章末复习课
[网络构建]
[核心归纳]
1.等式的性质
(1)如果a＝b，则对任意c，都有a＋c＝b＋c；
(2)如果a＝b，则对任意不为零的c，都有ac＝bc；
(3)如果a＝b，则对任意c，都有a－c＝b－c；
(4)如果a＝b，则对任意不为零的c，都有＝.
2.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解集及其根与系数的关系
(1)根的判别式Δ＝b2－4ac，
①Δ>0时，方程的解集为
；
②Δ＝0时，方程的解集为；
③Δ<0时，方程的解集为?.
(2)根与系数的关系
设x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，则有
3.不等式的性质及其推论
性质1 如果a＞b，那么a＋c＞b＋c.
性质2 如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc.
性质3 如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc.
性质4 如果a＞b，b＞c，那么a＞c.
推论1 如果a＋b＞c，那么a＞c－b.
推论2 如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d.
推论3 如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.
推论4 如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n＞1).
推论5 如果a＞b＞0，那么＞.
4.一元二次不等式的解法
因式分解法与配方法
含参数的一元二次不等式注意讨论参数
5.利用均值不等式求最大(小)值问题
利用均值不等式求最大(小)值问题要注意“一正，二定，三相等”.常常需要对代数式进行通分、分解等变形，构造和为定值或积为定值的模型.
要点一 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
一元二次方程的解集及其根与系数的关系，虽在高考中不直接考查，但它是解决某些数学问题的基础，常在解题过程中用到，主要涉及到一元二次方程的解法及其根与系数的关系的应用.
【例1】 已知x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根.
(1)是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
(2)求使＋－2的值为整数的实数k的整数值.
解 (1)假设存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立.
∵一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0有两个实数根，
∴解得k＜0.
又x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根，∴
∴(2x1－x2)(x1－2x2)＝2(x＋x)－5x1x2＝2(x1＋x2)2－9x1x2＝－＝－.∴k＝.
又k<0，∴不存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立.
(2)∵＋－2＝－2＝－4＝－4＝－，
∴要使其值是整数，只需k＋1能被4整除，即k＋1＝±1，±2，±4.又k＜0，
∴使＋－2的值为整数的实数k的整数值为－2，－3，－5.
【训练1】 已知关于x的一元二次方程kx2－(k－1)x－1＝0，
(1)求证：方程有两个实数根；
(2)当k为何值时，此方程的两个实数根互为相反数；
(3)我们定义：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个正实数根x1，x2(x1>x2)，满足2＜＜3，则称这个一元二次方程有两个“梦想根”.如果关于x的一元二次方程kx2－(k－1)x－1＝0有两个“梦想根”，求k的取值范围.
(1)证明 ∵关于x的一元二次方程kx2－(k－1)x－1＝0，a＝k，b＝－(k－1)，c＝－1，Δ＝b2－4ac＝[－(k－1)]2－4k×(－1)＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2≥0，
∴关于x的一元二次方程kx2－(k－1)x－1＝0有两个实数根.
(2)解 由根与系数的关系知x1＋x2＝，
由题意知x1＋x2＝0，∴k＝1.
(3)解 当k>0时，x1＝1，x2＝－<0，不符合题意；
当－1≤k＜0时，x1＝－，x2＝1，2＜＜3，
得解得－
当k<－1时，x1＝1，x2＝－，
由2＜＜3，得2＜－k＜3，
解得－3＜k＜－2.
综上所述，关于x的一元二次方程kx2－(k－1)x－1＝0有两个“梦想根”时，k的取值范围为∪(－3，－2).
要点二 不等关系与不等式的解法
不等关系与不等式的解法是高考重点考查的内容之一，在试题中多以选择题或填空题的形式考查，有时也渗透到解答题中，主要考查不等式的性质及运用.
【例2】 (1)如果a，b，c满足cA.ab>ac B.c(b－a)>0
C.cb2(2)不等式x2＋6x＋10<0的解集是( )
A.? B.R
C.(5，＋∞) D.(－∞，2)
解析 (1)因为c0.
A成立，因为cac.
B成立，因为b0.
C不一定成立，当b＝0时，cb2D成立，因为c0，所以ac(a－c)<0.
(2)∵x2＋6x＋10＝(x＋3)2＋1>0，∴原不等式的解集为?.
答案 (1)C (2)A
(3)已知2解 因为－2又因为2所以－6因为－2所以1因为2所以<<2.
所以ab的取值范围为(－6，－2)，的取值范围为.
【训练2】 (1)已知不等式ax2＋5x＋b>0的解集为，则a＝________，b＝________.
(2)已知a>0，b>0，且a≠b，比较＋与a＋b的大小.
(1)解析 由已知可得a<0且，为方程ax2＋5x＋b＝0的两根，由根与系数的关系得，∴
答案 －6 －1
(2)解 －(a＋b)＝－b＋－a
＝＋＝(a2－b2)
＝(a2－b2)
＝，
因为a>0，b>0，且a≠b，
所以(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0，
所以－(a＋b)>0，
即＋>a＋b.
要点三 均值不等式的应用
均值不等式：≤(a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在均值不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，均值不等式的和与积的转化在高考中也经常出现.
【例3】 (1)设a>0，b>0，2a＋b＝1，则＋的最小值为________.
(2)已知a，b都是正数，且a2＋＝1，则y＝a的最大值为________.
解析 (1)∵a>0，b>0，且2a＋b＝1，
∴＋＝(2a＋b)
＝4＋＋≥4＋2＝8，
当且仅当即时等号成立.
∴＋的最小值为8.
(2)∵a2＋＝1，∴2a2＋b2＝2.
又∵a是正数，b也是正数，
∴y＝a＝
＝·≤·＝，
当且仅当即时，y＝a有最大值.
答案 (1)8 (2)
【训练3】 y＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
解析 y＝4x＋≥2＝4(x>0，a>0)，
当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，
此时y取得最小值4.
又由已知x＝3时，y取得最小值，
∴＝3，即a＝36.
答案 36
要点四 恒成立问题
对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种
(1)变更主元法：
根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元.
(2)分离参数法：
若m＜y恒成立，则m若m>y恒成立，则m>y的最大值.
(3)数形结合法：
利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图像直观化.
【例4】 已知y＝mx2－mx－6＋m，若对于?m∈[1，3]，y<0恒成立，求实数x的取值范围.
解 法一 y<0?mx2－mx－6＋m<0?(x2－x＋1)m－6<0.
∵m∈[1，3]，
∴x2－x＋1<?x2－x＋1<?x2－x－1<0?∴x的取值范围为.
法二 y＝mx2－mx－6＋m＝(x2－x＋1)m－6.
由题意知y<0对?m∈[1，3]恒成立.
∵x2－x＋1>0，∴y是关于m的一次函数，且在[1，3]上y随m的增大而增大，
∴y<0对?m∈[1，3]恒成立等价于y的最大值<0，
即当m＝3时，3(x2－x＋1)－6<0.
又3(x2－x＋1)－6<0?x2－x－1<0?∴x的取值范围为.
【训练4】 求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0，|a|≤1恒成立的x的取值范围.
解 将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.
设关于a的函数为y＝(x－3)a＋x2－6x＋9.
因为y>0在|a|≤1时恒成立，所以
(1)若x＝3，则y＝0，不符合题意，应舍去.
(2)若x≠3，则由一次函数的图像，
可得当a＝－1时，y>0且当a＝1时，y>0，
即解得x<2或x>4.
所以x的取值范围是{x|x<2或x>4}.
课件25张PPT。章末复习课[网络构建][核心归纳]
1.等式的性质2.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解集及其根与系数的关系3.不等式的性质及其推论性质1 如果a＞b，那么a＋c＞b＋c.
性质2 如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc.
性质3 如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc.
性质4 如果a＞b，b＞c，那么a＞c.
推论1 如果a＋b＞c，那么a＞c－b.
推论2 如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d.
推论3 如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.
推论4 如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n＞1).4.一元二次不等式的解法
因式分解法与配方法
含参数的一元二次不等式注意讨论参数
5.利用均值不等式求最大(小)值问题
利用均值不等式求最大(小)值问题要注意“一正，二定，三相等”.常常需要对代数式进行通分、分解等变形，构造和为定值或积为定值的模型.要点一 一元二次方程的解集及其根与系数的关系一元二次方程的解集及其根与系数的关系，虽在高考中不直接考查，但它是解决某些数学问题的基础，常在解题过程中用到，主要涉及到一元二次方程的解法及其根与系数的关系的应用.【例1】 已知x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根.【训练1】 已知关于x的一元二次方程kx2－(k－1)x－1＝0，(1)求证：方程有两个实数根；
(2)当k为何值时，此方程的两个实数根互为相反数；(1)证明 ∵关于x的一元二次方程kx2－(k－1)x－1＝0，a＝k，b＝－(k－1)，c＝－1，Δ＝b2－4ac＝[－(k－1)]2－4k×(－1)＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2≥0，
∴关于x的一元二次方程kx2－(k－1)x－1＝0有两个实数根.要点二 不等关系与不等式的解法不等关系与不等式的解法是高考重点考查的内容之一，在试题中多以选择题或填空题的形式考查，有时也渗透到解答题中，主要考查不等式的性质及运用.【例2】 (1)如果a，b，c满足c A.ab>ac B.c(b－a)>0
C.cb2 (2)不等式x2＋6x＋10<0的解集是( )
A.? B.R
C.(5，＋∞) D.(－∞，2)解析 (1)因为c0.
A成立，因为cac.
B成立，因为b0.
C不一定成立，当b＝0时，cb2D成立，因为c0，所以ac(a－c)<0.
(2)∵x2＋6x＋10＝(x＋3)2＋1>0，∴原不等式的解集为?.答案 (1)C (2)A解 因为－2又因为2所以－6因为－2(1)变更主元法：
根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元.
(2)分离参数法：
若m＜y恒成立，则m若m>y恒成立，则m>y的最大值.
(3)数形结合法：
利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图像直观化.【例4】 已知y＝mx2－mx－6＋m，若对于?m∈[1，3]，y<0恒成立，求实数x的取值范围.解 法一 y<0?mx2－mx－6＋m<0?(x2－x＋1)m－6<0.
∵m∈[1，3]，法二 y＝mx2－mx－6＋m＝(x2－x＋1)m－6.
由题意知y<0对?m∈[1，3]恒成立.
∵x2－x＋1>0，∴y是关于m的一次函数，且在[1，3]上y随m的增大而增大，
∴y<0对?m∈[1，3]恒成立等价于y的最大值<0，
即当m＝3时，3(x2－x＋1)－6<0.【训练4】 求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0，|a|≤1恒成立的x的取值范围.解 将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.
设关于a的函数为y＝(x－3)a＋x2－6x＋9.
因为y>0在|a|≤1时恒成立，所以
(1)若x＝3，则y＝0，不符合题意，应舍去.
(2)若x≠3，则由一次函数的图像，
可得当a＝－1时，y>0且当a＝1时，y>0，