1.1.2 集合的基本关系
课标要求
素养要求
理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表示集合间的基本关系，并能进行转换，重点提升数学抽象素养和直观想象素养.
教材知识探究
草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马儿跑.如果草原上的枣红马组成集合A，草原上的所有马组成集合B.
问题 (1)那么集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的？
(2)集合A与集合B又存在什么关系？
提示 (1)集合A中的元素都是B的元素.
(2)A是B的子集.
1.子集
(1)子集的概念 A?B与A??B、A＝B有什么关系
一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A?B(或B?A).
读作“A包含于B”(或“B包含A”)
对应地，如果A不是B的子集，则记作A?B(或B?A)，读作“A不包含于B”(或“B不包含A”).
规定：空集是任意一个集合A的子集，即??A.
(2)子集的性质
①A?A；
②对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，则A?C.
2.真子集
(1)真子集的概念
一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作A?B(或B?A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”).
(2)真子集的性质?
①若A不是空集，则??A；
②对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，则A?C.
3.集合的相等与子集的关系 证明集合相等常用(1)
一般地，由集合相等以及子集的定义可知：
(1)如果A?B且B?A，则A?B；(2)如果A＝B，则A?B且B?A.
4.维恩图 维恩图是集合的图形语言，也是集合的一种表示法
(1)定义：如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图.(维恩图不能表示空集)
(2)用维恩图表示非空集合的基本关系
①A?B表示为：
②A?B表示为：
③A＝B表示为：
教材拓展补遗
[微判断]
1.1?{1，2，3}.(×)
提示 “?”表示集合与集合之间的关系，但不能表示元素和集合之间的关系.
2.任何集合都有子集和真子集.(×)
提示 空集只有子集，没有真子集.
3.?和{?}表示的意义相同.(×)
提示 ?是不含任何元素的集合，而集合{?}中含有一个元素?.
4.若A?B，则A??B或A＝B.(√)
5.若A?B，A≠B，则A?B.(√
[微训练]
1.已知集合A＝{－2，3，6m－6}，若{6}?A，则m＝________.
解析 ∵{6}?A，∴6m－6＝6，∴m＝2.
答案 2
2.若A＝{1，a，0}，B＝{－1，b，1}，且A＝B，则a＝________，b＝________.
解析 由两个集合相等可知b＝0，a＝－1.
答案 －1 0
3.若{1，2}?B?{1，2，4}，则B＝________.
解析 由条件知B中一定含有元素1和2，故B可能是{1，2}或{1，2，4}.
答案 {1，2}或{1，2，4}
[微思考]
1.A?B能否理解为子集A是B中的“部分元素”所组合的集合？
提示 A?B不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A＝?，则A中不包含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素，而此时可以说集合A是集合B的子集.
2.符号“∈”与“?”的区别是什么？
提示 符号“∈”用于表示元素与集合之间的关系，而符号“?”用于表示集合与集合之间的关系.
3.集合A中有n(n∈N*)个元素，则A的子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数分别是多少？
提示 由n个元素组成的集合A有2n个子集；
有(2n－1)个真子集；
有(2n－1)个非空子集；
有(2n－2)个非空真子集.
题型一 集合关系的判断或证明
【例1】 指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)A＝(－1，4)，B＝{x|x－5<0}；
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}.
解 (1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.
(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B.
(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A?B.
(4)由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故N?M.
规律方法 1.判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察.
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.
(3)数形结合法：利用数轴或维恩图.
2.证明A＝B，只需证明A?B且B?A.
3.证明集合间的包含关系，一般用定义.
【训练1】 (1)集合A＝{x|(x－3)(x＋2)＝0}，B＝，则A与B的关系是( )
A.A?B B.A＝B
C.A??B D.B??A
(2)已知集合A＝{x|x<－2或x>0}，B＝(0，1)，则( )
A.A＝B B.A?B
C.B??A D.A?B
解析 (1)∵A＝{－2，3}，B＝{3}，∴B?A.
(2)在数轴上分别表示出集合A，B，如图所示，由数轴知B?A.
答案 (1)D (2)C
(3)已知A＝{x|x＝3m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝3m＋2，m∈Z}，证明A＝B.
证明 设任意x∈A，则存在m∈Z，使x＝3m－1，
又x＝3m－1＝3(m－1)＋2，且m－1∈Z，
∴x∈B，∴A?B.类似地可以证明B?A，∴A＝B.
(4)已知A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z} ，证明B??A.
证明 设任意x∈B，则存在n∈Z，使x＝4n，
又x＝4n＝2×(2n)，2n∈Z，∴x∈A，∴B?A.
对于A中元素2，2?B，∴A≠B，故B??A.
题型二 子集、真子集个数问题
【例2】 (1)集合{a，b，c}的所有子集为________________，其中它的真子集有________个.
解析 集合{a，b，c}的子集有：?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，其中除{a，b，c}外，都是{a，b，c}的真子集，共7个.
答案 ?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 7
(2)写出满足{3，4}?P?{0，1，2，3，4}的所有集合P.
解 由题意知，集合P中一定含有元素3，4，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合P为：{0，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3，4}，{1，2，3，4}，{0，1，2，3，4}.
规律方法 1.假设集合A中含有n个元素，则有：
(1)A的子集有2n个；
(2)A的非空子集有(2n－1)个；
(3)A的真子集有(2n－1)个；
(4)A的非空真子集有(2n－2)个.
2.求给定集合的子集的两个注意点：
(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；
(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.
【训练2】 已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集.
解 ∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，
∴A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.
∴A的子集有：?，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.
题型三 由集合间的包含关系求参数
【例3】 (1)已知集合A＝[－3，4]，B＝{x|2m－1
(2)已知集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|mx－3＝0}，且B?A，求实数m的取值集合.
解 (1)∵B?A，
①当B＝?时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
②当B≠?时，有解得－1≤m<2，
综上得m的取值范围为[－1，＋∞).
(2)由x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3.∴集合A＝{1，3}.
①当B＝?时，此时m＝0，满足B?A.
②当B≠?时，则m≠0，B＝{x|mx－3＝0}＝.
∵B?A，∴＝1或＝3，解之得m＝3或m＝1.
综上可知，所求实数m的取值集合为{0，1，3}.
规律方法 由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法
(1)注意点：①不能忽视集合为?的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论.
(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.
【训练3】 已知集合A＝[1，2]，集合B＝{x|1≤x≤a，a≥1}.
(1)若A＝B，求a的值；
(2)若A??B，求a的取值范围；
(3)若B?A，求a的取值范围.
解 (1)若A＝B，则[1，2]＝[1，a]，∴a＝2.
(2)若A??B，由图可知a的取值范围为(2，＋∞).
(3)若B?A，由图可知a的取值范围为[1，2].
一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象和直观想象素养.
2.对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A?B的常用方法.
(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素.
(3)在真子集的定义中，A，B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A.
二、素养训练
1.集合A＝{－1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有( )
A.2个 B.4个
C.6个 D.8个
解析 根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}，{0，1}，{0，－1}，{－1，0，1}, 4个；故选B.
答案 B
2.已知集合M＝{x|－A.P＝{－3，0，1}
B.Q＝{－1，0，1，2}
C.R＝{y|－πD.S＝{x||x|≤，x∈Z}
解析 集合M＝{－2，－1，0，1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{－1，0，1}，不难发现集合P中的元素－3?M，集合Q中的元素2?M，集合R中的元素－3?M，而集合S＝{－1，0，1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S?M.故选D.
答案 D
3.①0∈{0}；②???{0}；③{0，1}＝{(0，1)}；④{(a，b)}＝{(b，a)}.上面关系中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 ①正确，0是集合{0}的元素；②正确，?是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0，1}含有两个元素0，1；{(0，1)}含有一个元素点(0，1)，所以这两个集合不相等；④错误，集合{(a，b)}含有一个元素点(a，b)，集合{(b，a)}含有一个元素点(b，a)，这两个元素不同，所以集合不相等.∴正确的个数是2.故选B.
答案 B
4.设集合A＝(1，2)，B＝{x|xA.{a|a≤2} B.{a|a≤1}
C.{a|a≥1} D.{a|a≥2}
解析 画出数轴可得a≥2.
答案 D
5.已知集合A＝{x|x－7≥2}，B＝{x|x≥5}，试判断集合A，B的关系.
解 A＝{x|x－7≥2}＝{x|x≥9}，又B＝{x|x≥5}，∴A?B.
基础达标
一、选择题
1.已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则有( )
A.1?A B.0?A
C.??A D.{0}?A
解析 由已知，A＝{1，－1}，所以选项A，B，D都错误；因为?是任何非空集合的真子集，所以C正确.故选C.
答案 C
2.已知集合N＝{1，3，5}，则集合N的真子集个数为( )
A.5 B.6
C.7 D.8
解析 集合N的真子集有：?，{1}，{3}，{5}，{1，3}，{1，5}，{3，5}，共7个.
答案 C
3.集合A＝{2，－1}，B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m＝( )
A.2 B.－1
C.2或－1 D.4
解析 ∵A＝B，∴m2－m＝2，即m2－m－2＝0，∴m＝2或－1.
答案 C
4.已知集合A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是正方形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是平行四边形}，则( )
A.D?C B.B?C
C.A?B D.D?A
解析 选项A错，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，应当是C?D；选项B对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形；选项C错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形，应当是B?A；选项D错，菱形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是菱形，应当是A?D.
答案 B
5.若集合A＝{1，3，x}，B＝{x2，1}，且B?A，则满足条件的实数x的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 由B?A，知x2＝3或x2＝x，
解得x＝±或x＝0或x＝1.当x＝1时，集合A，B都不满足元素的互异性，故x＝1(舍去).
答案 C
二、填空题
6.设A＝(2，4)，B＝{x|a－1解析 因为B?A且B≠?，所以或
即a的取值范围是{a|3≤a≤4}.
答案 {a|3≤a≤4}
7.设集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，则满足B?A的实数m的值所组成的集合为________.
解析 A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}.当B＝?时，此时m＝0，满足B?A；当B≠?时，则m≠0，B＝{x|mx＋1＝0}＝.
∵B?A，∴－＝－3或－＝2，解得m＝或m＝－.综上，满足条件的实数m∈.
答案
8.已知集合A＝{x|＝a}，且满足??A，则a的取值范围是________.
解析 由题意知集合A为非空集合，则方程＝a应有解，故只须a≥0.
答案 [0，＋∞)
三、解答题
9.判断下列集合间的关系：
(1)A＝{x|x－3>2}，B＝{x|2x－5≥0}；
(2)A＝{x∈Z|－1≤x<3}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}.
解 (1)因为A＝{x|x－3>2}＝{x|x>5}，B＝{x|2x－5≥0}＝，所以可利用数轴判断A，B的关系.如图所示，A?B.
(2)因为A＝{x∈Z|－1≤x<3}＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}，所以B＝{0，1，2}，所以B?A.
10.已知集合A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B?A，求实数a的取值范围.
解 当B＝?时，只需2a＞a＋3, 即a＞3.
当B≠?时，根据题意用数轴表示集合A，B如图所示，
可得或
解得a＜－4或2＜a≤3.
综上，实数a的取值范围为{a|a＜－4或a＞2}.
能力提升
11.已知M＝{a－3，2a－1，a2＋1}，N＝{－2，4a－3，3a－1}，若M＝N，求实数a的值.
解 因为M＝N，则(a－3)＋(2a－1)＋(a2＋1)＝－2＋(4a－3)＋(3a－1)，即a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.
当a＝1时，M＝{－2，1，2}，N＝{－2，1，2}，满足M＝N；
当a＝3时，M＝{0，5，10}，N＝{－2，9，8}，不满足M＝N，舍去.故实数a的值为1.
12.若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，x∈R}至多有一个真子集，求a的取值范围.
解 ①当A无真子集时，A＝?，即方程ax2＋2x＋1＝0无实根，所以所以a>1.
②当A只有一个真子集时，A为单元素集，这时有两种情况：
当a＝0时，方程化为2x＋1＝0，解得x＝－，符合题意；
当a≠0时，由Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.
综上，当集合A至多有一个真子集时，a的取值范围是{a|a≥1或a＝0}.
课件32张PPT。1.1.2 集合的基本关系教材知识探究草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马儿跑.如果草原上的枣红马组成集合A，草原上的所有马组成集合B.问题 (1)那么集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的？
(2)集合A与集合B又存在什么关系？
提示 (1)集合A中的元素都是B的元素.
(2)A是B的子集.1.子集(1)子集的概念A?B与A?B、A＝B有什么关系一般地，如果集合A的__________元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A____B(或B ____ A).
读作“A包含于B”(或“B包含A”)
对应地，如果A不是B的子集，则记作A?B(或B?A)，读作“A不包含于B”(或“B不包含A”).
规定：空集是任意一个集合A的子集，即? ____ A.
(2)子集的性质
①A?A；
②对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，则A ____ C.任意一个????2.真子集(1)真子集的概念
一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中____________元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作A____B(或B____A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”).
(2)真子集的性质
①若A不是空集，则??A；
②对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，则A____C.至少有一个???3.一般地，由集合相等以及子集的定义可知：
(1)如果A?B且B?A，则A____B；(2)如果A＝B，则A?B且B?A.集合的相等与子集的关系证明集合相等常用(1)＝4.(1)定义：如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图.(维恩图不能表示空集)
(2)用维恩图表示非空集合的基本关系维恩图维恩图是集合的图形语言，也是集合的一种表示法①A?B表示为： ___________
②A?B表示为：_______
③A＝B表示为： _________教材拓展补遗
[微判断]1.1?{1，2，3}.( )
提示 “?”表示集合与集合之间的关系，但不能表示元素和集合之间的关系.
2.任何集合都有子集和真子集.( )
提示 空集只有子集，没有真子集.
3.?和{?}表示的意义相同.( )
提示 ?是不含任何元素的集合，而集合{?}中含有一个元素?.
4.若A?B，则A?B或A＝B.( )
5.若A?B，A≠B，则A?B.( )×××√√[微训练]
1.已知集合A＝{－2，3，6m－6}，若{6}?A，则m＝________.
解析 ∵{6}?A，∴6m－6＝6，∴m＝2.
答案 22.若A＝{1，a，0}，B＝{－1，b，1}，且A＝B，则a＝________，b＝________.
解析 由两个集合相等可知b＝0，a＝－1.
答案 －1 03.若{1，2}?B?{1，2，4}，则B＝________.解析 由条件知B中一定含有元素1和2，故B可能是{1，2}或{1，2，4}.
答案 {1，2}或{1，2，4}[微思考]
1.A?B能否理解为子集A是B中的“部分元素”所组合的集合？提示 A?B不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A＝?，则A中不包含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素，而此时可以说集合A是集合B的子集.2.符号“∈”与“?”的区别是什么？提示 符号“∈”用于表示元素与集合之间的关系，而符号“?”用于表示集合与集合之间的关系.3.集合A中有n(n∈N*)个元素，则A的子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数分别是多少？提示 由n个元素组成的集合A有2n个子集；
有(2n－1)个真子集；
有(2n－1)个非空子集；
有(2n－2)个非空真子集.题型一 集合关系的判断或证明
【例1】 指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)A＝(－1，4)，B＝{x|x－5<0}；
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}.解 (1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.
(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B.
(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A?B.(4)由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故N?M.规律方法 1.判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察.
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.
(3)数形结合法：利用数轴或维恩图.
2.证明A＝B，只需证明A?B且B?A.
3.证明集合间的包含关系，一般用定义.A.A?B B.A＝B C.A?B D.B?A
(2)已知集合A＝{x|x<－2或x>0}，B＝(0，1)，则( )
A.A＝B B.A?B C.B?A D.A?B
解析 (1)∵A＝{－2，3}，B＝{3}，∴B?A.
(2)在数轴上分别表示出集合A，B，如图所示，由数轴知B?A.答案 (1)D (2)C(3)已知A＝{x|x＝3m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝3m＋2，m∈Z}，证明A＝B.
证明 设任意x∈A，则存在m∈Z，使x＝3m－1，
又x＝3m－1＝3(m－1)＋2，且m－1∈Z，
∴x∈B，∴A?B.类似地可以证明B?A，∴A＝B.
(4)已知A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z} ，证明B?A.
证明 设任意x∈B，则存在n∈Z，使x＝4n，
又x＝4n＝2×(2n)，2n∈Z，∴x∈A，∴B?A.
对于A中元素2，2?B，∴A≠B，故B?A.题型二 子集、真子集【例2】 (1)集合{a，b，c}的所有子集为________________，其中它的真子集有________个.
解析 集合{a，b，c}的子集有：?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，其中除{a，b，c}外，都是{a，b，c}的真子集，共7个.
答案 ?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 7
(2)写出满足{3，4}?P?{0，1，2，3，4}的所有集合P.
解 由题意知，集合P中一定含有元素3，4，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合P为：{0，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3，4}，{1，2，3，4}，{0，1，2，3，4}.个数问题规律方法 1.假设集合A中含有n个元素，则有：
(1)A的子集有2n个；
(2)A的非空子集有(2n－1)个；
(3)A的真子集有(2n－1)个；
(4)A的非空真子集有(2n－2)个.
2.求给定集合的子集的两个注意点：
(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；
(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.【训练2】 已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集.
解 ∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，
∴A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.
∴A的子集有：?，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.题型三【例3】 (1)已知集合A＝[－3，4]，B＝{x|2m－1 (2)已知集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|mx－3＝0}，且B?A，求实数m的取值集合.由集合间的包含关系求参数解 (1)∵B?A，
①当B＝?时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.综上得m的取值范围为[－1，＋∞).(2)由x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3.∴集合A＝{1，3}.
①当B＝?时，此时m＝0，满足B?A.综上可知，所求实数m的取值集合为{0，1，3}.规律方法 由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法
(1)注意点：①不能忽视集合为?的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论.
(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.【训练3】 已知集合A＝[1，2]，集合B＝{x|1≤x≤a，a≥1}.
(1)若A＝B，求a的值；
(2)若A?B，求a的取值范围；
(3)若B?A，求a的取值范围.解 (1)若A＝B，则[1，2]＝[1，a]，∴a＝2.
(2)若A?B，由图可知a的取值范围为(2，＋∞).(3)若B?A，由图可知a的取值范围为[1，2].一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象和直观想象素养.
2.对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A?B的常用方法.
(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素.
(3)在真子集的定义中，A，B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A.二、素养训练
1.集合A＝{－1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有( )
A.2个 B.4个
C.6个 D.8个
解析 根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}，{0，1}，{0，－1}，{－1，0，1}, 4个；故选B.
答案 B解析 集合M＝{－2，－1，0，1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{－1，0，1}，不难发现集合P中的元素－3?M，集合Q中的元素2?M，集合R中的元素－3?M，而集合S＝{－1，0，1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S?M.故选D.答案 D3.①0∈{0}；②??{0}；③{0，1}＝{(0，1)}；④{(a，b)}＝{(b，a)}.上面关系中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 ①正确，0是集合{0}的元素；②正确，?是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0，1}含有两个元素0，1；{(0，1)}含有一个元素点(0，1)，所以这两个集合不相等；④错误，集合{(a，b)}含有一个元素点(a，b)，集合{(b，a)}含有一个元素点(b，a)，这两个元素不同，所以集合不相等.∴正确的个数是2.故选B.
答案 B4.设集合A＝(1，2)，B＝{x|x A.{a|a≤2} B.{a|a≤1}
C.{a|a≥1} D.{a|a≥2}
解析 画出数轴可得a≥2.答案 D5.已知集合A＝{x|x－7≥2}，B＝{x|x≥5}，试判断集合A，B的关系.
解 A＝{x|x－7≥2}＝{x|x≥9}，又B＝{x|x≥5}，∴A?B.