1.1.2 集合的基本关系
学习目标 1.理解子集、真子集、空集的概念.2.能用符号和维恩图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法.4.能根据集合间的关系求参数的取值范围.
知识点一 子集与真子集
1.子集与真子集
概念
定义
符号表示
图形表示
子集
如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集
A?B
(或B?A)
真子集
如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集
A?B
(或B?A)
2.维恩图
用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图称为维恩图.
3.子集、真子集的性质
(1)任意集合A都是它自身的子集，即A?A.
(2)空集是任意一个集合A的子集，即??A.
(3)对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，那么A?C.
(4)对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，那么A?C.
思考 {0}与?相同吗？它们之间有什么关系？
答案 不同.{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而?表示空集，其不含有任何元素，?是{0}的真子集.
知识点二 集合的相等与子集的关系
1.如果A?B且B?A，则A＝B.
2.如果A＝B，则A?B且B?A.
1.空集中不含任何元素，所以?不是集合.( × )
2.任何一个集合都有子集.( √ )
3.若A＝B，则A?B且B?A.( √ )
4.空集是任何集合的真子集.( × )
一、集合间关系的判断
例1 (1)下列各式中，正确的个数是( )
①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}?{2,1,0}；③??{0,1,2}；④??{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}.
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
解析 对于①，是集合与集合的关系，应为{0}?{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以??{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序实数对(0,1)为元素的单点集，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}.故②③④是正确的.
(2)指出下列各组集合之间的关系：
①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
③M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}.
解 ①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.
②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B.
③方法一 两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N＋，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N?M.
方法二 由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N?M.
反思感悟 判断集合间关系的方法
(1)用定义判断
①任意x∈A时，x∈B，则A?B.
②当A?B时，存在x∈B，且x?A，则A?B.
③若既有A?B，又有B?A，则A＝B.
(2)数形结合判断
对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍.
跟踪训练1 能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的维恩图是( )
答案 B
解析 由x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，
易得N?M，其对应的维恩图如选项B所示.
二、子集、真子集的个数问题
例2 已知集合M满足{1,2}?M?{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况.
解 由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；
含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；
含有5个元素：{1,2,3,4,5}.
故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}.
反思感悟 公式法求有限集合的子集个数
(1)含n个元素的集合有2n个子集.
(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集.
(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集.
(4)含n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集.
跟踪训练2 已知集合A＝{x|0≤x<5，且x∈N}，则集合A的子集的个数为( )
A.15 B.16 C.31 D.32
答案 D
解析 A＝{0,1,2,3,4}，含有5个元素的集合的子集的个数为25＝32.
三、集合间关系的应用
例3 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求实数m的取值范围.
解 (1)当B≠?时，如图所示.
∴或
解这两个不等式组，得2≤m≤3.
(2)当B＝?时，
由m＋1>2m－1，得m<2.
综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}.
延伸探究
1.若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2解 (1)当B＝?时，由m＋1>2m－1，得m<2.
(2)当B≠?时，如图所示.
∴解得
即2≤m<3，
综上可得，m的取值范围是{m|m<3}.
2.若本例条件“B?A”改为“A?B”，其他条件不变，求m的取值范围.
解 当A?B时，如图所示，此时B≠?.
∴即
∴m∈?，
即m的取值范围为?.
反思感悟 (1)利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题时，可化抽象为直观，要注意端点值的取舍，“含”用实心点表示，“不含”用空心点表示.
(2)涉及到“A?B”或“A?B且B≠?”的问题，一定要分A＝?和A≠?两种情况讨论，不要忽视空集的情况.
跟踪训练3 若集合A＝(1,2)，B＝(a，＋∞)，满足A?B，则实数a的取值范围是( )
A.[2，＋∞) B. (－∞，1]
C.[1，＋∞) D. (－∞，2]
答案 B
解析 如图所示，A?B，
所以a≤1.
1.下列四个集合中，是空集的是( )
A.{0} B.{x|x>8，且x<5}
C.{x∈N|x2－1＝0} D.{x|x>4}
答案 B
解析 选项A，C，D都含有元素，而选项B中无元素，故选B.
2.已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是( )
A.0?A B.{0}∈A C.?∈A D.{0}?A
答案 D
解析 集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0}?A，??A，D正确.
3.已知A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是正方形}，C＝{x|x是平行四边形}，那么A，B，C之间的关系是( )
A.A?B?C B.B?A?C
C.A?B?C D.A＝B?C
答案 B
解析 集合A，B，C关系如图.
4.已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B?A，则实数m＝________.
答案 4
解析 ∵B?A，∴元素3,4必为A中元素，∴m＝4.
5.已知集合A＝{x|x≥1或x≤－2}，B＝{x|x≥a}，若B?A，则实数a的取值范围是________.
答案 [1，＋∞)
解析 ∵B?A，∴a≥1.
1.知识清单：
(1)子集、真子集、空集的概念及集合间关系的判断.
(2)求子集、真子集的个数问题.
(3)由集合间的关系求参数的值或范围.
2.方法归纳：
数形结合、分类讨论.
3.常见误区：
忽略对集合是否为空集的讨论，忽视是否能够取到端点.
1.已知集合A＝{0,1}，则下列式子错误的是( )
A.0∈A B.{1}∈A
C.??A D.{0,1}?A
答案 B
解析 ∵{1}?A，∴{1}∈A错误，其余均正确.
2.集合{1,2}的子集有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
答案 A
解析 集合{1,2}的子集有?，{1}，{2}，{1,2}共4个.
3.下列表述正确的有( )
①空集没有子集；
②任何集合都有至少两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若??A，则A≠?.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
答案 B
解析 ???，故①错；?只有一个子集，即它本身.所以②错；空集是任何集合的子集， 是任何非空集合的真子集，所以③错；而④正确，故选B.
4.已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A.1 B.2 C.3 D.4
答案 D
解析 由题意知：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}.又A?C?B，则集合C可能为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个.
5.设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y等于( )
A.0 B.1 C.2 D.－1
答案 C
解析 由A＝B，得x＝0或y＝0.
当x＝0时，x2＝0，此时B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当y＝0时，x＝x2，则x＝0或x＝1.
由上知x＝0不合适，故y＝0，x＝1，
经验证，符合题意，则2x＋y＝2.
6.集合?和{0}的关系表示正确的有________.(把正确的序号都填上)
①{0}＝? ②{0}∈? ③{0}?? ④??{0}
答案 ④
解析 ?没有任何元素，而{0}中有一个元素，显然?≠{0}，又?是任何非空集合的真子集，故有??{0}，所以④正确，①②③不正确.
7.集合A＝(1,6)，B＝(－∞，a)，若A?B，则a的取值范围为________.
答案 [6，＋∞)
解析 ∵A＝(1,6)，B＝(－∞，a)，由A?B，结合数轴可知a≥6.
8.已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________.
答案 {0,1，－1}
解析 因为集合A有且仅有2个子集，所以A中仅有一个元素，
当a＝0时，方程化为2x＝0，
方程只有一个根x＝0，符合题意.
当a≠0时，方程ax2＋2x＋a＝0有两个相等的实数根，Δ＝22－4·a·a＝0，
即a2＝1，∴a＝±1.此时A＝{－1}或A＝{1}，符合题意.∴a的取值构成的集合为{0,1，－1}.
9.已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集.
解 因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}.所以A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}.
所以A的子集有：?，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}.
10.已知集合A＝[1,2]，B＝[1，a].
(1)若A?B，求a的取值范围；
(2)若B?A，求a的取值范围.
解 (1)若A?B，由图可知，a>2.
故实数a的取值范围为(2，＋∞).
(2)若B?A，由图可知，1≤a≤2.
故实数a的取值范围为[1,2].
11.若集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，C＝{x|x＝4k－1，k∈Z}，则A，B，C的关系是( )
A.C?A＝B B.A?C?B
C.A＝B?C D.B?A?C
答案 A
解析 ∵A＝{x|x＝2(k＋1)－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，C＝{x|x＝2·2k－1，k∈Z}，∴C?A＝B，故选A.
12.设集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为________.
答案 M＝P
解析 因为xy>0，所以x，y同号，又x＋y<0，所以x<0，y<0，即集合M表示第三象限内的点，而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.
13.已知集合P＝{x|x2＝1}，集合Q＝{x|ax＝1}，若Q?P，那么实数a的值是________.
答案 0，±1
解析 由题意得P＝{－1,1}，
又因为Q?P，
若Q＝?，则a＝0，此时满足Q?P，
若Q≠?，则Q＝，由题意知，＝1或＝－1，解得a＝±1.综上可知，实数a的值是0，±1.
14.已知集合A＝{x∈R|x2＋x＝0}，则集合A＝______.若集合B满足{0}?B?A，则集合B＝________.
答案 {－1,0} {－1,0}
解析 ∵解方程x2＋x＝0，得x＝－1或x＝0,
∴集合A＝{x∈R|x2＋x＝0}＝{－1,0},
∵集合B满足{0}?B?A,
∴集合B＝{－1,0}.
15.设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋1＝0}，若B≠?，B?A，则a等于( )
A.－1 B.0 C.1 D.±1
答案 D
解析 当B＝{－1}时，x2－2ax＋1＝0有两相等的实根－1，即a＝－1；
当B＝{1}时，x2－2ax＋1＝0有两相等的实根1，即a＝1；
当B＝{－1,1}时，不成立.
故a＝±1.
16.已知集合A＝{x||x－a|＝4}，集合B＝{1,2，b}.
(1)是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A?B？若存在，求出对应的a值；若不存在，请说明理由；
(2)若A?B成立，求出对应的实数对(a，b).
解 (1)对于任意实数b都有A?B，当且仅当集合A中的元素为1,2.
∵A＝{a－4，a＋4}，
∴或
解方程组可知无解.
∴不存在实数a，使得对于任意实数b都有A?B.
(2)由(1)易知，若A?B，
则或或或
解得或或或
则所求实数对为(5,9)或(6,10)或(－3，－7)或(－2，－6).
课件32张PPT。1.1.2 集合的基本关系第一章 1.1 集合学习目标XUEXIMUBIAO1.理解子集、真子集、空集的概念.
2.能用符号和维恩图表达集合间的关系.
3.掌握列举有限集的所有子集的方法.
4.能根据集合间的关系求参数的取值范围.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 子集与真子集1.子集与真子集任意一个????2.维恩图
用平面上一条_________的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图称为维恩图.
3.子集、真子集的性质
(1)任意集合A都是它自身的_____，即A?A.
(2)空集是任意一个集合A的子集，即______.
(3)对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，那么______.
(4)对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，那么______.封闭曲线子集??AA?CA?C思考 {0}与?相同吗？它们之间有什么关系？答案 不同.{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而?表示空集，其不含有任何元素，?是{0}的真子集.知识点二 集合的相等与子集的关系
1.如果A?B且B?A，则_____.
2.如果A＝B，则A?B且B?A.A＝B思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.空集中不含任何元素，所以?不是集合.( )
2.任何一个集合都有子集.( )
3.若A＝B，则A?B且B?A.( )
4.空集是任何集合的真子集.( )×√√×2题型探究PART TWO例1 (1)下列各式中，正确的个数是
①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}?{2,1,0}；③??{0,1,2}；④??{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}.
A.1 B.2 C.3 D.4一、集合间关系的判断√解析 对于①，是集合与集合的关系，应为{0}?{0,1,2}；
对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；
对于③，空集是任何集合的子集；
对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以??{0}；
对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序实数对(0,1)为元素的单点集，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；
对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}.故②③④是正确的.(2)指出下列各组集合之间的关系：
①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；解 集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，
故A与B之间无包含关系.②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；解 等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，
故A?B.③M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}.解 方法一 两个集合都表示正奇数组成的集合，
但由于n∈N＋，
因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，
故N?M.
方法二 由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，
所以N?M.判断集合间关系的方法
(1)用定义判断
①任意x∈A时，x∈B，则A?B.
②当A?B时，存在x∈B，且x?A，则A?B.
③若既有A?B，又有B?A，则A＝B.
(2)数形结合判断
对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍.跟踪训练1 能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的维恩图是解析 由x2－x＝0得x＝1或x＝0，
故N＝{0,1}，
易得N?M，其对应的维恩图如选项B所示.√例2 已知集合M满足{1,2}?M?{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况.二、子集、真子集的个数问题解 由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；
含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；
含有5个元素：{1,2,3,4,5}.
故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}.公式法求有限集合的子集个数
(1)含n个元素的集合有2n个子集.
(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集.
(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集.
(4)含n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集.跟踪训练2 已知集合A＝{x|0≤x<5，且x∈N}，则集合A的子集的个数为
A.15 B.16 C.31 D.32解析 A＝{0,1,2,3,4}，含有5个元素的集合的子集的个数为25＝32.√例3 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求实数m的取值范围.三、集合间关系的应用解 (1)当B≠?时，如图所示.解这两个不等式组，得2≤m≤3.(2)当B＝?时，
由m＋1>2m－1，得m<2.
综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}.延伸探究
1.若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－22m－1，得m<2.(2)当B≠?时，如图所示.即2≤m<3，
综上可得，m的取值范围是{m|m<3}.2.若本例条件“B?A”改为“A?B”，其他条件不变，求m的取值范围.∴m∈?，
即m的取值范围为?.解 当A?B时，如图所示，此时B≠?.(1)利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题时，可化抽象为直观，要注意端点值的取舍，“含”用实心点表示，“不含”用空心点表示.
(2)涉及到“A?B”或“A?B且B≠?”的问题，一定要分A＝?和A≠?两种情况讨论，不要忽视空集的情况.跟踪训练3 若集合A＝(1,2)，B＝(a，＋∞)，满足A?B，则实数a的取值范围是
A.[2，＋∞) B. (－∞，1]
C.[1，＋∞) D. (－∞，2]√解析 如图所示，A?B，所以a≤1.3随堂演练PART THREE1.下列四个集合中，是空集的是
A.{0} B.{x|x>8，且x<5}
C.{x∈N|x2－1＝0} D.{x|x>4}解析 选项A，C，D都含有元素，而选项B中无元素，故选B.√123452.已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是
A.0?A B.{0}∈A
C.?∈A D.{0}?A√解析 集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，
所以0∈A，{0}?A，??A，D正确.123453.已知A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是正方形}，C＝{x|x是平行四边形}，那么A，B，C之间的关系是
A.A?B?C B.B?A?C
C.A?B?C D.A＝B?C解析 集合A，B，C关系如图.√123454.已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B?A，则实数m＝____.解析 ∵B?A，
∴元素3,4必为A中元素，
∴m＝4.1234545.已知集合A＝{x|x≥1或x≤－2}，B＝{x|x≥a}，若B?A，则实数a的取值范围是__________.解析 ∵B?A，∴a≥1.[1，＋∞)123451.知识清单：
(1)子集、真子集、空集的概念及集合间关系的判断.
(2)求子集、真子集的个数问题.
(3)由集合间的关系求参数的值或范围.
2.方法归纳：
数形结合、分类讨论.
3.常见误区：
忽略对集合是否为空集的讨论，忽视是否能够取到端点.课堂小结KE TANG XIAO JIE本课结束
