章末复习课
[网络构建]
[核心归纳]
1.集合的含义与表示
(1)把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体就成为一个集合，简称集.组成集合的每个对象都是这个集合的元素.集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.
(2)集合常用的表示方法有：列举法、描述法、维恩图，它们各有优点，要根据具体需要选择恰当的方法.
2.元素与集合、集合与集合之间的关系
元素与集合之间的关系是属于、不属于的关系，根据集合中元素的确定性，对于任意一个元素a，要么是给定集合A中的元素(a∈A)，要么不是(a?A)，不能模棱两可.对于两个集合A，B，可分成两类A?B，A?B，其中A?B又可分为A?B与A＝B两种情况.在解题时要注意空集的特殊性及特殊作用，空集是一个特殊集合，它不含任何元素，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.在解决集合之间的关系时，要注意不要丢掉空集这一情形.
3.集合与集合之间的运算
交、并、补是集合间的基本运算，维恩图与数轴是集合运算的重要工具.注意集合之间的运算与集合之间关系的转化，如A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.
4.充要条件
在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顾此失彼.证明题一般是要求就充要条件进行论证，证明时要分两个方面，防止将充分条件和必要条件的证明弄混.
5.全称量词命题、存在量词命题
(1)要注意全称量词命题、存在量词命题的自然语言之间的转换.
(2)常用“都是”表示全称肯定，它的存在否定为“不都是”，两者互为否定；用“都不是”表示全称否定，它的存在肯定可用“至少有一个是”来表示.
要点一 集合的基本概念
与集合中的元素有关的问题的求解策略
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其它集合.
(2)看这些元素满足什么限制条件.
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性.
【例1】 (1)设集合A＝{1，2，4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数是( )
A.4 B.5
C.6 D.7
(2)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A.1 B.3
C.5 D.9
解析 (1)∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，所以x＝2，3，4，5，6，8，∴B中有6个元素，故选C.
(2)当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2，1，2，共5个.
答案 (1)C (2)C
【训练1】 (1)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，则满足A∪B＝{0，1，2}的集合B的个数是( )
A.1 B.3
C.4 D.6
(2)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为________.
解析 (1)易知A＝{1，2}，又A∪B＝{0，1，2}，所以集合B可以是：{0}，{0，1}，{0，2}，{0，1，2}.
(2)当m＋2＝5时，m＝3，M＝{1，5，13}，符合题意；
当m2＋4＝5时，m＝1或m＝－1.若m＝1，则M＝{1，3，5}，符合题意；若m＝－1，则m＋2＝1，不满足元素的互异性，故m＝3或1.
答案 (1)C (2)3或1
要点二 集合的基本关系
集合与集合之间的关系是包含和相等的关系，判断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素.
【例2】 (1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)设A＝{1，4，2x}，若B＝{1，x2}，若B?A，则x＝________.
(3)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1解析 (1)用列举法表示集合A，B，根据集合关系求出集合C的个数.由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1，2}.由题意知B＝{1，2，3，4}，∴满足条件的C可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个.
(2)由B?A，则x2＝4或x2＝2x.当x2＝4时，x＝±2，但x＝2时，2x＝4，这与集合元素的互异性相矛盾；当x2＝2x时，x＝0或x＝2(舍)，
综上所述，x＝－2或x＝0.
(3)当B＝?时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.
当B≠?时，若B?A，如图.
则解得2综上，m的取值范围为(－∞，4].
答案 (1)D (2)0或－2 (3)(－∞，4]
【训练2】 已知集合A＝{2，3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B?A，则实数m等于( )
A.3 B.2
C.2或3 D.0或2或3
解析 当m＝0时，方程mx－6＝0无解，B＝?，满足B?A；当m≠0时，B＝，因为B?A，所以＝2或＝3，解得m＝3或m＝2.综上m＝0或2或3.
答案 D
要点三 集合的基本运算
集合的基本运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用维恩图法，运算时特别注意对?的讨论，不要遗漏.
【例3】 已知集合A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3(1)求A∪B，(?RA)∩B；
(2)若A∩C≠?，求a的取值范围.
解 (1)因为A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3所以A∪B＝{x|2≤x<10}，
?RA＝{x|x<2或x≥7}，
则(?RA)∩B＝{x|7≤x<10}.
(2)因为A＝{x|2≤x<7}，C＝{x|x所以a>2，所以a的取值范围是(2，＋∞).
【训练3】 设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1解析 ∵B∪C＝{x|－3∴A?(B∪C)，
∴A∩(B∪C)＝A.
由题意{x|a≤x≤b}＝{x|－1≤x≤2}，
∴a＝－1，b＝2.
答案 －1 2
要点四 全称量词命题与存在量词命题
已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查.解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路.解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制.
【例4】 若对?x∈{x|－2解 设集合A＝{x|－2解得a≥3.
故实数a的取值范围为{a|a≥3}.
【训练4】 已知关于x的一元二次方程x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＝0的解集非空，求实数a的取值范围.
解 关于x的一元二次方程x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＝0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，
解得a≥，∴实数a的取值范围为.
要点五 充分条件与必要条件
充要条件是数学的重要概念之一，在数学中有着非常广泛的应用，在高考中有着较高的考查频率，其特点是以高中数学的其它知识为载体考查充分条件、必要条件、充要条件的判断.
【例5】 设p：实数x满足a0，q：实数x满足2解 綈p是綈q的充分不必要条件，
即綈p?綈q且綈q?綈p.
设A＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|x≤2或x>3}，
则A?B.
所以03，即1所以实数a的取值范围是{a|1【训练5】 (1)若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为________.
(2)若－a解析 (1)p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.
q：ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解；当a≠0时，x＝－.
由题意知p? q，q?p，故a＝0舍去；当a≠0时，应有－＝2或－＝－3，解得a＝－或a＝.
综上可知，a＝－或a＝.
(2)根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系，应有{x|－22.
答案 (1)－或 (2)(2，＋∞)
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1.集合的含义与表示(1)把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体就成为一个集合，简称集.组成集合的每个对象都是这个集合的元素.集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.
(2)集合常用的表示方法有：列举法、描述法、维恩图，它们各有优点，要根据具体需要选择恰当的方法.2.元素与集合、集合与集合之间的关系元素与集合之间的关系是属于、不属于的关系，根据集合中元素的确定性，对于任意一个元素a，要么是给定集合A中的元素(a∈A)，要么不是(a?A)，不能模棱两可.对于两个集合A，B，可分成两类A?B，A?B，其中A?B又可分为A?B与A＝B两种情况.在解题时要注意空集的特殊性及特殊作用，空集是一个特殊集合，它不含任何元素，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.在解决集合之间的关系时，要注意不要丢掉空集这一情形.3.集合与集合之间的运算
交、并、补是集合间的基本运算，维恩图与数轴是集合运算的重要工具.注意集合之间的运算与集合之间关系的转化，如A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.
4.充要条件
在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顾此失彼.证明题一般是要求就充要条件进行论证，证明时要分两个方面，防止将充分条件和必要条件的证明弄混.5.全称量词命题、存在量词命题
(1)要注意全称量词命题、存在量词命题的自然语言之间的转换.
(2)常用“都是”表示全称肯定，它的存在否定为“不都是”，两者互为否定；用“都不是”表示全称否定，它的存在肯定可用“至少有一个是”来表示.要点一 集合的基本概念与集合中的元素有关的问题的求解策略
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其它集合.
(2)看这些元素满足什么限制条件.
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性.【例1】 (1)设集合A＝{1，2，4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
(2)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A.1 B.3 C.5 D.9
解析 (1)∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，所以x＝2，3，4，5，6，8，∴B中有6个元素，故选C.
(2)当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2，1，2，共5个.
答案 (1)C (2)C【训练1】 (1)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，则满足A∪B＝{0，1，2}的集合B的个数是( )
A.1 B.3 C.4 D.6
(2)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为________.
解析 (1)易知A＝{1，2}，又A∪B＝{0，1，2}，所以集合B可以是：{0}，{0，1}，{0，2}，{0，1，2}.
(2)当m＋2＝5时，m＝3，M＝{1，5，13}，符合题意；
当m2＋4＝5时，m＝1或m＝－1.若m＝1，则M＝{1，3，5}，符合题意；若m＝－1，则m＋2＝1，不满足元素的互异性，故m＝3或1.
答案 (1)C (2)3或1要点二 集合的基本关系集合与集合之间的关系是包含和相等的关系，判断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素.【例2】 (1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0 A.1 B.2 C.3 D.4
(2)设A＝{1，4，2x}，若B＝{1，x2}，若B?A，则x＝________.
(3)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1(2)由B?A，则x2＝4或x2＝2x.当x2＝4时，x＝±2，但x＝2时，2x＝4，这与集合元素的互异性相矛盾；当x2＝2x时，x＝0或x＝2(舍)，综上所述，x＝－2或x＝0.
(3)当B＝?时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.当B≠?时，若B?A，如图.答案 (1)D (2)0或－2 (3)(－∞，4]【训练2】 已知集合A＝{2，3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B?A，则实数m等于( )A.3 B.2 C.2或3 D.0或2或3答案 D要点三 集合的基本运算集合的基本运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用维恩图法，运算时特别注意对?的讨论，不要遗漏.【例3】 已知集合A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3(2)若A∩C≠?，求a的取值范围.
解 (1)因为A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3所以A∪B＝{x|2≤x<10}，
?RA＝{x|x<2或x≥7}，
则(?RA)∩B＝{x|7≤x<10}.
(2)因为A＝{x|2≤x<7}，C＝{x|x所以a>2，所以a的取值范围是(2，＋∞).【训练3】 设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1∴A?(B∪C)，
∴A∩(B∪C)＝A.
由题意{x|a≤x≤b}＝{x|－1≤x≤2}，
∴a＝－1，b＝2.
答案 －1 2要点四 全称量词命题与存在量词命题已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查.解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路.解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制.【例4】 若对?x∈{x|－20，q：实数x满足2设A＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|x≤2或x>3}，
则A?B.所以03，即1所以实数a的取值范围是{a|1{x|－a2.