1.2 常用逻辑用语
1.2.1 命题与量词
学习目标 1.掌握命题的概念，能对命题进行真假判断.2.理解全称(存在)量词、全称(存在)量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假.
知识点一 命题的概念
知识点二 全称量词和存在量词
全称量词
存在量词
量词
任意、所有、每一个
存在、有、至少有一个
符号
?
?
命题
含有全称量词的命题称为全称量词命题
含有存在量词的命题称为存在量词命题
命题形式
“对集合M中所有元素x，r(x)成立”，可用符号简记为“?x∈M，r(x)”
“存在集合M中的元素x，s(x)成立”，可用符号简记为“?x∈M，s(x)”
1.“一个数不是正数就是负数”是真命题.( × )
2.“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.( × )
3.全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”.( √ )
4.“三角形内角和是180°”是全称量词命题.( √ )
一、全称量词命题与存在量词命题的辨析
例1 (1)下列语句不是存在量词命题的是 ( )
A.有的无理数的平方是有理数
B.有的无理数的平方不是有理数
C.对于任意x∈Z,2x＋1是奇数
D.存在x∈R,2x＋1是奇数
答案 C
解析 因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A，B，D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题.
(2)给出下列几个命题：
①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；
②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；
③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；
④存在x，使x2＋2x＋1＝0成立.
其中是全称量词命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.0
答案 B
解析 因为“至少有一个”、“存在”是存在量词，“任意的”为全称量词，所以①④为存在量词命题，②③为全称量词命题，所以全称量词命题的个数为2.
反思感悟 全称量词命题或存在量词命题的判断
注意：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略.
跟踪训练1 下列命题中全称量词命题的个数为( )
①平行四边形的对角线互相平分；
②梯形有两边平行；
③存在一个菱形，它的四条边不相等.
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C
解析 ①②是全称量词命题，③是存在量词命题.
二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例2 判断下列命题的真假.
(1)?x∈Z，x3<1；
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(4)?x∈N，x2>0.
解 (1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，
所以“?x∈Z，x3<1”是真命题.
(2)真命题，如梯形.
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题.
(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“?x∈N，x2>0”是假命题.
反思感悟 全称量词命题和存在量词命题真假的判断
(1)要判断一个全称量词命题为真，必须对于给定集合的每一个元素x，都有命题r(x)成立；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x0，使命题r(x0)不成立即可.
(2)要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x0，使命题s(x0)成立即可；要判断一个存在量词命题为假，需要说明集合中每一个x，都使s(x)不成立.
跟踪训练2 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假.
(1)?x∈N,2x＋1是奇数；
(2)存在一个x∈R，使＝0.
解 (1)是全称量词命题，因为?x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题.
(2)是存在量词命题.因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题.
三、由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数
例3 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠?.
(1)若命题p：“?x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
(2)命题q：“?x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围.
解 (1)由于命题p：“?x∈B，x∈A”是真命题，
所以B?A，又B≠?，所以
解得2≤m≤3.
即m的取值范围是{m|2≤m≤3}.
(2)q为真，则A∩B≠?，
因为B≠?，所以m≥2.
所以解得2≤m≤4.
即m的取值范围是{m|2≤m≤4}.
反思感悟 求解含有量词的命题中参数范围的策略
对于全称(存在)量词命题为真的问题，实质就是不等式恒成立(能成立)问题，通常转化为求函数的最大值(或最小值).
跟踪训练3 若命题“对任意实数x,2x>m(x2＋1)”是真命题，求实数m的取值范围.
解 由题意知，不等式2x>m(x2＋1)恒成立，
即不等式mx2－2x＋m<0恒成立.
(1)当m＝0时，不等式可化为－2x<0，显然不恒成立，不合题意.
(2)当m≠0时，要使不等式mx2－2x＋m<0恒成立，
则
解得m<－1.
综上可知，所求实数m的取值范围是(－∞，－1).
1.下列命题不是全称量词命题的是( )
A.任何一个实数乘以零都等于零
B.自然数都是正整数
C.高二(一)班绝大多数同学是团员
D.每一个学生都充满阳光
答案 C
解析 “高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，是存在量词命题.
2.下列命题中为全称量词命题的是( )
A.有些实数没有倒数
B.矩形都有外接圆
C.存在一个实数与它的相反数的和为0
D.过直线外一点有一条直线和已知直线平行
答案 B
3.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )
A.每个二次函数的图像都开口向上
B.存在一条直线与已知直线不平行
C.对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤b
D.存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立
答案 C
解析 B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图像开口向下，也应排除，故应选C.
4.下列命题，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________(填序号).
①正方形的四条边相等；
②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数.
答案 ①②③ ④
解析 ①②③是全称量词命题，④是存在量词命题.
5.若对任意x>3，x>a恒成立，则a的取值范围是________.
答案 (－∞，3]
解析 对于任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3.
1.知识清单：
(1)全称量词命题、存在量词命题的概念.
(2)含量词的命题的真假判断.
(3)通过含量词的命题的真假求参数.
2.常见误区：
有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分”.
1.下列命题是“?x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是( )
A.有一个x∈R，使得x2>3
B.对有些x∈R，使得x2>3
C.任选一个x∈R，使得x2>3
D.至少有一个x∈R，使得x2>3
答案 C
2.存在量词命题“存在实数x，使x2＋1<0”可写成( )
A.若x∈R，则x2＋1>0
B.?x∈R，x2＋1<0
C.?x∈R，x2＋1<0
D.以上都不正确
答案 C
解析 存在量词命题中“存在”可用符号“?”表示，故选C.
3.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x，使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x，使>2
答案 B
4.给出下列三个命题：
①对任意的x∈R，x2>0；
②存在x∈R，使得x2≤x成立；
③对于集合M，N，若x∈M∩N，则x∈M且x∈N.
其中真命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C
解析 对于①，存在x＝0，使得x2＝0，故①是假命题；显然②③是真命题.
5.下列说法正确的是( )
A.对所有的正实数t，有
B.存在实数x，使x2－3x－4＝0
C.不存在实数x，使x<4且x2＋5x－24＝0
D.任意实数x，使得|x＋1|≤1且x2>4
答案 B
解析 t＝时，>t，所以A选项错；由x2－3x－4＝0，得x＝－1或x＝4，因此当x＝－1或x＝4时，x2－3x－4＝0，故B选项正确；由x2＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，所以C选项错；x＝0时，不成立，所以D选项错.
6.下列存在量词命题中真命题有________(填序号).
①有的实数是无限不循环小数；
②有些三角形不是等腰三角形；
③有的菱形是正方形.
答案 ①②③
7.命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“?”写成存在量词命题为__________.
答案 ?x<0，(1＋x)(1－9x)2>0
解析 存在量词命题“存在M中的元素x，使s(x)成立”，可用符号简记为“?x∈M，s(x)”.
8.下列命题中，是全称量词命题的有________(填序号).
①有的实数是整数；②三角形是多边形；
③矩形的对角线互相垂直；④?x∈R，x2＋2>0；
⑤有些素数是奇数.
答案 ②③④
9.判断下列命题的真假.
(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；
(2)存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立.
解 (1)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为 ， 就不能用正有理数表示.
(2)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解.
10.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假：
(1)?x，x－2≤0；
(2)三角形两边之和大于第三边；
(3)有些整数是偶数.
解 (1)存在量词命题.x＝1时，x－2＝－1≤0，故存在量词命题“?x，x－2≤0”是真命题.
(2)全称量词命题.三角形中，任意两边之和大于第三边.故全称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题.
(3)存在量词命题.2是整数，2也是偶数.故存在量词命题“有些整数是偶数”是真命题.
11.下列全称量词命题中真命题的个数为( )
①对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；
②二次函数y＝x2－ax－1与x轴恒有交点；
③?x，y∈R，都有x2＋|y|>0.
A.1 B.2 C.3 D.0
答案 B
12.已知命题p：?x∈R，x2＋2x－a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是( )
A.(－1，＋∞) B.(－∞，－1)
C.[－1，＋∞) D.(－∞，－1]
答案 B
解析 依题意不等式x2＋2x－a>0对x∈R恒成立，所以必有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.
13.若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围为________.
答案 {a|a<1}
解析 当a≤0时，显然存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0；
当a>0时，需满足Δ＝4－4a2>0，得－1故0综上所述，实数a的取值范围是a<1.
14.若任意x∈R，函数y＝mx2＋x－m－a的图像和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围.
解 (1)当m＝0时，y＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R.
(2)当m≠0时，若二次函数y＝mx2＋x－m－a的图像和x轴恒有公共点，则其Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，
即4m2＋4am＋1≥0恒成立.
又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，
若其恒成立，则Δ′＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.
综上所述，当m＝0时，a的取值范围为R；
当m≠0时，a的取值范围是[－1,1].
15.命题p：“?x∈[1,2]，2x2－x－m＞0”是真命题，则实数m的取值范围是( )
A.(－∞，1) B.(－1，＋∞)
C.(－1,1) D.[－1,1]
答案 A
解析 由命题p：“?x∈[1,2]，2x2－x－m＞0”为真命题，即对于?x∈[1,2]，m＜2x2－x恒成立，得m＜(2x2－x)min＝1，所以m＜1.
16.已知函数y1＝x，y2＝－2x2－m，若对?x1∈{x|－1≤x≤3}，?x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，求实数m的取值范围.
解 因为x1∈{x|－1≤x≤3}，x2∈{x|0≤x≤2}，
所以y1∈{y|0≤y≤9}，y2∈{y|－4－m≤y≤－m}，
又因为对?x1∈{x|－1≤x≤3}，?x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，
即y1的最小值大于等于y2的最小值，
即－4－m≤0，解得m≥－4，
所以m的取值范围为[－4，＋∞).
课件29张PPT。1.2.1 命题与量词第一章 1.2 常用逻辑用语学习目标XUEXIMUBIAO1.掌握命题的概念，能对命题进行真假判断.
2.理解全称(存在)量词、全称(存在)量词命题的定义.
3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 命题的概念真假陈述知识点二 全称量词和存在量词全称量词存在量词?x∈M，r(x)?x∈M，s(x)思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.“一个数不是正数就是负数”是真命题.( )
2.“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.( )
3.全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”.( )
4.“三角形内角和是180°”是全称量词命题.( )××√√2题型探究PART TWO例1 (1)下列语句不是存在量词命题的是
A.有的无理数的平方是有理数
B.有的无理数的平方不是有理数
C.对于任意x∈Z,2x＋1是奇数
D.存在x∈R,2x＋1是奇数一、全称量词命题与存在量词命题的辨析解析 因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A，B，D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题.√(2)给出下列几个命题：
①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；
②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；
③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；
④存在x，使x2＋2x＋1＝0成立.
其中是全称量词命题的个数为
A.1 B.2 C.3 D.0√解析 因为“至少有一个”、“存在”是存在量词，“任意的”为全称量词，
所以①④为存在量词命题，②③为全称量词命题，所以全称量词命题的个数为2.反思感悟全称量词命题或存在量词命题的判断注意：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略.跟踪训练1 下列命题中全称量词命题的个数为
①平行四边形的对角线互相平分；
②梯形有两边平行；
③存在一个菱形，它的四条边不相等.
A.0 B.1 C.2 D.3√解析 ①②是全称量词命题，③是存在量词命题.二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断例2 判断下列命题的真假.
(1)?x∈Z，x3<1；解 因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，
所以“?x∈Z，x3<1”是真命题.(2)存在一个四边形不是平行四边形；解 真命题，如梯形.(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；解 由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题.(4)?x∈N，x2>0.解 因为0∈N，02＝0，
所以命题“?x∈N，x2>0”是假命题.反思感悟全称量词命题和存在量词命题真假的判断
(1)要判断一个全称量词命题为真，必须对于给定集合的每一个元素x，都有命题r(x)成立；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x0，使命题r(x0)不成立即可.
(2)要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x0，使命题s(x0)成立即可；要判断一个存在量词命题为假，需要说明集合中每一个x，都使s(x)不成立.跟踪训练2 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假.
(1)?x∈N,2x＋1是奇数；解 是全称量词命题，
因为?x∈N,2x＋1都是奇数，
所以该命题是真命题.解 是存在量词命题.所以该命题是假命题.三、由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数例3 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠?.
(1)若命题p：“?x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；解 由于命题p：“?x∈B，x∈A”是真命题，解得2≤m≤3.
即m的取值范围是{m|2≤m≤3}.(2)命题q：“?x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围.解 q为真，则A∩B≠?，
因为B≠?，所以m≥2.即m的取值范围是{m|2≤m≤4}.反思感悟求解含有量词的命题中参数范围的策略
对于全称(存在)量词命题为真的问题，实质就是不等式恒成立(能成立)问题，通常转化为求函数的最大值(或最小值).跟踪训练3 若命题“对任意实数x,2x>m(x2＋1)”是真命题，求实数m的取值范围.解 由题意知，不等式2x>m(x2＋1)恒成立，
即不等式mx2－2x＋m<0恒成立.
(1)当m＝0时，不等式可化为－2x<0，显然不恒成立，不合题意.
(2)当m≠0时，要使不等式mx2－2x＋m<0恒成立，解得m<－1.
综上可知，所求实数m的取值范围是(－∞，－1).3随堂演练PART THREE1.下列命题不是全称量词命题的是
A.任何一个实数乘以零都等于零
B.自然数都是正整数
C.高二(一)班绝大多数同学是团员
D.每一个学生都充满阳光解析 “高二(一)班绝大多数同学是团员”，
即“高二(一)班有的同学不是团员”，是存在量词命题.√123452.下列命题中为全称量词命题的是
A.有些实数没有倒数
B.矩形都有外接圆
C.存在一个实数与它的相反数的和为0
D.过直线外一点有一条直线和已知直线平行√123453.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是
A.每个二次函数的图像都开口向上
B.存在一条直线与已知直线不平行
C.对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤b
D.存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立解析 B，D是存在量词命题，故应排除；
对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图像开口向下，也应排除，故应选C.√123454.下列命题，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是____(填序号).
①正方形的四条边相等；
②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数.解析 ①②③是全称量词命题，④是存在量词命题.12345①②③④5.若对任意x>3，x>a恒成立，则a的取值范围是_________.解析 对于任意x>3，x>a恒成立，
即大于3的数恒大于a，所以a≤3.12345(－∞，3]1.知识清单：
(1)全称量词命题、存在量词命题的概念.
(2)含量词的命题的真假判断.
(3)通过含量词的命题的真假求参数.
2.常见误区：
有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分”.课堂小结KE TANG XIAO JIE本课结束