1.1.3 集合的基本运算
第一课时 集合的交集、并集
课标要求
素养要求
理解两个集合之间的并集和交集的含义，能求两个集合的交集与并集.
能用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表达集合的交集和并集运算，发展学生的数学抽象和数学运算素养.
教材知识探究
某班有学生20人，他们的学号分别是1，2，3，…，20，有a，b两本新书，已知学号是偶数的读过新书a，学号是3的倍数的读过新书b.
问题 (1)同时读了a，b两本书的有哪些同学？
(2)问至少读过一本书的有哪些同学？
提示 (1)同时读了a，b两本书的有学号为6，12，18的同学.
(2)至少读过一本书的有学号为2，3，4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20的同学.
1.交集
(1)交集的概念 学习概念时要注意“三种语言”之间的转化
①自然语言：一般地，给定两个集合A，B，由既属于A又属于B的所有元素(即A和B的公共元素)组成的集合，称为A与B的交集.
②符号语言：A与B的交集记作A∩B(读作“A交B”)，则A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.
③图形语言：如图所示.
④我们经常使用的“且”可以借助集合的交集来理解.
(2)交集运算的性质
对于任意两个集合A，B，都有：
①A∩B＝B∩A；
②A∩A＝A；
③A∩?＝?∩A＝?；
④(A∩B)?A，(A∩B)?B；
⑤如果A?B，则A∩B＝A，反之也成立.
2.并集 重复的元素只记一次
(1)并集的概念
①自然语言：一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集.
②符号语言：A与B的并集记作A∪B(读作“A并B”)，则A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.
③图形语言：如图所示.
④我们经常使用的“或”可以借助集合的并集来理解.
(2)并集运算的性质
①A∪B＝B∪A；
②A∪A＝A；
③A∪?＝?∪A＝A；
④A?(A∪B)，B?(A∪B)；
⑤如果A?B，则A∪B＝B，反之也成立.
教材拓展补遗
[微判断]
1.若A＝{1，2}，B＝{3，4}，则A与B没有交集.(×)
提示 交集为?.
2.若A＝{1，2}，B＝{1，3，4}，则A∪B＝{1，2，1，3，4}.(×)
提示 A∪B＝{1，2，3，4}.
3.若x∈(A∩B)，则x∈(A∪B).(√)
4.若x∈(A∪B)，则x∈(A∩B).(×)
提示 不一定成立，x不一定是A，B的公共元素.
[微训练]
1.已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B等于________.
解析 A∪B＝{x|x>0}∪{x|－1≤x≤2}＝{x|x≥－1}.
答案 {x|x≥－1}
2.若P＝[1，＋∞)，Q＝(－1，4)，则P∩Q＝________.
解析 如图所示，P∩Q＝[1，4).
答案 [1，4)
[微思考]
1.并集定义中“x∈A或x∈B”包含三种情况，你知道有哪三种情况吗？
提示 “x∈A或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合.可用图表示.
2.某次校运动会上，高一(一)班有10人报名参加田赛，有12人报名参加径赛.已知两项都报的有3人，你能算出高一(一)班参赛人数吗？
提示 19人. 参赛人数包括参加田赛的，也包括参加径赛的，但由于元素互异性的要求，两项都报的不能重复计算，故有10＋12－3＝19(人).
题型一 交集的概念及简单应用 当给出的集合是无限集时通常利用数轴求解
【例1】 (1)若A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A.{2} B.{3}
C.{－3，2} D.{－2，3}
(2)设集合A＝[－1，2]，B＝[0，4]，则A∩B＝( )
A.[0，2] B.[1，2]
C.[0，4] D.[1，4]
解析 (1)易知A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，B＝{－3，2}，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}，故选A.
(2)在数轴上表示出集合A与B，如图所示.
则由交集的定义知，A∩B＝[0，2].
答案 (1)A (2)A
规律方法 求集合A∩B的常见类型
(1)若A，B的元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集.
(2)若A，B的元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，交集是点集.
(3)若A，B是无限数集，可以利用数轴来求解，但要注意利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示.
【训练1】 (1)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为( )
A.5 B.4
C.3 D.2
(2)已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，则M∩N＝( )
A.x＝3，y＝－1 B.(3，－1)
C.{3，－1} D.{(3，－1)}
解析 (1)分别令3n＋2＝6，8，10，12，14，只有3n＋2＝8，3n＋2＝14有自然数解，故A∩B＝{8，14}，故选D.
(2)由得故M∩N＝{(3，－1)}.
答案 (1)D (2)D
题型二 并集的概念及简单应用
【例2】 (1)设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝( )
A.{1，2，3，4} B.{1，2，3}
C.{2，3，4} D.{1，3，4}
(2)已知集合P＝(－∞，3)，Q＝[－1，4]，那么P∪Q＝( )
A.[－1，3) B.[－1，4]
C.(－∞，4] D.[－1，＋∞)
解析 (1)由定义知A∪B＝{1，2，3，4}.
(2)在数轴上表示两个集合，如图，可得P∪Q＝(－∞，4].
答案 (1)A (2)C
规律方法 求集合并集的两种方法
(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；
(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解，此时要注意集合的端点能否取到.
【训练2】 已知集合M＝{0，1，3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，则M∪N＝( )
A.{0} B.{0，3}
C.{1，3，9} D.{0，1，3，9}
解析 易知N＝{0，3，9}，故M∪N＝{0，1，3，9}.
答案 D
题型三 交集、并集的运算性质及应用
【探究1】 设A，B是两个集合，若已知A∩B＝A，A∪B＝B，由此可分别得到集合A与B具有怎样的关系？
解 A∩B＝A?A∪B＝B?A?B，即A∩B＝A，A∪B＝B，A?B三者为等价关系.
【探究2】 设集合A＝{1，2}，若A∩B＝B，求B.
解 由A∩B＝B，知B?A，故B＝?或{1}或{2}或{1，2}.
【探究3】 设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a－1)x＋(a2－5)＝0}.
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围.
解 (1)由题可知：A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，
∵A∩B＝{2}，∴2∈B，将x＝2代入方程x2＋2(a－1)x＋(a2－5)＝0得：4＋4(a－1)＋(a2－5)＝0，解得：a＝－5或a＝1.
当a＝－5时，集合B＝{2，10}，符合题意；
当a＝1时，集合B＝{2，－2}，符合题意.
综上所述：a＝－5或a＝1.
(2)若A∪B＝A，则B?A，
∵A＝{1，2}，∴B＝?或B＝{1}或{2}或{1，2}.
若B＝?，则Δ＝4(a－1)2－4(a2－5)＝24－8a<0，
解得a>3；若B＝{1}，则
即不成立；
若B＝{2}，则
即不成立；
若B＝{1，2}，则
即此时不成立.
综上，a的取值范围是{a|a>3}.
规律方法 利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点
(1)依据：A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.
(2)关注点：当集合A?B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝?的情况，否则易漏解.
【训练3】 已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，
B＝{x|x＜－1或x＞5}，若A∩B＝?，
求实数a的取值范围.
解 由A∩B＝?，
(1)若A＝?，有2a＞a＋3，∴a＞3.
(2)若A≠?，如下图：
∴解得－≤a≤2.
综上所述，a的取值范围是.
一、素养落地
1.通过对交集、并集概念的理解，培养数学抽象素养，通过进行集合间的交集、并集的运算提升数学运算素养.
2.对交集、并集概念的理解
(1)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝?.
(2)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的.“x∈A或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合.
3.集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性.
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否.
二、素养训练
1.设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{1，2，3，4}，则(A∪B)∩C＝( )
A.{2} B.{1，2，4}
C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，6}
解析 由题意可得：A∪B＝{1，2，4，6}，∴(A∪B)∩C＝{1，2，4}.故选B.
答案 B
2.已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，则P∪Q＝( )
A.{x|－1＜x＜2} B.{x|0＜x＜1}
C.{x|－1＜x＜0} D.{x|1＜x＜2}
解析 结合数轴可得P∪Q＝{x|－1＜x＜2}.故选A.
答案 A
3.已知集合M＝{－1，0}，则满足M∪N＝{－1，0，1}的集合N的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.8
解析 由M∪N＝{－1，0，1}，得到集合M?M∪N，且集合N?M∪N，又M＝{－1，0}，所以元素1∈N，则集合N可以为{1}或{0，1}或{－1，1}或{－1，0，1}，共4个.故选C.
答案 C
4.设集合A＝{(x，y)|y＝ax＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋b}，且A∩B＝{(2，5)}，则( )
A.a＝3，b＝2 B.a＝2，b＝3
C.a＝－3，b＝－2 D.a＝－2，b＝－3
解析 ∵A∩B＝{(2，5)}，∴(2，5)∈A且(2，5)∈B，
∴
解得a＝2，b＝3，故选B.
答案 B
5.已知集合A＝[3，7)，B＝(2，10)，C＝(－∞，3)∪[7，＋∞)，求：(1)A∪B；(2)C∩B.
解 (1)由集合A＝[3，7)，B＝(2，10)，把两集合表示在数轴上如图所示：
得到A∪B＝(2，10)；
(2)由集合B＝(2，10)，C＝(－∞，3)∪[7，＋∞)，把两集合表示在数轴上如图所示：
则C∩B＝(2，3)∪[7，10).
基础达标
一、选择题
1.设集合A＝{－1，0，－2}，B＝{x|x2－x－6＝0}，则A∪B等于( )
A.{－2} B.{－2，3}
C.{－1，0，－2} D.{－1，0，－2，3}
解析 因为A＝{－1，0，－2}，B＝{x|x2－x－6＝0}＝{－2，3}，所以A∪B＝
{－1，0，－2，3}.故选D.
答案 D
2.已知集合A＝{x∈R|x≤5}，B＝{x∈R|x>1}，那么A∩B等于( )
A.{1，2，3，4，5} B.{2，3，4，5}
C.{2，3，4} D.{x∈R|1
解析 ∵A＝{x∈R|x≤5}，B＝{x∈R|x>1}，∴A∩B＝{x∈R|1答案 D
3.若集合A＝{x|－23}，则A∩B＝( )
A.{x|－2C.{x|－1解析 ∵A＝{x|－23}，
∴A∩B＝{x|－2答案 A
4.设集合A＝{1，4，x}，B＝{1，x2}且A∪B＝{1，4，x}，则满足条件的实数x的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 ∵A＝{1，4，x}，B＝{1，x2}，∴x≠1，x≠4且x2≠1，得x≠±1且x≠4.∵A∪B＝{1，4，x}，∴x2＝x或x2＝4，解之得x＝0或x＝±2(x＝1舍去)，满足条件的实数x有0，2，－2，共3个，故选C.
答案 C
5.设A，B是非空集合，定义A*B＝{x|x∈A∪B且x?A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|y≥1}，则A*B等于( )
A.{x|1≤x<3}
B.{x|1≤x≤3}
C.{x|0≤x<1或x>3}
D.{x|0≤x≤1或x≥3}
解析 由题意知A∪B＝{x|x≥0}，
A∩B＝{x|1≤x≤3}，
∴A*B＝{x|0≤x<1或x>3}.
答案 C
二、填空题
6.已知集合A＝{3，2a}，B＝{a，b}.若A∩B＝{2}，则A∪B＝________.
解析 因为A∩B＝{2}，所以2a＝2，所以a＝1，b＝2，从而A＝{3，2}，B＝{1，2}，故A∪B＝{1，2，3}.
答案 {1，2，3}
7.若集合A＝[－1，2)，B＝(－∞，a]，若A∩B≠?，则实数a的取值范围是________.
解析 A＝[－1，2)，B＝(－∞，a]，由A∩B≠?，得a≥－1.
答案 [－1，＋∞)
8.集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a＝________.
解析 ∵A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，又A∪B＝{0，1，2，4，16}，∴{a，a2}＝{4，16}，∴a＝4.
答案 4
三、解答题
9.设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}.
(1)求a，b的值及A，B；
(2)求(A∪B)∩C.
解 (1)∵A∩B＝{2}，∴2∈A且2∈B，
∴4＋2a＋12＝0，4＋6＋2b＝0，
即a＝－8，b＝－5，
∴A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2，6}，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}.
(2)由(1)知A∪B＝{－5，2，6}，
又C＝{2，－3}，∴(A∪B)∩C＝{2}.
10.已知集合A＝{x|x2－px＋15＝0}和B＝{x|x2－ax－b＝0}，若A∪B＝{2，3，5}，A∩B＝{3}，分别求实数p，a，b的值.
解 ∵A∩B＝{3}，∴3∈A.∴32－3p＋15＝0，
从而可得p＝8，∴A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{3，5}.
又由于3∈B，且A∪B＝{2，3，5}，∴B＝{2，3}.
∴方程x2－ax－b＝0的两个根为2和3.
由根与系数的关系可得a＝5，b＝－6.
综上可得，p＝8，a＝5，b＝－6.
能力提升
11.若P＝{1，2，3，m}，Q＝{m2，3}，且满足P∩Q＝Q，求m的值.
解 由P∩Q＝Q，可知Q?P，
∴m2＝1或m2＝2或m2＝m.
解得m＝±1或m＝±或m＝0.
经检验m＝1时不满足集合中元素的互异性，舍去.
∴m＝－1或m＝±或m＝0.
12.设集合A＝{x|－1(1)若C＝?，求实数a的取值范围；
(2)若C≠?且C?(A∩B)，求实数a的取值范围.
解 (1)∵C＝{x|1－2a∴a≤，
即实数a的取值范围是.
(2)∵C＝{x|1－2a∴1－2a<2a，即a>.
∵A＝{x|－1∴A∩B＝.
∵C?(A∩B)且C≠?，
∴解得即实数a的取值范围是.
第二课时 集合的补集
课标要求
素养要求
1.在具体情境中，了解全集的含义.
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.
能够在现实情境或数学情境中概括出全集、补集等数学对象的一般特征，并学会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表达和转换，提升数学抽象和数学运算素养.
教材知识探究
某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军，赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}，其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军}.
问题 那么没有获得应用文写作比赛与技能大赛金奖的学生构成的集合是什么？
提示 没有获得应用文写作比赛与技能大赛金奖的学生构成的集合为Q＝{赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}.
补集的概念 注意补集是相对于全集而言的，没有全集补集就不存在
(1)全集
①定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集.
②记法：全集通常用U表示.
(2)补集
文字语言
如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作?UA，读作“A在U中的补集”
符号语言
?UA＝{x|x∈U，且x?A}
图形语言
(3)补集运算的性质
给定全集U及其任意一个子集A，有
①A∪(?UA)＝U；
②A∩(?UA)＝?；
③?U(?UA)＝A.
教材拓展补遗
[微判断]
1.根据研究问题的不同，可以指定不同的全集.(√)
2.存在x0∈U，x0?A，且x0??UA.(×)
提示 要么x0∈A，要么x0∈?UA，且有且只有一个成立.
3.设全集U＝R，A＝，则?UA＝.(×)
提示 A＝{x|04.设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x>0且y>0}，则?UA＝{(x，y)|x≤0且y≤0}.(×)
提示 全集U是由平面直角坐标系内的所有点构成的集合，而集合A表示第一象限内的点构成的集合，显然所求的?UA是错误的.
[微训练]
1.若全集U＝R，集合A＝[1，＋∞)，则?UA＝________.
解析 由补集的定义，结合数轴可得?UA＝(－∞，1).
答案 (－∞，1)
2.设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则?U(A∪B)＝________.
解析 ∵A∪B＝{1，2，3，4}，∴?U(A∪B)＝{5}.
答案 {5}
[微思考]
全集是固定不变的吗？
提示 全集不是固定不变的，是相对于研究的问题而言的，如在整数范围内研究问题，Z是全集，而在实数范围内研究问题，R是全集.只讨论大于0且小于5的实数，则选{x|0题型一 补集的基本运算
【例1】 (1)设集合U＝R，M＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，则?UM＝( )
A.[－2，2] B.(－2，2)
C.(－∞，－2)∪(2，＋∞) D.(－∞，－2]∪[2，＋∞)
(2)已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，?UA＝{3}，则实数a＝________.
解析 (1)如图，在数轴上表示出集合M，可知?UM＝[－2，2].
(2)由题意可知解得a＝2.
答案 (1)A (2)2
规律方法 求补集的方法
(1)列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合.
(2)由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合.
【训练1】 (1)已知全集U＝[－3，＋∞)，集合A＝(－3，4]，则?UA＝________.
(2)设U＝{0，1，2，3}，A＝{x|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1，2}，则实数m＝________.
解析 (1)借助数轴得?UA＝{－3}∪(4，＋∞).
(2)∵?UA＝{1，2}，∴A＝{0，3}，
∴0，3是方程x2＋mx＝0的两个根，
∴m＝－3.
答案 (1){－3}∪(4，＋∞) (2)－3
题型二 集合交、并、补的综合运算
【例2】 已知全集U＝(－∞，4]，集合A＝(－2，3)，B＝[－3，2]，求A∩B，(?UA)∪B，A∩(?UB).
解 利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，如图.
则?UA＝(－∞，－2]∪[3，4]，
?UB＝(－∞，－3)∪(2，4]；
所以A∩B＝(－2，2]；
(?UA)∪B＝(－∞，2]∪[3，4]；
A∩(?UB)＝(2，3).
规律方法 1.求解与不等式有关的集合问题的方法
可借助数轴，利用数轴分析法求解，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到.
2.求解集合混合运算问题的一般顺序
一般先运算括号内的部分，再运算其他部分.
【训练2】 已知集合S＝(1，7]，A＝[2，5)，B＝[3，7).
求：(1)(?SA)∩(?SB)； 通过运算可以得到如下性质吗？
(2)?S(A∪B)； (1)(?SA)∩(?SB)＝?S(A∪B)
(3)(?SA)∪(?SB)； (2)(?SA)∪(?SB)＝?S(A∩B)
(4)?S(A∩B).
解 (1)如图所示，可得
A∩B＝[3，5)，A∪B＝[2，7)，
?SA＝(1，2)∪[5，7]，?SB＝(1，3)∪{7}.
由此可得：(1)(?SA)∩(?SB)＝(1，2)∪{7}.
(2)?S(A∪B)＝(1，2)∪{7}.
(3)(?SA)∪(?SB)＝(1，3)∪[5，7].
(4)?S(A∩B)＝(1，3)∪[5，7].
题型三 根据补集的运算求参数的值或范围
【探究1】 如果a∈?UB，那么元素a与集合B有什么关系？“a∈(A∩(?UB))”意味着什么？
解 如果a∈?UB，那么a?B；“a∈(A∩(?UB))”意味着a∈A且a?B.
【探究2】 设全集U＝R，是否存在元素a，使得a∈A且a∈?UA？若集合A＝{x|－2解 不存在a，使得a∈A且a∈?UA；若A＝{x|－23}.
【探究3】 (1)已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足B∩(?UA)＝{2}，A∩(?UB)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值；
(2)已知集合A＝{x|2a－2解 (1)∵B∩(?UA)＝{2}，
∴2∈B，但2?A.
∵A∩(?UB)＝{4}，
∴4∈A，但4?B.
∴解得
∴a，b的值分别为，－.
(2)?RB＝{x|x≤1或x≥2}≠?.
∵A??RB，
∴分A＝?和A≠?两种情况讨论.
①若A＝?，此时有2a－2≥a，∴a≥2.
②若A≠?，则有或∴a≤1.
综上所述，a的取值范围为{a|a≤1或a≥2}.
规律方法 由集合的补集求解参数的方法
(1)若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解.
(2)若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解.
【训练3】 设全集U＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|，2}，?UA＝{5}，求实数a的值.
解 ∵?UA＝{5}，∴5∈U，且5?A.
∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.
当a＝2时，|2a－1|＝3≠5，此时A＝{3，2}，U＝{2，3，5}，符合题意.
当a＝－4时，|2a－1|＝9，此时A＝{9，2}，U＝{2，3，5}，
此时A不是U的子集，故a＝－4舍去.
综上知a＝2.
一、素养落地
1.通过全集与补集概念的学习提升数学抽象素养；通过补集的运算提升数学运算素养.
2.补集定义的理解
(1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集.比如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R当作全集.
(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想.
(3)从符号角度来看，若x∈U，A?U，则x∈A和x∈?UA二者必居其一.
3.若集合中元素有无限个时，与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形.
二、素养训练
1.设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，则?UA＝( )
A.{1，2} B.{3，4，5}
C.{1，2，3，4，5} D.?
解析 ∵U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，∴?UA＝{3，4，5}.
答案 B
2.设全集U＝R，集合A＝(1，4)，集合B＝[2，5)，则A∩(?UB)＝( )
A.[1，2) B.(－∞，2)
C.[5，＋∞) D.(1，2)
解析 ?UB＝(－∞，2)∪[5，＋∞)，A∩(?UB)＝(1，2).
答案 D
3.已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1，0，1}，则(?RA)∩B＝( )
A.{－2，－1} B.{－2}
C.{－1，0，1} D.{0，1}
解析 因为集合A＝{x|x>－1}，所以?RA＝{x|x≤－1}，则(?RA)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1，0，1}＝{－2，－1}.
答案 A
4.已知全集U＝[1，5]，A＝[1，a)，若?UA＝[2，5]，则a＝________.
解析 ∵A＝[1，a)，?UA＝[2，5]，A∪(?UA)＝U＝[1，5]，且A∩(?UA)＝?，因此a＝2.
答案 2
5.已知全集U＝[－5，3]，A＝[－5，－1)，B＝[－1，1)，求?UA，?UB，(?UA)∩(?UB).
解 将集合U，A，B分别表示在数轴上，如图所示，
则?UA＝[－1，3]；?UB＝[－5，－1)∪[1，3]；
法一 (?UA)∩(?UB)＝[1，3].
法二 ∵A∪B＝[－5，1)，
∴(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝[1，3].
基础达标
一、选择题
1.若全集U＝{0，1，2，3}且?UA＝{2}，则集合A的真子集共有( )
A.3个 B.5个
C.7个 D.8个
解析 A＝{0，1，3}，真子集有23－1＝7(个).
答案 C
2.已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩(?UB)＝( )
A.{2，5} B.{3，6}
C.{2，5，6} D.{2，3，5，6，8}
解析 因为?UB＝{2，5，8}，所以A∩(?UB)＝{2，5}，故选A.
答案 A
3.设集合A＝(1，4)，B＝[－1，3]，则A∩(?RB)等于( )
A.(1，4) B.(3，4)
C.(1，3) D.(1，2)∪(3，4)
解析 ∵B＝[－1，3]，∴?RB＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，∴A∩(?RB)＝(3，4).
答案 B
4.已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩(?IM)＝?，则M∪N等于( )
A.M B.N
C.I D.?
解析 如图，
因为N∩(?IM)＝?，所以N?M，所以M∪N＝M.
答案 A
5.设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|kA.k<0或k>3 B.2C.0解析 ∵A＝{x|x≤1或x≥3}，∴?UA＝{x|1答案 C
二、填空题
6.设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，2，3，5}，B＝{2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为________.
解析 全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，2，3，5}，B＝{2，4，6}，由维恩图可知阴影部分表示的集合为(?UA)∩B，∵?UA＝{4，6，7，8}，∴(?UA)∩B＝{4，6}.
答案 {4，6}
7.已知集合A＝[－4，－2]，集合B＝[a，＋∞)，若全集U＝R，且A??UB，则a的取值范围为________.
解析 ?UB＝(－∞，a)，如图所示.
因为A??UB，所以a>－2.
答案 (－2，＋∞)
8.已知全集U＝{2，3，a2－a－1}，A＝{2，3}，若?UA＝{1}，则实数a的值是________.
解析 ∵U＝{2，3，a2－a－1}，A＝{2，3}，?UA＝{1}，
∴1∈U，∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.
答案 －1或2
三、解答题
9.设全集为R，A＝[3，7)，B＝(2，10)，求：
(1)A∩B；(2)?RA；(3)?R(A∪B).
解 (1)∵A＝[3，7)，B＝(2，10)，∴A∩B＝[3，7).
(2)∵全集为R，A＝[3，7)，
∴?RA＝(－∞，3)∪[7，＋∞).
(3)∵A∪B＝(2，10)，
∴?R(A∪B)＝(－∞，2]∪[10，＋∞).
10.已知集合A＝{1，3，－x}，B＝{1，x＋2}，是否存在实数x，使得B∪(?AB)＝A？若存在，求出集合A和B；若不存在，说明理由.
解 假设存在x，使B∪(?AB)＝A，∴B?A.
(1)若x＋2＝3，则x＝1，符合题意.
(2)若x＋2＝－x，则x＝－1，不符合题意.
∴存在x＝1，使B∪(?AB)＝A，
此时A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}.
能力提升
11.设全集U＝R，集合A＝{x|x≤－2或x≥5}，B＝{x|x≤2}.求：
(1)?U(A∪B)；
(2)记?U(A∪B)＝D，C＝{x|2a－3≤x≤－a}，且C∩D＝C，求a的取值范围.
解 (1)由题意知，A＝{x|x≤－2或x≥5}，B＝{x|x≤2}，
则A∪B＝{x|x≤2或x≥5}，
又全集U＝R，则?U(A∪B)＝{x|2(2)由(1)得D＝{x|2由C∩D＝C得C?D.
①当C＝?时，有－a<2a－3，解得a>1；
②当C≠?时，有解得a∈?；
综上，a的取值范围为{a|a>1}.
12.已知集合A＝[0，2]，B＝[a，a＋3].
(1)若(?RA)∪B＝R，求a的取值范围；
(2)是否存在实数a使(?RA)∪B＝R且A∩B＝?？
解 (1)因为A＝[0，2]，
所以?RA＝(－∞，0)∪(2，＋∞).
因为(?RA)∪B＝R，所以
解得－1≤a≤0.
所以a的取值范围为[－1，0].
(2)因为A∩B＝?，所以a>2或a＋3<0，
解得a>2或a<－3.
由(1)知，若(?RA)∪B＝R，则－1≤a≤0，
故不存在实数a使(?RA)∪B＝R且A∩B＝?.
课件31张PPT。1.1.3 集合的基本运算
第一课时 集合的交集、并集教材知识探究某班有学生20人，他们的学号分别是1，2，3，…，20，有a，b两本新书，已知学号是偶数的读过新书a，学号是3的倍数的读过新书b.
问题 (1)同时读了a，b两本书的有哪些同学？
(2)问至少读过一本书的有哪些同学？
提示 (1)同时读了a，b两本书的有学号为6，12，18的同学.
(2)至少读过一本书的有学号为2，3，4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20的同学.1.交集(1)交集的概念学习概念时要注意“三种语言”之间的转化①自然语言：一般地，给定两个集合A，B，由_______A又_______的所有元素(即A和B的公共元素)组成的集合，称为A与B的交集.
②符号语言：A与B的交集记作A∩B(读作“A交B”)，则A∩B＝ ________________.③图形语言：如图所示.
④我们经常使用的“且”可以借助集合的交集来理解.既属于属于B{x|x∈A，且x∈B}(2)交集运算的性质
对于任意两个集合A，B，都有：
①A∩B＝______；
②A∩A＝____；
③A∩?＝?∩A＝____；
④(A∩B) ____A，(A∩B) ____B；
⑤如果A?B，则A∩B＝____，反之也成立.B∩AA???A2.(1)并集的概念
①自然语言：一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的______元素组成的集合，称为A与B的并集.
②符号语言：A与B的并集记作A∪B(读作“A并B”)，则A∪B＝ .并集重复的元素只记一次③图形语言：如图所示.
④我们经常使用的“或”可以借助集合的并集来理解.所有{x|x∈A，或x∈B}(2)并集运算的性质
①A∪B＝______；
②A∪A＝____；
③A∪?＝?∪A＝____；
④A____ (A∪B)，B____ (A∪B)；
⑤如果A?B，则A∪B＝____，反之也成立.B∪AAA??B教材拓展补遗[微判断]
1.若A＝{1，2}，B＝{3，4}，则A与B没有交集.( )
提示 交集为?.
2.若A＝{1，2}，B＝{1，3，4}，则A∪B＝{1，2，1，3，4}.( )
提示 A∪B＝{1，2，3，4}.
3.若x∈(A∩B)，则x∈(A∪B).( )
4.若x∈(A∪B)，则x∈(A∩B).( )
提示 不一定成立，x不一定是A，B的公共元素.×××√[微训练]
1.已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B等于________.解析 A∪B＝{x|x>0}∪{x|－1≤x≤2}＝{x|x≥－1}.
答案 {x|x≥－1}2.若P＝[1，＋∞)，Q＝(－1，4)，则P∩Q＝________.
解析 如图所示，P∩Q＝[1，4).答案 [1，4)[微思考]
1.并集定义中“x∈A或x∈B”包含三种情况，你知道有哪三种情况吗？
提示 “x∈A或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合.可用图表示.2.某次校运动会上，高一(一)班有10人报名参加田赛，有12人报名参加径赛.已知两项都报的有3人，你能算出高一(一)班参赛人数吗？
提示 19人. 参赛人数包括参加田赛的，也包括参加径赛的，但由于元素互异性的要求，两项都报的不能重复计算，故有10＋12－3＝19(人).题型一 交集的概念及简单应用当给出的集合是无限集时通常利用数轴求解【例1】 (1)若A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A.{2} B.{3}
C.{－3，2} D.{－2，3}
(2)设集合A＝[－1，2]，B＝[0，4]，则A∩B＝( )
A.[0，2] B.[1，2]
C.[0，4] D.[1，4]解析 (1)易知A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，B＝{－3，2}，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}，故选A.(2)在数轴上表示出集合A与B，如图所示.
则由交集的定义知，A∩B＝[0，2].答案 (1)A (2)A规律方法 求集合A∩B的常见类型
(1)若A，B的元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集.
(2)若A，B的元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，交集是点集.
(3)若A，B是无限数集，可以利用数轴来求解，但要注意利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示.【训练1】 (1)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为( )
A.5 B.4 C.3 D.2(2)已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，则M∩N＝( )A.x＝3，y＝－1 B.(3，－1) C.{3，－1} D.{(3，－1)}
解析 (1)分别令3n＋2＝6，8，10，12，14，只有3n＋2＝8，3n＋2＝14有自然数解，故A∩B＝{8，14}，故选D.答案 (1)D (2)D题型二 并集的概念及简单应用
【例2】 (1)设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝( )
A.{1，2，3，4} B.{1，2，3}
C.{2，3，4} D.{1，3，4}
(2)已知集合P＝(－∞，3)，Q＝[－1，4]，那么P∪Q＝( )
A.[－1，3) B.[－1，4]
C.(－∞，4] D.[－1，＋∞)解析 (1)由定义知A∪B＝{1，2，3，4}.
(2)在数轴上表示两个集合，如图，可得P∪Q＝(－∞，4].答案 (1)A (2)C规律方法 求集合并集的两种方法
(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；
(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解，此时要注意集合的端点能否取到.【训练2】 已知集合M＝{0，1，3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，则M∪N＝( )
A.{0} B.{0，3}
C.{1，3，9} D.{0，1，3，9}
解析 易知N＝{0，3，9}，故M∪N＝{0，1，3，9}.
答案 D题型三 交集、并集的运算性质及应用
【探究1】 设A，B是两个集合，若已知A∩B＝A，A∪B＝B，由此可分别得到集合A 与B具有怎样的关系？
解 A∩B＝A?A∪B＝B?A?B，即A∩B＝A，A∪B＝B，A?B三者为等价关系.
【探究2】 设集合A＝{1，2}，若A∩B＝B，求B.
解 由A∩B＝B，知B?A，故B＝?或{1}或{2}或{1，2}.【探究3】 设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a－1)x＋(a2－5)＝0}.
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围.解 (1)由题可知：A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，
∵A∩B＝{2}，∴2∈B，将x＝2代入方程x2＋2(a－1)x＋(a2－5)＝0得：
4＋4(a－1)＋(a2－5)＝0，解得：a＝－5或a＝1.
当a＝－5时，集合B＝{2，10}，符合题意；
当a＝1时，集合B＝{2，－2}，符合题意.
综上所述：a＝－5或a＝1.(2)若A∪B＝A，则B?A，
∵A＝{1，2}，∴B＝?或B＝{1}或{2}或{1，2}.
若B＝?，则Δ＝4(a－1)2－4(a2－5)＝24－8a<0，综上，a的取值范围是{a|a>3}.规律方法 利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点
(1)依据：A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.
(2)关注点：当集合A?B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝?的情况，否则易漏解.【训练3】 已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5}，求实数a的取值范围.若A∩B＝? ，解 由A∩B＝?，
(1)若A＝?，有2a＞a＋3，∴a＞3.
(2)若A≠?，如下图：一、素养落地
1.通过对交集、并集概念的理解，培养数学抽象素养，通过进行集合间的交集、并集的运算提升数学运算素养.
2.对交集、并集概念的理解
(1)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝?.
(2)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的.“x∈A或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合.3.集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性.
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否.二、素养训练
1.设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{1，2，3，4}，则(A∪B)∩C＝( )
A.{2} B.{1，2，4}
C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，6}
解析 由题意可得：A∪B＝{1，2，4，6}，∴(A∪B)∩C＝{1，2，4}.故选B.
答案 B2.已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，则P∪Q＝( )
A.{x|－1＜x＜2} B.{x|0＜x＜1}
C.{x|－1＜x＜0} D.{x|1＜x＜2}
解析 结合数轴可得P∪Q＝{x|－1＜x＜2}.故选A.
答案 A3.已知集合M＝{－1，0}，则满足M∪N＝{－1，0，1}的集合N的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.8
解析 由M∪N＝{－1，0，1}，得到集合M?M∪N，且集合N?M∪N，又M＝{－1，0}，所以元素1∈N，则集合N可以为{1}或{0，1}或{－1，1}或{－1，0，1}，共4个.故选C.
答案 C4.设集合A＝{(x，y)|y＝ax＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋b}，且A∩B＝{(2，5)}，则( )
A.a＝3，b＝2 B.a＝2，b＝3
C.a＝－3，b＝－2 D.a＝－2，b＝－3
解析 ∵A∩B＝{(2，5)}，∴(2，5)∈A且(2，5)∈B，解得a＝2，b＝3，故选B.答案 B5.已知集合A＝[3，7)，B＝(2，10)，C＝(－∞，3)∪[7，＋∞)，求：(1)A∪B；(2)C∩B.
解 (1)由集合A＝[3，7)，B＝(2，10)，把两集合表示在数轴上如图所示：得到A∪B＝(2，10)；
(2)由集合B＝(2，10)，C＝(－∞，3)∪[7，＋∞)，把两集合表示在数轴上如图所示：则C∩B＝(2，3)∪[7，10).课件25张PPT。第二课时 集合的补集教材知识探究某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军，赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}，其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军}.
问题 那么没有获得应用文写作比赛与技能大赛金奖的学生构成的集合是什么？
提示 没有获得应用文写作比赛与技能大赛金奖的学生构成的集合为Q＝{赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}.补集的概念注意补集是相对于全集而言的，没有全集补集就不存在(1)全集
①定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集.
②记法：全集通常用U表示.(2)补集(3)补集运算的性质
给定全集U及其任意一个子集A，有
①A∪(?UA)＝___；
②A∩(?UA)＝ ___ ；
③?U(?UA)＝ ___.不属于A? UA{x|x∈U，且x?A}U?A教材拓展补遗
[微判断]
1.根据研究问题的不同，可以指定不同的全集.( )
2.存在x0∈U，x0?A，且x0??UA.( )
提示 要么x0∈A，要么x0∈?UA，且有且只有一个成立.提示 A＝{x|00且y>0}，则?UA＝{(x，y)|x≤0且y≤0}.( )
提示 全集U是由平面直角坐标系内的所有点构成的集合，而集合A表示第一象限内的点构成的集合，显然所求的?UA是错误的.×[微训练]
1.若全集U＝R，集合A＝[1，＋∞)，则?UA＝________.
解析 由补集的定义，结合数轴可得?UA＝(－∞，1).
答案 (－∞，1)
2.设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则?U(A∪B)＝________.
解析 ∵A∪B＝{1，2，3，4}，∴?U(A∪B)＝{5}.
答案 {5}[微思考]全集是固定不变的吗？
提示 全集不是固定不变的，是相对于研究的问题而言的，如在整数范围内研究问题，Z是全集，而在实数范围内研究问题，R是全集.只讨论大于0且小于5的实数，则选{x|0 A.[－2，2] B.(－2，2)
C.(－∞，－2)∪(2，＋∞) D.(－∞，－2]∪[2，＋∞)
(2)已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，?UA＝{3}，则实数a＝________.补集的基本运算解析 (1)如图，在数轴上表示出集合M，可知?UM＝[－2，2].答案 (1)A (2)2规律方法 求补集的方法
(1)列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合.
(2)由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合.【训练1】 (1)已知全集U＝[－3，＋∞)，集合A＝(－3，4]，则?UA＝________.
(2)设U＝{0，1，2，3}，A＝{x|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1，2}，则实数m＝________.
解析 (1)借助数轴得?UA＝{－3}∪(4，＋∞).
(2)∵?UA＝{1，2}，∴A＝{0，3}，
∴0，3是方程x2＋mx＝0的两个根，
∴m＝－3.
答案 (1){－3}∪(4，＋∞) (2)－3题型二 集合交、并、补的综合运算
【例2】 已知全集U＝(－∞，4]，集合A＝(－2，3)，B＝[－3，2]，求A∩B，(?UA)∪B，A∩(?UB).
解 利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，如图.则?UA＝(－∞，－2]∪[3，4]，
?UB＝(－∞，－3)∪(2，4]；
所以A∩B＝(－2，2]；
(?UA)∪B＝(－∞，2]∪[3，4]；
A∩(?UB)＝(2，3).规律方法 1.求解与不等式有关的集合问题的方法
可借助数轴，利用数轴分析法求解，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到.
2.求解集合混合运算问题的一般顺序
一般先运算括号内的部分，再运算其他部分.【训练2】 已知集合S＝(1，7]，A＝[2，5)，B＝[3，7).
求：
通过运算可以得到如下性质吗？
(1)(?SA)∩(?SB)＝ ?S(A∪B)
(2)(?SA)∪(?SB)＝ ?S(A∩B)
(1)(?SA)∩(?SB)；
(2)?S(A∪B)；
(3)(?SA)∪(?SB)；
(4)?S(A∩B).解 (1)如图所示，可得A∩B＝[3，5)，A∪B＝[2，7)，
?SA＝(1，2)∪[5，7]， ?SB＝(1，3)∪{7}.
由此可得：(1)(?SA)∩(?SB)＝(1，2)∪{7}.
(2) ?S(A∪B)＝(1，2)∪{7}.
(3)(?SA)∪(?SB)＝(1，3)∪[5，7].
(4) ?S(A∩B)＝(1，3)∪[5，7].题型三 根据补集的运算求参数的值或范围
【探究1】 如果a∈?UB，那么元素a与集合B有什么关系？“a∈(A∩(?UB))”意味着什么？解 如果a∈?UB，那么a?B；“a∈(A∩(?UB))”意味着a∈A且a?B.【探究2】 设全集U＝R，是否存在元素a，使得a∈A且a∈?UA？若集合A＝{x|－23}.【探究3】 (1)已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足B∩(?UA)＝{2}，A∩(? UB)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值；(2)已知集合A＝{x|2a－2①若A＝?，此时有2a－2≥a，∴a≥2.综上所述，a的取值范围为{a|a≤1或a≥2}.规律方法 由集合的补集求解参数的方法
(1)若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解.
(2)若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解.【训练3】 设全集U＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|，2}，?UA＝{5}，求实数a的值.
解 ∵?UA＝{5}，∴5∈U，且5?A.
∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.
当a＝2时，|2a－1|＝3≠5，此时A＝{3，2}，U＝{2，3，5}，符合题意.
当a＝－4时，|2a－1|＝9，此时A＝{9，2}，U＝{2，3，5}，
此时A不是U的子集，故a＝－4舍去.
综上知a＝2.一、素养落地
1.通过全集与补集概念的学习提升数学抽象素养；通过补集的运算提升数学运算素养.
2.补集定义的理解
(1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集.比如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R当作全集.
(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想.
(3)从符号角度来看，若x∈U，A?U，则x∈A和x∈?UA二者必居其一.3.若集合中元素有无限个时，与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形.二、素养训练
1.设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，则?UA＝( )A.{1，2} B.{3，4，5}
C.{1，2，3，4，5} D.?
解析 ∵U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，∴?UA＝{3，4，5}.
答案 B2.设全集U＝R，集合A＝(1，4)，集合B＝[2，5)，则A∩(?UB)＝( )A.[1，2) B.(－∞，2)
C.[5，＋∞) D.(1，2)
解析 ?UB＝(－∞，2)∪[5，＋∞)，A∩(?UB)＝(1，2).
答案 D3.已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1，0，1}，则(?RA)∩B＝( )A.{－2，－1} B.{－2}
C.{－1，0，1} D.{0，1}
解析 因为集合A＝{x|x>－1}，所以?RA＝{x|x≤－1}，则(?RA)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1，0，1}＝{－2，－1}.
答案 A4.已知全集U＝[1，5]，A＝[1，a)，若?UA＝[2，5]，则a＝________.解析 ∵A＝[1，a)，?UA＝[2，5]，A∪(?UA)＝U＝[1，5]，且A∩(?UA)＝?，因此a＝2.
答案 25.已知全集U＝[－5，3]，A＝[－5，－1)，B＝[－1，1)，求?UA，?UB，(?UA)∩(?UB).解 将集合U，A，B分别表示在数轴上，如图所示，则?UA＝[－1，3]；?UB＝[－5，－1)∪[1，3]；
法一 (?UA)∩(?UB)＝[1，3].
法二 ∵A∪B＝[－5，1)，
∴(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝[1，3].