3.1 函数的概念与性质
3.1.1 函数及其表示方法
第1课时 函数的概念
学习目标 1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素.2.掌握相同函数的判断方法.3.会求一些简单函数的定义域和值域．
知识点一 函数的有关概念
函数的定义
给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数
函数的记法
y＝f(x)，x∈A
定义域
x称为自变量，自变量取值的范围(即数集A)称为函数的定义域
值域
所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域
知识点二 同一个函数
一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．
特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同．
思考 定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？
答案 不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数．
1．任何两个集合之间都可以建立函数关系．( × )
2．已知定义域和对应关系就可以确定一个函数．( √ )
3．定义域中的每一个x可以对应着不同的y.( × )
4．y＝3x，x∈R与y＝3t，t∈R是不同的函数．( × )
一、函数关系的判断
例1 下列对应关系式中是A到B的函数的是( )
A．A?R，B?R，x2＋y2＝1
B．A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，y＝|x|＋1
C．A＝R，B＝R，y＝
D．A＝Z，B＝Z，f：y＝
答案 B
解析 对于A，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A(x＝±1除外)，y值不唯一，故不符合函数的定义；对于B，符合函数的定义；对于C,2∈A，在此时对应关系无意义，故不符合函数的定义；对于D，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合函数的定义．
反思感悟 判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断：
(1)A，B必须是非空实数集．
(2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应．
(3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一．
跟踪训练1 下列图像中，可作为函数图像的是________．(填序号)
答案 ①③④
解析 对于②⑤中存在一个x的值，y有两个值与之对应，所以不是函数图像，①③④符合函数定义．
二、求函数的定义域、函数值
命题角度1 求函数的定义域
例2 求下列函数的定义域．
(1)y＝2－；
(2)y＝；(3)y＝＋.
解 (1)由得0≤x≤，
所以函数y＝2－的定义域为.
(2)由于0的零次幂无意义，
故x＋1≠0，即x≠－1.
又x＋2>0，即x>－2，
所以x>－2且x≠－1.
所以函数y＝的定义域为(－2，－1)∪(－1，＋∞)．
(3)由解得－2≤x<0或0
所以函数y＝＋的定义域为[－2,0)∪(0,2]．
反思感悟 求函数定义域的常用依据
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
(3)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；
(4)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
跟踪训练2 函数y＝＋的定义域为________．
答案 ∪[，4)
解析 由得x≤－或2≤x<4，
所以定义域为∪[2,4)．
命题角度2 求函数值
例3 已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2 (x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(2))的值．
解 (1)因为f(x)＝，所以f(2)＝＝.
又因为g(x)＝x2＋2，所以g(2)＝22＋2＝6.
(2)f(g(2))＝f(6)＝＝.
反思感悟 函数求值的方法
(1)已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值．
(2)已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
跟踪训练3 已知f(x)＝－x2＋1，则f(f(－1))＝________.
答案 1
三、同一个函数的判定
例4 下列选项中能表示同一个函数的是( )
A．y＝x＋1与y＝ B．y＝x2＋1与s＝t2＋1
C．y＝2x与y＝2x(x≥0) D．y＝(x＋1)2与y＝x2
答案 B
解析 对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数；
对于选项B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是同一个函数；
对于选项C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是同一个函数；
对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一个函数．
反思感悟 在两个函数中，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才是同一个函数．值域相等，只是前两个要素相等的必然结果．
跟踪训练4 下列各组式子是否表示同一个函数？为什么？
(1)f(x)＝|x|，φ(t)＝；
(2)y＝·，y＝；
(3)y＝，y＝x－3.
解 (1)f(x)与φ(t)的定义域相同，
又φ(t)＝＝|t|，
即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，
∴f(x)与φ(t)是同一个函数．
(2)y＝·的定义域为{x|－1≤x≤1}，
y＝的定义域为{x|－1≤x≤1}，
即两者定义域相同．
又∵y＝·＝，
∴两函数的对应关系也相同．
故y＝·与y＝是同一个函数．
(3)∵y＝＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，
∴y＝与y＝x－3不是同一个函数．
1．下列四种说法中，不正确的一个是( )
A．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应
B．函数的定义域和值域一定是无限集合
C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素
答案 B
解析 由函数定义知，A，C，D正确，B不正确．
2．若f(x)＝，则f(3)等于( )
A．2 B．4 C．2 D．10
答案 A
解析 f(3)＝＝2.
3．函数f(x)＝的定义域为( )
A．(1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，1)∪(1，＋∞) D．[0,1)∪(1，＋∞)
答案 D
解析 由得
∴定义域为[0,1)∪(1，＋∞)．
4．设y＝x2是集合A到集合B的函数，若集合B＝{1}，则集合A不可能是( )
A．{1} B．{－1} C．{－1,1} D．{－1,0}
答案 D
解析 当x＝0时，在集合B中没有值与之对应．
5．下列各组函数是同一个函数的是________．(填序号)
①f(x)＝与g(x)＝x；
②f(x)＝x0与g(x)＝；
③f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.
答案 ②③
解析 ①f(x)＝－x，g(x)＝x，对应关系不同，故f(x)与g(x)不是同一个函数；②f(x)＝x0＝1(x≠0)，g(x)＝＝1(x≠0)，对应关系与定义域均相同，故是同一个函数；③f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1，对应关系和定义域均相同，故是同一个函数．
1．知识清单：
(1)函数的概念．
(2)函数的定义域、值域．
(3)同一个函数的判定．
2．常见误区：
(1)定义域中的每一个自变量都有唯一确定的值与其相对应．
(2)自变量用不同字母表示不影响相同函数的判断．
1．下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是( )
A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方
B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方根
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值
答案 A
解析 按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项D中，集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应，也不符合函数定义．只有选项A符合函数定义．
2．函数f(x)＝＋的定义域是( )
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．R D．[－1,1)∪(1，＋∞)
答案 D
解析 由解得
故定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，故选D.
3．设函数f(x)＝3x2－1，则f(a)－f(－a)的值是( )
A．0 B．3a2－1 C．6a2－2 D．6a2
答案 A
解析 f(a)－f(－a)＝3a2－1－[3(－a)2－1]＝0.
4．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x＋1和y＝
B．y＝x0和y＝1
C．f(x)＝(x－1)2和g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝和g(x)＝
答案 D
解析 A中的函数定义域不同；
B中y＝x0中x不能取0，两函数定义域不同；
C中两函数的对应关系不同，故选D.
5．若函数y＝f(x)的定义域M＝[－2,2]，值域为N＝[0,2]，则函数y＝f(x)的图像可能是( )
答案 B
解析 A中定义域是[－2,0]，不是M＝[－2,2]，C中图像不表示函数关系，D中值域不是[0,2]．
6．若f(x)＝，且f(a)＝2，则a＝________.
答案 或2
解析 f(a)＝＝2，
所以2a2－5a＋2＝0，解得a＝2或.
7．下列对应关系是函数的为________．(填序号)
(1)y＝x2，x∈R；
(2)y2＝x，x∈(0，＋∞)，y∈R；
(3)s＝，t≠1，t∈R.
答案 (1)(3)
8．函数y＝的定义域用区间表示为________．
答案 (－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]
解析 要使函数有意义，需满足
即
∴定义域为(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]．
9．已知函数f(x)＝＋.
(1)求函数的定义域；
(2)求f(－3)，f 的值；
(3)当a>0时，求f(a)，f(a－1)的值．
解 (1)使根式有意义的实数x的集合是{x|x≥－3}，使分式有意义的实数x的集合是{x|x≠－2}，
所以这个函数的定义域是[－3，－2)∪(－2，＋∞)．
(2)f(－3)＝＋＝－1；
f ＝ ＋＝＋＝＋.
(3)因为a>0，故f(a)，f(a－1)有意义．
f(a)＝＋；
f(a－1)＝＋＝＋.
10．求函数y＝的定义域，并用区间表示．
解 要使函数有意义，需满足
即
所以－1≤x≤3且x≠，
所以函数的定义域为，
用区间表示为∪.
11．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是( )
A．1 B．0 C．－1 D．2
答案 A
解析 ∵f(x)＝ax2－1，
∴f(－1)＝a－1，
f(f(－1))＝f(a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1.
∴a(a－1)2＝0.
又∵a为正数，∴a＝1.
12．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f(2x)的定义域是( )
A．[0,2] B．[0,1] C．[0,4] D．(0,1)
答案 B
解析 ∵y＝f(x)的定义域是[0,2]，
∴要使g(x)＝f(2x)有意义，
需0≤2x≤2，即0≤x≤1.
13．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则这些函数为“合一函数”，那么函数解析式y＝2x2－1，值域为{1,7}的合一函数共有( )
A．10个 B．9个 C．8个 D．4个
答案 B
解析 函数y＝2x2－1，值域为{1,7}，它的定义域可以是{1,2}，{1，－2}，{－1，－2}，{－1,2}，{－1,1,2}，{－1,1，－2}，{－1，－2,2}，{1，－2,2}，{－1,1，－2,2}，共有9种情况，故选B.
14．已知f(2x＋1)＝4x2＋4x＋3，则f(1)＝________.
答案 3
解析 f(1)＝f(2×0＋1)＝4×02＋4×0＋3＝3.
15．已知f(x)＝(x∈R且x≠2)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f(g(x))＝________.
答案 －(x≠0)
解析 f(g(x))＝＝
＝－(x≠0)．
16．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)与f ，f(3)与f ；
(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f 有什么关系？证明你的发现；
(3)求f(2)＋f ＋f(3)＋f ＋…＋f(2 019)＋f 的值．
解 (1)由f(x)＝＝1－，
所以f(2)＝1－＝，f ＝1－＝.
f(3)＝1－＝，f ＝1－＝.
(2)由(1)中求得的结果发现f(x)＋f ＝1.
证明如下：f(x)＋f ＝＋
＝＋＝1.
(3)由(2)知f(x)＋f ＝1，
∴f(2)＋f ＝1，f(3)＋f ＝1，
f(4)＋f ＝1，…，f(2 019)＋f ＝1.
∴f(2)＋f ＋f(3)＋f ＋…＋f(2 019)＋f ＝2 018.
课件34张PPT。第1课时 函数的概念第三章 3.1.1 函数及其表示方法学习目标XUEXIMUBIAO1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素.
2.掌握相同函数的判断方法.
3.会求一些简单函数的定义域和值域.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 函数的有关概念实数集每一个实数x唯一确定y＝f(x)取值的范围知识点二 同一个函数一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域.如果两个函数表达式表示的函数_______相同，_________也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数.
特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同.思考 定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？答案 不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数.定义域对应关系思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.任何两个集合之间都可以建立函数关系.( )
2.已知定义域和对应关系就可以确定一个函数.( )
3.定义域中的每一个x可以对应着不同的y.( )
4.y＝3x，x∈R与y＝3t，t∈R是不同的函数.( )×√××2题型探究PART TWO例1 下列对应关系式中是A到B的函数的是
A.A?R，B?R，x2＋y2＝1
B.A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，y＝|x|＋1一、函数关系的判断√对于B，符合函数的定义；
对于C，2∈A，在此时对应关系无意义，故不符合函数的定义；
对于D，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合函数的定义.解析 对于A，x2＋y2＝1可化为 ，显然对任意x∈A(x＝±1除外)，y值不唯一，故不符合函数的定义；反思感悟判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断：
(1)A，B必须是非空实数集.
(2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应.
(3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一.跟踪训练1 下列图像中，可作为函数图像的是________.(填序号)①③④解析 对于②⑤中存在一个x的值，y有两个值与之对应，所以不是函数图像，
①③④符合函数定义.命题角度1 求函数的定义域二、求函数的定义域、函数值多维探究例2 求下列函数的定义域.解 由于0的零次幂无意义，
故x＋1≠0，即x≠－1.
又x＋2>0，即x>－2，
所以x>－2且x≠－1.反思感悟求函数定义域的常用依据
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
(3)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；
(4)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.命题角度2 求函数值又因为g(x)＝x2＋2，所以g(2)＝22＋2＝6.例3 已知 (x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2 (x∈R).
(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(2))的值.反思感悟函数求值的方法
(1)已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值.
(2)已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.跟踪训练3 已知f(x)＝－x2＋1，则f(f(－1))＝____.1三、同一个函数的判定例4 下列选项中能表示同一个函数的是
A.y＝x＋1与 B.y＝x2＋1与s＝t2＋1
C.y＝2x与y＝2x(x≥0) D.y＝(x＋1)2与y＝x2解析 对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数；
对于选项B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是同一个函数；
对于选项C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是同一个函数；
对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一个函数.√反思感悟在两个函数中，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才是同一个函数.值域相等，只是前两个要素相等的必然结果.即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，
∴f(x)与φ(t)是同一个函数.解 f(x)与φ(t)的定义域相同，跟踪训练4 下列各组式子是否表示同一个函数？为什么？
(1)f(x)＝|x|， ；即两者定义域相同.∴两函数的对应关系也相同.3随堂演练PART THREE1.下列四种说法中，不正确的一个是
A.在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应
B.函数的定义域和值域一定是无限集合
C.定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
D.若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素解析 由函数定义知，A，C，D正确，B不正确.√1234512345√∴定义域为[0,1)∪(1，＋∞).123453.函数 的定义域为
A.(1，＋∞) B.[0，＋∞)
C.(－∞，1)∪(1，＋∞) D.[0,1)∪(1，＋∞)√4.设y＝x2是集合A到集合B的函数，若集合B＝{1}，则集合A不可能是
A.{1} B.{－1}
C.{－1,1} D.{－1,0}解析 当x＝0时，在集合B中没有值与之对应.√1234512345②③③f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1，对应关系和定义域均相同，故是同一个函数.解析 ① ，对应关系不同，故f(x)与g(x)不是同一个函数；② ，对应关系与定义域均相同，故是同一个函数；1.知识清单：
(1)函数的概念.
(2)函数的定义域、值域.
(3)同一个函数的判定.
2.常见误区：
(1)定义域中的每一个自变量都有唯一确定的值与其相对应.
(2)自变量用不同字母表示不影响相同函数的判断.课堂小结KE TANG XIAO JIE本课结束第2课时 函数的表示方法
学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.掌握分段函数及几种常见的函数．
知识点一 函数的表示方法
思考 函数三种表示法的优缺点？
答案
知识点二 分段函数
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．
1．任何一个函数都可以用解析法表示．( × )
2．任何一个函数都可以用图像法表示．( × )
3．函数f(x)＝2x＋1不能用列表法表示．( √ )
4．分段函数是由若干个函数构成的．( × )
一、函数的表示方法
例1 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来．
解 (1)列表法：
x/台
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y/元
3 000
6 000
9 000
12 000
15 000
18 000
21 000
24 000
27 000
30 000
(2)图像法：如图所示．
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．
反思感悟 应用函数三种表示方法应注意以下三点
(1)解析法必须注明函数的定义域．
(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系．
(3)图像法必须清楚函数图像是“点”还是“线”．
跟踪训练1 由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于( )
x
1
2
3
4
5
y
4
5
3
2
1
A.1 B．2 C．4 D．5
答案 B
解析 由题中表格可知f(1)＝4，所以f(f(1))＝f(4)＝2.
二、求函数解析式
例2 求下列函数的解析式：
(1)已知函数f(＋1)＝x＋2，求f(x)；
(2)已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)．
解 (1)方法一(换元法)
设t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．
∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
方法二(配凑法)
∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，
∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵f(0)＝1，∴c＝1.
又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
整理，得2ax＋(a＋b)＝2x.
由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等，
∴解得∴f(x)＝x2－x＋1.
反思感悟 求函数解析式的常用方法
(1)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，从而求出f(x)．
(2)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．
跟踪训练2 (1)已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，则f(x)的解析式为________________．
答案 f(x)＝x2－4(x≥2)
解析 因为f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，
令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)，
所以f(x)＝x2－4(x≥2)．
(2)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝________.
答案 2x－或－2x＋1
解析 因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又因为f(f(x))＝4x－1，所以a2x＋ab＋b＝4x－1.
所以解得或
所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.
三、分段函数求值
例3 已知函数f(x)＝
试求f(－5)，f(－)，f 的值．
解 由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－)＝(－)2＋2(－)＝3－2.
因为f ＝－＋1＝－，
－2<－<2，
所以f ＝f
＝2＋2×
＝－3＝－.
延伸探究
1．本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值．
解 ①当a≤－2时，f(a)＝a＋1，所以a＋1＝3，
所以a＝2>－2不合题意，舍去．
②当－2即a2＋2a－3＝0.
所以(a－1)(a＋3)＝0，
所以a＝1或a＝－3.
因为1∈(－2,2)，－3?(－2,2)，
所以a＝1符合题意．
③当a≥2时，2a－1＝3，所以a＝2符合题意．
综合①②③，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.
2．本例条件不变，若f(x)>3，求x的取值范围．
解 ①当x≤－2时，x＋1>3得x>2，
又x≤－2，所以x∈?.
②当－23得x>1或x<－3，
又－2③当x≥2时，2x－1>3，得x>2，
又x≥2，所以x>2，
综上有x的取值范围是(1,2)∪(2，＋∞)．
反思感悟 (1)求分段函数的函数值的方法
①确定要求值的自变量属于哪一段区间．
②代入该段的解析式求值，当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求某条件下自变量的值的方法
先对x的取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式，解方程求解，注意需检验所求的值是否在所讨论的区间内．
跟踪训练3 已知f(x)＝
(1)求f(2)，f ；
(2)若f(x)＝，求x的值；
(3)若f(x)≥，求x的取值范围．
解 (1)f(2)＝1，f ＝2＝，
所以f ＝f ＝.
(2)f(x)＝等价于①或②
解①得x＝±，②的解集为?.
∴当f(x)＝时，x＝±.
(3)∵f(x)≥，
∴或
解得x≥或x≤－，
∴x的取值范围是∪.
函数图像的应用
典例 (1)已知f(x)的图像如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．
答案 [－2,4]∪[5,8] [－4,3]
解析 函数的定义域对应图像上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合．
(2)若函数f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图像与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围．
解 f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图像如图，
f(x)的图像与直线y＝m有2个不同交点，
由图易知－1[素养提升] (1)函数图像很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图像可以更直观地寻求问题的解决思路和要点．
(2)借助几何直观认识事物的位置关系，形态变化与运动规律；利用图形分析数学问题，是直观想象的核心内容，也是数学的核心素养．
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于( )
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
2．设函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a等于( )
A．－4或－2 B．－4或2
C．－2或4 D．－2或2
答案 B
3．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是( )
答案 C
4．设函数f ＝x，则f(x)的表达式为( )
A.(x≠－1) B.(x≠－1)
C.(x≠－1) D.(x≠－1)
答案 C
解析 令t＝，则x＝，
∴f(t)＝，
即f(x)＝.
5．已知二次函数f(x)的图像经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则函数f(x)的解析式为_________．
答案 f(x)＝－x2－4x－1
解析 设f(x)＝a(x＋2)2＋3(a≠0)，
由y＝f(x)过点(－3,2)，得a＝－1，
∴f(x)＝－(x＋2)2＋3＝－x2－4x－1.
1．知识清单：
(1)函数的表示方法．
(2)求函数解析式．
(3)分段函数．
(4)函数的图像．
2．方法归纳：
(1)待定系数法、换元法．
(2)数形结合法．
3．常见误区：求函数解析式时易忽视定义域．
1．已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为( )
A．－2 B．6 C．1 D．0
答案 B
解析 令t＝x－1，则x＝t＋1，
∴f(t)＝(t＋1)2－3＝t2＋2t－2，
∴f(2)＝22＋2×2－2＝6.
2．已知函数y＝f(x)的对应关系如表所示，函数y＝g(x)的图像是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为( )
x
1
2
3
f(x)
2
3
0
A.3 B．2 C．1 D．0
答案 B
解析 ∵g(2)＝1，
∴f(g(2))＝f(1)＝2.
3．函数f(x)＝|x－1|的图像是( )
答案 B
解析 方法一 函数的解析式可化为y＝
画出此分段函数的图像，故选B.
方法二 由f(－1)＝2，知图像过点(－1,2)，排除A，C，D，故选B.
4．如果f ＝，则当x≠0,1时，f(x)等于( )
A. B. C. D.－1
答案 B
解析 令＝t，则x＝，代入f ＝，
则有f(t)＝＝，
故f(x)＝.故选B.
5．函数y＝的大致图像是( )
答案 A
解析 方法一 y＝的定义域为{x|x≠－1}，排除C，D，
当x＝0时，y＝0，排除B.
方法二 y＝＝1－，
由函数的平移性质可知A正确．
6．函数f(x)＝的定义域是________．
答案 [0，＋∞)
解析 定义域为[0,1]∪(1,2)∪[2，＋∞)＝[0，＋∞)．
7．已知函数f(x)＝x－，且此函数图像过点(5,4)，则实数m的值为________．
答案 5
解析 将点(5,4)代入f(x)＝x－，得m＝5.
8．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x(kg)与其运费y(元)由如图的一次函数图像确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为________kg.
答案 19
解析 设一次函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)，
代入点(30,330)与点(40,630)得
解得
即y＝30x－570，
若要免费，则y≤0，所以x≤19.
9．如图所示，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出此盒子的体积V以x为自变量的函数式，并指明这个函数的定义域．
解 由题意可知该盒子的底面是边长为(a－2x)的正方形，高为x，
所以此盒子的体积V＝(a－2x)2·x＝x(a－2x)2，
其中自变量x应满足
即0所以此盒子的体积V以x为自变量的函数式为V＝x(a－2x)2，定义域为.
10．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图像，并根据图像回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)若x1(3)求函数f(x)的值域．
解 因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，
列表：
x
－1
0
1
3
y
0
3
4
0
描点，连线，得函数图像如图：
(1)根据图像，容易发现f(0)＝3，
f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)(2)根据图像，容易发现当x1(3)根据图像，可以看出函数的图像是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．
11．若一次函数的图像经过点A(1,6)和B(2,8)，则该函数的图像还可能经过的点的坐标为( )
A. B.
C．(－1,3) D．(－2,1)
答案 A
解析 设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，则该函数的图像经过点A(1,6)和B(2,8)，得解得所以此函数的解析式为y＝2x＋4，只有A选项的坐标符合此函数的解析式．故选A.
12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足a>b>c且a＋b＋c＝0，那么它的图象是图中的( )
答案 A
解析 ∵a>b>c且a＋b＋c＝0，∴a>0，c<0，且f(1)＝0，故选A.
13．已知x≠0，函数f(x)满足f ＝x2＋，则f(x)＝________.
答案 x2＋2
解析 f ＝x2＋＝2＋2，
所以f(x)＝x2＋2.
14．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为________．
答案 (－∞，1]
解析 由题意得f(x)＝
画出函数f(x)的图像得值域是(－∞，1]．
15．已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，则f(x)的解析式是________．
答案 f(x)＝－x＋
解析 因为f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，①
所以把①中的x换成－x，得f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1.②
由①②解得f(x)＝－x＋.
16．某企业生产某种产品时的能耗y与产品件数x之间的关系式为y＝ax＋.且当x＝2时，y＝100；当x＝7时，y＝35.且此产品生产件数不超过20件．
(1)写出函数y关于x的解析式；
(2)用列表法表示此函数，并画出图像．
解 (1)将与代入y＝ax＋中，
得??
所以所求函数解析式为y＝x＋(x∈N,0(2)当x∈{1,2,3,4,5，…，20}时，列表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
197
100
68
53
44
38
35
32
30
29
x
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
y
28
28
28
28
28
28
28
28
29
29
依据上表，画出函数y的图像如图所示，是由20个点构成的点列．
课件37张PPT。第2课时 函数的表示方法第三章 3.1.1 函数及其表示方法学习目标XUEXIMUBIAO1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.
2.掌握求函数解析式的常见方法.
3.掌握分段函数及几种常见的函数.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 函数的表示方法思考 函数三种表示法的优缺点？答案 知识点二 分段函数如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同_________，有不同的_________，则称其为分段函数.取值区间对应方式思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.任何一个函数都可以用解析法表示.( )
2.任何一个函数都可以用图像法表示.( )
3.函数f(x)＝2x＋1不能用列表法表示.( )
4.分段函数是由若干个函数构成的.( )××√×2题型探究PART TWO例1 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来.一、函数的表示方法解 (1)列表法：(2)图像法：如图所示.(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}.反思感悟应用函数三种表示方法应注意以下三点
(1)解析法必须注明函数的定义域.
(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系.
(3)图像法必须清楚函数图像是“点”还是“线”.跟踪训练1 由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于A.1 B.2 C.4 D.5√解析 由题中表格可知f(1)＝4，
所以f(f(1))＝f(4)＝2.例2 求下列函数的解析式：二、求函数解析式解 方法一(换元法)∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，
∴f(x)＝x2－1(x≥1).
方法二(配凑法)∴f(x)＝x2－1(x≥1).(2)已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x).解 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
∵f(0)＝1，∴c＝1.
又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
整理，得2ax＋(a＋b)＝2x.
由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等，∴f(x)＝x2－x＋1.反思感悟求函数解析式的常用方法
(1)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，从而求出f(x).
(2)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式.跟踪训练2 (1)已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，则f(x)的解析式为________________.f(x)＝x2－4(x≥2)解析 因为f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，
令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)，
所以f(x)＝x2－4(x≥2).(2)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝_______________.解析 因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又因为f(f(x))＝4x－1，所以a2x＋ab＋b＝4x－1.三、分段函数求值知f(－5)＝－5＋1＝－4，延伸探究
1.本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值.解 ①当a≤－2时，f(a)＝a＋1，所以a＋1＝3，
所以a＝2>－2不合题意，舍去.
②当－2即a2＋2a－3＝0.
所以(a－1)(a＋3)＝0，
所以a＝1或a＝－3.
因为1∈(－2,2)，－3?(－2,2)，
所以a＝1符合题意.
③当a≥2时，2a－1＝3，所以a＝2符合题意.
综合①②③，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.2.本例条件不变，若f(x)>3，求x的取值范围.解 ①当x≤－2时，x＋1>3得x>2，
又x≤－2，所以x∈?.
②当－23得x>1或x<－3，
又－2③当x≥2时，2x－1>3，得x>2，
又x≥2，所以x>2，
综上有x的取值范围是(1,2)∪(2，＋∞).反思感悟(1)求分段函数的函数值的方法
①确定要求值的自变量属于哪一段区间.
②代入该段的解析式求值，当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.
(2)求某条件下自变量的值的方法
先对x的取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式，解方程求解，注意需检验所求的值是否在所讨论的区间内.典例 (1)已知f(x)的图像如图所示，则f(x)的定义域为_____________，值域为______.解析 函数的定义域对应图像上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合.函数图像的应用核心素养之直观想象HE XIN SU YANG ZHI ZHI GUAN XIANG XIANG[－2,4]∪[5,8][－4,3](2)若函数f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图像与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围.解 f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图像如图，f(x)的图像与直线y＝m有2个不同交点，
由图易知－1提升(1)函数图像很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图像可以更直观地寻求问题的解决思路和要点.
(2)借助几何直观认识事物的位置关系，形态变化与运动规律；利用图形分析数学问题，是直观想象的核心内容，也是数学的核心素养.3随堂演练PART THREE1.已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于12345A.1 B.2 C.3 D.4√A.－4或－2 B.－4或2
C.－2或4 D.－2或2√123453.某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是12345√12345√5.已知二次函数f(x)的图像经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则函数f(x)的解析式为_________________.解析 设f(x)＝a(x＋2)2＋3(a≠0)，
由y＝f(x)过点(－3,2)，得a＝－1，
∴f(x)＝－(x＋2)2＋3＝－x2－4x－1.12345f(x)＝－x2－4x－11.知识清单：
(1)函数的表示方法.
(2)求函数解析式.
(3)分段函数.
(4)函数的图像.
2.方法归纳：
(1)待定系数法、换元法.
(2)数形结合法.
3.常见误区：求函数解析式时易忽视定义域.课堂小结KE TANG XIAO JIE本课结束 