2.1.3 方程组的解集
学习目标 1.会用代入法解二元一次方程组和三元一次方程组.2.掌握二元二次方程组的解法.3.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题．
知识点 方程组的解集
一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为方程组的解集．常用的方法是消元法．
1．下列方程：①7x－3y＝5；②x2－2y＝1；③＋3y＝8；④x＋y＝z；⑤2xy＋3＝0；⑥＋＝1.其中是二元一次方程的为________．
答案 ①⑥
2．二元一次方程组的解集是________．
答案 {(3，－2)}
3．已知三元一次方程组则x＋y＋z＝________.
答案 3
4．方程组的解集是______________．
答案 {(－1,0)，(4,5)}
一、求三元一次方程组的解集
例1 求方程组的解集．
解 已知方程组
①＋②，得5x－z＝14.
①＋③，得4x＋3z＝15.
解方程组
得把x＝3，z＝1代入③，得y＝8.
所以原方程组的解集为{(3,8,1)}．
反思感悟 求三元一次方程组解集时，首先将系数较为简单的未知数消去，将“三元”转化为“二元”，再解二元一次方程组即可；或根据各未知数系数的特点，直接将方程相加(减)进行简便运算．
跟踪训练1 求方程组的解集．
解 已知方程组
①－②×2，得5y－3z＝8，④
③－②，得3y－3z＝6，⑤
由④⑤组成二元一次方程组
解这个二元一次方程组，得把y＝1，z＝－1代入②，得x＝2，
所以原方程组的解集为{(2,1，－1)}．
二、求二元二次方程组的解集
例2 求方程组的解集．
解 已知方程组
由①得：x2－y2－5(x＋y)＝0?(x＋y)(x－y)－5(x＋y)＝0?(x＋y)(x－y－5)＝0，
∴ x＋y＝0或x－y－5＝0，
∴ 原方程组可化为两个方程组：或
用代入法解这两个方程组，得原方程组的解集是{(－1，－6)，(6,1)，(，－)，(－，)}．
反思感悟 求二元二次方程组解集的注意点
(1)一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解．其蕴含着转化思想：将二元二次方程转化为熟悉的一元二次方程求解．
(2)消x，还是消y，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如方程x－2y＋1＝0，可以消去x，变形得x＝2y－1，再代入消元．
(3)消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值，不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点切记．
跟踪训练2 求方程组的解集．
解 已知方程组
①×3－②得：3x－y＝1?y＝3x－1，③
代入①得：x(3x－1)＋x＝3?3x2＝3?x1＝1或x2＝－1.
分别代入③得：y1＝2或y2＝－4.
∴ 原方程组的解集为{(1,2)，(－1，－4)}．
三、二元一次方程组的应用
例3 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质．若病人每餐需35单位蛋白质和40单位铁质，则每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？
解 设每餐甲、乙两种原料各需x g，y g，则有下表：
甲原料x g
乙原料y g
所配的营养品
其中所含蛋白质
0.5x单位
0.7y单位
(0.5x＋0.7y)单位
其中所含铁质
x单位
0.4y单位
(x＋0.4y)单位
根据题意及上述表格，可列方程组
化简，得
①－②，得y＝30，
把y＝30代入②中，得x＝28.
答：每餐需甲种原料28 g，乙种原料30 g.
反思感悟 用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的数量关系．
(2)设元：用字母表示题目中的未知数．
(3)列方程组：根据2个等量关系列出方程组．
(4)解方程组：利用代入消元或加减消元解出未知数的值．
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答．
跟踪训练3 随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需要600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5 200元．
(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少元？
解 (1)设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，
根据题意，得
解得
答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元．
(2)80×40＋100×120－80×0.8×40－100×0.75×120＝3 640(元)．
答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3 640元．
1．下列方程组是二元一次方程组的是( )
A. B.
C. D.
答案 D
2．已知方程组则x＋y的值为( )
A．－1 B．0 C．2 D．3
答案 D
解析
②×2，得2x＋6y＝10，③
③－①，得5y＝5，解得y＝1，把y＝1代入①，得2x＋1＝5，解得x＝2，所以原方程组的解集是{(2,1)}，所以x＋y＝2＋1＝3.
3．在某校举办的足球比赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某班足球队参加了12场比赛，共得22分，已知这个队只输了2场，为求此队胜几场和平几场，设这支足球队胜x场，平y场．根据题意，列出如下四个方程组，其中正确的是( )
A. B.
C. D.
答案 A
4．以方程组的解为坐标的点(x，y)在第__________象限.
答案 一
解析 方程组的解集为，所以x>0，y>0，所以点(x，y)在第一象限．
5．在三角形ABC中，∠A－∠C＝25°，∠B－∠A＝10°，则∠B＝____.
答案 75°
解析 把∠A，∠B，∠C看作未知数，连同“∠A＋∠B＋∠C＝180°”可组成三元一次方程组，解方程组得∠B＝75°.
1．知识清单：
(1)求二元一次方程组、三元一次方程组的解集．
(2)求二元二次方程组的解集．
(3)解方程组的实际应用．
2．方法归纳：消元法、待定系数法．
3．常见误区：消元不恰当造成运算烦琐．
1．将方程2x－3y－4＝0变形为用含y的式子表示x的是( )
A．2x＝3y＋4 B．x＝y＋2
C．3y＝2x－4 D．y＝
答案 B
2．求方程组的解集时若要使运算简便，消元应选( )
A．先消未知数x B．先消未知数y
C．先消未知数z D．先消常数项
答案 B
3．已知关于x，y的方程组中，x，y的值相等，则k的值是( )
A．3 B. C．5 D.
答案 B
解析 把方程组中的x都换成y，解出x＝y＝.把x＝y＝再代入第一个方程，从而求出k的值．
4．求三元一次方程组的解集具体过程如下：
(1)②－①，得b＝2，④
(2)①×2＋③，得4a－2b＝7，⑤
(3)所以
(4)把④代入⑤，得4a－2×2＝7(以下求解过程略)．其中错误的一步是( )
A．(1) B．(2) C．(3) D．(4)
答案 B
5．为了丰富学生课外小组活动，培养学生的动手操作能力，王老师让学生把5 m长的彩绳截成2 m或1 m长的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，不同的截法种数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 设截成2 m长的彩绳x根，1 m长的彩绳y根，根据题意，得2x＋y＝5.显然，x，y均为非负整数，符合题意的解为因此，共有3种不同的截法．
6．请写出一个二元一次方程组__________，使它的解集是{(2，－1)}．
答案 不唯一，如
7．在y＝ax2＋bx＋c中，当x＝0时，y＝2；当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝12.则a＝________，b＝________，c＝________.
答案 1 3 2
解析 分别把x，y的三组值代入原等式中，可以得到关于a，b，c的三元一次方程组解得方程组的解集为{(1,3,2)}．
8．已知方程组则x∶y∶z＝________.
答案 1∶2∶3
解析 把z看作已知数，解关于x，y的方程组即可．
9．求方程组的解集．
解 方程组
方法一 ①＋②，得3x＝9，解得x＝3.
把x＝3代入②，得y＝－1.
故原方程组的解集为{(3，－1)}．
方法二 由①，得x＝y＋4，③
把③代入②，得y＝－1.
把y＝－1代入③，得x＝3.
故原方程组的解集为{(3，－1)}．
10．在“某地大地震”灾民安置工作中，某企业捐助了一批板材共24 000 m2，某灾民安置点用该企业捐助的这批板材全部搭建成A，B两种型号的板房，供2 300名灾民临时居住．已知建一间A型板房和一间B型板房所需板材及能安置的人数如下表所示：
板房型号
所需板材
安置人数
A型板房
54 m2
5
B型板房
78 m2
8
问：该灾民安置点搭建A型板房和B型板房各多少间？
解 设该灾民安置点搭建A型板房x间，B型板房y间．由题意得，
解得方程组的解集为{(300,100)}．
答：该灾民安置点搭建A型板房300间，B型板房100间．
11．一副三角板按如图方式摆放，且∠1比∠2大50°，若设∠1＝x°，∠2＝y°，则可得到的方程组为( )
A. B.
C. D.
答案 D
12．已知是方程组的解，则(a＋5b)2 019的值为________．
答案 －1
13．对于实数a，b，定义运算“?”：a?b＝例如4?3，因为4>3，所以4?3＝＝5.若x，y满足方程组则x?y＝__________.
答案 60
解析 由题意可知，解得方程组的解集为{(5,12)}，∵x14．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”
译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”
设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为__________．
答案
15．某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2 900朵红花，3 750朵紫花，则黄花用了________朵.
答案 4 380
解析 设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆．由题意，
有
由①得3x＋2y＋2z＝580，③
由②得x＋z＝150，④
把④代入③，得x＋2y＝280，
所以2y＝280－x，⑤
由④得z＝150－x，
所以黄花一共用了24x＋12y＋18z＝6(4x＋2y＋3z)，
又4x＋2y＋3z＝4x＋(280－x)＋3(150－x)＝730.
故黄花一共用了4 380朵．
16．甲、乙两人共同求方程组的解集，甲由于看错了方程①中的a，得到方程组的解集为{(－3，－1)}，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解集为{(5,4)}．
试计算a2 018＋2 019的值．
解 把x＝－3，y＝－1代入②，得－12＋b＝－2，解得b＝10.
把x＝5，y＝4，代入①，得5a＋20＝15，解得a＝－1.
故a2 018＋2 019＝(－1)2 018＋(－1)2 019＝1＋(－1)＝0.
课件29张PPT。2.1.3 方程组的解集第二章 2.1 等式学习目标XUEXIMUBIAO1.会用代入法解二元一次方程组和三元一次方程组.
2.掌握二元二次方程组的解法.
3.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点 方程组的解集一般地，将多个方程联立，就能得到方程组.方程组中，由每个方程的解集得到的_____称为方程组的解集.常用的方法是_______.交集消元法预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN①⑥{(3，－2)}3{(－1,0)，(4,5)}2题型探究PART TWO一、求三元一次方程组的解集①＋②，得5x－z＝14.
①＋③，得4x＋3z＝15.所以原方程组的解集为{(3,8,1)}.①
②
③反思感悟求三元一次方程组解集时，首先将系数较为简单的未知数消去，将“三元”转化为“二元”，再解二元一次方程组即可；或根据各未知数系数的特点，直接将方程相加(减)进行简便运算.①
②
③①－②×2，得5y－3z＝8， ④
③－②，得3y－3z＝6， ⑤把y＝1，z＝－1代入②，得x＝2，
所以原方程组的解集为{(2,1，－1)}.二、求二元二次方程组的解集由①得：x2－y2－5(x＋y)＝0?(x＋y)(x－y)－5(x＋y)＝0?(x＋y)(x－y－5)＝0，
∴ x＋y＝0或x－y－5＝0，①
②反思感悟求二元二次方程组解集的注意点
(1)一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解.其蕴含着转化思想：将二元二次方程转化为熟悉的一元二次方程求解.
(2)消x，还是消y，应由二元一次方程的系数来决定.若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如方程x－2y＋1＝0，可以消去x，变形得x＝2y－1，再代入消元.
(3)消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值，不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点切记.①×3－②得：3x－y＝1?y＝3x－1， ③
代入①得：x(3x－1)＋x＝3?3x2＝3?x1＝1或x2＝－1.
分别代入③得：y1＝2或y2＝－4.
∴ 原方程组的解集为{(1,2)，(－1，－4)}.①
②三、二元一次方程组的应用例3 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质.若病人每餐需35单位蛋白质和40单位铁质，则每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？解 设每餐甲、乙两种原料各需x g，y g，则有下表：根据题意及上述表格，可列方程组①
②①－②，得y＝30，
把y＝30代入②中，得x＝28.
答：每餐需甲种原料28 g，乙种原料30 g.反思感悟用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的数量关系.
(2)设元：用字母表示题目中的未知数.
(3)列方程组：根据2个等量关系列出方程组.
(4)解方程组：利用代入消元或加减消元解出未知数的值.
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.跟踪训练3 随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需要600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5 200元.
(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？解 设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元.(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少元？解 80×40＋100×120－80×0.8×40－100×0.75×120＝3 640(元).
答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3 640元.3随堂演练PART THREE1.下列方程组是二元一次方程组的是12345√A.－1 B.0 C.2 D.3√②×2，得2x＋6y＝10， ③
③－①，得5y＝5，解得y＝1，
把y＝1代入①，得2x＋1＝5，解得x＝2，
所以原方程组的解集是{(2,1)}，所以x＋y＝2＋1＝3.12345①
②3.在某校举办的足球比赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.某班足球队参加了12场比赛，共得22分，已知这个队只输了2场，为求此队胜几场和平几场，设这支足球队胜x场，平y场.根据题意，列出如下四个方程组，其中正确的是12345√所以x>0，y>0，所以点(x，y)在第一象限.12345一5.在三角形ABC中，∠A－∠C＝25°，∠B－∠A＝10°，则∠B＝____.解析 把∠A，∠B，∠C看作未知数，连同“∠A＋∠B＋∠C＝180°”可组成三元一次方程组，解方程组得∠B＝75°.1234575°1.知识清单：
(1)求二元一次方程组、三元一次方程组的解集.
(2)求二元二次方程组的解集.
(3)解方程组的实际应用.
2.方法归纳：消元法、待定系数法.
3.常见误区：消元不恰当造成运算烦琐.课堂小结KE TANG XIAO JIE本课结束
