2.2 不等式
2.2.1 不等式及其性质
第1课时 不等式及其性质
学习目标 1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步学会作差法、作商法比较两实数的大小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．
知识点一 不等关系
不等式中文字语言与数学符号之间的转换
大于
小于
大于等于
小于等于
至多
至少
不少于
不多于
>
<
≥
≤
≤
≥
≥
≤
其中a≥b?a＞b或a＝b，a≤b?a＜b或a＝b.
知识点二 比较两个实数(代数式)大小
作差法的理论依据：
a>b?a－b>0；
a＝b?a－b＝0；
a
知识点三 不等式的基本性质及推论
1．不等式的性质
性质
别名
内容
性质1
可加性
a>b?a＋c>b＋c
性质2
可乘性
a＞b，c＞0?ac＞bc
性质3
a＞b，c＜0?ac＜bc
性质4
传递性
a>b，b>c?a>c
性质5
对称性
a>b?b2.不等式的推论
推论
别名
内容
推论1
移项法则
a＋b＞c?a＞c－b
推论2
同向不等式相加
a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d
推论3
同向不等式相乘
a＞b＞0, c＞d＞0?ac＞bd
推论4
可乘方性
a＞b＞0?an＞bn_(n∈N，n＞1)
推论5
可开方性
a＞b＞0?>
1．若a>b，则a－c>b－c.( √ )
2.>1?a>b.( × )
3．对任意的x都有x2≥2x－1.( √ )
4.的充要条件是a＋c>b＋d.( × )
一、用不等式表示不等关系
例1 (1)下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是( )
A．a－b＞0 B．a－b＜0
C．a－b≥0 D．a－b≤0
答案 C
解析 “a与b的差是非负数”用不等式表示为a－b≥0.故选C.
(2)某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h满足关系为( )
A．h＜4.5 B．h＞4.5
C．h≤4.5 D．h≥4.5
答案 A
解析 “限高4.5米”即h＜4.5，故选A.
反思感悟 1.用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：
(1)审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量；
(2)列不等关系．列出待求量具备哪些不等关系(即满足什么条件)；
(3)列不等式(组)．挖掘题意，建立已知量和待求量之间的关系式，并分析某些变量的约束条件(包含隐含条件)．
2．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．用代数式表示相应各量，并用关键词连接．特别需要考虑的是“≤”“≥”中的“＝”能否取到．
二、作差法比较大小
例2 已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．
解 ∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)
＝a2(a－b)＋b2(b－a)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．
当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；
当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.
综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.
延伸探究
1．若a>0，b>0，a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小关系又如何？
解 (a5＋b5)－(a3b2＋a2b3)＝a5－a3b2＋b5－a2b3
＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)
＝(a2－b2)(a3－b3)
＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)．
∵a>0，b>0，
∴(a－b)2≥0，a＋b>0，a2＋ab＋b2>0.
∴a5＋b5≥a3b2＋a2b3.
2．对于an＋bn，你能有一个更具一般性的猜想吗？
解 若a>0，b>0，n>r，n，r∈N＋，则an＋bn≥arbn－r＋an－rbr.
反思感悟 比较两个实数的大小，可以求出它们的差的符号．作差法比较实数的大小的一般步骤是：作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方式的形式或一些易判断符号的因式积的形式．
跟踪训练1 已知x<1，试比较x3－1与2x2－2x的大小．
解 ∵(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2
＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)，
又∵2＋>0，x－1<0，
∴(x－1)<0，∴x3－1<2x2－2x.
三、利用不等式的性质判断或证明
例3 (1)给出下列命题：
①若ab>0，a>b，则<；
②若a>b，c>d，则a－c>b－d；
③对于正数a，b，m，若a其中真命题的序号是________．
答案 ①③
解析 对于①，若ab>0，则>0，
又a>b，所以>，所以<，所以①正确；
对于②，若a>b，c>d，则－c<－d，
所以－d>－c，所以a－d>b－c，
所以a－c>b－d不成立，②错误；
对于③，对于正数a，b，m，
若a所以am＋ab所以0又>0，所以<，③正确．
综上，真命题的序号是①③.
(2)已知a>b>0，c证明 因为c－d>0.
所以0<－<－.
又因为a>b>0，所以－>－>0.
所以 >，即－>－，
两边同乘－1，得<.
反思感悟 (1)首先要注意不等式成立的条件，在解决选择题时，可利用特殊值法进行排除，注意取值时一是满足题设条件，二是取值简单，便于计算．
(2)应用不等式的性质证明时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，不可省略条件或跳步推导．
跟踪训练2 若<<0，有下面四个不等式：
①|a|>|b|，②ab3.
则不正确的不等式的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 由<<0可得b0，则a＋bb3，④正确．
故不正确的不等式的个数为2.
1．下列说法正确的是( )
A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000”
B．小明的身高x，小华的身高y，则小明比小华矮表示为“x>y”
C．某变量x至少是a可表示为“x≥a”
D．某变量y不超过a可表示为“y≥a”
答案 C
解析 对于A，x应满足x≤2 000，故A错；对于B，x，y应满足x2．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则( )
A．a>b B．aC．a≥b D．a≤b
答案 C
解析 a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以a≥b.
3．a>b，c>d是a＋c>b＋d的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
4．若a>b>0，cA.> B.<
C.> D.<
答案 B
解析 因为c－d>0，
即>>0.
又a>b>0，所以>，
从而有<.
5．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是________．
答案 x解析 x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以x1．知识清单：
(1)用不等式表示不等关系．
(2)大小比较．
(3)不等式的性质．
2．方法归纳：比较法．
3．常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性．
1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )
A．M>N B．M＝N
C．M答案 A
解析 ∵M－N＝x2＋x＋1＝2＋>0，
∴M>N.
2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是( )
A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b
答案 C
解析 由a＋b>0知，a>－b>0，∴－a又b<0，∴－b>0，∴a>－b>b>－a.
3．已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是( )
A．a>b?ac3>bc3 B.>?a>b
C.?> D.?>
答案 C
解析 当c＝0时，A不成立；当c<0时，B不成立；
当ab<0时，a>b?<，
即>，C成立．同理可证D不成立．
4．如果a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是( )
A.< B.<
C．a2|b|
答案 A
解析 ∵a<0，b>0，∴<0，>0，
∴<，故选A.
5．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是( )
A．a>> B.>>a
C.>a> D.>>a
答案 D
解析 ∵a<0，b<－1，∴>0，b2>1，
∴0<<1，∴0>>，
∴>>a.
6．不等式a>b和>同时成立的条件是________．
答案 a>0>b
解析 若a，b同号，则a>b?<.
7．给出下列命题：
①a>b?ac2>bc2；②a>|b|?a2>b2；③a>b?a3>b3；④|a|>b?a2>b2.其中正确命题的序号是________．
答案 ②③
解析 ①当c2＝0时不成立；②一定成立；
③当a>b时，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)·>0成立；
④当b<0时，不一定成立．如：|2|>－3，但22<(－3)2.
8．设a>b>c>0，x＝，y＝，z＝，则x，y，z的大小顺序是________．
答案 z>y>x
解析 ∵a>b>c>0，
y2－x2＝b2＋(c＋a)2－a2－(b＋c)2＝2ac－2bc
＝2c(a－b)>0，
∴y2>x2，即y>x.
同理可得z>y，故z>y>x.
9．设P＝a2b2＋5，Q＝2ab－a2－4a，若P＞Q，求实数a，b应满足的条件．
解 由P－Q＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a＝(ab－1)2＋(a＋2)2，
∵P＞Q，∴(ab－1)2＋(a＋2)2＞0，
∴ab≠1或a≠－2.
即实数a，b应满足条件是ab≠1或a≠－2.
10．判断下列各命题的真假，并说明理由．
(1)若a(2)<，则a>b；
(3)若a>b，且k∈N＋，则ak>bk；
(4)若a>b，b>c，则a－b>b－c.
解 (1)假命题．∵a0，
∴>不一定成立，
∴推不出<，∴是假命题．
(2)假命题．当c>0时，>0，则a(3)假命题．当a＝1，b＝－2，k＝2时，显然命题不成立，
∴是假命题．
(4)假命题．当a＝2，b＝0，c＝－3时，满足a>b，b>c这两个条件，但是a－b＝211．已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．xy>yz B．xz>yz
C．xy>xz D．x|y|>z|y|
答案 C
解析 因为x>y>z，x＋y＋z＝0，
所以3x>x＋y＋z＝0,3z所以x>0，z<0.
所以由可得xy>xz.
12．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋cA．d>b>a>c B．b>c>d>a
C．d>b>c>a D．c>a>d>b
答案 A
解析 ∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，
∴a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)，即a>c.∴b又a＋c综上可得，d>b>a>c.
13．已知a，b，c，d∈R且ab>0，－<－，则( )
A．bcad
C.> D.<
答案 B
解析 ∵ab>0，－<－，∴－bc<－ad，∴bc>ad.
14．若a1”“<”“＝”)
答案 >
解析 a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)
＝a1(b1－b2)＋a2(b2－b1)
＝(b1－b2)(a1－a2)，
∵a1∴b1－b2<0，a1－a2<0，
即(b1－b2)(a1－a2)>0，
∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
15．若α，β满足－<α<β<，则α－β的取值范围是________
答案 (－1,0)
解析 ∵－<α<，
－<－β<，
∴－1<α－β<1.
又α<β，∴α－β<0，∴－1<α－β<0.
16．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试探究谁先到达教室？
解 设寝室到教室的路程为s，步行速度为v1，跑步速度为v2，则甲用时t1＝＋，乙用时t2＝，t1－t2＝＋－＝s
＝·s＝>0，
所以甲用时多．所以乙先到达教室．
课件31张PPT。第1课时 不等式及其性质第二章 2.2.1 不等式及其性质学习目标XUEXIMUBIAO1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.
2.初步学会作差法、作商法比较两实数的大小.
3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 不等关系不等式中文字语言与数学符号之间的转换其中a≥b?___________，a≤b?____________.><≥≤≤≥≥≤a＞b或a＝ba＜b或a＝b知识点二 比较两个实数(代数式)大小
作差法的理论依据：
a>b?________；
a＝b?a－b＝0；
a0a－b<0知识点三 不等式的基本性质及推论1.不等式的性质>a>c2.不等式的推论a＋c＞b＋dac＞bdan＞bn思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.若a>b，则a－c>b－c.( )3.对任意的x都有x2≥2x－1.( )√√××2题型探究PART TWO例1 (1)下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是
A.a－b＞0 B.a－b＜0
C.a－b≥0 D.a－b≤0一、用不等式表示不等关系解析 “a与b的差是非负数”用不等式表示为a－b≥0.故选C.√(2)某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h满足关系为
A.h＜4.5 B.h＞4.5
C.h≤4.5 D.h≥4.5解析 “限高4.5米”即h＜4.5，故选A.√反思感悟1.用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：
(1)审题.通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量；
(2)列不等关系.列出待求量具备哪些不等关系(即满足什么条件)；
(3)列不等式(组).挖掘题意，建立已知量和待求量之间的关系式，并分析某些变量的约束条件(包含隐含条件).
2.找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等.用代数式表示相应各量，并用关键词连接.特别需要考虑的是“≤”“≥”中的“＝”能否取到.例2 已知a，b均为正实数.试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小.二、作差法比较大小解 ∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)
＝a2(a－b)＋b2(b－a)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b).
当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；
当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.
综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.延伸探究
1.若a>0，b>0，a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小关系又如何？解 (a5＋b5)－(a3b2＋a2b3)＝a5－a3b2＋b5－a2b3
＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)
＝(a2－b2)(a3－b3)
＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2).
∵a>0，b>0，
∴(a－b)2≥0，a＋b>0，a2＋ab＋b2>0.
∴a5＋b5≥a3b2＋a2b3.2.对于an＋bn，你能有一个更具一般性的猜想吗？解 若a>0，b>0，n>r，n，r∈N＋，
则an＋bn≥arbn－r＋an－rbr.反思感悟比较两个实数的大小，可以求出它们的差的符号.作差法比较实数的大小的一般步骤是：作差→恒等变形→判断差的符号→下结论.作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方式的形式或一些易判断符号的因式积的形式.跟踪训练1 已知x<1，试比较x3－1与2x2－2x的大小.解 ∵(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2∴x3－1<2x2－2x.例3 (1)给出下列命题：三、利用不等式的性质判断或证明其中真命题的序号是______.①③对于②，若a>b，c>d，则－c<－d，
所以－d>－c，所以a－d>b－c，
所以a－c>b－d不成立，②错误；
对于③，对于正数a，b，m，若a所以am＋ab所以0－d>0.反思感悟(1)首先要注意不等式成立的条件，在解决选择题时，可利用特殊值法进行排除，注意取值时一是满足题设条件，二是取值简单，便于计算.
(2)应用不等式的性质证明时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，不可省略条件或跳步推导.跟踪训练2 若 ，有下面四个不等式：
①|a|>|b|，②ab3.
则不正确的不等式的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3a＋b<0，ab>0，则a＋ba3>b3，④正确.
故不正确的不等式的个数为2.√3随堂演练PART THREE1.下列说法正确的是
A.某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000”
B.小明的身高x，小华的身高y，则小明比小华矮表示为“x>y”
C.某变量x至少是a可表示为“x≥a”
D.某变量y不超过a可表示为“y≥a”解析 对于A，x应满足x≤2 000，故A错；
对于B，x，y应满足xC正确；
对于D，y与a的关系可表示为y≤a，故D错.√123452.设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则
A.a>b B.aC.a≥b D.a≤b√解析 a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)
＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
所以a≥b.123453.a>b，c>d是a＋c>b＋d的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件√12345解析 因为c－d>0，12345√5.若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是_____.解析 x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)
＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以x(1)用不等式表示不等关系.
(2)大小比较.
(3)不等式的性质.
2.方法归纳：比较法.
3.常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性.课堂小结KE TANG XIAO JIE本课结束第2课时 不等式的证明方法
学习目标 1.掌握综合法、分析法证明问题的过程和推理特点，能用综合法、分析法证明简单问题.2.能正确区分综合法和分析法的推理特点，灵活选用恰当的方法证明问题.3.了解反证法的定义，掌握反证法的推理特点．掌握反证法证明问题的一般步骤，能用反证法证明一些简单的命题．
知识点一 综合法
综合法是从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法．
知识点二 反证法
反证法是首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．
知识点三 分析法
分析法的实质就是不断寻找使结论成立的充分条件．
1．综合法是从结论向已知的逆推证法．( × )
2．综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程．分析法的推理过程实际上是寻求使结论成立的充分条件的过程．( √ )
3．反证法属于间接证明问题的方法．( √ )
4．反证法的实质是否定结论导出矛盾．( √ )
一、综合法
例1 (1)已知a>b，e>f，c>0.求证：f－ac(2)若bc－ad≥0，bd>0.求证：≤.
证明 (1)∵a>b，c>0，∴ac>bc，
∴－ac<－bc.∵f∴f－ac(2)∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，
∵bd>0，
∴≤，∴＋1≤＋1，
∴≤.
反思感悟 综合法处理问题的三个步骤．
跟踪训练1 已知x＋y＋z＝m.求证x2＋y2＋z2≥.
证明 ∵x＋y＋z＝m，
∴(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)＝m2.
又∵x2＋y2≥2xy，y2＋z2≥2yz，z2＋x2≥2xz，
∴2(x2＋y2＋z2)≥2(xy＋yz＋zx)，
即x2＋y2＋z2≥xy＋yz＋zx，
∴m2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)≤3(x2＋y2＋z2)．
∴x2＋y2＋z2≥.
二、反证法
例2 若x>0，y>0，且x＋y>2，求证与至少有一个小于2.
证明 假设与都不小于2，
即≥2，≥2.
∵x>0，y>0，∴1＋y≥2x,1＋x≥2y，
两式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y)．
∴x＋y≤2，这与已知中x＋y>2矛盾．
∴假设不成立，原命题成立．
故与至少有一个小于2.
反思感悟 反证法证明问题的一般步骤
跟踪训练2 已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．
证明 假设a，b，c，d都是非负数，
因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1.
又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，
所以ac＋bd≤1，
这与已知ac＋bd>1矛盾，
所以a，b，c，d中至少有一个是负数．
三、分析法
例3 已知a>b>0，求证<－<.
证明 要证<－<，
只需证<<.
∵a>b>0，
∴同时除以，得<1<，
同时开方，得<1<，
只需证＋<2，且＋>2，
即证<，即证b∵a>b>0，∴原不等式成立，
即<－<.
反思感悟 1.分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式．
2．分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论?…?…?…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误．
跟踪训练3 已知a>0，b>0，求证＋≥＋.
证明 要证＋≥＋，
只需证≥＋，
只需证()3＋()3≥a＋b，
只需证()3＋()3－a－b≥0，
即证(－)(a－b)≥0，即(－)2(＋)≥0.
∵a>0，b>0，∴(－)2(＋)≥0显然成立．
∴原不等式成立．
1．分析法证明问题是从所证命题的结论出发，寻求使这个结论成立的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 分析法证明是从所证命题的结论出发，寻求使结论成立的充分条件．
2．要证明＋<2可选择的方法有以下几种，其中最合理的为( )
A．综合法 B．分析法
C．反证法 D．归纳法
答案 B
解析 要证明＋<2最合理的方法是分析法．
3．应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用( )
①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．
A．①② B．②③
C．①②③ D．①②④
答案 C
解析 反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的反设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．
4．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是( )
A．有两个内角是钝角
B．有三个内角是钝角
C．至少有两个内角是钝角
D．没有一个内角是钝角
答案 C
解析 “最多有一个”的反设是“至少有两个”，故选C.
5．设A＝＋，B＝(a>0，b>0)，则A，B的大小关系为________．
答案 A≥B
解析 ∵A－B＝－＝＝≥0.
∴A≥B.
1．知识清单：三种证明方法的步骤．
2．方法归纳：综合法、分析法、反证法．
3．常见误区：综合法证明中不等式性质使用不当，反证法中假设不正确．
1．求证：－1>－.
证明：要证－1>－，
只需证＋>＋1，
即证7＋2＋5>11＋2＋1，即证>，
∵35>11，
∴原不等式成立．
以上证明应用了( )
A．分析法
B．综合法
C．分析法与综合法配合使用
D．间接证法
答案 A
解析 该证明方法符合分析法的定义，故选A.
2．命题“△ABC中，若A>B，则a>b”的结论的否定应该是( )
A．aC．a＝b D．a≥b
答案 B
解析 “大于”的否定是“不大于”，即“小于或等于”，故选B.
3．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°，正确顺序的序号为( )
A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①②
答案 D
解析 根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论．
4．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是( )
A．P>Q B．P＝Q
C．P答案 C
解析 ∵P>0，Q>0，
∴要比较P，Q的大小关系，
只需比较P2，Q2的大小关系，
∵P2＝a＋a＋7＋2·
＝2a＋7＋2，
Q2＝a＋3＋a＋4＋2·
＝2a＋7＋2.
∵(a＋3)(a＋4)＝a2＋7a＋12>a2＋7a＝a(a＋7)．
∴Q2>P2.
∴P5．若a，b∈R，则>成立的一个充分不必要条件是( )
A．ab>0 B．b>a
C．a答案 C
解析 由a，但>不能推出a∴a成立的一个充分不必要条件．
6．如果a>b，则实数a，b应满足的条件是________．
答案 a>b≥0
解析 要使a>b成立，只需(a)2>(b)2，只需a3>b3≥0，即a，b应满足a>b≥0.
7．设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为________．
答案 a>c>b
解析 ∵a2－c2＝2－(8－4)＝－>0，
∴a>c，
又∵＝＝>1，∴c>b，∴a>c>b.
8．已知三个不等式：①ab>0；②>；③bc>ad.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成________个正确的命题．
答案 3
解析 对不等式②作等价变形：>?>0.
于是，若ab>0，bc>ad，
则>0，故①③?②.若ab>0，>0，
则bc>ad，故①②?③.
若bc>ad，>0，
则ab>0，故②③?①.因此可组成3个正确的命题．
9．已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.
证明 假设a，b，c均小于1，
即a<1，b<1，c<1，则有a＋b＋c<3.
而与a＋b＋c＝2x2－2x＋＋3＝22＋3≥3矛盾，
故假设不成立，
即a，b，c至少有一个不小于1.
10．设a，b为实数，求证：≥(a＋b)．
证明 当a＋b≤0时，∵≥0，
∴≥(a＋b)成立．
当a＋b>0时，用分析法证明如下：
要证≥(a＋b)，
只需证()2≥2，
即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，
即证a2＋b2≥2ab.
∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，
∴≥(a＋b)成立．
综上所述，不等式成立．
11．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
答案 A
解析 方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.
12．设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 首先，若P，Q，R同时大于0，则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，且P，Q，R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，所以b<0，与b>0矛盾．故P，Q，R都大于0.
13．使不等式＋2>1＋成立的正整数p的最大值是________．
答案 12
解析 由＋2>1＋，得<＋2－1，
即p<(＋2－1)2，所以p<12＋4－4－2，
由于12＋4－4－2≈12.7，因此使不等式成立的正整数p的最大值是12.
14．如果a＋b>a＋b，则实数a，b应满足的条件是________．
答案 a≥0，b≥0且a≠b
解析 a＋b>a＋b?a－a>b－b?a(－)>b(－)?(a－b)(－)>0?(＋)(－)2>0，
故只需a≠b且a，b都不小于零即可．
15．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.
其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．
答案 ③
解析 若a＝，b＝，则a＋b＝1，但a<1，b<1，故①不能推出．若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能推出．
若a＝－2，b＝1，则a2＋b2>2，故④不能推出．
对于③，若a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1.
反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.
16．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．
答案 丙
解析 因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说的对，同时甲、乙中只有一人说的对，假设乙说的对，这样丙就说的错，丁就说的对，也就是甲也说的对，与甲说的错矛盾，所以乙说的错，从而知甲、丙说的对，所以丙为获奖歌手．
课件26张PPT。第2课时 不等式的证明方法第二章 2.2.1 不等式及其性质学习目标XUEXIMUBIAO1.掌握综合法、分析法证明问题的过程和推理特点，能用综合法、分析法证明简单问题.
2.能正确区分综合法和分析法的推理特点，灵活选用恰当的方法证明问题.
3.了解反证法的定义，掌握反证法的推理特点.掌握反证法证明问题的一般步骤，能用反证法证明一些简单的命题.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 综合法
综合法是从已知_____出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法.
知识点二 反证法
反证法是首先假设结论的_____成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立.
知识点三 分析法
分析法的实质就是不断寻找使结论成立的_____条件.条件否定充分思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.综合法是从结论向已知的逆推证法.( )
2.综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程.分析法的推理过程实际上是寻求使结论成立的充分条件的过程.( )
3.反证法属于间接证明问题的方法.( )
4.反证法的实质是否定结论导出矛盾.( )×√√√2题型探究PART TWO例1 (1)已知a>b，e>f，c>0.求证：f－acb，c>0，∴ac>bc，
∴－ac<－bc.∵f∴f－ac∵bd>0，反思感悟综合法处理问题的三个步骤.证明 ∵x＋y＋z＝m，
∴(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)＝m2.
又∵x2＋y2≥2xy，y2＋z2≥2yz，z2＋x2≥2xz，
∴2(x2＋y2＋z2)≥2(xy＋yz＋zx)，
即x2＋y2＋z2≥xy＋yz＋zx，
∴m2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)≤3(x2＋y2＋z2).∵x>0，y>0，∴1＋y≥2x,1＋x≥2y，
两式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y).
∴x＋y≤2，这与已知中x＋y>2矛盾.
∴假设不成立，原命题成立.二、反证法反思感悟反证法证明问题的一般步骤跟踪训练2 已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数.证明 假设a，b，c，d都是非负数，
因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1.
又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，
所以ac＋bd≤1，
这与已知ac＋bd>1矛盾，
所以a，b，c，d中至少有一个是负数.三、分析法∵a>b>0，∵a>b>0，∴原不等式成立，反思感悟1.分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式.
2.分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论?…?…?…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误.∴原不等式成立.3随堂演练PART THREE1.分析法证明问题是从所证命题的结论出发，寻求使这个结论成立的
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析 分析法证明是从所证命题的结论出发，寻求使结论成立的充分条件.√123452.要证明 可选择的方法有以下几种，其中最合理的为
A.综合法 B.分析法
C.反证法 D.归纳法√123453.应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用
①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论.
A.①② B.②③
C.①②③ D.①②④解析 反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的反设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果.√123454.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是
A.有两个内角是钝角
B.有三个内角是钝角
C.至少有两个内角是钝角
D.没有一个内角是钝角解析 “最多有一个”的反设是“至少有两个”，故选C.√12345∴A≥B.12345A≥B1.知识清单：三种证明方法的步骤.
2.方法归纳：综合法、分析法、反证法.
3.常见误区：综合法证明中不等式性质使用不当，反证法中假设不正确.课堂小结KE TANG XIAO JIE本课结束
