1.2 常用逻辑用语
1.2.1 命题与量词
课标要求
素养要求
1.了解命题的概念，能判断真假；
用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数学内容，重点提升数学抽象、逻辑推理素养.
2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.
教材知识探究
1.观察下面的两个语句，思考下列问题：
P：m≤5；
Q：对所有的m∈R，m≤5.
问题 (1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？
(2)常见的全称量词有哪些？(至少写出五个).
提示 (1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题.语句P是命题Q中的一部分.
(2)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等.
2.观察下面的两个语句，思考下列问题：
P：m>5；
Q：存在一个m0∈Z，m0>5.
问题 (1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？
(2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个).
提示 (1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题.语句P是命题Q中的一部分.
(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.
1.命题
(1)命题的定义：能判断真假的陈述语句就是命题.
(2)命题的分类：按命题的真假性分为两类：
①真命题：判断为真的语句称为真命题；
②假命题：判断为假的语句称为假命题.
2.量词
(1)全称量词、全称量词命题及其真假判定
①全称量词：
一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“?”表示.
②全称量词命题
定义：含有全称量词的命题，称为全称量词命题.
形式：全称量词命题就是形如“对集合M中的所有元素x，r(x)”的命题，可简记为?x∈M，r(x).
③真假判定：
要判定全称量词命题?x∈M，r(x)是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x，验证r(x)成立；但要判定其是假命题，却只需举出集合M中的一个元素x0，使得r(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).
(2)存在量词、存在量词命题及其真假判定
①存在量词：“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，用符号“?”表示.
②存在量词命题
定义：含有存在量词的命题，称为存在量词命题.
形式：存在量词命题就是形如“存在集合M中的元素x，s(x)”的命题，可简记为?x∈M，s(x).
③真假判定：要判定存在量词命题?x∈M，s(x)是真命题，只要在限定集合M中，找到一个元素x0，使得s(x0)成立即可(这就是通常所说的“举例说明”)；但要判定其是假命题，却需要说明集合M中每一个x，都使得s(x)不成立.
(3)全称量词命题和存在量词命题，都可以包含多个变量，例如：
对?a，b∈R，a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)；a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2).
对?x∈R，?y∈R，y＝2x＋1
,教材拓展补遗
[微判断]
1.“x＞0”不是命题.(√)
2.“3≥2”是真命题.(√)
3.“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题.(√)
4.存在量词命题“?x∈R，x2＜0”是真命题.(×)
提示 不存在x∈R，使得x2<0成立.
5.“三角形内角和是180°”是全称量词命题.(√)
6.?x∈R，x2＋1≥1是真命题.(√)
7.“对每一个无理数x，x2也是无理数”是真命题.(×)
提示 是无理数，但()2＝3是有理数.
[微训练]
用符号“?”或“?”表示下列命题：
(1)存在一个实数对(x，y)，使2x＋3y＋3<0成立；
(2)有些整数既能被2整除，又能被3整除；
(3)所有的梯形都不是平行四边形；
(4)任意x∈R，都有－x2＋2x－4<0.
解 (1)?(x，y)∈{(x，y)|x∈R，y∈R}，2x＋3y＋3<0.
(2)?x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除.
(3)?x∈{x|x是梯形}，x不是平行四边形.
(4)?x∈R，－x2＋2x－4<0.
[微思考]
1.全称量词命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？
提示 元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“?x∈N，x≥0”.
2.在全称量词命题和存在量词命题中，量词是否可以省略？
提示 在存在量词命题中，量词不可以省略；在有些全称量词命题中，量词可以省略.
题型一 命题与真假命题的判断
【例1】 判断下列语句是否是命题？若是，判断其真假，并说明理由.
(1)奇数的平方仍是奇数；
(2)两条对角线互相垂直的四边形是菱形；
(3)5x＞4x；
(4)未来是多么美好啊！
(5)你是高二的学生吗？
(6)若x＋y是有理数，则x，y都是有理数.
解 (1)是命题，而且是真命题.
(2)是命题，而且是假命题.对角线互相垂直平分的四边形才是菱形.如图，四边形ABCD中，只满足AC⊥BD，显然不是菱形.
(3)不是命题.因为x是未知数，不能判断不等式的真假.
(4)是感叹号，不涉及真假，不是命题.
(5)是疑问句，不涉及真假，不是命题.
(6)是命题，而且是假命题.如x＝，y＝－，x＋y＝0是有理数，而x，y都是无理数.
规律方法 1.判断一个语句是否是命题，关键看这个语句是否具备命题的两个特征：一是陈述句，二是能判断真假.2.在说明一个命题为真命题时，应进行严格的推理证明；而要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可.
【训练1】 下列语句是否是命题？若是，判断其真假，并说明理由.
(1)一个数不是合数就是质数.
(2)x≥16.
(3)一个实数不是正数就是负数.
(4)x＝2或x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根.
(5)空集是任何非空集合的真子集.
解 (1)是假命题.例如：1既不是质数也不是合数.
(2)不是命题.因为没有给定变量x的值，无法确定其真假.
(3)是假命题.因为0既不是正数也不是负数.
(4)是真命题.代入验证即可.
(5)是真命题.由空集的定义和性质不难得出.
题型二 全称量词命题与存在量词命题的识别
【例2】 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的速度方向不定；
(3)对任意直角三角形的两锐角∠A，∠B，都有sin ∠A＝cos ∠B.
解 (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题.
(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题.
(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.
规律方法 判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.
【训练2】 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“?”或“?”表示下列命题：
(1)自然数的平方大于或等于零；
(2)有的一次函数图像经过原点；
(3)所有的二次函数的图像的开口都向上.
解 (1)全称量词命题.表示为?n∈N，n2≥0.
(2)存在量词命题.?一次函数，它的图像过原点.
(3)全称量词命题.?二次函数，它的图像的开口都向上.
题型三 全称量词命题与存在量词命题的真假的判断
【例3】 判断下列命题的真假.
(1)所有的素数都是奇数；
(2)任意矩形的对角线相等；
(3)存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0.
解 (1)2是素数，但2不是奇数.
所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题.
(2)真命题.
(3)由于任意x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以存在量词命题“存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0”为假命题.
规律方法 (1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则命题为假.
(2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x，使p(x)不成立即可.
【训练3】 判断下列命题的真假：
(1)有一些二次函数的图像过原点；
(2)?x∈R，2x2＋x＋1<0；
(3)?x∈R，x2>0.
解 (1)该命题中含有“有一些”，是存在量词命题.如y＝x2，其图像过原点，故该命题是真命题.
(2)该命题是存在量词命题.
∵2x2＋x＋1＝2＋≥>0，
∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0.
故该命题是假命题.
(3)该命题是全称量词命题.
当x＝0时，x2＝0，故该命题是假命题.
题型四 依据含量词命题的真假求参数取值范围
【例4】 已知命题p：?x∈R，函数y＝ax2＋2x＋3的图像总在x轴上方是真命题，求实数a的取值范围.
解 命题p为真命题，①当a＝0时，一次函数y＝2x＋3的图像总在x轴上方，显然不能恒成立；
②当a≠0时，由二次函数y＝ax2＋2x＋3的图像总在x轴上方，得
即∴a>.
综上，a的取值范围为.
规律方法 根据含量词命题的真假等价转化为关于参数的不等式(组)求参数范围.
【训练4】 命题p：任意x∈R，一次函数y＝2x＋b的图像都不经过第四象限，若命题p为真命题，求实数b的取值范围.
解 因为一次函数y＝2x＋b的图像都不经过第四象限，如图所示，故b≥0.所以实数b的取值范围为[0，＋∞).
一、素养落地
1.通过学习命题、全称量词命题与存在量词命题的概念提升数学抽象素养.通过判断全称量词命题与存在量词命题的真假培养逻辑推理素养.
2.判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称量词命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.
3.要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题.
4.要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在量词命题是假命题.
二、素养训练
1.对语句：“如果x＞1，那么x＞2”，下列判断正确的个数是( )
①不是命题 ②是命题 ③是假命题 ④是真命题
A.0 B.1
C.2 D.3
解析 是“若p，则q”形式的命题，而且x＞1?/ x＞2，∴是假命题.
答案 C
2.下列命题中全称量词命题的个数是( )
①任意一个自然数都是正整数；
②有的平行四边形也是菱形；
③n边形的内角和是(n－2)×180°.
A.0 B.1
C.2 D.3
解析 ①③是全称量词命题.
答案 C
3.下列存在量词命题是假命题的是( )
A.存在x∈Q，使4－x2＝0
B.存在x∈R，使x2＋x＋1＝0
C.有的素数是偶数
D.有的有理数没有倒数
解析 对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝＋>0恒成立.
答案 B
4.以下四个命题，既是存在量词命题，又是真命题的是( )
A.锐角三角形的内角是锐角或直角
B.至少有一个实数x，使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x，使>2
解析 A，C中的命题是全称量词命题；B中的命题是存在量词命题，且当x＝0时，满足x2≤0，故为真命题.
答案 B
5.命题p：?x∈R，x2＋2x＋5＝0是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)
解析 命题中含有量词“?”，故为存在量词命题.又Δ＝22－4×5＝－16<0，故方程x2＋2x＋5＝0无实根，即命题为假命题.
答案 存在量词命题 假
基础达标
一、选择题
1.下列命题：
①中国公民都有受教育的权利；
②每一个中学生都要接受爱国主义教育；
③有人既能写小说，也能搞发明创造；
④任何正方形都是平行四边形.
其中全称量词命题的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 命题①②④都是全称量词命题.
答案 C
2.下列命题中存在量词命题的个数是( )
①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|x|≥0.
A.0 B.1
C.2 D.3
解析 命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而命题④是全称量词命题.故有一个存在量词命题.
答案 B
3.已知命题p：?x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是( )
A.(4，＋∞) B.(－∞，4)
C.[4，＋∞) D.(－∞，4]
解析 ∵p是假命题，∴方程x2＋4x＋a＝0没有实数根，即Δ＝16－4a＜0，∴a＞4.
答案 A
4.下列三个命题：
①一切实数均有相反数；②?a∈N，使得方程ax＋1＝0无实数根；③梯形的对角线相等；④有些三角形不是等腰三角形.
其中，真命题的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 ①为真命题；对于②，当a＝0时，方程ax＋1＝0无实数根，②为真命题；对于③，等腰梯形的对角线相等，故③错误；④为真命题.
答案 C
5.下列全称量词命题中真命题的个数为( )
①对于任意实数x，都有x＋2>x；
②对任意的实数a，b，都有若|a|>|b|，则a2>b2成立；
③二次函数y＝x2－ax－1与x轴恒有交点；
④?x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.
A1 B.2
C.3 D.4
解析 ①②③为真命题.
答案 C
二、填空题
6.给出下列三个命题：
①?x∈R，x2＋1≠0；②矩形都不是梯形；
③?x，y∈R，x2＋y2≤1.
其中全称量词命题是________(填序号).
解析 ②省略了量词“所有的”.
答案 ①②
7.对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________.
解析 对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.
答案 (－∞，3]
8.试判断下列全称量词命题的真假：
①?x∈R，x2＋2>0；
②?x∈N，x4≥1；
③对任意x，y，都有x2＋y2≠0.
其中真命题的个数为________.
解析 ①由于?x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“?x∈R，x2＋2>0”是真命题.
②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“?x∈N，x4≥1”是假命题.
③当x＝y＝0时，x2＋y2＝0，所以是假命题.
答案 1
三、解答题
9.试判断下列全称量词命题的真假：
(1)?x∈R，x2＋1≥2；
(2)直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点；
(3)每个二次函数都有最小值.
解 (1)取x＝0，则x2＋1＝1<2，所以“?x∈R，x2＋1≥2”是假命题.
(2)与x轴平行的直线与x轴无交点，所以该命题为假命题.
(3)对于y＝ax2＋bx＋c，当a<0时函数有最大值无最小值，所以“每个二次函数都有最小值”是假命题.
10.判断下列存在量词命题的真假：
(1)?x∈Z，x3<1；
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
(3)存在一对整数x，y，使得2x＋4y＝6.
解 (1)∵－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，
∴“?x∈Z，x3<1”是真命题；
(2)真命题，如梯形；
(3)取x＝3，y＝0，则2x＋4y＝6，故为真命题.
能力提升
11.判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性.
(1)对所有的正实数t，为正且(2)存在实数x，使得x2－3x－4＝0；
(3)存在实数对(x，y)，使得3x－4y－5>0；
(4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
解 (1)为全称量词命题，且为假命题，如取t＝1，则0；(3)为存在量词命题，且为真命题，如取实数对(2，0)，则3x－4y－5>0成立；(4)为全称量词命题，且为真命题.
12.若?x∈R，函数y＝mx2＋x－m－a的图像和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围.
解 (1)当m＝0时，y＝x－a与x轴恒有公共点，
所以a∈R.
(2)当m≠0时，若二次函数y＝mx2＋x－m－a的图像和x轴恒有公共点，则Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立.
设y1＝4m2＋4am＋1，则可转化为此二次函数的图像恒在x轴上方(或图像顶点在x轴上)，故Δ1＝(4a)2－16≤0，可得－1≤a≤1.
综上所述，当m＝0时，a∈R；
当m≠0时，a∈[－1，1].
课件30张PPT。1.2 常用逻辑用语
1.2.1 命题与量词教材知识探究1.观察下面的两个语句，思考下列问题：P：m≤5；
Q：对所有的m∈R，m≤5.
问题 (1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？
(2)常见的全称量词有哪些？(至少写出五个).
提示 (1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题.语句P是命题Q中的一部分.
(2)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等.2.观察下面的两个语句，思考下列问题：P：m>5；
Q：存在一个m0∈Z，m0>5.
问题 (1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？
(2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个).
提示 (1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题.语句P是命题Q中的一部分.
(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.1.命题(1)命题的定义：能判断________的________语句就是命题.
(2)命题的分类：按命题的真假性分为两类：
①真命题：判断________的语句称为真命题；
②假命题：判断________的语句称为假命题.真假陈述为真为假2.量词(1)全称量词、全称量词命题及其真假判定
①全称量词：
一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“____”表示.
②全称量词命题
定义：含有 的命题，称为全称量词命题.
形式：全称量词命题就是形如“对集合M中的所有元素x，r(x)”的命题，可简记为?x∈M，r(x).?全称量词③真假判定：
要判定全称量词命题?x∈M，r(x)是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x，验证r(x)成立；但要判定其是假命题，却只需举出集合M中的一个元素x0，使得r(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).
(2)存在量词、存在量词命题及其真假判定
①存在量词：“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，用符号“?”表示.
②存在量词命题
定义：含有 的命题，称为存在量词命题.
形式：存在量词命题就是形如“存在集合M中的元素x，s(x)”的命题，可简记为?x∈M，s(x).存在量词③真假判定：要判定存在量词命题?x∈M，s(x)是真命题，只要在限定集合M中，找到一个元素x0，使得s(x0)成立即可(这就是通常所说的“举例说明”)；但要判定其是假命题，却需要说明集合M中每一个x，都使得s(x)不成立.
(3)全称量词命题和存在量词命题，都可以包含多个变量，例如：
对?a，b∈R，a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)；a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2).
对?x∈R，?y∈R，y＝2x＋1教材拓展补遗
[微判断]1.“x＞0”不是命题.( )
2.“3≥2”是真命题.( )
3.“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题.( )
4.存在量词命题“?x∈R，x2＜0”是真命题.( )
提示 不存在x∈R，使得x2<0成立.
5.“三角形内角和是180°”是全称量词命题.( )
6.?x∈R，x2＋1≥1是真命题.( )
7.“对每一个无理数x，x2也是无理数”是真命题.( )√√√×√√×[微训练]用符号“?”或“?”表示下列命题：
(1)存在一个实数对(x，y)，使2x＋3y＋3<0成立；
(2)有些整数既能被2整除，又能被3整除；
(3)所有的梯形都不是平行四边形；
(4)任意x∈R，都有－x2＋2x－4<0.
解 (1)?(x，y)∈{(x，y)|x∈R，y∈R}，2x＋3y＋3<0.
(2)?x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除.
(3)?x∈{x|x是梯形}，x不是平行四边形.
(4)?x∈R，－x2＋2x－4<0.[微思考]
1.全称量词命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？提示 元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“?x∈N，x≥0”.2.在全称量词命题和存在量词命题中，量词是否可以省略？提示 在存在量词命题中，量词不可以省略；在有些全称量词命题中，量词可以省略.题型一命题与真假命题的判断【例1】 判断下列语句是否是命题？若是，判断其真假，并说明理由.(1)奇数的平方仍是奇数；
(2)两条对角线互相垂直的四边形是菱形；
(3)5x＞4x；
(4)未来是多么美好啊！
(5)你是高二的学生吗？
(6)若x＋y是有理数，则x，y都是有理数.解 (1)是命题，而且是真命题.
(2)是命题，而且是假命题.对角线互相垂直平分的四边形才是菱形.如图，四边形ABCD中，只满足AC⊥BD，显然不是菱形.(3)不是命题.因为x是未知数，不能判断不等式的真假.
(4)是感叹号，不涉及真假，不是命题.
(5)是疑问句，不涉及真假，不是命题.规律方法 1.判断一个语句是否是命题，关键看这个语句是否具备命题的两个特征：一是陈述句，二是能判断真假.2.在说明一个命题为真命题时，应进行严格的推理证明；而要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可.【训练1】 下列语句是否是命题？若是，判断其真假，并说明理由.(1)一个数不是合数就是质数.
(2)x≥16.
(3)一个实数不是正数就是负数.
(4)x＝2或x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根.
(5)空集是任何非空集合的真子集.
解 (1)是假命题.例如：1既不是质数也不是合数.
(2)不是命题.因为没有给定变量x的值，无法确定其真假.
(3)是假命题.因为0既不是正数也不是负数.
(4)是真命题.代入验证即可.
(5)是真命题.由空集的定义和性质不难得出.题型二全称量词命题与存在量词命题的识别【例2】 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的速度方向不定；
(3)对任意直角三角形的两锐角∠A，∠B，都有sin ∠A＝cos ∠B.
解 (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题.
(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题.
(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.规律方法 判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.【训练2】 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“?”或“?”表示下列命题：(1)自然数的平方大于或等于零；
(2)有的一次函数图像经过原点；
(3)所有的二次函数的图像的开口都向上.
解 (1)全称量词命题.表示为?n∈N，n2≥0.
(2)存在量词命题.?一次函数，它的图像过原点.
(3)全称量词命题.?二次函数，它的图像的开口都向上.题型三 全称量词命题与存在量词命题的【例3】 判断下列命题的真假.真假的判断(1)所有的素数都是奇数；
(2)任意矩形的对角线相等；
(3)存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0.
解 (1)2是素数，但2不是奇数.所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题.
(2)真命题.
(3)由于任意x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以存在量词命题“存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0”为假命题.规律方法 (1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则命题为假.
(2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x，使p(x)不成立即可.【训练3】 判断下列命题的真假：(1)有一些二次函数的图像过原点；
(2)?x∈R，2x2＋x＋1<0；
(3)?x∈R，x2>0.
解 (1)该命题中含有“有一些”，是存在量词命题.如y＝x2，其图像过原点，故该命题是真命题.
(2)该命题是存在量词命题.∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0.故该命题是假命题.
(3)该命题是全称量词命题.当x＝0时，x2＝0，故该命题是假命题.题型四 依据含量词命题的真假求参数取值范围
【例4】 已知命题p：?x∈R，函数y＝ax2＋2x＋3的图像总在x轴上方是真命题，求实数a的取值范围.解 命题p为真命题，①当a＝0时，一次函数y＝2x＋3的图像总在x轴上方，显然不能恒成立；规律方法 根据含量词命题的真假等价转化为关于参数的不等式(组)求参数范围.【训练4】 命题p：任意x∈R，一次函数y＝2x＋b的图像都不经过第四象限，若命题p为真命题，求实数b的取值范围.
解 因为一次函数y＝2x＋b的图像都不经过第四象限，如图所示，故b≥0.所以实数b的取值范围为[0，＋∞).一、素养落地
1.通过学习命题、全称量词命题与存在量词命题的概念提升数学抽象素养.通过判断全称量词命题与存在量词命题的真假培养逻辑推理素养.
2.判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称量词命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.
3.要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题.
4.要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在量词命题是假命题.二、素养训练
1.对语句：“如果x＞1，那么x＞2”，下列判断正确的个数是( )
①不是命题 ②是命题 ③是假命题 ④是真命题
A.0 B.1
C.2 D.3
解析 是“若p，则q”形式的命题，而且x＞1? x＞2，∴是假命题.
答案 C2.下列命题中全称量词命题的个数是( )①任意一个自然数都是正整数；
②有的平行四边形也是菱形；
③n边形的内角和是(n－2)×180°.
A.0 B.1
C.2 D.3
解析 ①③是全称量词命题.
答案 C3.下列存在量词命题是假命题的是( )A.存在x∈Q，使4－x2＝0
B.存在x∈R，使x2＋x＋1＝0
C.有的素数是偶数
D.有的有理数没有倒数答案 B4.以下四个命题，既是存在量词命题，又是真命题的是( )A.锐角三角形的内角是锐角或直角
B.至少有一个实数x，使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数解析 A，C中的命题是全称量词命题；B中的命题是存在量词命题，且当x＝0时，满足x2≤0，故为真命题.答案 B5.命题p：?x∈R，x2＋2x＋5＝0是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)解析 命题中含有量词“?”，故为存在量词命题.又Δ＝22－4×5＝－16<0，故方程x2＋2x＋5＝0无实根，即命题为假命题.
答案 存在量词命题 假
