2.2.4 均值不等式及其应用
第1课时 均值不等式
学习目标 1.掌握数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式.2.掌握均值不等式的推导过程.3.能熟练运用均值不等式比较两实数的大小.4.能初步运用均值不等式证明不等式和求最值．
知识点一 数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式
一般地，在数轴上，如果A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝|a－b|，如果M是AB的中点，则M.
知识点二 均值不等式
1．给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值，数称为a，b的几何平均值．
2．如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
3．几何意义：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大．
1．对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab.( √ )
2．当n∈N＋时，n＋>2.( √ )
3．当x≠0时，x＋≥2.( × )
4．若a>0，则a3＋的最小值为2.( × )
一、利用均值不等式比较大小
例1 某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则( )
A．x＝ B．x≤ C．x> D．x≥
答案 B
解析 第二年产量为A＋A·a＝A(1＋a)，
第三年产量为A(1＋a)＋A(1＋a)·b＝A(1＋a)(1＋b)．
若平均增长率为x，则第三年产量为A(1＋x)2.
依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，
∵a>0，b>0，x>0，
∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤2，
∴1＋x≤＝1＋，∴x≤.
反思感悟 均值不等式≥一端为和，一端为积，使用均值不等式比较大小要善于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．
跟踪训练1 若0
解 ∵0∴a＋b>2，a2＋b2>2ab，
∴四个数中最大的应从a＋b，a2＋b2中选择．
而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，
∵0∴a(a－1)<0，b(b－1)<0，∴a2＋b2－(a＋b)<0，
即a2＋b2二、利用均值不等式求最值
例2 (1)当x>0时，求＋4x的最小值；
(2)当x<0时，求＋4x的最大值；
(3)当x>1时，求2x＋的最小值；
(4)已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值．
解 (1)∵x>0，∴>0,4x>0.
∴＋4x≥2＝8.
当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8，
∴当x>0时，＋4x的最小值为8.
(2)∵x<0，∴－x>0.
则＋(－4x)≥2＝8，
当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号．
∴＋4x≤－8.
∴当x<0时，＋4x的最大值为－8.
(3)2x＋＝2＋2，∵x>1，∴x－1>0，
∴2x＋≥2×2＋2＝10，
当且仅当x－1＝，即x＝3时，取等号．
(4)∵x>0，a>0，∴4x＋≥2＝4，
当且仅当4x＝，即a＝4x2＝36时取等号，∴a＝36.
反思感悟 在利用均值不等式求最值时要注意三点：
一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备．
跟踪训练2 已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)·(1＋y)的最大值为( )
A．16 B．25 C．9 D．36
答案 B
解析 因为x>0，y>0，且x＋y＝8，
所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋2＝9＋42＝25，
当且仅当x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25.
三、用均值不等式证明不等式
例3 已知a，b，c都是正数，求证：a＋b＋c－－－≥0.
证明 ∵a，b，c都是正数，
∴a＋b≥2，b＋c≥2，a＋c≥2，
∴a＋b＋b＋c＋a＋c≥2(＋＋)，
∴a＋b＋c≥＋＋，
即a＋b＋c－－－≥0.
(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)
反思感悟 利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项：
①多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型，再使用．
跟踪训练3 已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc.
证明 ∵a，b，c都是正实数，
∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0.
∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2·2·2＝8abc.
即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
1．若0A．a>>>b B．b>>>a
C．b>>>a D．b>a>>
答案 C
解析 ∵0a＋b，∴b>>.
又∵b>a>0，∴ab>a2，
∴>a.故b>>>a.
2．下列不等式正确的是( )
A．a＋≥2 B．(－a)＋≤－2
C．a2＋≥2 D．(－a)2＋2≤－2
答案 C
解析 C项中，∵a2>0，故a2＋≥2成立，当且仅当a2＝1时等号成立．
3．下列等式中最小值为4的是( )
A．y＝x＋ B．y＝2t＋
C．y＝4t＋(t>0) D．y＝t＋
答案 C
解析 A中x＝－1时，y＝－5<4，B中t＝－1时，y＝－3<4，C中y＝4t＋≥2＝4，当且仅当t＝时等号成立，D中t＝－1时，y＝－2<4.故选C.
4．下列不等式中，正确的是( )
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C.≥ D．x2＋≥2
答案 D
解析 a<0，则a＋≥4不成立，故A错；
a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错；
a＝4，b＝16，则<，故C错；
由均值不等式可知D项正确．
5．已知x>－1，则的最小值为________．
答案 16
解析 ＝
＝
＝(x＋1)＋＋10，
∵x>－1，∴x＋1>0，∴(x＋1)＋＋10≥2＋10＝16.
当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立．
1．知识清单：
(1)≥(a，b都是正数)．
(2)利用均值不等式证明不等式．
(3)利用均值不等式求最值．
2．方法归纳：通过拆项、加项配凑成均值不等式的形式．
3．常见误区：一正、二定、三相等，常缺少条件导致错误．
1．给出下列条件：
①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0.
其中可使＋≥2成立的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 根据均值不等式的条件，a，b同号，
则>0，故选C.
2．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是( )
A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab|
C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2>2|ab|
答案 A
解析 ∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，
∴a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立)．
3．若a，b∈R且ab>0，则下列不等式中恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2
C.＋> D.＋≥2
答案 D
解析 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误；
对于B，C，当a<0，b<0时，显然错误；
对于D，∵ab>0，∴＋≥2 ＝2，
当且仅当a＝b时，等号成立．
4．若0A. B．a2＋b2 C．2ab D．a
答案 B
解析 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·2
＝.当且仅当a＝b＝时等号成立．
a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.
∵05．已知a>0，b>0，且ab＝2，那么( )
A．a＋b≥4 B．a＋b≤4
C．a2＋b2≥4 D．a2＋b2≤4
答案 C
解析 ∵a>0，b>0，∴a＋b≥2＝2，故A，B均错误．
a2＋b2≥2ab＝4，故选C.
6．已知a>b>c，则与的大小关系是______________________________．
答案 ≤
解析 因为a>b>c，所以a－b>0，b－c>0，
所以＝≥，
当且仅当a－b＝b－c时，等号成立．
7．设a，b为非零实数，给出下列不等式：
①≥ab；②≥2；③≥；④＋≥2.其中恒成立的是________．(填序号)
答案 ①②
解析 由均值不等式a2＋b2≥2ab，可知①正确；
＝＝≥＝＝2，可知②正确；
当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；
当a＝1，b＝－1时，可知④不正确．
8．设a>0，b>0，给出下列不等式：
①a2＋1>a；②≥4；③(a＋b)≥4；④a2＋9>6a.
其中恒成立的是________．(填序号)
答案 ①②③
解析 由于a2＋1－a＝2＋>0，故①恒成立；
由于＝ab＋＋＋≥2＋2＝4.当且仅当即a＝b＝1时，“＝”成立，故②恒成立；
由于(a＋b)＝2＋＋≥2＋2 ＝4.当且仅当＝，即a＝b时，“＝”成立，故③恒成立；
当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立．
综上，恒成立的是①②③.
9．设a>0，b>0，且a＋b＝＋，证明：a＋b≥2.
证明 由于a>0，b>0，则a＋b＝＋＝，
由于a＋b>0，则ab＝1，即有a＋b≥2＝2，
当且仅当a＝b＝1时取得等号，∴a＋b≥2.
10．(1)设0(2)已知a>b>c，求(a－c)的最小值．
解 (1)∵00，
∴4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]
≤22＝.
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．∵0<<，
∴4x(3－2x)的最大值为.
(2)(a－c)
＝(a－b＋b－c)
＝1＋1＋＋.
∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，
∴2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号，
∴(a－c)的最小值为4.
11．若xy是正数，则2＋2的最小值是( )
A．3 B. C．4 D.
答案 C
解析 2＋2
＝x2＋＋＋y2＋＋
＝＋＋
≥1＋1＋2＝4，
当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时取等号．
12．已知a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是( )
A．a＋b＋≥2 B．(a＋b)≥4
C.≥2 D.>
答案 D
解析 a＋b＋≥2＋≥ 2，
当且仅当a＝b＝时，等号成立，A成立；
(a＋b)≥2·2＝4，
当且仅当a＝b时，等号成立，B成立；
∵a2＋b2≥2ab>0，
∴≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，C成立；
∵a＋b≥2，a>0，b>0，∴≤1，≤，
当且仅当a＝b时，等号成立，D不成立．
13.(x>1)的最小值为________．
答案 2＋2
解析 令x－1＝t，则x＝1＋t且t>0，
∴＝＝
＝t＋＋2≥2＋2.
当且仅当t＝，即t＝，
x＝＋1时，等号成立．
14．已知x>0，y>0,2x＋3y＝6，则xy的最大值为________．
答案
解析 因为x>0，y>0,2x＋3y＝6，
所以xy＝(2x·3y)≤·2
＝·2＝.
当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝1时，xy取到最大值.
15．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式恒成立的是________．(写出编号)
①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2.
答案 ①③⑤
解析 ∵a>0，b>0，a＋b＝2，
∴ab≤2＝1，∴①恒成立；
当a＝b＝1时，＋＝2>，故②不恒成立；
a2＋b2≥＝2，∴③恒成立；
当a＝b＝1时，a3＋b3＝2<3，∴④不恒成立；
＋＝(a＋b)＝≥2，
∴⑤恒成立．故填①③⑤.
16．若0解 由x＝
＝
＝≤·
＝，
当且仅当4x2＝1－4x2，即x2＝，
x＝时取“＝”，故x的最大值为.
课件29张PPT。第1课时 均值不等式第二章 2.2.4 均值不等式及其应用学习目标XUEXIMUBIAO1.掌握数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式.
2.掌握均值不等式的推导过程.
3.能熟练运用均值不等式比较两实数的大小.
4.能初步运用均值不等式证明不等式和求最值.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式一般地，在数轴上，如果A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝______，如果M是AB的
中点，则M_______.|a－b|知识点二 均值不等式3.几何意义：所有周长一定的矩形中，_______的面积最大.a＝b正方形思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab.( )√×√×2题型探究PART TWO例1 某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则一、利用均值不等式比较大小√解析 第二年产量为A＋A·a＝A(1＋a)，
第三年产量为A(1＋a)＋A(1＋a)·b＝A(1＋a)(1＋b).
若平均增长率为x，则第三年产量为A(1＋x)2.
依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，
∵a>0，b>0，x>0，均值不等式 一端为和，一端为积，使用均值不等式比较大小要善于利用这个桥梁化和为积或者化积为和.解 ∵0而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，
∵0∴a(a－1)<0，b(b－1)<0，∴a2＋b2－(a＋b)<0，
即a2＋b20.∵x>1，∴x－1>0，∴a＝36.在利用均值不等式求最值时要注意三点：
一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备.跟踪训练2 已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)·(1＋y)的最大值为
A.16 B.25 C.9 D.36解析 因为x>0，y>0，且x＋y＝8，√当且仅当x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25.证明 ∵a，b，c都是正数，三、用均值不等式证明不等式(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.
(2)注意事项：
①多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型，再使用.跟踪训练3 已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc.证明 ∵a，b，c都是正实数，即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立.3随堂演练PART THREE1.若0a＋b，12345√又∵b>a>0，∴ab>a2，2.下列不等式正确的是12345√3.下列等式中最小值为4的是解析 A中x＝－1时，y＝－5<4，
B中t＝－1时，y＝－3<4，12345√D中t＝－1时，y＝－2<4.故选C.4.下列不等式中，正确的是a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错；12345√由均值不等式可知D项正确.12345161.知识清单：课堂小结KE TANG XIAO JIE(2)利用均值不等式证明不等式.
(3)利用均值不等式求最值.
2.方法归纳：通过拆项、加项配凑成均值不等式的形式.
3.常见误区：一正、二定、三相等，常缺少条件导致错误.本课结束第2课时 均值不等式的综合应用
学习目标 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用.2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题．
知识点 用均值不等式求最值
用均值不等式≥求最值应注意：
(1)x，y是正数；
(2)①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；
②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
(3)讨论等号成立的条件是否满足．
1．若x，y是正数，且＋＝1，则xy有( )
A．最小值16 B．最小值 C．最大值16 D．最小值
答案 A
解析 ∵x>0，y>0，
∴1＝＋≥2＝4，
当且仅当4x＝y＝8时取等号，
∴≥，即xy≥16，
∴xy有最小值16.故选A.
2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________.
答案 20
解析 总运费与总存储费用之和
y＝4x＋×4＝4x＋≥2 ＝160，
当且仅当4x＝，
即x＝20时取等号．
3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N＋)，则该公司每台机器年平均利润的最大值是________万元．
答案 8
解析 年平均利润＝－x＋18－＝－＋18≤－2 ＋18＝－10＋18＝8，当且仅当x＝5时取“＝”．
4．已知x>2，则x＋的最小值为________．
答案 6
解析 x＋＝x－2＋＋2，
∵x－2>0，∴x－2＋＋2≥2＋2＝4＋2＝6.
当且仅当x－2＝2，即x＝4时取“＝”．
一、利用均值不等式变形求最值
例1 已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．
解 方法一 ∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10
≥6＋10＝16，
当且仅当＝，
又＋＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
方法二 由＋＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)．
由＋＝1可知x>1，y>9，
∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10
≥2＋10＝16，
当且仅当x－1＝y－9＝3，
即x＝4，y＝12时上式取等号，
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
反思感悟 应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用均值不等式及使等号成立的条件．当连续应用均值不等式时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，否则也不能求出最值；特别注意“1”的代换．
跟踪训练1 已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值是________．
答案 9
解析 ∵x＋y＝1，
∴＋＝(x＋y)
＝1＋4＋＋.
∵x>0，y>0，∴>0，>0，
∴＋≥2＝4，
∴5＋＋≥9.
当且仅当即x＝，y＝时等号成立．
∴min＝9.
二、均值不等式在实际问题中的应用
例2 “足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对山区乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q万件(生产量与销售量相等)与推广促销费x万元之间的函数关系为Q＝(其中推广促销费不能超过3万元)．已知加工此批农产品还要投入成本2万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为元/件．
那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润＝销售额－成本－推广促销费)
解 设该批产品的利润为y，
由题意知y＝·Q－2－x
＝2Q＋20－2Q－－x＝20－－x
＝20－－x＝21－，0≤x≤3.
∵21－≤21－2＝17，
当且仅当x＝1时，上式取“＝”，
∴当x＝1时，ymax＝17.
答 当推广促销费投入1万元时，利润最大为17万元．
反思感悟 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．使用均值不等式求最值，要注意验证等号是否成立．
跟踪训练2 2016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为是我国从航天大国向航天强国迈进的重要标志．长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时的速度匀速生产时(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料kx2＋9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克．消耗A材料总重量为y，那么要使生产1 000千克该产品消耗A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少．
解 由题意，得k＋9＝10，即k＝1，
生产1 000千克该产品需要的时间是，
所以生产1 000千克该产品消耗的A材料为
y＝(x2＋9)＝1 000≥1 000×2＝6 000，
当且仅当x＝，即x＝3时，等号成立，且1<3<10.
故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A材料最少，最少为6 000千克．
均值不等式在实际问题中的应用
典例 围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图．已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．
试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
解 设矩形的另一边长为a m，
则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.
由已知ax＝360，得a＝，
∴y＝225x＋－360.
∵x>0，
∴225x＋≥2＝10 800.
∴y＝225x＋－360≥10 440.
当且仅当225x＝时，等号成立．
即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．
[素养提升] 数学建模是对现实问题进行数学抽象，建立和求解模型的过程耗时费力，所以建立的模型要有广泛的应用才有价值．本例中所涉及的y＝x＋(a>0)就是一个应用广泛的函数模型．
1．设x>0，则3－3x－的最大值是( )
A．3 B．3－2 C．－1 D．3－2
答案 D
解析 ∵x>0，∴3x＋≥2＝2，当且仅当x＝时取等号，∴－≤－2，则3－3x－≤3－2，故选D.
2．已知(x>1)在x＝t时取得最小值，则t等于( )
A．1＋ B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 ＝＝x＋
＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，
当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．
3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A．6.5 m B．6.8 m C．7 m D．7.2 m
答案 C
解析 设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)．∵要求够用且浪费最少，故选C.
4．已知正数a，b满足a＋2b＝2，则＋的最小值为________．
答案 4
解析 ＋＝×(a＋2b)
＝
≥(4＋2)＝4.
当且仅当＝，即a＝1，b＝时取等，
∴＋的最小值为4.
5．设计用32 m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m，则车厢的最大容积是________ m3.
答案 16
解析 设车厢的长为b m，高为a m.
由已知得2b＋2ab＋4a＝32，即b＝，
∴V＝a··2＝2·.
设a＋1＝t，则V＝2
≤2＝16，
当且仅当t＝3，即a＝2，b＝4时等号成立．
1．知识清单：已知x，y是正数．
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．
(2)若x·y＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值．
即：“和定积最大，积定和最小”．
(3)求解应用题的方法与步骤．
①审题，②建模(列式)，③解模，④作答．
2．方法归纳：注意条件的变换，常用“1”的代换方法求最值．
3．常见误区：缺少等号成立的条件．
1．已知正数x，y满足＋＝1，则x＋2y的最小值是( )
A．18 B．16 C．8 D．10
答案 A
解析 x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当＝，即x＝4y＝12时，等号成立．
2．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5千米处 B．4千米处
C．3千米处 D．2千米处
答案 A
解析 设仓库与车站的距离为d，
则y1＝，y2＝k2d，由题意知2＝，8＝10k2，
∴k1＝20，k2＝0.8，
∴y1＋y2＝＋0.8d≥2＝8，
当且仅当＝0.8d，即d＝5时，等号成立，故选A.
3．已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为( )
A．8 B．7 C．6 D．5
答案 C
解析 由已知，可得6＝1，
∴2a＋b＝6×(2a＋b)
＝6≥6×(5＋4)＝54，
当且仅当＝，即a＝b＝18时等号成立，
∴9m≤54，即m≤6，故选C.
4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(aA．a答案 A
解析 设小王从甲地到乙地行驶的路程为s，
∵b>a>0，则v＝＝<＝，
又>＝a，故选A.
5．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由x2＋3xy－1＝0，可得y＝.
又x>0，所以x＋y＝＋≥2＝.
6．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L－1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过_______ h后池水中该药品的浓度达到最大．
答案 2
解析 C＝＝.
因为t>0，所以t＋≥2＝4，
所以C＝≤＝5，当且仅当t＝，
即t＝2时，C取得最大值．
7.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.
答案 20
解析 设矩形花园的宽为y，则＝，即y＝40－x(08．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N＋)满足关系y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大．
答案 5
解析 ∵y＝－x2＋12x－25，
∴年平均利润为＝
＝－＋12≤－2 ＋12＝2，
当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立．
9．已知x>0，y>0且2x＋5y＝20.
(1)求xy的最大值；
(2)求＋的最小值．
解 (1)∵2x＋5y＝20，x>0，y>0，
∴2x＋5y≥2，
∴2≤20，即xy≤10，
当且仅当x＝5，y＝2时，等号成立，
∴xy的最大值为10.
(2)＋＝·(2x＋5y)
＝
＝
≥(7＋2)，
当且仅当x＝y时，等号成立．
∴＋的最小值为(7＋2)．
10．某人准备租一辆车从孝感出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为100 km，按交通法规定：这段公路车速限制在40～100(单位：km/h)之间．假设目前油价为7.2元/L，汽车的耗油率为L/h，其中x(单位：km/h)为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量．租车需付给司机每小时的工资为76.4元，不考虑其他费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速x是多少？(注：租车总费用＝耗油费＋司机的工资)
解 设总费用为y元．
由题意，得
y＝76.4×＋7.2××
＝＋2x(40≤x≤100)．
因为y＝＋2x≥2＝280.
当且仅当＝2x，即x＝70时取等号．
所以这次租车的总费用最少是280元，此时的车速为70 km/h.
11．设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－－的上确界为( )
A．－ B. C. D．－4
答案 A
解析 因为a，b为正实数，且a＋b＝1，
所以＋＝×(a＋b)＝＋≥＋2＝，当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时等号成立，因此有－－≤－，即－－的上确界为－.
12．设0A．10 B．9 C．8 D.
答案 B
解析 ∵00，
＋＝[x＋(1－x)]·
＝4＋＋＋1≥5＋2
＝5＋2×2＝9.
当且仅当＝，即x＝时，等号成立．
∴＋的最小值为9.
13．若－4A．－3 B．－2 C．－1 D．0
答案 D
解析 变形，可得＝＝＝＋，
∵－4∴原式＝＋＝－
≤－2＝－1，
当且仅当－＝，即x＝0时取等号，
故选D.
14．已知不等式2x＋m＋>0对任意的x>1恒成立，则实数m的取值范围为________．
答案 (－10，＋∞)
解析 ∵2x＋m＋>0在x>1时恒成立，
∴m>－2x－＝－2
＝－2，
又x>1时，x－1>0，
x－1＋＋1≥2＋1＝5，
当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立，
∴－2≤－2×5＝－10.
∴m>－10，
∴实数m的取值范围为(－10，＋∞)．
15．若不等式ax2＋≥(a>0)恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 原不等式可转化为a(x2＋1)＋≥，
又a>0，
则a(x2＋1)＋≥2＝2，
当且仅当a(x2＋1)＝，
即a＝时等号成立，
则根据恒成立的意义可知2≥，解得a≥.
16．某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销量是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．那么该厂家2020年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？
解 设2020年该产品利润为y，
由题意，可知当m＝0时，x＝1，
∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－，
又每件产品的销售价格为1.5×元，
∴y＝x－(8＋16x＋m)
＝4＋8x－m＝4＋8－m
＝－＋29，
∵m≥0，＋(m＋1)≥2＝8，
当且仅当＝m＋1，即m＝3时等号成立，
∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21.
故该厂家2020年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．
课件31张PPT。第2课时 均值不等式的综合应用第二章 2.2.4 均值不等式及其应用学习目标XUEXIMUBIAO1.熟练掌握均值不等式及变形的应用.
2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.
3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点 用均值不等式求最值用均值不等式 求最值应注意：
(1)x，y是_____；
(2)①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值_____；
②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值_____.
(3)讨论等号成立的条件是否满足.正数预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN解析 ∵x>0，y>0，√当且仅当4x＝y＝8时取等号，∴xy有最小值16.故选A.2.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝____.20即x＝20时取等号.3.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N＋)，则该公司每台机器年平均利润的最大值是___万元.8当且仅当x＝5时取“＝”.当且仅当x－2＝2，即x＝4时取“＝”.62题型探究PART TWO一、利用均值不等式变形求最值故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.当且仅当x－1＝y－9＝3，
即x＝4，y＝12时上式取等号，
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用均值不等式及使等号成立的条件.当连续应用均值不等式时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，否则也不能求出最值；特别注意“1”的代换.解析 ∵x＋y＝1，9例2 “足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障.某地政府在对山区乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量
Q万件(生产量与销售量相等)与推广促销费x万元之间的函数关系为 (其中推
广促销费不能超过3万元).已知加工此批农产品还要投入成本 万元(不包含推
广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为 元/件.
那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润＝销售额－成本－推广促销费)二、均值不等式在实际问题中的应用解 设该批产品的利润为y，当且仅当x＝1时，上式取“＝”，
∴当x＝1时，ymax＝17.
答 当推广促销费投入1万元时，利润最大为17万元.应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答).使用均值不等式求最值，要注意验证等号是否成立.跟踪训练2 2016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为是我国从航天大国向航天强国迈进的重要标志.长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时的速度匀速生产时(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料kx2＋9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克.消耗A材料总重量为y，那么要使生产1 000千克该产品消耗A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少.解 由题意，得k＋9＝10，即k＝1，故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A材料最少，最少为6 000千克.所以生产1 000千克该产品消耗的A材料为典例 围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图.已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元).
试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.均值不等式在实际问题中的应用核心素养之数学建模HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE JIAN MO解 设矩形的另一边长为a m，
则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.∵x>0，即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元.数学建模是对现实问题进行数学抽象，建立和求解模型的过程耗时费力，所以建立的模型要有广泛的应用才有价值.本例中所涉及的
就是一个应用广泛的函数模型.3随堂演练PART THREE12345√12345√3.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是
A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m解析 设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，√12345∵要求够用且浪费最少，故选C.1234545.设计用32 m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m，则车厢的最大容积是____ m3.解析 设车厢的长为b m，高为a m.1234516当且仅当t＝3，即a＝2，b＝4时等号成立.1.知识清单：已知x，y是正数.
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值.
(2)若x·y＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值.
即：“和定积最大，积定和最小”.
(3)求解应用题的方法与步骤.
①审题，②建模(列式)，③解模，④作答.
2.方法归纳：注意条件的变换，常用“1”的代换方法求最值.
3.常见误区：缺少等号成立的条件.课堂小结KE TANG XIAO JIE本课结束