1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
课标要求
素养要求
1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.
2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
通过全称量词命题与存在量词命题的否定的学习，重点提升数学抽象、逻辑推理素养.
教材知识探究
一位探险家被土人抓住，土人首领说：“如果你说真话，你将被烧死，说假话，将被五马分尸.”
问题 请问探险家该如何保命？
提示 探险家应该说“我将被五马分尸”.
如果土人首领将探险家五马分尸，那就说明探险家说的就是真话，而说真话应该被烧死；
如果土人首领将探险家烧死，那就说明探险家说的就是假话，而说假话应该被五马分尸.
所以，土人首领怎么处置探险家都不行，只能让他活着.
1.命题的否定
(1)定义：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“綈p”，读作“非p”或“p的否定”.
(2)命题p与其否定綈p的真假关系
如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是假命题；反之亦然.
2.全称量词命题与存在量词命题的否定 改量词，否定结论
(1)全称量词命题的否定
一般地，全称量词命题“?x∈M，q(x)”的否定是存在量词命题?x∈M，綈q(x).
(2)存在量词命题的否定
一般地，存在量词命题“?x∈M，p(x)”的否定是全称量词命题?x∈M，綈p(x).,教材拓展补遗
[微判断]
1.命题“?x∈R，x2－1≥－1”的否定是全称量词命题.(×)
提示 应该是存在量词命题.
2.若命题綈p是全称量词命题，则命题p是存在量词命题.(√)
[微训练]
1.命题“存在x∈R，2x≤0”的否定是________.
解析 存在量词命题的否定是全称量词命题.
答案 对任意的x∈R，2x>0
2.已知命题p：?x>2，x－2>0，则綈p是________.
解析 全称量词命题的否定为存在量词命题.
答案 ?x>2，x－2≤0
[微思考]
1.用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？
提示 不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”.
2.对省略量词的命题怎样否定？
提示 对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题.一般地，省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题.
题型一 全称量词命题的否定
【例1】 写出下列全称量词命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)任何一个圆都是轴对称图形；
(3)?a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
解 (1)其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.
(2)其否定为：存在一个圆不是轴对称图形.
(3)其否定为：?a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在.
(4)其否定为：存在被5整除的整数，末位不是0.
规律方法 全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的命题可补上全称量词后进行否定.
【训练1】 写出下列全称量词命题的否定：
(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；
(2)q：所有自然数的平方都是正数；
(3)s：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(4)r：对任意实数x，x2＋1≥0.
解 (1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.
(2)綈q：有些自然数的平方不是正数.
(3)綈s：存在实数x不是方程5x－12＝0的根.
(4)綈r：存在实数x，使得x2＋1<0.
题型二 存在量词命题的否定
【例2】 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假.
(1)p：?x>1，使x2－2x－3＝0；
(2)q：有些素数是奇数；
(3)r：有些平行四边形不是矩形.
解 (1)綈p：?x>1，x2－2x－3≠0.(假).
(2)綈q：所有的素数都不是奇数.(假).
(3)綈r：所有的平行四边形都是矩形.(假).
规律方法 存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词，即p：?x∈M，p(x)成立?綈p：?x∈M，綈p(x)成立.
【训练2】 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假.
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)?x，y∈Z，使得x＋y＝3.
解 (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.它为假命题.
(3)命题的否定是“?x，y∈Z，x＋y≠3”.当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题.
题型三 根据全称量词命题、存在量词命题的否定的真假求参数
【例3】 已知命题p：?x∈R，m＋x2－2x＋5>0，若綈p为假命题，求实数m的取值范围.
解 因为綈p为假命题，所以命题p：?x∈R，m＋x2－2x＋5>0为真命题，即二次函数y＝x2－2x＋m＋5的图像恒在x轴上方，所以Δ＝(－2)2－4(m＋5)<0，即m>－4，故实数m的取值范围为{m|m>－4}.
规律方法 1.注意p与綈p的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化.
2.对求参数范围问题，往往分离参数，转化成求函数的最值问题，如本题分离参数后，转化成了求二次函数的最值问题.
【训练3】 已知命题p：?x∈R，m－x2＋2x－5>0，若綈p为假命题，求实数m的取值范围.
解 因为綈p为假命题，所以命题p：?x∈R，m－x2＋2x－5>0为真命题，即二次函数y＝－x2＋2x＋m－5的图像的最高点在x轴上方，即图像与x轴有两个交点，所以Δ＝22＋4(m－5)>0，即m>4，故实数m的取值范围为{m|m>4}.
一、素养落地
1.通过学习全称量词命题、存在量词命题的否定的概念，提升数学抽象素养，通过存在量词命题、全称量词命题否定的综合应用培养逻辑推理素养.
2.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：
(1)确定命题类型，是全称量词命题还是存在量词命题.
(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.
(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.
(4)无量词的全称量词命题要先补回量词再否定.
二、素养训练
1.命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则綈p是( )
A.存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
B.不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
C.对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根
D.至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根
解析 命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，即对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根.
答案 C
2.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：?x∈A，2x∈B，则( )
A.綈p：?x∈A，2x∈B B.綈p：?x?A，2x?B
C.綈p：?x?A，2x∈B D.綈p：?x∈A，2x?B
解析 命题p：?x∈A，2x∈B是一个全称量词命题，綈p应为：?x∈A，2x?B.选D.
答案 D
3.对下列命题的否定说法错误的是( )
A.p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数
B.p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形
C.p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形
D.p：?n∈N，2n≤100；綈p：?n∈N，2n>100.
解析 “有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误.
答案 C
4.命题“?x≥0，x3＋x≥0”的否定是( )
A.?x<0，x3＋x<0 B.?x<0，x3＋x≥0
C.?x≥0，x3＋x<0 D.?x≥0，x3＋x≥0
解析 全称量词命题：?x≥0，x3＋x≥0的否定是存在量词命题：?x≥0，x3＋x<0.
答案 C
5.已知命题p：?x>0，总有x＋1>1，则綈p为( )
A.?x≤0，使得x＋1≤1 B.?x>0，使得x＋1≤1
C.?x>0，总有x＋1≤1 D.?x≤0，总有x＋1≤1
解析 “?x>0，总有x＋1>1”的否定是“?x>0，使得x＋1≤1”.故选B.
答案 B
基础达标
一、选择题
1.下列命题中，为真命题的全称量词命题是( )
A.对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0
B.菱形的两条对角线相等
C.?x∈R，＝x
D.一次函数y＝kx＋b(k>0)，y随x的增大而增大
解析 A中含有全称量词“任意”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以A是假命题；B，D在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B为假命题；C是存在量词命题，所以选D.
答案 D
2.命题“?x0∈?RQ，x∈Q”的否定是( )
A.?x0??RQ，x∈Q B.?x0∈?RQ，xD∈/Q
C.?x??RQ，x3∈Q D.?x∈?RQ，x3?Q
答案 D
3.已知命题p：?x∈R，≤1，则( )
A.綈p：?x0∈R，≥1
B.綈p：?x∈R，≥1
C.綈p：?x0∈R，＞1
D.綈p：?x∈R，＞1
答案 C
4.命题“?x0∈(0，＋∞)，x＝x0－1”的否定是( )
A.?x∈(0，＋∞)，x2≠x－1
B.?x?(0，＋∞)，x2＝x－1
C.?x0∈(0，＋∞)，x≠x0－1
D.?x0?(0，＋∞)，x＝x0－1
答案 A
5.命题“?x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )
A.?x∈R，|x|＋x2<0 B.?x∈R，|x|＋x2≤0
C.?x0∈R，|x0|＋x<0 D.?x0∈R，|x0|＋x≥0
答案 C
二、填空题
6.命题“存在x∈R，3x≥0”的否定是________.
解析 存在量词命题的否定是全称量词命题，故“存在x∈R，3x≥0”的否定是“对任意的x∈R，3x＜0”.
答案 对任意的x∈R，3x<0
7.命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是_________________________.
解析 由定义知命题的否定为“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”.
答案 存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3
8.命题“每个函数都有最大值”的否定是______________.
解析 命题的量词是“每个”，即为全称量词命题，因此其否定是存在量词命题，用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论.故应填：有些函数没有最大值.
答案 有些函数没有最大值
三、解答题
9.写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假.
(1)p：2的平方是正数；
(2)q：实数的平方都是正数；
(3)r：<0.
解 (1)綈p：2的平方不是正数，假命题.
(2)綈q：实数的平方不都是正数，真命题.
(3)綈r：≥0，真命题.
10.写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假.
(1)p：?x∈R，x2－x＋≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：?x∈R，x2＋2x＋2≤0.
解 (1)綈p：?x∈R，x2－x＋＜0.
∵?x∈R，x2－x＋＝≥0，
∴綈p是假命题.
(2)綈q：有的正方形不是矩形，假命题.
(3)綈r：?x∈R，x2＋2x＋2＞0.
∵?x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1＞0，
∴綈r是真命题.
能力提升
11.已知命题p：?x∈R，x2－2x＋m＝0，若綈p是假命题，求实数m的取值范围.
解 因为綈p为假命题，所以p为真命题，即?x∈R，x2－2x＋m＝0成立，即方程x2－2x＋m＝0有实根，有Δ＝(－2)2－4m≥0，
∴m≤1.
故实数m的取值范围为{m|m≤1}.
12.已知命题p：?x∈[1，3]，都有m≥x，命题q：?x∈[1，3]，使m≥x，若命题p为真命题，綈q为假命题，求实数m的取值范围.
解 由题意知命题p，q都是真命题.
由?x∈[1，3]，都有m≥x都成立，只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.由?x∈[1，3]，使m≥x成立，只需m大于或等于x的最小值，即m≥1.因为两者同时成立，故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}.
课件21张PPT。1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定教材知识探究一位探险家被土人抓住，土人首领说：“如果你说真话，你将被烧死，说假话，将被五马分尸.”
问题 请问探险家该如何保命？
提示 探险家应该说“我将被五马分尸”.
如果土人首领将探险家五马分尸，那就说明探险家说的就是真话，而说真话应该被烧死；
如果土人首领将探险家烧死，那就说明探险家说的就是假话，而说假话应该被五马分尸.
所以，土人首领怎么处置探险家都不行，只能让他活着.1.命题的否定(1)定义：一般地，对命题p加以 ，就得到一个新的命题，记作“______”，读作“非p”或“p的否定”.
(2)命题p与其否定綈p的真假关系
如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是假命题；反之亦然.否定綈p2.全称量词命题与存在量词命题的否定改量词，否定结论(1)全称量词命题的否定
一般地，全称量词命题“?x∈M，q(x)”的否定是存在量词命题 .
(2)存在量词命题的否定
一般地，存在量词命题“?x∈M，p(x)”的否定是全称量词命题 ,?x∈M，綈q(x)?x∈M，綈p(x)教材拓展补遗
[微判断]
1.命题“?x∈R，x2－1≥－1”的否定是全称量词命题.( )
提示 应该是存在量词命题.
2.若命题綈p是全称量词命题，则命题p是存在量词命题.( )×√[微训练]
1.命题“存在x∈R，2x≤0”的否定是________.
解析 存在量词命题的否定是全称量词命题.
答案 对任意的x∈R，2x>0
2.已知命题p：?x>2，x－2>0，则綈p是________.
解析 全称量词命题的否定为存在量词命题.
答案 ?x>2，x－2≤0[微思考]
1.用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？
提示 不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”.
2.对省略量词的命题怎样否定？
提示 对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题.一般地，省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题.题型一 全称量词命题的否定
【例1】 写出下列全称量词命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)任何一个圆都是轴对称图形；
(3)?a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
解 (1)其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.
(2)其否定为：存在一个圆不是轴对称图形.
(3)其否定为：?a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在.
(4)其否定为：存在被5整除的整数，末位不是0.规律方法 全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的命题可补上全称量词后进行否定.【训练1】 写出下列全称量词命题的否定：(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；
(2)q：所有自然数的平方都是正数；
(3)s：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(4)r：对任意实数x，x2＋1≥0.
解 (1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.
(2)綈q：有些自然数的平方不是正数.
(3)綈s：存在实数x不是方程5x－12＝0的根.
(4)綈r：存在实数x，使得x2＋1<0.题型二 存在量词命题的否定
【例2】 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假.(1)p：?x>1，使x2－2x－3＝0；
(2)q：有些素数是奇数；
(3)r：有些平行四边形不是矩形.
解 (1)綈p：?x>1，x2－2x－3≠0.(假).
(2)綈q：所有的素数都不是奇数.(假).
(3)綈r：所有的平行四边形都是矩形.(假).
规律方法 存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词，即p：?x∈M，p(x)成立?綈p：?x∈M，綈p(x)成立.【训练2】 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假.(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；解 (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.它为假命题.题型三 根据全称量词命题、存在量词命题的否定的真假求参数
【例3】 已知命题p：解 因为綈p为假命题，所以命题p：?x∈R，m＋x2－2x＋5>0为真命题，即二次函数y＝x2－2x＋m＋5的图像恒在x轴上方，所以Δ＝(－2)2－4(m＋5)<0，即m>－4，故实数m的取值范围为{m|m>－4}.?x∈R，m＋x2－2x＋5>0，若綈p为假命题，求实数m的取值范围.规律方法 1.注意p与綈p的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化.
2.对求参数范围问题，往往分离参数，转化成求函数的最值问题，如本题分离参数后，转化成了求二次函数的最值问题.【训练3】 已知命题p：?x∈R，m－x2＋2x－5>0，若綈p为假命题，求实数m的取值范围.解 因为綈p为假命题，所以命题p：?x∈R，m－x2＋2x－5>0为真命题，即二次函数y＝－x2＋2x＋m－5的图像的最高点在x轴上方，即图像与x轴有两个交点，所以Δ＝22＋4(m－5)>0，即m>4，故实数m的取值范围为{m|m>4}.一、素养落地
1.通过学习全称量词命题、存在量词命题的否定的概念，提升数学抽象素养，通过存在量词命题、全称量词命题否定的综合应用培养逻辑推理素养.
2.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：
(1)确定命题类型，是全称量词命题还是存在量词命题.
(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.
(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.
(4)无量词的全称量词命题要先补回量词再否定.二、素养训练
1.命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则綈p是( )A.存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
B.不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
C.对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根
D.至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根
解析 命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，即对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根.
答案 C2.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：?x∈A，2x∈B，则( )A.綈p：?x∈A，2x∈B B.綈p：?x?A，2x?B
C.綈p：?x?A，2x∈B D.綈p：?x∈A，2x?B
解析 命题p：?x∈A，2x∈B是一个全称量词命题，綈p应为：?x∈A，2x?B.选D.
答案 D3.对下列命题的否定说法错误的是( )A.p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数
B.p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形
C.p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形
D.p：?n∈N，2n≤100；綈p：?n∈N，2n>100.
解析 “有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误.
答案 C4.命题“?x≥0，x3＋x≥0”的否定是( )A.?x<0，x3＋x<0 B.?x<0，x3＋x≥0
C.?x≥0，x3＋x<0 D.?x≥0，x3＋x≥0
解析 全称量词命题：?x≥0，x3＋x≥0的否定是存在量词命题：?x≥0，x3＋x<0.
答案 C5.已知命题p：?x>0，总有x＋1>1，则綈p为( )A.?x≤0，使得x＋1≤1 B.?x>0，使得x＋1≤1
C.?x>0，总有x＋1≤1 D.?x≤0，总有x＋1≤1
解析 “?x>0，总有x＋1>1”的否定是“?x>0，使得x＋1≤1”.故选B.
答案 B
