a，
∴x－a>0，一、加项变换5当且仅当x＝a＋1时，等号成立，
∴2＋a≥7，即a≥5.反思感悟加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用均值不等式求解.二、平方后使用均值不等式A.7 B.8 C.9 D.10三、展开后求最值√解析 ∵a，b是正数，当且仅当b＝2a时取“＝”.四、常数代换法求最值解析 由x＋y＝1得(x＋2)＋(y＋1)＝4，√反思感悟通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用均值不等式求最值的式子，达到解题的目的.解得y>3.五、代换减元求最值8反思感悟在解含有两个以上变元的最值问题时，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个或一个变元的问题，再使用均值不等式求解.例6 已知a，b是正数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，则3a＋4b的最小值等于_______.六、建立求解目标不等式求最值解析 a，b是正数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，
即有(a＋b)(a＋2b＋1)＝9，
即(2a＋2b)(a＋2b＋1)＝18，
可得3a＋4b＋1＝(2a＋2b)＋(a＋2b＋1)当且仅当2a＋2b＝a＋2b＋1时，上式取得等号，例7 已知a>0，b>0，且 ，则a＋b的取值范围是
A.1≤a＋b≤4 B.a＋b≥2
C.14√即(a＋b)2－5(a＋b)＋4≤0，
∴(a＋b－4)(a＋b－1)≤0，
即1≤a＋b≤4，当a＝b＝2时，右边等号成立，故选A.反思感悟利用均值不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等式的解集即得求解目标的最值.本课结束微专题3 函数性质的综合问题
一、利用函数的奇偶性、单调性比较大小
例1 已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，且在[0,5]上是单调函数，若f(－4)A．f(－1)C．f(－3)答案 D
解析 由题意可得，函数f(x)在[－5,0]上也是单调函数，再根据f(－4)f(1)．
二、利用奇函数、偶函数的图像解不等式
例2 设函数f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)
答案 C
解析 利用函数的性质画出函数f(x)的简图如图，
所以不等式xf(x)<0可化为或
由图可知x>2或x<－2，故选C.
三、利用函数的奇偶性、单调性解不等式
例3 奇函数f(x)是定义在(－1,1)上的减函数，若f(m－1)＋f(3－2m)<0，求实数m的取值范围．
解 原不等式化为f(m－1)<－f(3－2m)．
因为f(x)是奇函数，所以f(m－1)因为f(x)是减函数，
所以m－1>2m－3，所以m<2.
又f(x)的定义域为(－1,1)，
所以－1所以0综上得1故实数m的取值范围是(1,2)．
反思感悟 解决此类不等式问题时一定要充分利用已知条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)四、利用函数的奇偶性、单调性求最值
例4 已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝若f(x)在上的最大值为m，最小值为n，求m＋n.
解 如图，画出f(x)在(0，＋∞)上的图像，
由图知，当x∈时，
f(x)的最小值为f(1)＝－1，
又f ＝2，f(4)＝5，
所以f(x)的最大值为f(4)＝5.
又f(x)为奇函数，所以当x∈时，
f(x)的最大值为f(－1)＝－f(1)＝1，
f(x)的最小值为f(－4)＝－f(4)＝－5.
所以m＝1，n＝－5，故m＋n＝1－5＝－4.
反思感悟 解决此类求最值问题应充分利用：奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性且图像关于原点对称；偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性且图像关于y轴对称．
五、抽象函数的性质应用
例5 函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.
(1)求证：f(x)在R上是增函数；
(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m－2)<3.
(1)证明 设x1，x2∈R，且x1则x2－x1>0，f(x2－x1)>1.
∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)
＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)
＝f(x2－x1)－1>0.
∴f(x2)>f(x1)．故f(x)在R上是增函数．
(2)解 ∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，
∴f(2)＝3.
∴原不等式可化为f(3m－2)∵f(x)在R上是增函数，∴3m－2<2，解得m<.
故不等式的解集为.
六、函数性质的综合应用
例6 已知函数f(x)＝，f(x)为R上的奇函数且f(1)＝.
(1)求a，b；
(2)判断f(x)在[1，＋∞)上单调性并证明；
(3)当x∈[－4，－1]时，求f(x)的最大值和最小值．
解 (1)f(x)为R上奇函数，
∴f(0)＝0，得b＝0，
又f(1)＝＝，∴a＝1，
∴f(x)＝.
(2)f(x)在[1，＋∞)上为减函数，证明如下：
设x2>x1≥1，
∴f(x2)－f(x1)＝－
＝
＝
＝.
∵x2>x1≥1，∴x1x2－1>0，x1－x2<0，
∴f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)∴f(x)在[1，＋∞)上为减函数．
(3)∵f(x)为奇函数且f(x)在[1，＋∞)上是减函数，
∴f(x)在(－∞，－1]上为减函数，
又x∈[－4，－1]，
∴f(x)的最大值为f(－4)＝－，f(x)的最小值为f(－1)＝－.
课件14张PPT。微专题3 函数性质的综合问题第三章 函数例1 已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，且在[0,5]上是单调函数，若f(－4)A.f(－1)C.f(－3)再根据f(－4)故函数f(x)在[0,5]上是单调减函数，故f(0)>f(1).例2 设函数f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为
A.(－1,0)∪(2，＋∞) B.(－∞，－2)∪(0,2)
C.(－∞，－2)∪(2，＋∞) D.(－2,0)∪(0,2)二、利用奇函数、偶函数的图像解不等式√解析 利用函数的性质画出函数f(x)的简图如图，由图可知x>2或x<－2，故选C.例3 奇函数f(x)是定义在(－1,1)上的减函数，若f(m－1)＋f(3－2m)<0，求实数m的取值范围.三、利用函数的奇偶性、单调性解不等式解 原不等式化为f(m－1)<－f(3－2m).
因为f(x)是奇函数，所以f(m－1)因为f(x)是减函数，
所以m－1>2m－3，所以m<2.
又f(x)的定义域为(－1,1)，
所以－1所以0综上得1故实数m的取值范围是(1,2).反思感悟解决此类不等式问题时一定要充分利用已知条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)f(x)的最小值为f(－4)＝－f(4)＝－5.
所以m＝1，n＝－5，故m＋n＝1－5＝－4.反思感悟解决此类求最值问题应充分利用：奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性且图像关于原点对称；偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性且图像关于y轴对称.例5 函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.
(1)求证：f(x)在R上是增函数；五、抽象函数的性质应用证明 设x1，x2∈R，且x1则x2－x1>0，f(x2－x1)>1.
∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)
＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)
＝f(x2－x1)－1>0.
∴f(x2)>f(x1).故f(x)在R上是增函数.(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m－2)<3.解 ∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，
∴f(2)＝3.
∴原不等式可化为f(3m－2)∵f(x)在R上是增函数，(1)求a，b；六、函数性质的综合应用解 f(x)为R上奇函数，
∴f(0)＝0，得b＝0，(2)判断f(x)在[1，＋∞)上单调性并证明；解 f(x)在[1，＋∞)上为减函数，证明如下：
设x2>x1≥1，∵x2>x1≥1，∴x1x2－1>0，x1－x2<0，
∴f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)∴f(x)在[1，＋∞)上为减函数.(3)当x∈[－4，－1]时，求f(x)的最大值和最小值.解 ∵f(x)为奇函数且f(x)在[1，＋∞)上是减函数，
∴f(x)在(－∞，－1]上为减函数，
又x∈[－4，－1]，本课结束