2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
学习目标 1.了解一元二次方程的概念，能用配方法求一元二次方程的解集.2.掌握一元二次方程的求根公式并能熟练应用.3.理解一元二次方程根与系数的关系．
知识点一 一元二次方程的有关概念
形如ax2＋bx＋c＝0的方程为一元二次方程，其中a，b，c为常数，且a≠0. 其中二次项是ax2，一次项是bx，c是常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．
知识点二 一元二次方程的解法
直接开平方法
形如(x－k)2＝t(t≥0)的方程，两边开平方，转化为两个一元一次方程.
配方法
把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)通过配方化成(x－k)2＝t(t≥0)的形式，再用直接开平方法求解.
公式法
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足b2－4ac≥0，利用求根公式x＝.
因式分解法
一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，即可化成(x＋m)(x＋n)＝0(a≠0)的形式，即可解得两根为：x1＝－m，x2＝－n.
知识点三 一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
1．方程ax2＋bx＋x＝0是一元二次方程．( × )
2．方程x2－2x－1＝0的解集为{－1,1}．( × )
3．若x1，x2是方程x2－3x＝0的两个根，则x1x2无法计算．( × )
4．关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0有两个相等的实数根，则m＝1.( √ )
一、配方法求方程的解集
例1 利用配方法解方程2x2－4x－30＝0.
解 ∵2x2－4x－30＝0，
∴2x2－4x＋2＝32，∴x2－2x＋1＝16，
∴(x－1)2＝42，∴x1＝5，x2＝－3.
反思感悟 用配方法解一元二次方程的步骤：
(1)化二次项系数为1，即方程两边都除以二次项系数．
(2)移项：把常数项移到方程的右边．
(3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方的形式．
(4)开方：方程两边同时开方(直接开平方法)，目的是为了降次，得到一元一次方程．
(5)得解：如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
跟踪训练1 一元二次方程y2－y－＝0配方后可化为( )
A.2＝1 B.2＝1
C.2＝ D.2＝
答案 B
解析 由y2－y－＝0，得y2－y＝，所以y2－y＋＝1，即2＝1，故选B.
二、一元二次方程根的个数判断
例2 一元二次方程(x＋1)(x－3)＝2x－5根的情况是( )
A．无实数根
B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于3
D．有两个正根，且有一根大于3
答案 D
解析 (x＋1)(x－3)＝2x－5，整理得x2－2x－3＝2x－5，
则x2－4x＋2＝0，(x－2)2＝2，
解得x1＝2＋＞3，x2＝2－＞0，
故有两个正根，且有一根大于3.
故选D.
反思感悟 在使用根的判别式解决问题时，要注意：
(1)一元二次方程的解的情况分为“无实根”、“有两个相等的实根”、“有两个不等的实根”三种情况，注意与判别式的对应关系；
(2)利用根的判别式确定字母系数的取值范围时，不要漏掉二次项系数不为0这个隐含条件，否则容易出错．
跟踪训练2 若一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是( )
A．m≥1 B．m≤1
C．m＞1 D．m＜1
答案 D
解析 ∵方程x2－2x＋m＝0有两个不相同的实数根，
∴Δ＝(－2)2－4m＞0，解得m＜1.
故选D.
三、一元二次方程根与系数的关系
例3 已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2＝0.
(1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1－x2)2＋m2＝21，求m的值．
解 (1)根据题意得Δ＝(2m＋1)2－4(m2－2)≥0，
解得m≥－，
∴m的最小整数值为－2.
(2)根据题意得x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m2－2，
∵(x1－x2)2＋m2＝21，
∴(x1＋x2)2－4x1x2＋m2＝21，
∴(2m＋1)2－4(m2－2)＋m2＝21，
整理得m2＋4m－12＝0，即m2＋4m＋4＝16，
∴(m＋2)2＝16，解得m1＝2，m2＝－6，
∵m≥－，∴m的值为2.
反思感悟 应用一元二次方程根与系数的关系时，要注意以下几点：
(1)当一元二次方程不是一般形式时，要先化为一般形式．
(2)应用时，不要漏掉“－”号．
(3)应用根与系数的关系公式前，首先确定判别式Δ的值，Δ≥0是应用公式的前提．
跟踪训练3 已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋3)x＋k2＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围；
(2)若＋＝－1，求k的值．
解 (1)∵关于x的一元二次方程x2＋(2k＋3)x＋k2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(2k＋3)2－4k2＞0，解得k＞－.
(2)∵x1，x2是方程x2＋(2k＋3)x＋k2＝0的实数根，
∴x1＋x2＝－2k－3，x1x2＝k2，
∴＋＝＝＝－1 ，
解得k1＝3，k2＝－1，
经检验，k1＝3，k2＝－1都是原分式方程的根．
又∵k＞－，
∴k＝3.
1．把方程 2x2－3x＋1＝0化为(x－k)2＝t 的形式，正确的是( )
A.2＝16 B．22＝16
C.2＝ D．22＝
答案 C
2．方程2(x－3)＝3x(x－3)的解集为( )
A. B. C．{3} D．{0,3}
答案 A
解析 2(x－3)＝3x(x－3)，
移项得2(x－3)－3x(x－3)＝0，
整理得(x－3)(2－3x)＝0，
x－3＝0或2－3x＝0，
解得x1＝3或x2＝.
3．若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则＋等于( )
A．2 B．4 C．－2 D．－1
答案 B
解析 由根与系数的关系可得x1＋x2＝2，x1x2＝，
又＋＝，∴＋＝4，故选B.
4．已知x＝2是关于x的一元二次方程kx2＋(k2－2)x＋2k＋4＝0的一个根，则k的值为______．
答案 －3
解析 把x＝2代入kx2＋(k2－2)x＋2k＋4＝0得4k＋2k2－4＋2k＋4＝0，
整理得k2＋3k＝0，解得k1＝0，k2＝－3，
因为k≠0，
所以k的值为－3.
5．关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个相等的实数根，则m的值为________．
答案 2
解析 ∵关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个相等的实数根，∴b2－4ac＝0，即22－4(m－1)＝0，解得m＝2.
1．知识清单：
(1)配方法求方程的解集．
(2)求根公式．
(3)根与系数的关系．
2．方法归纳：配方法，公式法．
3．常见误区：求解过程中忽视对二次项系数的讨论．
1．关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋k＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．不能确定
答案 A
解析 Δ＝(k＋3)2－4×k＝k2＋2k＋9＝(k＋1)2＋8，
∵(k＋1)2≥0，
∴(k＋1)2＋8＞0，即Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选A.
2．若关于x的一元二次方程(k＋1)x2－2x＋1＝0有两个实数根，则k的取值范围是( )
A．k≥0 B．k≤0
C．k＜0且k≠－1 D．k≤0且k≠－1
答案 D
解析 根据题意得k＋1≠0且Δ＝(－2)2－4(k＋1)≥0，解得k≤0且k≠－1.故选D.
3．已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值为( )
A．4 B．－4 C．3 D．－3
答案 A
解析 ∵x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，
∴x1＋x2＝－b，
x1x2＝－3，
又x1＋x2－3x1x2＝5，
则－b－3×(－3)＝5，
解得b＝4.
故选A.
4．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋m－2＝0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为( )
A．6 B．5 C．4 D．3
答案 B
解析 ∵a＝1，b＝2，c＝m－2，关于x的一元二次方程x2＋2x＋m－2＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝22－4(m－2)＝12－4m≥0，
∴m≤3.
∵m为正整数，且该方程的根都是整数，
∴m＝2或3.
∴2＋3＝5.
故选B.
5．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋＝0有两个不相等的实数根x1，x2.若＋＝4m，则m的值是( )
A．2 B．－1 C．2或－1 D．不存在
答案 A
解析 ∵关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴
解得m＞－1且m≠0.
∵x1，x2是方程mx2－(m＋2)x＋＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∵＋＝4m，
∴＝4m ，
∴m＝2或－1，
∵m＞－1，
∴m＝2.
故选A.
6．若关于x的一元二次方程(m－5)x2＋2x＋2＝0有实根，则m的最大整数解是__________．
答案 4
解析 ∵关于x的一元二次方程(m－5)x2＋2x＋2＝0有实根，
∴Δ＝4－8(m－5)≥0，且m－5≠0，
解得m≤5.5，且m≠5，
则m的最大整数解是m＝4.
7．对于任意实数a，b，定义：a◆b＝a2＋ab＋b2.若方程(x◆2)－5＝0的两根记为m，n，则m2＋n2＝________.
答案 6
解析 ∵(x◆2)－5＝x2＋2x＋4－5，
∴m，n为方程x2＋2x－1＝0的两个根，
∴m＋n＝－2，mn＝－1，
∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝6.
8．利用求根公式解方程3x2－2x－2＝0.
解 x＝＝，
即x1＝，x2＝，
∴原方程的解为x1＝，x2＝.
9．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0.
(1)当b＝a＋2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
解 (1)a≠0，
Δ＝b2－4a＝(a＋2)2－4a＝a2＋4a＋4－4a＝a2＋4，
∴Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
(2)∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2－4a＝0，
若b＝2，a＝1，则方程变形为x2＋2x＋1＝0，解得x1＝x2＝－1.
10．已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若此方程的两实数根x1，x2满足x＋x＝11，求k的值．
解 (1)∵关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根，
∴Δ≥0，即[－(2k－1)]2－4×1×(k2＋k－1)＝－8k＋5≥0，
解得k≤.
(2)由根与系数的关系可得x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2＋k－1，
∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(2k－1)2－2(k2＋k－1)＝2k2－6k＋3，
∵x＋x＝11，
∴2k2－6k＋3＝11，
解得k＝4或k＝－1，
∵k≤，
∴k＝－1.
11．若α，β是一元二次方程3x2＋2x－9＝0的两根，则＋的值是( )
A. B．－ C．－ D.
答案 C
解析 ∵α，β是一元二次方程3x2＋2x－9＝0的两根，
∴α＋β＝－，αβ＝－3，
∴＋＝＝
＝＝－.
故选C.
12．规定：a?b＝(a＋b)b，如：2?3＝(2＋3)×3＝15，若2?x＝3，则x＝________.
答案 1或－3
解析 依题意得(2＋x)x＝3，
整理得 x2＋2x＝3，
所以(x＋1)2＝4，
所以x＋1＝±2，
所以x＝1或x＝－3.
13．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2－10x＋21＝0的根，则三角形的周长为________．
答案 16
解析 解方程x2－10x＋21＝0得x1＝3，x2＝7，
∵3＜第三边的边长＜9，
∴第三边的边长为7.
∴这个三角形的周长是3＋6＋7＝16.
14．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________．
答案 [2,8)
解析 由题意解得<[x]<，又[x]表示不大于x的最大整数，所以[x]的取值为2,3,4,5,6,7，故2≤x<8.
15．已知关于x的一元二次方程(a＋1)x2＋2bx＋a＋1＝0有两个相等的实数根，则下列判断正确的是( )
A．1一定不是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根
B．0一定不是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根
C．1和－1都是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根
D．1和－1不都是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根
答案 D
解析 ∵关于x的一元二次方程(a＋1)x2＋2bx＋a＋1＝0有两个相等的实数根，
∴
∴b＝a＋1或b＝－(a＋1)．
当b＝a＋1时，有a－b＋1＝0，此时－1是方程x2＋bx＋a＝0的根；
当b＝－(a＋1)时，有a＋b＋1＝0，此时1是方程x2＋bx＋a＝0的根．
∵a＋1≠0，∴a＋1≠－(a＋1)，
∴1和－1不都是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根．
故选D.
16．欧几里得的《原本》记载，形如x2＋ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝.则该方程的一个正根是( )
A．AC的长 B．AD的长
C．BC的长 D．CD的长
答案 B
解析 设AD＝x，根据勾股定理得2＝b2＋2，
整理得x2＋ax＝b2，
则该方程的一个正根是AD的长，
故选B.
课件28张PPT。2.1.2 一元二次方程的解集及其根与
系数的关系第二章 2.1 等式学习目标XUEXIMUBIAO1.了解一元二次方程的概念，能用配方法求一元二次方程的解集.
2.掌握一元二次方程的求根公式并能熟练应用.
3.理解一元二次方程根与系数的关系.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 一元二次方程的有关概念形如ax2＋bx＋c＝0的方程为一元二次方程，其中a，b，c为常数，且a≠0. 其中二次项是____，一次项是____，____是常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数.ax2bxc知识点二 一元二次方程的解法开平方配方直接开平方法一次因式－m－n知识点三 一元二次方程根与系数的关系一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝___，x1x2＝___.思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.方程ax2＋bx＋x＝0是一元二次方程.( )
2.方程x2－2x－1＝0的解集为{－1,1}.( )
3.若x1，x2是方程x2－3x＝0的两个根，则x1x2无法计算.( )
4.关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0有两个相等的实数根，则m＝1.( )×××√2题型探究PART TWO例1 利用配方法解方程2x2－4x－30＝0.一、配方法求方程的解集解 ∵2x2－4x－30＝0，
∴2x2－4x＋2＝32，∴x2－2x＋1＝16，
∴(x－1)2＝42，∴x1＝5，x2＝－3.用配方法解一元二次方程的步骤：
(1)化二次项系数为1，即方程两边都除以二次项系数.
(2)移项：把常数项移到方程的右边.
(3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方的形式.
(4)开方：方程两边同时开方(直接开平方法)，目的是为了降次，得到一元一次方程.
(5)得解：如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解.√例2 一元二次方程(x＋1)(x－3)＝2x－5根的情况是
A.无实数根
B.有一个正根，一个负根
C.有两个正根，且都小于3
D.有两个正根，且有一根大于3二、一元二次方程根的个数判断√解析 (x＋1)(x－3)＝2x－5，整理得x2－2x－3＝2x－5，
则x2－4x＋2＝0，(x－2)2＝2，故有两个正根，且有一根大于3.
故选D.在使用根的判别式解决问题时，要注意：
(1)一元二次方程的解的情况分为“无实根”、“有两个相等的实根”、“有两个不等的实根”三种情况，注意与判别式的对应关系；
(2)利用根的判别式确定字母系数的取值范围时，不要漏掉二次项系数不为0这个隐含条件，否则容易出错.跟踪训练2 若一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是
A.m≥1 B.m≤1
C.m＞1 D.m＜1√解析 ∵方程x2－2x＋m＝0有两个不相同的实数根，
∴Δ＝(－2)2－4m＞0，解得m＜1.
故选D.例3 已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2＝0.
(1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；三、一元二次方程根与系数的关系解 根据题意得Δ＝(2m＋1)2－4(m2－2)≥0，∴m的最小整数值为－2.解 根据题意得x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m2－2，
∵(x1－x2)2＋m2＝21，
∴(x1＋x2)2－4x1x2＋m2＝21，
∴(2m＋1)2－4(m2－2)＋m2＝21，
整理得m2＋4m－12＝0，即m2＋4m＋4＝16，
∴(m＋2)2＝16，解得m1＝2，m2＝－6，(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1－x2)2＋m2＝21，求m的值.应用一元二次方程根与系数的关系时，要注意以下几点：
(1)当一元二次方程不是一般形式时，要先化为一般形式.
(2)应用时，不要漏掉“－”号.
(3)应用根与系数的关系公式前，首先确定判别式Δ的值，Δ≥0是应用公式的前提.跟踪训练3 已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋3)x＋k2＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围；解 ∵关于x的一元二次方程x2＋(2k＋3)x＋k2＝0有两个不相等的实数根，解 ∵x1，x2是方程x2＋(2k＋3)x＋k2＝0的实数根，
∴x1＋x2＝－2k－3，x1x2＝k2，解得k1＝3，k2＝－1，
经检验，k1＝3，k2＝－1都是原分式方程的根.∴k＝3.3随堂演练PART THREE1.把方程 2x2－3x＋1＝0化为(x－k)2＝t 的形式，正确的是12345√解析 2(x－3)＝3x(x－3)，
移项得2(x－3)－3x(x－3)＝0，
整理得(x－3)(2－3x)＝0，
x－3＝0或2－3x＝0，12345√A.2 B.4 C.－2 D.－1√123454.已知x＝2是关于x的一元二次方程kx2＋(k2－2)x＋2k＋4＝0的一个根，则k的值为______.解析 把x＝2代入kx2＋(k2－2)x＋2k＋4＝0得4k＋2k2－4＋2k＋4＝0，
整理得k2＋3k＝0，解得k1＝0，k2＝－3，
因为k≠0，
所以k的值为－3.12345－35.关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个相等的实数根，则m的值为___.解析 ∵关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个相等的实数根，
∴b2－4ac＝0，即22－4(m－1)＝0，解得m＝2.1234521.知识清单：
(1)配方法求方程的解集.
(2)求根公式.
(3)根与系数的关系.
2.方法归纳：配方法，公式法.
3.常见误区：求解过程中忽视对二次项系数的讨论.课堂小结KE TANG XIAO JIE本课结束
