2.1 等式
2.1.1 等式的性质与方程的解集
学习目标 1.掌握等式的性质，并能进行应用.2理解常见恒等式及其变形的形式，能对一些式子进行化简.3.能通过因式分解求方程的解集.
知识点一 等式的性质
1.等式的两边同时加上(或减去)同一个数或代数式，等式仍成立，用公式表示：如果a＝b，那么a±c＝b±c；这里的a，b，c可以是具体的一个数，也可以是一个代数式.
2.等式两边同时乘以(或除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立，用公式表示：如果a＝b，那么ac＝bc，＝(c≠0).
知识点二 恒等式
1.a2－b2＝(a＋b)(a－b)(平方差公式)；
2.(a－b)2＝a2－2ab＋b2(两数差的平方公式)；
3.(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(两数和的平方公式)；
4.a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)(立方差公式)；
5.a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)(立方和公式).
知识点三 方程的解集
一般地，把一个方程所有解组成的集合称为方程的解集.
1.化简x2－2x＋1＝________.
答案 (x－1)2
2.化简4x2－y2＝________.
答案 (2x＋y)(2x－y)
3.多项式4a－a3分解因式的结果是________.
答案 a(2－a)(2＋a)
4.方程x2＋4x＋4＝0的解集为________.
答案 {－2}
一、利用恒等式化简
例1 化简：3ax2－12ay2.
解 3ax2－12ay2＝3a(x2－4y2)＝3a(x＋2y)(x－2y).
反思感悟 化简的一般步骤为“一提”“二套”“三检查”“四检验”：
(1)先看是否能提取公因式；
(2)再看能否套用公式；
(3)再检查因式分解是否彻底；
(4)最后用多项式乘法检验分解是否正确.
跟踪训练1 化简：a3(a－b)－8(a－b).
解 a3(a－b)－8(a－b)＝(a－b)(a3－23)＝(a－b)(a－2)(a2＋2a＋4).
二、十字相乘法
例2 化简：
(1)x2＋6x－7；
(2)2x2－7x＋6；
(3)x2＋29xy＋100y2.
解 (1)方法一 x2＋6x－7＝x2＋6x＋9－9－7
＝(x＋3)2－16
＝(x＋3＋4)(x＋3－4)
＝(x＋7)(x－1).
方法二 x2＋6x－7＝(x＋7)(x－1).
(2)首先把二次项系数2分成1×2，常数项6分成(－2)×(－3)，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数.
右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为1×(－3)＋2×(－2)＝－7，正好是一次项系数，从而得2x2－7x＋6＝(x－2)(2x－3).
(3)x2＋29xy＋100y2＝x2＋29y·x＋4y·25y＝(x＋4y)(x＋25y).
反思感悟 1.对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行因式分解.
2.对于二次三项式ax2＋bx＋c(a，b，c都是整数，且a≠0)来说，如果存在四个整数a1，c1，a2，c2满足a1a2＝a，c1c2＝c，并且a1c2＋a2c1＝b，那么二次三项式ax2＋bx＋c即a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2可以分解为(a1x＋c1)·(a2x＋c2).
跟踪训练2 化简：－x2＋x＋7.
解 －x2＋x＋7＝－(x2－4x－21)＝－(x－7)(x＋3).
三、方程的解集
例3 求方程2x2－x－1＝0的解集.
解 因为2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，
所以(2x＋1)(x－1)＝0，
从而可知2x＋1＝0或x－1＝0，即x＝－或x＝1，
因此方程的解集为.
反思感悟 利用因式分解将式子分解为因式乘积的形式，利用ab＝0，则a＝0或b＝0求解.
跟踪训练3 求方程6x2－7x－5＝0的解集.
解 因为6x2－7x－5＝(2x＋1)(3x－5)，
所以(2x＋1)(3x－5)＝0，
从而可知2x＋1＝0或3x－5＝0，即x＝－或x＝，
因此方程的解集为.
1.将多项式x－x3因式分解正确的是( )
A.x(x2－1) B.x(1－x2)
C.x(x＋1)(x－1) D.x(1－x)(1＋x)
答案 D
解析 x－x3＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x).故选D.
2.下列各种变形中，不正确的是( )
A.由2＋x＝5可得到x＝5－2
B.由3x＝2x－1可得到3x－2x＝－1
C.由5x＝4x＋1可得到4x－5x＝1
D.由6x－2x＝－3可得到6x＝2x－3
答案 C
3.将代数式x2＋4x－5因式分解的结果为( )
A.(x＋5)(x－1) B.(x－5)(x＋1)
C.(x＋5)(x＋1) D.(x－5)(x－1)
答案 A
解析 x2＋4x－5＝(x＋5)(x－1)，故选A.
4.分解因式：3x2－6x＋3＝________.
答案 3(x－1)2
解析 3x2－6x＋3＝3(x2－2x＋1)＝3(x－1)2.
5.分解因式：a3＋a2－a－1＝________.
答案 (a＋1)2(a－1)
解析 a3＋a2－a－1＝a2(a＋1)－(a＋1)＝(a＋1)2(a－1).
1.知识清单：
(1)等式的性质.
(2)常见恒等式.
(3)十字相乘法.
(4)求方程的解集.
2.方法归纳：
提取公因式法、公式法、十字相乘法.
3.常见误区：公式中±号的选取，十字相乘法中的配凑.
1.若(x＋2)(x－1)＝x2＋mx＋n，则m＋n等于( )
A.1 B.－2 C.－1 D.2
答案 C
解析 ∵原式＝x2＋x－2＝x2＋mx＋n，
∴m＝1，n＝－2.
∴m＋n＝1－2＝－1.故选C.
2.下列分解因式正确的是( )
A.－x2＋4x＝－x(x＋4)
B.x2＋xy＋x＝x(x＋y)
C.x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2
D.x2－4x＋4＝(x＋2)(x－2)
答案 C
解析 A，－x2＋4x＝－x(x－4)，故此选项错误；B，x2＋xy＋x＝x(x＋y＋1)，故此选项错误；C，x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2，故此选项正确；D，x2－4x＋4＝(x－2)2，故此选项错误；故选C.
3.下列变形一定正确的是( )
A.若ax＝bx，则 a＝b
B.若(a＋1)x＝a＋1，则x＝1
C.若x＝y，则x－5＝5－y
D.若x＝y，则＝
答案 D
解析 运用等式的性质进行变形时，应注意字母的取值范围.
4.下列分解因式正确的是( )
A.x2＋6xy＋9y2＝(x＋3y)2
B.2x2－4xy＋9y2＝(2x－3y)2
C.2x2－8y2＝2(x＋4y)(x－4y)
D.x2＋(a＋2)x＋2a＝(x－a)(x－2)
答案 A
解析 A，x2＋6xy＋9y2＝(x＋3y)2，正确；B,2x2－4xy＋9y2无法分解因式，故此选项错误；C,2x2－8y2＝2(x＋2y)(x－2y)，故此选项错误；D，x2＋(a＋2)x＋2a＝(x＋2)(x＋a)故此选项错误；故选A.
5.要在二次三项式x2＋( )x－6的括号中填上一个整数，使它能按公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)分解因式，那么这些数只能是( )
A.1，－1 B.5，－5
C.1，－1,5，－5 D.以上答案都不对
答案 C
解析 －6可以分成：－2×3,2×(－3)，－1×6,1×(－6)，( )中填上的整数应该是－6的两个因数的和，即1，－1，5，－5.故选C.
6.若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1)2－(b－1)2的值为________.
答案 12
解析 ∵a＋b＝4，a－b＝1，
∴(a＋1)2－(b－1)2
＝(a＋1＋b－1)(a＋1－b＋1)
＝(a＋b)(a－b＋2)
＝4×(1＋2)
＝12.
7.把4x4y2－5x2y2－9y2分解因式的结果是__________.
答案 y2(x2＋1)(2x＋3)(2x－3)
解析 4x4y2－5x2y2－9y2
＝y2(4x4－5x2－9)
＝y2(4x2－9)(x2＋1)
＝y2(x2＋1)(2x＋3)(2x－3).
8.已知x＋y＝0.2，x＋3y＝1，则代数式x2＋4xy＋4y2的值为________.
答案 0.36
解析 ∵x＋y＝0.2，x＋3y＝1，
∴2x＋4y＝1.2，即x＋2y＝0.6，
则原式＝(x＋2y)2＝0.36.
9.分解因式：
(1)(2x＋y)2－(x＋2y)2；
(2)－8a2b＋2a3＋8ab2.
解 (1)原式＝[(2x＋y)＋(x＋2y)][(2x＋y)－(x＋2y)]＝3(x＋y)(x－y).
(2)原式＝2a(a2－4ab＋4b2)＝2a(a－2b)2.
10.分解因式：
(1)9x2－81；
(2)(x2＋y2)2－4x2y2；
(3)3x(a－b)－6y(b－a)；
(4)6mn2－9m2n－n3.
解 (1)原式＝9(x2－9)＝9(x＋3)(x－3).
(2)原式＝(x2＋y2＋2xy)(x2＋y2－2xy)＝(x＋y)2(x－y)2.
(3)原式＝3(a－b)(x＋2y).
(4)原式＝－n(9m2－6mn＋n2)＝－n(3m－n)2.
11.若x2－y2＋mx＋5y－6能分解为两个一次因式的积，则m的值为( )
A. 1 B.－1 C. ±1 D. 2
答案 C
解析 x2－y2＋mx＋5y－6＝(x＋y)(x－y)＋mx＋5y－6，－6可分解成(－2)×3或(－3)×2，因此，存在两种情况：
由(1)可得m＝1，
由(2)可得m＝－1.
故选C.
12.下列等式变形：①若a＝b，则＝；②若＝，则a＝b；③若4a＝7b，则＝；④若＝，则 4a＝7b，其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
解析 利用等式的基本性质，且要注意基本性质(2)中两边不能除以一个为0的数，这是一个重要条件，进行判断时要检查是同乘还是同除，在同除时字母是否可以为0.
13.方程x2－x－6＝0的解集为________.
答案 {－2,3}
14.已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax＝1}，若B?A，则实数a＝________.
答案 1或
15.已知a，b，c 是△ABC的三边的长，且满足a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，则此三角形为______三角形.
答案 等边
解析 a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，
即a2＋b2＋b2＋c2－2ba－2bc＝0，
即(a－b)2＋(b－c)2＝0，
即a－b＝0 ，b－c＝0，所以a＝b＝c.
所以△ABC是等边三角形.
16.利用乘法公式计算：
(1)(a＋b＋c)2；(2)(2a2－3b2＋2)(2－2a2＋3b2).
解 (1)(a＋b＋c)2可以利用完全平方公式，将a＋b看成一项，
则(a＋b＋c)2＝[(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2]
＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2
＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.
(2)(2a2－3b2＋2)(2－2a2＋3b2)两个多项式中，每一项都只有符号的区别，
所以，我们考虑用平方差公式，将符号相同的看作公式中的a，将符号相反的项，看成公式中的b，
原式＝[2＋(2a2－3b2)][2－(2a2－3b2)]
＝4－(2a2－3b2)2＝4－4a4＋12a2b2－9b4.
课件27张PPT。2.1.1 等式的性质与方程的解集第二章 2.1 等式学习目标XUEXIMUBIAO1.掌握等式的性质，并能进行应用.
2理解常见恒等式及其变形的形式，能对一些式子进行化简.
3.能通过因式分解求方程的解集.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 等式的性质1.等式的两边同时加上(或减去)同一个数或代数式，等式仍成立，用公式表示：如果a＝b，那么__________；这里的a，b，c可以是具体的一个数，也可以是一个代数式.
2.等式两边同时乘以(或除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立，用公式表示：
如果a＝b，那么_______， (c≠0).a±c＝b±cac＝bc知识点二 恒等式
1.a2－b2＝___________(平方差公式)；
2.(a－b)2＝___________(两数差的平方公式)；
3.(a＋b)2＝___________(两数和的平方公式)；
4.a3－b3＝_________________(立方差公式)；
5.a3＋b3＝_________________(立方和公式).
知识点三 方程的解集
一般地，把一个方程________组成的集合称为方程的解集.(a＋b)(a－b)a2－2ab＋b2a2＋2ab＋b2(a－b)(a2＋ab＋b2)(a＋b)(a2－ab＋b2)所有解预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN1.化简x2－2x＋1＝_______.(x－1)22.化简4x2－y2＝______________.(2x＋y)(2x－y)3.多项式4a－a3分解因式的结果是_____________.a(2－a)(2＋a)4.方程x2＋4x＋4＝0的解集为______.{－2}2题型探究PART TWO例1 化简：3ax2－12ay2.一、利用恒等式化简解 3ax2－12ay2＝3a(x2－4y2)
＝3a(x＋2y)(x－2y).反思感悟化简的一般步骤为“一提”“二套”“三检查”“四检验”：
(1)先看是否能提取公因式；
(2)再看能否套用公式；
(3)再检查因式分解是否彻底；
(4)最后用多项式乘法检验分解是否正确.跟踪训练1 化简：a3(a－b)－8(a－b).解 a3(a－b)－8(a－b)＝(a－b)(a3－23)
＝(a－b)(a－2)(a2＋2a＋4).例2 化简：
(1)x2＋6x－7；二、十字相乘法解 方法一 x2＋6x－7＝x2＋6x＋9－9－7
＝(x＋3)2－16
＝(x＋3＋4)(x＋3－4)
＝(x＋7)(x－1).
方法二 x2＋6x－7＝(x＋7)(x－1).(2)2x2－7x＋6；解 首先把二次项系数2分成1×2，常数项6分成(－2)×(－3)，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数.右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为1×(－3)＋2×(－2)＝－7，正好是一次项系数，从而得2x2－7x＋6＝(x－2)(2x－3).(3)x2＋29xy＋100y2.解 x2＋29xy＋100y2＝x2＋29y·x＋4y·25y
＝(x＋4y)(x＋25y).反思感悟1.对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行因式分解.
2.对于二次三项式ax2＋bx＋c(a，b，c都是整数，且a≠0)来说，如果存在四个整数a1，c1，a2，c2满足a1a2＝a，c1c2＝c，并且a1c2＋a2c1＝b，那么二次三项式ax2＋bx＋c即a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2可以分解为(a1x＋c1)·(a2x＋c2).例3 求方程2x2－x－1＝0的解集.三、方程的解集解 因为2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，
所以(2x＋1)(x－1)＝0，
从而可知2x＋1＝0或x－1＝0，反思感悟利用因式分解将式子分解为因式乘积的形式，利用ab＝0，则a＝0或b＝0求解.跟踪训练3 求方程6x2－7x－5＝0的解集.解 因为6x2－7x－5＝(2x＋1)(3x－5)，
所以(2x＋1)(3x－5)＝0，
从而可知2x＋1＝0或3x－5＝0，3随堂演练PART THREE1.将多项式x－x3因式分解正确的是
A.x(x2－1) B.x(1－x2)
C.x(x＋1)(x－1) D.x(1－x)(1＋x)解析 x－x3＝x(1－x2)
＝x(1－x)(1＋x).故选D.√123452.下列各种变形中，不正确的是
A.由2＋x＝5可得到x＝5－2
B.由3x＝2x－1可得到3x－2x＝－1
C.由5x＝4x＋1可得到4x－5x＝1
D.由6x－2x＝－3可得到6x＝2x－3√123453.将代数式x2＋4x－5因式分解的结果为
A.(x＋5)(x－1) B.(x－5)(x＋1)
C.(x＋5)(x＋1) D.(x－5)(x－1)解析 x2＋4x－5＝(x＋5)(x－1)，故选A.√123454.分解因式：3x2－6x＋3＝________.解析 3x2－6x＋3＝3(x2－2x＋1)
＝3(x－1)2.123453(x－1)25.分解因式：a3＋a2－a－1＝_____________. 解析 a3＋a2－a－1＝a2(a＋1)－(a＋1)
＝(a＋1)2(a－1).12345(a＋1)2(a－1)1.知识清单：
(1)等式的性质.
(2)常见恒等式.
(3)十字相乘法.
(4)求方程的解集.
2.方法归纳：
提取公因式法、公式法、十字相乘法.
3.常见误区：公式中±号的选取，十字相乘法中的配凑.课堂小结KE TANG XIAO JIE本课结束
