2.2.2 不等式的解集
学习目标 1.理解不等式组的解集的含义，能求不等式组的解集.2.了解含绝对值不等式的几何意义，能借助于数轴解含有绝对值的不等式．
知识点一 不等式的解集与不等式组的解集
不等式的解集：不等式的所有解组成的集合．
不等式组的解集：所有不等式的解集的交集．
知识点二 绝对值不等式
1．|x|＝
2．含绝对值不等式的解法
当m＞0时，
|x|＞m的解集为(－∞，－m)∪(m，＋∞)，
|x|≤m的解集为[－m，m]．
知识点三 数轴上的中点坐标公式
两点之间的距离公式：一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝|a－b|；
中点坐标公式：如果线段AB的中点M对应的数为x，则x＝.
1．不等式3x＋2≥5的解集是________．
答案 [1，＋∞)
2．不等式组的解集是__________．
答案 (－2,3]
解析 解不等式①得x≤3，解不等式②得x>－2，所以不等式组的解集是(－2,3]．
3．在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x满足__________．
答案 |x|<8
解析 数轴上对应x的点到原点的距离可表示为|x|.由题意可知|x|<8.
4．不等式|1－2x|＜1的解集是______．
答案 (0,1)
解析 ∵|1－2x|＜1，∴－1＜1－2x＜1，
∴－2＜－2x＜0，解得0＜x＜1，故不等式的解集是(0,1)．
一、解不等式(组)
例1 解不等式组：
解 不等式组：
①式两端同时乘以2，得2x＋2≥－7－x，
然后两端同时加上x－2，得3x≥－9，
不等式3x≥－9两端同时乘以，得 x≥－3，
同理，解不等式②得 x≥2，
所以不等式组的解集是[2，＋∞)．
反思感悟 一元一次不等式组的解法
(1)分开解：分别解每个不等式，求出其解集．
(2)集中判：根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集．(或把不等式的解集在数轴上表示出来，数形结合确定不等式组的解集)
跟踪训练1 解不等式组：
解 由①得x<3，
由②得x>－9，
原不等式组的解集为(－9,3)．
二、含一个绝对值的不等式的解法
例2 (1)不等式|2x－1|>1的解集为( )
A．(0,1) B．(－∞，0)∪(1，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
答案 B
解析 由|2x－1|>1得2x－1>1，或2x－1<－1，解得x>1或x<0.故选B.
(2)不等式|x＋1|<5的解集为________．
答案 (－6,4)
解析 |x＋1|<5?－5
反思感悟 利用绝对值不等式的解法：若|x|＜a(a＞0)，则－a＜x＜a.若|x|>a(a>0)，则x>a或x∈a.将2x－1(x＋1)看成一个整体，去掉绝对值符号化成整式不等式即可．
跟踪训练2 (1)不等式|x－3|>2的解集是( )
A．(1,5) B．(－∞，－5)∪(5，＋∞)
C．(－5,5) D．(－∞，1)∪(5，＋∞)
答案 D
解析 由不等式|x－3|＞2，可得 x－3＞2，或 x－3＜－2，解得 x＞5，或x＜1，故选D.
(2) 不等式|2x－1|≤5的解集为( )
A．(－∞，－2] B．(2,3]
C．[3，＋∞) D．[－2,3]
答案 D
解析 不等式|2x－1|≤5，即－5≤2x－1≤5，求得－2≤x≤3，故选D.
三、含两个绝对值的不等式的解法
例3 解关于x的不等式：|3x－2|＋|x－1|＞3.
解 分类(零点分段)讨论法
|3x－2|＝0，|x－1|＝0的根，1把实数轴分为三个区间，在这三个区间上根据绝对值的定义，
代数式|3x－2|＋|x－1|有不同的解析表达式，因而原不等式的解集为以下三个不等式组解集的并集．
①因为当x≤时，
|3x－2|＋|x－1|＝2－3x＋1－x＝3－4x，
所以当x≤时，|3x－2|＋|x－1|＞3?3－4x＞3?x＜0.
因此，不等式组的解集为(－∞，0)．
②因为当＜x＜1时，
|3x－2|＋|x－1|＝3x－2＋1－x＝2x－1，
所以当＜x＜1时，
|3x－2|＋|x－1|＞3?2x－1＞3?x＞2.
因此，不等式组的解集为?.
③因为当x≥1时，|3x－2|＋|x－1|＝3x－2＋x－1＝4x－3，
所以当x≥1时，|3x－2|＋|x－1|＞3?4x－3＞3?x＞.
因此，不等式组的解集为.
于是原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集，
即(－∞，0)∪?∪＝(－∞，0)∪.
反思感悟 利用零点分段法进行分类讨论，将绝对值不等式转化为整式不等式是解答本题的关键．
跟踪训练3 不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是( )
A．[－5,7]
B．[－4,6]
C．(－∞，－5]∪[7，＋∞)
D．(－∞，－4]∪[6，＋∞)
答案 D
解析 方法一 当x＝0时，|x－5|＋|x＋3|＝8≥10不成立，可排除A，B，
当x＝－4时，|x－5|＋|x＋3|＝10≥10成立，可排除C，
故选D.
方法二 当x＜－3时，
不等式|x－5|＋|x＋3|≥10可化为－(x－5)－(x＋3)≥10，
解得x≤－4.
当－3≤x≤5时，
不等式|x－5|＋|x＋3|≥10可化为－(x－5)＋(x＋3)＝8≥10恒不成立．
当x＞5时，
不等式|x－5|＋|x＋3|≥10可化为(x－5)＋(x＋3)≥10，
解得x≥6.
故不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)．
故选D.
1．已知不等式组其解集在数轴上表示正确的是( )
答案 D
2．关于x的不等式|x|＋|x－1|≥3的解集是( )
A．(－∞，－1]
B．[2，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
D．[－1,2]
答案 C
解析 x≥1时，x＋x－1≥3，解得x≥2，
0＜x＜1时，x＋1－x≥3，不成立，
x≤0时，－x＋1－x≥3，解得x≤－1，
综上，不等式的解集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)，
故选C.
3．若不等式|ax＋1|≤3的解集为[－2,1]，则实数a等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 由题意可得，不等式|ax＋1|≤3，即－3≤ax＋1≤3，即－4≤ax≤2，又不等式|ax＋1|≤3解集为[－2,1]，
∴a＝2，故选B.
4．不等式组的解集是________．
答案 (－∞，3)
5．关于x的不等式|2x＋3|≥3的解集是________．
答案 (－∞，－3]∪[0，＋∞)
解析 ∵|2x＋3|≥3，
∴2x＋3≥3或2x＋3≤－3，
解得x≥0或x≤－3，
故不等式的解集是(－∞，－3]∪[0，＋∞)．
1．知识清单：
(1)解一元一次不等式组；
(2)解含有一个绝对值的不等式；
(3)含绝对值的不等式的几何意义；
(4)解含有两个绝对值的不等式．
2．方法归纳：数形结合，分类讨论．
3．常见误区：解含一个绝对值的不等式时不等号方向问题，含两个绝对值的不等式时的讨论．
1．不等式|2x－3|＜5的解集是( )
A．(4，＋∞)∪(－∞，－1)
B．(－1,4)
C．(－4，－1)
D．(－1，＋∞)
答案 B
解析 不等式|2x－3|＜5等价为－5＜2x－3＜5，解得－1＜x＜4，即原不等式的解集为(－1,4)，故选B.
2．不等式组的解集是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，－2]
C．(－2,3] D．(－2,3)
答案 A
解析 由可得则x<－2，故选A.
3．不等式组的正整数解的个数是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
答案 C
解析 解不等式1－2x＜3，得x＞－1，
解不等式≤2，得x≤3，
则不等式组的解集为(－1,3]，
所以不等式组的正整数解有1,2,3这3个，
故选C.
4．不等式1≤|2x－1|＜2的解集为( )
A.∪ B.
C.∪ D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
答案 C
解析 由题意得－2<2x－1≤－1，或1≤2x－1<2，解得－＜x≤0或1≤x＜，故不等式的解集是∪，故选C.
5．|2x＋1|－|x－4|＞2的解集是( )
A.
B．(－∞，7)∪
C．(－∞，－7)∪[4，＋∞)
D.∪
答案 B
解析 ∵当x＜－时，|2x＋1|－|x－4|＞2?－5－x＞2，解得x＜－7，∴x＜－7；
当－≤x≤4时，|2x＋1|－|x－4|＞2?3x－3＞2，解得x＞，
∴＜x≤4；
当x＞4时，|2x＋1|－|x－4|＞2?x＋5＞2，解得x＞－3，
∴x＞4.
综上所述，不等式|2x＋1|－|x－4|＞2的解集是(－∞，－7)∪.
故选B.
6．不等式组有3个整数解，则m的取值范围是________．
答案 (2,3]
7．不等式|x－8|≥2的解集为__________．
答案 [10，＋∞)∪(－∞，6]
解析 ∵|x－8|≥2，∴x－8≥2或x－8≤－2，
解得x≥10或x≤6，
故不等式的解集是[10，＋∞)∪(－∞，6]．
8．不等式|x＋1|<2x－1的解集为________．
答案 (2，＋∞)
解析 ∵|x＋1|<2x－1，
∴或解得x>2，
故不等式的解集是(2，＋∞)．
9．解不等式组：
解
解不等式①得x≤1，
解不等式②得x＞－3，
所以不等式组的解集为(－3,1]．
10．解下列不等式：
(1)|2x－1|＜x；
(2)|2x－3|＋|x－1|≥5.
解 (1)x≥时，2x－1＜x，解得≤x<1，
x＜时，1－2x＜x，解得∴不等式的解集是.
(2)原不等式可化为
或
或
解得x≤－或x≥3.
故不等式的解集为∪[3，＋∞)．
11．不等式|3x－12|≤9的整数解个数是( )
A．7 B．6 C．5 D．4
答案 A
解析 原不等式|3x－12|≤9可化为－9≤3x－12≤9，
∴1≤x≤7.又x∈Z，
∴x＝1,2,3,4,5,6,7.
∴不等式|3x－12|≤9的整数解的个数为7.
故选A.
12．不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为( )
A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
B．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[3，＋∞)
D．(－∞，－3]∪[2，＋∞)
答案 D
解析 由于|x－1|＋|x＋2|表示数轴上的x对应点到1和－2对应点的距离之和，
数轴上的2和－3 到1和－2对应点的距离之和等于5，
故不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)，
故选D.
13．不等式组的解集是________．
答案 [1，＋∞)
解析
解不等式①得x>，
解不等式②得x≥1，
∴不等式组的解集为[1，＋∞)．
14．若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为，则a＝__________.
答案 －3
解析 ∵关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为，
∴－和是|ax－2|＝3的两个根，
∴将|ax－2|＝3，两边平方得a2x2－4ax－5＝0，
即
得a＝－3.
15．已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D．(－∞，1)
答案 A
解析 由x＞2a－3和2x≥3(x－2)＋5，解得2a－3＜x≤1，
由关于x的不等式组
仅有三个整数解，
解得－2≤2a－3＜－1，
解得≤a＜1，
故选A.
16．在数轴上有A，B两点，其中点A所对应的数是a，点B所对应的数是1.已知A，B两点的距离小于3，请你利用数轴．
(1)写出a所满足的不等式；
(2)数－3,0,4所对应的点到点B的距离小于3吗？
解 (1)根据题意得|a－1|<3，
得出－2(2)由(1)得到点B的距离小于3的数在－2和4之间，
∴在－3,0,4三个数中，只有0所对应的点到B点的距离小于3.
课件33张PPT。2.2.2 不等式的解集第二章 2.2 不等式学习目标XUEXIMUBIAO1.理解不等式组的解集的含义，能求不等式组的解集.
2.了解含绝对值不等式的几何意义，能借助于数轴解含有绝对值的不等式.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 不等式的解集与不等式组的解集不等式的解集：不等式的_______组成的集合.
不等式组的解集：所有不等式的解集的_____.所有解交集知识点二 绝对值不等式2.含绝对值不等式的解法
当m＞0时，
|x|＞m的解集为_______________________，
|x|≤m的解集为_________.(－∞，－m)∪(m，＋∞)[－m，m]知识点三 数轴上的中点坐标公式
两点之间的距离公式：一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝______；
中点坐标公式：如果线段AB的中点M对应的数为x，则x＝_____.|a－b|预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN1.不等式3x＋2≥5的解集是__________.[1，＋∞)(－2,3]解不等式①得x≤3，解不等式②得x>－2，
所以不等式组的解集是(－2,3].3.在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x满足______.|x|<8解析 数轴上对应x的点到原点的距离可表示为|x|.由题意可知|x|<8.4.不等式|1－2x|＜1的解集是______.(0,1)解析 ∵|1－2x|＜1，∴－1＜1－2x＜1，
∴－2＜－2x＜0，解得0＜x＜1，故不等式的解集是(0,1).2题型探究PART TWO一、解不等式(组)①式两端同时乘以2，得2x＋2≥－7－x，
然后两端同时加上x－2，得3x≥－9，同理，解不等式②得 x≥2，
所以不等式组的解集是[2，＋∞).一元一次不等式组的解法
(1)分开解：分别解每个不等式，求出其解集.
(2)集中判：根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集.(或把不等式的解集在数轴上表示出来，数形结合确定不等式组的解集)解 由①得x<3，
由②得x>－9，
原不等式组的解集为(－9,3).例2 (1)不等式|2x－1|>1的解集为
A.(0,1) B.(－∞，0)∪(1，＋∞)
C.(－1,0) D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)二、含一个绝对值的不等式的解法√解析 由|2x－1|>1得2x－1>1，或2x－1<－1，
解得x>1或x<0.故选B.(2)不等式|x＋1|<5的解集为_______.(－6,4)解析 |x＋1|<5?－5?－6a(a>0)，则x>a或x∈a.将2x－1(x＋1)看成一个整体，去掉绝对值符号化成整式不等式即可.跟踪训练2 (1)不等式|x－3|>2的解集是
A.(1,5) B.(－∞，－5)∪(5，＋∞)
C.(－5,5) D.(－∞，1)∪(5，＋∞)√解析 由不等式|x－3|＞2，可得 x－3＞2，或 x－3＜－2，
解得 x＞5，或x＜1，故选D.(2) 不等式|2x－1|≤5的解集为
A.(－∞，－2] B.(2,3]
C.[3，＋∞) D.[－2,3]√解析 不等式|2x－1|≤5，即－5≤2x－1≤5，
求得－2≤x≤3，故选D.例3 解关于x的不等式：|3x－2|＋|x－1|＞3.三、含两个绝对值的不等式的解法解 分类(零点分段)讨论法代数式|3x－2|＋|x－1|有不同的解析表达式，因而原不等式的解集为以下三个不等式组解集的并集.|3x－2|＋|x－1|＝2－3x＋1－x＝3－4x，|3x－2|＋|x－1|＝3x－2＋1－x＝2x－1，|3x－2|＋|x－1|＞3?2x－1＞3?x＞2.③因为当x≥1时，|3x－2|＋|x－1|＝3x－2＋x－1＝4x－3，于是原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集，利用零点分段法进行分类讨论，将绝对值不等式转化为整式不等式是解答本题的关键.跟踪训练3 不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是
A.[－5,7]
B.[－4,6]
C.(－∞，－5]∪[7，＋∞)
D.(－∞，－4]∪[6，＋∞)√解析 方法一 当x＝0时，|x－5|＋|x＋3|＝8≥10不成立，可排除A，B，
当x＝－4时，|x－5|＋|x＋3|＝10≥10成立，可排除C，
故选D.
方法二 当x＜－3时，
不等式|x－5|＋|x＋3|≥10可化为－(x－5)－(x＋3)≥10，
解得x≤－4.
当－3≤x≤5时，
不等式|x－5|＋|x＋3|≥10可化为－(x－5)＋(x＋3)＝8≥10恒不成立.
当x＞5时，
不等式|x－5|＋|x＋3|≥10可化为(x－5)＋(x＋3)≥10，
解得x≥6.
故不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞).
故选D.3随堂演练PART THREE12345√2.关于x的不等式|x|＋|x－1|≥3的解集是
A.(－∞，－1]
B.[2，＋∞)
C.(－∞，－1]∪[2，＋∞)
D.[－1,2]√解析 x≥1时，x＋x－1≥3，解得x≥2，
0＜x＜1时，x＋1－x≥3，不成立，
x≤0时，－x＋1－x≥3，解得x≤－1，
综上，不等式的解集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)，
故选C.123453.若不等式|ax＋1|≤3的解集为[－2,1]，则实数a等于
A.1 B.2 C.3 D.4解析 由题意可得，不等式|ax＋1|≤3，
即－3≤ax＋1≤3，即－4≤ax≤2，
又不等式|ax＋1|≤3解集为[－2,1]，
∴a＝2，故选B.√1234512345(－∞，3)5.关于x的不等式|2x＋3|≥3的解集是______________________.解析 ∵|2x＋3|≥3，
∴2x＋3≥3或2x＋3≤－3，
解得x≥0或x≤－3，
故不等式的解集是(－∞，－3]∪[0，＋∞).12345(－∞，－3]∪[0，＋∞)1.知识清单：
(1)解一元一次不等式组；
(2)解含有一个绝对值的不等式；
(3)含绝对值的不等式的几何意义；
(4)解含有两个绝对值的不等式.
2.方法归纳：数形结合，分类讨论.
3.常见误区：解含一个绝对值的不等式时不等号方向问题，含两个绝对值的不等式时的讨论.课堂小结KE TANG XIAO JIE本课结束