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15.3分式方程（1）
人教版 八年级上
新知导入
■只含有一个未知数
■含有未知数的项的次数均为 1
■各项都是整式
这样的方程叫一元一次方程！
思考：写出一个含有分式的方程，猜一猜它叫做什么？
新知讲解
一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它沿江以最大航速顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少？
题目中相等的数量关系是：
解：设江水的流速为v km/h.
依题意得：
所列方程和以前学过的方程有什么不同？
分母中含未知数的方程叫做分式方程.
以前学过的分母中不含有未知数的方程叫做整式方程 .
巩固练习
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程?
新知讲解
思考:如何解分式方程 呢?
想一想：解一元一次方程的一般步骤是什么?
去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为1
先去分母，将分式方程转化为整式方程, 再解整式方程.
怎样去
分母呢？
利用等式的性质2，方程两边都乘(30+v)(30－v)
乘各分母的
最简公分母
新知讲解
思考:如何解分式方程 呢?
解：方程两边都乘 (30+v)(30－v)得，
解得，v=6
90(30－v)=60(30+v)
检验：把v =6代入原方程中，左边＝右边
因此v＝6是原方程的解
分式方程
解分式方程的一般思路
整式方程
去分母
两边乘最简公分母
即，江水的流速为6km/h.
新知讲解
解：方程两边乘最简公分母 (x+5)(x－5)得，
解得， x=5
x+5=10
检验:把x = 5 代入原方程中，发现x－5和x2－25的值都为0，相应的分式无意义，因此x=5虽是方程x+5=10的解，但不是原分式方程
的解．实际上，这个分式方程无解．
解分式方程：
你发现什么？
新知讲解
新知讲解
我们来观察去分母的过程：
解：方程两边都乘
(30+v)(30－v)得，
解得，v=6
90(30－v)=60(30+v)
解：方程两边都乘
(x+5)(x－5)得，
解得， x=5
x+5=10
当v=6时， (30+v)(30－v)≠0
当x=5时，
(x+5)(x－5)=0
整式方程的解与分式方程的解相同
整式方程的解不是分式方程的解
无解
新知讲解
一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,所以分式方程的解必须检验.
怎样检验这个整式方程的解是不是原分式的解？
检验的方法主要有两种：
（1）将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是
否相等；
（2）将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0．
显然，第2种方法比较简便！
新知讲解
例：解方程
解：（1）方程两边乘 x(x－3)得，
解得，
2x=3x－9
x=9
检验：当x=9时， x(x－3)≠0.
所以，原分式方程的解为x=9.
新知讲解
例：解方程
解 ：（2）方程两边同乘以 (x－1) (x＋2) , 得
x(x+2)－(x－1)(x+2)=3
解得 ,
检验：当x = 1 时，(x－1) (x＋2)＝0，因此x =１不是原分式方程的解.
x = 1
所以，原分式方程无解．
新知讲解
解分式方程的一般步骤:
1.在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2.解这个整式方程.
3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.
4.写出原方程的解.
解分式方程的思路：
分式方程
整式方程
去分母
一化二解三检验
巩固练习
新知讲解
思考：方程无解的值，称为增根。为什么会产生 “ 增根 ” 的原因在哪里呢？
解析：分式方程的求根过程不一定是同解变形，所以分式方程一定要验根！
思考：“ 方程有增根 ” 和 “ 方程无解 ” 一样吗？
解析：增根：是可以求出来的，但代入后方程的分母为 0 无意义，原方程无解 .
无解：包括增根和这个方程没有可解的根．
新知讲解
试一试：求下列分式方程的增根
（1）增根是x=6．
（2）增根是x=2或x=0．
新知讲解
解：去分母，得3x+3–（x–1）=x2+kx，
整理，得x2+（k–2）x–4=0.
因为有增根，所以增根为x=0或x=1.
当x=0时，代入方程得–4=0，所以x=0不是方程的增根；
当x=1时，代入方程，得k=5，所以k=5时,方程有增根x=1.
课堂练习
B
课堂练习
2.解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是（ ）
A. 2(x–8)+5x=16(x–7)
B. 2(x–8)+5x=8
C. 2(x–8)–5x=16(x–7)
D. 2(x–8)–5x=8
A
课堂练习
3.如图,点A,B在数轴上,它们所对应的数分别
是-3和 且点A,B到原点的距离相等,求x的值.
解：依题意可知,
解得:
经检验, 是原方程的解.
则x的值为
课堂练习
4.关于x的方程 无解,求k的值.
课堂总结
通过本课时的学习，需要我们
1.理解分式方程的概念和分式方程产生无解的原因 ,会辨别整式方程与分式方程.
2.掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程 .
解分式方程的一般步骤:
①去分母,将分式方程转化为整式方程;
②解整式方程;
③验根作答.
作业布置
教材152页练习题
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《15.3分式方程（1）》导学案
课题 分式方程（1） 学科 数学 年级 八年级上册
教学目标 1.理解分式方程的意义．2.掌握分式方程的基本思路和解法．3.理解分式方程可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根的方法．
重点难点 重点：解分式方程的基本思路和解法.难点：理解解分式方程可能无解的原因，及增根的含义.
教学过程
知识链接 满足以上特征的方程叫什么？思考：写出一个含有分式的方程，猜一猜它叫做什么？
合作探究 问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 分式方程：分母中含有_______的方程叫做分式方程. 解分式方程的基本思路是将分式方程运用去分母的方法化成为整式方程. 如：解方程. 解：在方程两边乘的最简公分母__________，得____________解得__________检验：___________试一试解方程 . 思考 上面两个分式方程中，为什么去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？例1、解方程（1） （2） 通过上述学习你能总结出解分式方程的一半思路吗？ 思考：方程无解的值，称为增根。为什么会产生 “ 增根 ” 的原因在哪里呢？ 思考：“ 方程有增根 ” 和 “ 方程无解 ” 一样吗？ 试一试：求下列分式方程的增根 例2、已知关于x的方程有增根，求该方程的增根和k的值.
自主尝试 1.下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程?（1） （2） （3） （4）（5） （6）（7） （8）
当堂检测 2.解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（ ）A. 2(x–8)+5x=16(x–7) B. 2(x–8)+5x=8 C. 2(x–8)–5x=16(x–7) D. 2(x–8)–5x=8 3.如图,点A,B在数轴上,它们所对应的数分别是-3和且点A,B到原点的距离相等,求x的值. 4.关于x的方程无解,求k的值.
小结反思 1.解分式方程的一般步骤是什么？ 2.解分式方程时为什么要检验，说说你的看法.
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《15.3分式方程（1）》导学案
课题 分式方程（1） 学科 数学 年级 八年级上册
教学目标 1.理解分式方程的意义．2.掌握分式方程的基本思路和解法．3.理解分式方程可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根的方法．
重点难点 重点：解分式方程的基本思路和解法.难点：理解解分式方程可能无解的原因，及增根的含义.
教学过程
知识链接 满足以上特征的方程叫什么？思考：写出一个含有分式的方程，猜一猜它叫做什么？ 怎么解你写出的方程呢？本节课我们一起探索分式方程的解法。
合作探究 问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？注意：让学生求出江水流速为v千米/时后，自主探究，获得方程.然后师生共同评析.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”. 思考 (1)方程与以往学过的方程有什么不同之处？ （2）什么叫分式方程？分式方程的特征是什么？ （3）怎样解分式方程呢？ 分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 解分式方程的基本思路是将分式方程运用去分母的方法化成为整式方程. 如：解方程. 解：在方程两边乘的最简公分母(30+v)（30-v），得 90(30-v)=60（30+v）. 解得v=6. 检验：将v=6代入方程，左边=5/2=右边，所以v=6是原分式方程的解. 试一试解方程 . 思考 上面两个分式方程中，为什么去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？注意：学生讨论，教师可参与交流，鼓励学生勇于探索、实践，解释产生这一现象的原因，并让学生明白解分式方程时一定要验根. ●归纳：一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此；解分式方程时必须检验.检验方法可以如下：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；如果使最简公分母为0，则整式方程的解不是原分式方程的解，它是原分式方程增根，原分式方程无解.例1、解方程（1） （2）（1）解：方程两边同乘以x(x-3)，得2x=3(x-3).解得x=9. 检验：x=9时,x(x-3)=54≠0，∴x=9是原分式方程的解.（2）解：方程两边同乘以（x-1）(x+2)，得 x（x+2）-（x-1）(x+2)=3 化简，得x+2=3. 解得x=1. 检验：把x=1代入(x-1)(x+2)=0，x=1不是原分式方程的解，原分式方程无解.通过上述学习你能总结出解分式方程的一半思路吗？解分式方程的思路是：―→思考：方程无解的值，称为增根。为什么会产生 “ 增根 ” 的原因在哪里呢？ 解析：分式方程的求根过程不一定是同解变形，所以分式方程一定要验根！ 思考：“ 方程有增根 ” 和 “ 方程无解 ” 一样吗？ 解析：增根：是可以求出来的，但代入后方程的分母为 0 无意义，原方程无解 . 无解：包括增根和这个方程没有可解的根． 试一试：求下列分式方程的增根解：（1）增根是x=6．（2）增根是x=2或x=0． 例2、已知关于x的方程有增根，求该方程的增根和k的值. 解：去分母，得3x+3–（x–1）=x2+kx， 整理，得x2+（k–2）x–4=0. 因为有增根，所以增根为x=0或x=1. 当x=0时，代入方程得–4=0，所以x=0不是方程的增根； 当x=1时，代入方程，得k=5，所以k=5时,方程有增根x=1.
自主尝试 1.下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程?（1） （2） （3） （4）（5） （6）（7） （8）答案：分式方程：（2）（3）（4）（7）（8）、整式方程：（1）（5）（6）
当堂检测 2.解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（ ）AA. 2(x–8)+5x=16(x–7) B. 2(x–8)+5x=8 C. 2(x–8)–5x=16(x–7) D. 2(x–8)–5x=8 3.如图,点A,B在数轴上,它们所对应的数分别是-3和且点A,B到原点的距离相等,求x的值.解：依题意可知,=-3 解得:x= 经检验,x=是原方程的解. 则x的值为4.关于x的方程无解,求k的值. 解:方程的两边同时乘(x+3)(x-3)得 x+3+kx-3k=k+3 整理得:(k+1)x=4k 因为方程无解,则x=3或x=-3 当x=3时,(k+1) ·3=4k,解得：k=3, 当x=-3时,(k+1)(-3)=4k,解得：k=- 所以当k=3或k=-时,原分式方程无解.
小结反思 1.解分式方程的一般步骤是什么？ 2.解分式方程时为什么要检验，说说你的看法.
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