2.2.3 一元二次不等式的解法
学习目标 1.通过实例了解一元二次不等式.2.掌握一元二次不等式的解法．
知识点一 一元二次不等式的概念
一般地，形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c为常数，而且a≠0. 不等式中的不等号也可以是“＜”“≥”“≤”等．
思考 不等式ax2＋x－1>0一定表示一元二次不等式吗？
答案 不一定．当a＝0时，表示一元一次不等式．
知识点二 一元二次不等式的解法
一般地，如果x1＜x2，则不等式(x－x1)(x－x2)＜0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)．
1．下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有________．(填序号)
答案 ②④
解析 一定是一元二次不等式的为②④.
2．不等式x(2－x)>0的解集为________．
答案 (0,2)
解析 原不等式可化为x(x－2)<0，∴0
3．不等式4x2－9<0的解集是________．
答案
解析 原不等式可化为x2<，即－4．不等式<0的解集为________．
答案 (－1,1)
一、解不含参数的一元二次不等式
例1 求下列不等式的解集．
(1)4x2－4x＋1>0；
(2)－x2＋2x－3>0.
解 (1)因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，
所以方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝，
所以原不等式的解集为.
(2)不等式可化为x2－2x＋3<0.
因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，方程x2－2x＋3＝0无实数解，
而y＝x2－2x＋3的图像开口向上，
所以原不等式的解集是?.
反思感悟 解一元二次不等式的一般步骤
第一步：分解为两个因式的乘积的形式或配方成完全平方式形式；
第二步：写出不等式的解集．
跟踪训练1 求下列不等式的解集：
(1)4x2－4x＋1>0；
(2)－x2＋6x－10>0.
解 (1)∵4x2－4x＋1＝(2x－1)2，
∴原不等式可化为(2x－1)2>0，
注意到只要x≠，上述不等式就成立，
∴不等式的解集为∪.
(2)∵原不等式可化为x2－6x＋10<0，
x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
∴原不等式等价于(x－3)2＋1<0，
∴原不等式的解集为?.
二、含参数的一元二次不等式的解法
例2 设a∈R，求关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0的解集．
解 (1)当a＝0时，不等式可化为x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集为(2，＋∞)．
(2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－.
①当a<－时，解不等式得－即原不等式的解集为；
②当a＝－时，不等式无解，
即原不等式的解集为?；
③当－即原不等式的解集为；
④当a>0时，
解不等式得x<－或x>2，
即原不等式的解集为∪(2，＋∞)．
反思感悟 解含参数的一元二次不等式的步骤
特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算．
跟踪训练2 (1)当a＝时，求关于x的不等式x2－x＋1≤0的解集；
(2)若a>0，求关于x的不等式x2－x＋1≤0的解集．
解 (1)当a＝时，有x2－x＋1≤0，即2x2－5x＋2≤0，解得≤x≤2，
故不等式的解集为.
(2)x2－x＋1≤0?(x－a)≤0，
①当0②当a＝1时，a＝＝1，不等式的解集为{1}；
③当a>1时，a>，不等式的解集为.
综上，当0当a＝1时，不等式的解集为{1}；
当a>1时，不等式的解集为.
三、三个“二次”间的关系及应用
例3 已知二次函数y＝ax2＋(b－8)x－a－ab，且y>0的解集为(－3,2)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R时，求c的取值范围．
解 (1)因为y>0的解集为(－3,2)，
所以－3,2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，
所以解得
所以y＝－3x2－3x＋18.
(2)因为a＝－3<0，所以二次函数y＝－3x2＋5x＋c的图像开口向下，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ≤0，即25＋12c≤0，所以c≤－.
所以当c≤－时，－3x2＋5x＋c≤0的解集为R.
反思感悟 三个“二次”之间的关系
(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图像及性质来解决问题，关系如下：
特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的方向易写错不等式的解集形式．
跟踪训练3 已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为.
(1)求a，c的值；
(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.
解 (1)由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为和，
由根与系数的关系，得
解得a＝－6，c＝－1.
(2)由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0，即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1，所以不等式的解集为.
1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )
A.∪
B.
C．?
D.
答案 D
解析 原不等式可化为(3x＋1)2≤0，
∴3x＋1＝0，∴x＝－.
2．如果关于x的不等式x2A．－81 B．81 C．－64 D．64
答案 B
解析 不等式x2其解集是(1,3)，
那么，由根与系数的关系得
解得a＝4，b＝－3；所以ba＝(－3)4＝81.故选B.
3．不等式x2－2x>0的解集是( )
A．(－∞，0]∪[2，＋∞)
B．(－∞，0)∪(2，＋∞)
C．[0,2]
D．(0,2)
答案 B
解析 解x2－2x>0，即x(x－2)>0，
得x>2或x<0，故选B.
4．不等式x2－3x－10<0的解集是________．
答案 (－2,5)
解析 由于x2－3x－10＝0的两根为－2,5，故x2－3x－10<0的解集为(－2,5)．
5．若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，则m的取值范围是________________．
答案 {m|m≥9或m≤1}
解析 由方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，
∴Δ＝(m－3)2－4m≥0，即m2－10m＋9≥0，
∴(m－9)(m－1)≥0，
∴m≥9或m≤1.
1．知识清单：解一元二次不等式的常见方法．
代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．
2．方法归纳：数型结合，分类讨论．
3．常见误区：忽略二次项系数的符号．
1．不等式2x＋3－x2>0的解集是( )
A．(－1,3) B．(－3,1)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－∞，3)
答案 A
解析 原不等式可化为x2－2x－3<0，
即(x－3)(x＋1)<0，
∴－12．若0A. B．(－∞，m)∪
C.∪(m，＋∞) D.
答案 D
解析 ∵01>m，
故原不等式的解集为，故选D.
3．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，如果a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为( )
A．(－∞，－2)∪(3，＋∞) B．(－∞，－3)∪(2，＋∞)
C．(－2,3) D．(－3,2)
答案 C
解析 由题意知－2＋3＝－，－2×3＝，
∴b＝－a，c＝－6a，
∴不等式ax2＋bx＋c>0可化为ax2－ax－6a>0，
又a<0，∴x2－x－6<0，∴(x－3)(x＋2)<0，
∴－24．若不等式5x2－bx＋c<0的解集为(－1,3)，则b＋c的值是( )
A．5 B．－5 C．－25 D．10
答案 B
解析 由题意知－1,3为方程5x2－bx＋c＝0的两根，
∴－1＋3＝，－3＝，
∴b＝10，c＝－15，∴b＋c＝－5.故选B.
5．若关于x的二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．[－2,2]
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,2)
答案 B
解析 ∵x2＋mx＋1≥0的解集为R，
∴Δ＝m2－4≤0，∴－2≤m≤2，故选B.
6．不等式x2－4x＋4≤0的解集是________．
答案 {2}
解析 原不等式可化为(x－2)2≤0，∴x＝2.
7．不等式x2＋3x－4<0的解集为________．
答案 (－4,1)
解析 易得方程x2＋3x－4＝0的两根为－4,1，所以不等式x2＋3x－4<0的解集为(－4,1)．
8．关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是_______．
答案 (－∞，0)
解析 ∵不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为，
∴方程(mx－1)(x－2)＝0的两个实数根为和2，
且解得m<0，∴m的取值范围是m<0.
9．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B.
(1)求A∩B；
(2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，求不等式ax2＋x＋b<0的解集．
解 (1)由x2－2x－3<0，得－1∴A＝(－1,3)．
由x2＋x－6<0，得－3∴B＝(－3,2)，∴A∩B＝(－1,2)．
(2)由题意，得解得
∴－x2＋x－2<0，∴x2－x＋2>0，
∵Δ＝1－8＝－7<0，
∴不等式x2－x＋2>0的解集为R.
10．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是(－3,1)．
(1)求不等式2x2＋(2－a)x－a>0的解集；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R?
解 (1)由题意知1－a<0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，
∴解得a＝3.
∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0，即为2x2－x－3>0，
解得x<－1或x>.
∴所求不等式的解集为(－∞，－1)∪.
(2)ax2＋bx＋3≥0，即为3x2＋bx＋3≥0，
若此不等式解集为R，
则Δ＝b2－4×3×3≤0，∴－6≤b≤6.
11．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )
A．(0,2) B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
答案 B
解析 根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，
又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，
故不等式的解集是(－2,1)．
12．若关于x的方程(a－2)x2－2(a－2)x＋1＝0无实数解，则a的取值范围是________．
答案 2≤a<3
解析 若a－2＝0，即a＝2时，原方程为1＝0不合题意，
∴a＝2满足条件，
若a－2≠0，则Δ＝4(a－2)2－4(a－2)<0，解得2综上有a的取值范围是2≤a<3.
13．已知不等式x2－2x＋5≥a2－3a对?x∈R恒成立，则a的取值范围为________．
答案 [－1,4]
解析 x2－2x＋5＝(x－1)2＋4≥a2－3a恒成立，
∴a2－3a≤4，即a2－3a－4≤0，
∴(a－4)(a＋1)≤0，∴－1≤a≤4.
14．若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为，则关于x的不等式cx2－bx＋a<0的解集为________．
答案
解析 由ax2＋bx＋c≥0的解集为，
知a<0，且关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为－，2，∴
∴b＝－a，c＝－a，
∴不等式cx2－bx＋a<0可变形为
x2－x＋a<0，
即2ax2－5ax－3a>0.
又∵a<0，∴2x2－5x－3<0，解得－＜x＜3，
∴所求不等式的解集为.
15．在R上定义运算：＝ad－bc.若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为________．
答案
解析 原不等式等价于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，
即x2－x－1≥(a＋1)(a－2)对任意x恒成立，
因为x2－x－1＝2－≥－，
所以－≥a2－a－2，解得－≤a≤.
16．已知不等式ax2＋2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立，求关于x的不等式x2－x－a2＋a<0的解集．
解 ∵ax2＋2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立．
当a＝0时，1≥0，不等式恒成立；
当a≠0时，则解得0综上，0≤a≤1.
由x2－x－a2＋a<0，得(x－a)[x－(1－a)]<0.
∵0≤a≤1，
∴①当1－a>a，即0≤a<时，a②当1－a＝a，即a＝时，2<0，不等式无解；
③当1－a综上，当0≤a<时，原不等式的解集为(a,1－a)；当a＝时，原不等式的解集为?；
当课件33张PPT。2.2.3 一元二次不等式的解法第二章 2.2 不等式学习目标XUEXIMUBIAO1.通过实例了解一元二次不等式.
2.掌握一元二次不等式的解法.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 一元二次不等式的概念
一般地，形如____________的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c为常数，而且_____. 不等式中的不等号也可以是“＜”“≥”“≤”等.思考 不等式ax2＋x－1>0一定表示一元二次不等式吗？答案 不一定.当a＝0时，表示一元一次不等式.ax2＋bx＋c>0a≠0知识点二 一元二次不等式的解法
一般地，如果x1＜x2，则不等式(x－x1)(x－x2)＜0的解集是________，不等式(x－x1) (x－x2)＞0的解集是_____________________.(x1，x2)(－∞，x1)∪(x2，＋∞)预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN1.下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有_____.(填序号)②④解析 一定是一元二次不等式的为②④.2.不等式x(2－x)>0的解集为_____.(0,2)解析 原不等式可化为x(x－2)<0，
∴0(1)4x2－4x＋1>0；一、解不含参数的一元二次不等式解 因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，(2)－x2＋2x－3>0.解 不等式可化为x2－2x＋3<0.
因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，方程x2－2x＋3＝0无实数解，
而y＝x2－2x＋3的图像开口向上，
所以原不等式的解集是?.反思感悟解一元二次不等式的一般步骤
第一步：分解为两个因式的乘积的形式或配方成完全平方式形式；
第二步：写出不等式的解集.跟踪训练1 求下列不等式的解集：
(1)4x2－4x＋1>0；解 ∵4x2－4x＋1＝(2x－1)2，
∴原不等式可化为(2x－1)2>0，(2)－x2＋6x－10>0.解 ∵原不等式可化为x2－6x＋10<0，
x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
∴原不等式等价于(x－3)2＋1<0，
∴原不等式的解集为?.例2 设a∈R，求关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0的解集.二、含参数的一元二次不等式的解法解 (1)当a＝0时，不等式可化为x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集为(2，＋∞).即原不等式的解集为?；④当a>0时，反思感悟解含参数的一元二次不等式的步骤特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算.当a＝1时，不等式的解集为{1}；例3 已知二次函数y＝ax2＋(b－8)x－a－ab，且y>0的解集为(－3,2).
(1)求二次函数的解析式；三、三个“二次”间的关系及应用解 因为y>0的解集为(－3,2)，
所以－3,2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，所以y＝－3x2－3x＋18.(2)当关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R时，求c的取值范围.解 因为a＝－3<0，所以二次函数y＝－3x2＋5x＋c的图像开口向下，
要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ≤0，反思感悟三个“二次”之间的关系
(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图像及性质来解决问题，关系如下：特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的方向易写错不等式的解集形式.解得a＝－6，c＝－1.(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.解 由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0，3随堂演练PART THREE解析 原不等式可化为(3x＋1)2≤0，12345√2.如果关于x的不等式x2A.－81 B.81 C.－64 D.64√解析 不等式x2其解集是(1,3)，12345解得a＝4，b＝－3；
所以ba＝(－3)4＝81.故选B.3.不等式x2－2x>0的解集是
A.(－∞，0]∪[2，＋∞)
B.(－∞，0)∪(2，＋∞)
C.[0,2]
D.(0,2)解析 解x2－2x>0，即x(x－2)>0，
得x>2或x<0，故选B.√123454.不等式x2－3x－10<0的解集是_______.解析 由于x2－3x－10＝0的两根为－2,5，
故x2－3x－10<0的解集为(－2,5).12345(－2,5)5.若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，则m的取值范围是________________.解析 由方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，
∴Δ＝(m－3)2－4m≥0，即m2－10m＋9≥0，
∴(m－9)(m－1)≥0，
∴m≥9或m≤1.12345{m|m≥9或m≤1}1.知识清单：解一元二次不等式的常见方法.
代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解.
2.方法归纳：数型结合，分类讨论.
3.常见误区：忽略二次项系数的符号.课堂小结KE TANG XIAO JIE本课结束