1.2.3 充分条件、必要条件
第一课时 充分条件、必要条件
课标要求
素养要求
1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.
通过对充分条件、必要条件的学习和理解，体会充分条件、必要条件在数学表达、论证等方面的作用，重点提升逻辑推理素养与数学抽象素养.
2.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.
教材知识探究
某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯.这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示.
问题 (1)A开关闭合时B灯一定亮吗？
(2)B灯亮时A开关一定闭合吗？
提示 (1)一定亮.
(2)不一定，还可能是C开关闭合.
充分条件与必要条件 区分概念中充分条件与必要条件的推出方向
(1)定义：一般地，若“如果p，那么q”是一个真命题，则称由p可以推出q，记作p?q，读作“p推出q”，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.
否则，称p推不出q，记作p?/ q，读作“p推不出q”，此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.
(2)用集合知识理解充分条件与必要条件
一般地，如果A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，且A?B(如图所示)，那么p(x)?q(x)，因此也就有p(x)是q(x)的充分条件，q(x)是p(x)的必要条件.
(3)充分条件、必要条件与判定定理、性质定理的关系
①判定定理实际上是给出了一个充分条件；
②性质定理实际上是给出了一个必要条件
教材拓展补遗
[微判断]
1.若p是q的充分条件，则p是唯一的.(×)
提示 不是唯一的，使结论成立的条件有多个.
2.“若q，则p”是真命题，则p是q的必要条件.(√)
3.“x＝3”是“x2＝9”的充分条件.(√)
4.“ab>0”是“a>0，b>0”的必要条件.(√)
[微训练]
1.“x>2”是“x>3”的________条件(填“充分”或“必要”).
答案 必要
2.“a＝b”是“ac＝bc”的________条件(填“充分”或“必要”).
答案 充分
[微思考]
你能将性质定理“菱形的对角线互相垂直”写成“若p，则q”的形式，并用必要条件的语言表述吗？
提示 “菱形的对角线互相垂直”可表述为“若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直”，所以“对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要条件.
题型一 充分条件、必要条件的判断
【例1】 判断下列各题中，p是q的什么条件：
(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
(3)p：A?B，q：A∩B＝A；
(4)p：a>b，q：ac>bc.
解 (1)∵两个三角形相似?/ 两个三角形全等，但两个三角形全等?两个三角形相似，
∴p是q的必要条件，但不是充分条件.
(2)∵矩形的对角线相等，∴p?q，
而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q?/ p.
∴p是q的充分条件，但不是必要条件.
(3)∵p?q且q?p，
∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件.
(4)∵p?/ q，且q?/ p，∴p是q的既不充分也不必要条件.
规律方法 要判断p是不是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是不是q的必要条件，就要看q能否推出p.
【训练1】 指出下列各题中p是不是q的充分条件.
(1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB.
(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.
(3)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0.
解 (1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C?AC>AB，所以p是q的充分条件.
(2)对于实数x，y，因为x＝2且y＝6?x＋y＝8，
所以由x＋y≠8?x≠2或y≠6，故p是q的充分条件.
(3)由x＝1?(x－1)(x－2)＝0，故p是q的充分条件.
故(1)(2)(3)命题中p是q的充分条件.
题型二 根据必要条件(充分条件)求参数的范围
【例2】 (1)已知P＝{x|a－4
(2)已知p：a≤x≤a＋1，q：0解析 (1)因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q?P，
所以即所以－1≤a≤5.
(2)令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|0∵p是q的充分条件，∴M?N，
∴解得0答案 (1)[－1，5] (2)(0，3)
规律方法 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.
【训练2】 (1)若“x2或x<1”的充分条件，求m的取值范围.
(2)已知p：x<－3或x>1，q：x>a，且p是q的必要条件，求a的取值范围.
解 (1)由已知条件知{x|x2或x<1}，
∴m≤1.即m的取值范围为(－∞，1].
(2)由已知条件得{x|x>a}?{x|x<－3或x>1}，∴a≥1.即a的取值范围为[1，＋∞).
一、素养落地
1.通过学习充分条件与必要条件的概念提升数学抽象素养，通过判断充分条件与必要条件及其应用培养逻辑推理素养.
2.充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断.
(2)利用集合间的包含关系进行判断.
3.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，注意转化与化归思想的应用.
二、素养训练
1.“－21或x<－1”的( )
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既不充分，也不必要条件
D.既充分，也必要条件
解析 ∵－21或x<－1，且x>1或x<－1D?/－21或x<－1”的既不充分也不必要条件.
答案 C
2.“a>b”是“a>|b|”的( )
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既充分也必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 由a>|b|?a>b，而由a>b推不出a>|b|.∴“a>b”是“a>|b|”的必要条件但不是充分条件.
答案 B
3.若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既不充分也不必要条件
D.无法判断
解析 当a＝1时，|a|＝1成立，
但|a|＝1时，a＝±1，∴a＝1不一定成立.
∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件，但不是必要条件.
答案 A
4.若p：a∈M∪N，q：a∈M，则p是q的( )
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既充分又必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 由a∈M∪N?/ a∈M，但由a∈M?a∈M∪N，即p?/ q，但q?p.
答案 B
5.若“x>m”是“x>3或x<1”的充分条件但不必要条件，求m的取值范围.
解 由已知条件，知{x|x>m}?{x|x>3或x<1}，∴m≥3.即m的取值范围为[3，＋∞).
三、审题答题
示范(一) 利用充分条件(必要条件)求参数范围
【典型示例】 (12分)已知p：x<1－a或x>1＋a①和q：
x<或x>1②，求使p是q的充分条件但不是必要条件③的最小正整数a④.
联想解题
看到①②转化成集合形式.
看到③想到需转化为p与q对应集合间的包含关系，然后建立关于a的不等式组求解.
看到④想到求出的是a的一个范围，然后在此基础上求出最小正整数a.
满分示范
解 依题意a＞0.由p：x<1－a或x>1＋a，
可设M＝{x|x<1－a或x>1＋a}，1分
由q：x<或x>1，可设N＝{x|x<或x>1}.2分
要使p是q的充分条件但不是必要条件，即M?N，应有或
解得a≥.10分
令a＝1，则M＝{x|x<0或x>2}?N＝{x|x<或x>1}.
即p?q，反之不成立.∴a＝1.12分
满分心得
解本题的关键是“p是q的充分条件但不是必要条件”的转化，利用两个解集间的包含关系建立不等关系求解.
基础达标
一、选择题
1.设p：x<3，q：－1A.既充分又必要条件
B.充分条件但不是必要条件
C.必要条件但不是充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析 因为{x|－1答案 C
2.“x，y均为奇数”是“x＋y为偶数”的( )
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既充分又必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 由x，y均为奇数，可以推出x＋y为偶数；但x＋y为偶数，如x＝2，y＝4，推不出x，y均为奇数，故选A.
答案 A
3.设x∈R，则“x＞”是“2x2＋x－1＞0”的( )
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既充分又必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 当x＞时，2x2＋x－1＞2×＋－1＞0；而当2x2＋x－1＞0时，如x＝－3时，不满足x＞.故选A.
答案 A
4.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既充分也必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 x≥2且y≥2可以推出x2＋y2≥4，但x＝1且y＝3满足x2＋y2≥4，但不满足x≥2且y≥2，故选A.
答案 A
5.设x，y是两个实数，使“x，y中至少有一个数大于1”成立的一个充分条件是( )
A.x＋y＝2 B.x＋y>2
C.x2＋y2>2 D.xy>1
解析 对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但“x，y中至少有一个数大于1”不成立；对于选项C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但“x，y中至少有一个数大于1”不成立，也不符合题意.
答案 B
二、填空题
6.设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的________条件(填“充分”或“必要”).
解析 若“四边形ABCD为菱形”，则“对角线AC⊥BD”成立；而若“对角线AC⊥BD”成立，则“四边形ABCD不一定为菱形”，所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件.
答案 充分
7.已知a，b都是实数，那么“|a|>|b|”是“>”的________条件(填“充分”或“必要”).
解析 >可得a>b≥0可以推出|a|>|b|，但|a|>|b|不可以推出>.
答案 必要
8.下列不等式：
①x<1；②0其中，可以为x2<1的一个充分条件的所有序号为________.
解析 由于x2<1即－1答案 ②③④
三、解答题
9.下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：四边形是正方形，q：四边形的四条边相等；
(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝.
解 (1)∵a＋b＝0?/ a2＋b2＝0，
a2＋b2＝0?a＋b＝0.
∴p是q的必要条件，但不是充分条件.
(2)∵四边形是正方形?四边形的四条边相等，四边形的四条边相等?/ 四边形是正方形，∴p是q的充分条件，但不是必要条件.
(3)∵x＝1或x＝2?x－1＝，
x－1＝?x＝1或x＝2，
∴p是q的既充分又必要条件.
10.试说明0解 若方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不等的实根，
则∴0则>0，>0，－3<－12m<0，从而4－12m＞0，
即Δ>0，且>0，>0.
因此0能力提升
11. 是否存在实数p，使4x＋p<0是x>2或x<－1的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由.
解 存在，理由如下：
令A＝{x|x>2或x<－1}，B＝{x|4x＋p<0}.
由4x＋p<0，得B＝.
当B?A时，即－≤－1，即p≥4，
此时x<－≤－1?x>2或x<－1，
∴存在实数p，使4x＋p<0是x>2或x<－1的充分条件，此时p的取值范围为[4，＋∞).
12.已知M＝{x|a－1解 ∵M是N的充分不必要条件，∴M?N，
∴或
解得－2≤a≤7.
故a的取值范围是[－2，7].
第二课时 充要条件
课标要求
素养要求
通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.
针对充要条件问题，通过几个数学定义的研究比较，学生经历梳理知识，提炼定义，感悟思想的学习过程，提升逻辑推理素养与数学抽象素养.
教材知识探究
主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了.”主人听了，随口说了句：“该来的没有来.”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了.主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了.”李四听了大怒，拂袖而去.
问题 请你用逻辑学原理解释二人离去的原因.
提示 张三走的原因是：“该来的没有来”的等价命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的.李四走的原因是：“不该走的又走了”的等价命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该走的.
充要条件
(1)四类条件
①一般地，如果p?q且q?p，则称p是q的充分不必要条件.
②如果p? q且q?p，则称p是q的必要不充分条件.
③如果p?q且q?p，则称p是q的充分必要条件(简称为充要条件)，记作p?q，此时，也读作“p与q等价”“p当且仅当q”.
④如果p?q且q?p，则称p是q的既不充分也不必要条件.
(2)充要条件与数学中定义的关系
一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的一个充要条件.
教材拓展补遗
[微判断]
1.四边形是平行四边形的充要条件是四边形的两组对边分别相等.(√)
2.两个三角形相似的充要条件是两个三角形的三边对应成比例.(√)
3.xy>0是x>0，y>0的充要条件.(×)
提示 必要不充分条件.
[微训练]
1.“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的________条件.
解析 设p：(2x－1)x＝0，q：x＝0，则p：x＝0或x＝，故p是q的必要不充分条件.
答案 必要不充分
2.设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的________条件.
解析 当x>1时，x3>1；当x3>1时，x>1.
答案 充要
[微思考]
若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.这种说法对吗？
提示 正确.若p是q的充要条件，则p?q，即p等价于q，故此说法正确.
题型一 充要条件的判断与探求
【例1】 判断下列各题中，p是否为q的充要条件？
(1)设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，p：二次函数的图像开口向上，q：a>0；
(2)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
(3)p：|x|>3，q：x2>9.
解 (1)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其图像开口向上?a>0，所以p是q的充要条件.
(2)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p?q；
若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q?p，故p?q，
所以p是q的充要条件.
(3)由于p：|x|>3?q：x2>9，
所以p是q的充要条件.
规律方法 1.判断p是不是q的充要条件，主要是判断p?q及q?p这两个命题是否成立.若p?q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q?p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件.
2.在已知充要条件的前提下，充分条件是不确定的，只要保证是充要条件的一个子集即可，而充分不必要条件应为充要条件的一个真子集.
【训练1】 (1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是( )
A.ab＝0 B.ab>0
C.a2＋b2＝0 D.a2＋b2>0
解析 a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.
答案 D
(2)设非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则A?(A∩B)的充要条件为________；一个充分不必要条件可为________.
解析 A?(A∩B)?A?B??6≤a≤9.
综上可知，A?(A∩B)的充要条件为6≤a≤9；一个充分不必要条件可为7≤a≤9.
答案 6≤a≤9 7≤a≤9(答案不唯一)
题型二 充要条件的证明
【例2】 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明 先证必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，则a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
再证充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0，故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
规律方法 一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q?p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p?q.
【训练2】 求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像过原点的充要条件是b＝0.
证明 ①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，
x＝0时y＝0，函数图像过原点.
②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图像过原点，所以x＝0时y＝0，得0＝k·0＋b，b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像过原点的充要条件是b＝0.
题型三 递推法判断条件间的关系
【例3】 已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：
(1)s是q的什么条件？
(2)r是q的什么条件？
(3)p是q的什么条件？
解 (1)∵q是r的必要条件，∴r?q.
∵s是r的充分条件，∴s?r，
∴s?r?q，又∵q是s的充分条件，∴q?s.
∴s是q的充要条件.
(2)由r?q，q?s?r，知r是q的充要条件.
(3)∵p是r的必要条件，∴r?p，
∴q?r?p.又p? q，
∴p是q的必要不充分条件.
规律方法 解决传递性问题的关键是画出推出的结构图，也可以考虑命题之间的关系.
充分、必要条件具有传递性，若A?B，B?C，则A?C；若A?B，B?C，则A?C.
【训练3】 如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )
A.丙是甲的充分不必要条件
B.丙是甲的必要不充分条件
C.丙是甲的充要条件
D.丙是甲的既不充分也不必要条件
解析 如图所示，∵甲是乙的必要条件，∴乙?甲.
又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，
∴丙?乙，但乙? 丙.
综上，有丙?乙?甲，甲? 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.
答案 A
一、素养落地
1.通过学习充要条件的概念培养数学抽象素养，通过判断充要条件提升逻辑推理素养.
2.充要条件的证明与探求
(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：
①p是q的充要条件，则由p?q证的是充分性，由q?p证的是必要性；
②p的充要条件是q，则由p?q证的是必要性，由q?p证的是充分性.
(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.
二、素养训练
1.“1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 设A＝{x|1答案 A
2.“xy＝0”是“x2＋y2＝0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 “x2＋y2＝0”可化为“x＝0且y＝0”.故选B.
答案 B
3.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若x＝1，则x2－2x＋1＝0；若x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，则x＝1.故选A.
答案 A
4.设p：a，b都是偶数，q：a＋b是偶数，则p是q成立的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 p?q，但q? p.
答案 B
5.关于x的不等式|x|>a的解集为R的充要条件是________.
解析 由题意知|x|>a恒成立，
∵|x|≥0，∴a<0.
答案 a<0
基础达标
一、选择题
1.设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则a2＋b2＝c2?△ABC为直角三角形，故选C.
答案 C
2.已知p：－2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 ∵{x|－1∴p是q的必要不充分条件，选B.
答案 B
3.设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 当x>1且y>1时，x＋y>2，所以充分性成立；
令x＝－1，y＝4，则x＋y>2，但x<1，所以必要性不成立，
所以p是q的充分不必要条件.故选A.
答案 A
4.使“x∈”成立的一个充分不必要条件是( )
A.x≥0 B.x<0或x>2
C.x∈{－1，3，5} D.x≤－或x≥3
解析 选项中只有x∈{－1，3，5}是使“x∈
”成立的一个充分不必要条件.
答案 C
5.“x＝1”是“x∈{x|x≤a}”的充分条件，则实数a的取值范围为( )
A.a＝ B.a<
C.a<1 D.a≥1
解析 由题意，{1}是{x|x≤a}的子集，∴a≥1.故选D.
答案 D
二、填空题
6.p：两个三角形的三条边对应相等，q：两个三角形全等，则p是q的________条件(填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”).
解析 p?q，q?p，故p是q的充要条件.
答案 充要
7.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像不过第三象限的充要条件是________.
解析 如图所示，要使一次函数y＝kx＋b(k≠0)不过第三象限，则需k<0且b≥0.
答案 k<0且b≥0
8.命题p：x>0，y<0，命题q：x>y，>，则p是q的________条件(填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”).
解析 当x>0，y<0时，x>y且>成立；
当x>y且>时，得?
所以p是q的充要条件.
答案 充要
三、解答题
9.指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答).
(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：x＝2或－2，q：分式的值为0；
(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c.
解 (1)x－3＝0?(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0? x－3＝0，故p是q的充分不必要条件.
(2)x＝2或－2? 分式的值为0，但分式的值为0?x＝2或－2，故p是q的必要不充分条件；
(3)a>b?a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c?a>b，故p是q的充要条件.
10.已知P＝{x|－2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要不充分条件，求m的取值范围.
解 ∵x∈P是x∈S的必要不充分条件，则S?P.
∴或解得m≤3.
又∵S为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0.
综上，x∈P是x∈S的必要不充分条件时，m的取值范围为[0，3].
能力提升
11.不等式3x＋a≥0成立的充要条件为x≥2，求a的值.
解 3x＋a≥0化为x≥－.
由题意＝{x|x≥2}，
所以－＝2，a＝－6.
12.已知a，b，c均为实数，证明“ac<0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件.
证明 充分性：∵ac<0，∴a≠0，∴方程ax2＋bx＋c＝0为一元二次方程，且Δ＝b2－4ac≥－4ac>0，∴ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，分别设为x1，x2.
∵ac<0，∴x1·x2＝<0，∴x1，x2为一正一负，即ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根.
必要性：∵ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，∴a≠0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0为一元二次方程.
设两个根分别为x1，x2，则x1·x2＝<0，∴ac<0.
综上知，“ac<0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件.
课件22张PPT。1.2.3 充分条件、必要条件
第一课时 充分条件、必要条件教材知识探究某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯.这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示.问题 (1)A开关闭合时B灯一定亮吗？
(2)B灯亮时A开关一定闭合吗？
提示 (1)一定亮.
(2)不一定，还可能是C开关闭合.充分条件与必要条件区分概念中充分条件与必要条件的推出方向(1)定义：一般地，若“如果p，那么q”是一个真命题，则称由p可以推出q，记作p?q，读作“p推出q”，并且说p是q的 ，q是p的 .
否则，称p推不出q，记作p?q，读作“p推不出q”，此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.(2)用集合知识理解充分条件与必要条件
一般地，如果A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，且A?B(如图所示)，那么p(x)?q(x)，因此也就有p(x)是q(x)的 ，q(x)是p(x)的 .充分条件必要条件充分条件必要条件(3)充分条件、必要条件与判定定理、性质定理的关系
①判定定理实际上是给出了一个充分条件；
②性质定理实际上是给出了一个必要条件教材拓展补遗
[微判断]
1.若p是q的充分条件，则p是唯一的.( )
提示 不是唯一的，使结论成立的条件有多个.
2.“若q，则p”是真命题，则p是q的必要条件.( )
3.“x＝3”是“x2＝9”的充分条件.( )
4.“ab>0”是“a>0，b>0”的必要条件.( )×√√√[微训练]
1.“x>2”是“x>3”的________条件(填“充分”或“必要”).
答案 必要
2.“a＝b”是“ac＝bc”的________条件(填“充分”或“必要”).
答案 充分[微思考]
你能将性质定理“菱形的对角线互相垂直”写成“若p，则q”的形式，并用必要条件的语言表述吗？
提示 “菱形的对角线互相垂直”可表述为“若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直”，所以“对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要条件.题型一【例1】 判断下列各题中，p是q的什么条件：充分条件、必要条件的判断(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
(3)p：A?B，q：A∩B＝A；
(4)p：a>b，q：ac>bc.解 (1)∵两个三角形相似?两个三角形全等，但两个三角形全等?两个三角形相似，
∴p是q的必要条件，但不是充分条件.
(2)∵矩形的对角线相等，∴p?q，
而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q? p.
∴p是q的充分条件，但不是必要条件.
(3)∵p?q且q?p，
∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件.
(4)∵p?/ q，且q?/ p，∴p是q的既不充分也不必要条件.规律方法 要判断p是不是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是不是q的必要条件，就要看q能否推出p.【训练1】 指出下列各题中p是不是q的充分条件.(1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB.
(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.
(3)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0.
解 (1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C?AC>AB，所以p是q的充分条件.
(2)对于实数x，y，因为x＝2且y＝6?x＋y＝8，
所以由x＋y≠8?x≠2或y≠6，故p是q的充分条件.
(3)由x＝1?(x－1)(x－2)＝0，故p是q的充分条件.
故(1)(2)(3)命题中p是q的充分条件.题型二【例2】 (1)已知P＝{x|a－4∵p是q的充分条件，∴M?N，答案 (1)[－1，5] (2)(0，3)规律方法 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.【训练2】 (1)若“x2或x<1”的充分条件，求m的取值范围.
(2)已知p：x<－3或x>1，q：x>a，且p是q的必要条件，求a的取值范围.解 (1)由已知条件知{x|x2或x<1}，
∴m≤1.即m的取值范围为(－∞，1].
(2)由已知条件得{x|x>a}?{x|x<－3或x>1}，∴a≥1.即a的取值范围为[1，＋∞).一、素养落地
1.通过学习充分条件与必要条件的概念提升数学抽象素养，通过判断充分条件与必要条件及其应用培养逻辑推理素养.
2.充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断.
(2)利用集合间的包含关系进行判断.
3.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，注意转化与化归思想的应用.二、素养训练
1.“－21或x<－1”的( )A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既不充分，也不必要条件
D.既充分，也必要条件
解析 ∵－21或x<－1，且x>1或x<－1D?－21或x<－1”的既不充分也不必要条件.
答案 C2.“a>b”是“a>|b|”的( )A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既充分也必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 由a>|b|?a>b，而由a>b推不出a>|b|.∴“a>b”是“a>|b|”的必要条件但不是充分条件.
答案 B3.若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既不充分也不必要条件
D.无法判断
解析 当a＝1时，|a|＝1成立，
但|a|＝1时，a＝±1，∴a＝1不一定成立.
∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件，但不是必要条件.
答案 A4.若p：a∈M∪N，q：a∈M，则p是q的( )A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既充分又必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 由a∈M∪N?a∈M，但由a∈M?a∈M∪N，即p?q，但q?p.
答案 B5.若“x>m”是“x>3或x<1”的充分条件但不必要条件，求m的取值范围.解 由已知条件，知{x|x>m}?{x|x>3或x<1}，∴m≥3.即m的取值范围为[3，＋∞).三、审题答题
示范(一) 利用充分条件(必要条件)求参数范围【典型示例】 (12分)已知p是q的充分条件但不是必要条件③的最小正整数a④.联想解题
看到①②转化成集合形式.看到③想到需转化为p与q对应集合间的包含关系，然后建立关于a的不等式组求解.看到④想到求出的是a的一个范围，然后在此基础上求出最小正整数a.和q：满分示范
解 依题意a＞0.由p：x<1－a或x>1＋a，可设M＝{x|x<1－a或x>1＋a}，1分即p?q，反之不成立.∴a＝1.12分满分心得
解本题的关键是“p是q的充分条件但不是必要条件”的转化，利用两个解集间的包含关系建立不等关系求解.课件23张PPT。第二课时 充要条件教材知识探究主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了.”主人听了，随口说了句：“该来的没有来.”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了.主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了.”李四听了大怒，拂袖而去.
问题 请你用逻辑学原理解释二人离去的原因.
提示 张三走的原因是：“该来的没有来”的等价命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的.李四走的原因是：“不该走的又走了”的等价命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该走的.充要条件
(1)四类条件
①一般地，如果p? q且 ，则称p是q的充分不必要条件.
②如果p? q且______，则称p是q的必要不充分条件.
③如果p?q且______ ，则称p是q的充分必要条件(简称为充要条件)，记作p?q，此时，也读作“p与q等价”“p当且仅当q”.
④如果p? q且q? p，则称p是q的既不充分也不必要条件.
(2)充要条件与数学中定义的关系
一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的一个___________.q? pq? pq? p充要条件教材拓展补遗
[微判断]
1.四边形是平行四边形的充要条件是四边形的两组对边分别相等.( )
2.两个三角形相似的充要条件是两个三角形的三边对应成比例.( )
3.xy>0是x>0，y>0的充要条件.( )
提示 必要不充分条件. √√×[微训练]
1.“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的________条件.答案 必要不充分2.设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的________条件.解析 当x>1时，x3>1；当x3>1时，x>1.答案 充要[微思考]若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.这种说法对吗？
提示 正确.若p是q的充要条件，则p?q，即p等价于q，故此说法正确.题型一【例1】 判断下列各题中，p是否为q的充要条件？充要条件的判断与探求 (1)设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，p：二次函数的图像开口向上，q：a>0；
(2)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
(3)p：|x|>3，q：x2>9.
解 (1)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其图像开口向上?a>0，所以p是q的充要条件.
(2)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p?q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q?p，故p?q，
所以p是q的充要条件.
(3)由于p：|x|>3?q：x2>9，所以p是q的充要条件.规律方法 1.判断p是不是q的充要条件，主要是判断p?q及q?p这两个命题是否成立.若p?q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q?p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件.
2.在已知充要条件的前提下，充分条件是不确定的，只要保证是充要条件的一个子集即可，而充分不必要条件应为充要条件的一个真子集.【训练1】 (1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是( )A.ab＝0 B.ab>0
C.a2＋b2＝0 D.a2＋b2>0
解析 a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.
答案 D(2)设非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则A?(A∩B)的充要条件为________；一个充分不必要条件可为________.综上可知，A?(A∩B)的充要条件为6≤a≤9；一个充分不必要条件可为7≤a≤9.答案 6≤a≤9 7≤a≤9(答案不唯一)题型二【例2】 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.充要条件的证明证明 先证必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，则a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
再证充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0，故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.规律方法 一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q?p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p?q.【训练2】 求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像过原点的充要条件是b＝0.证明 ①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，
x＝0时y＝0，函数图像过原点.
②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图像过原点，所以x＝0时y＝0，得0＝k·0＋b，b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像过原点的充要条件是b＝0.题型三【例3】 已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：递推法判断条件间的关系(1)s是q的什么条件？
(2)r是q的什么条件？
(3)p是q的什么条件？
解 (1)∵q是r的必要条件，∴r?q.∵s是r的充分条件，∴s?r，
∴s?r?q，又∵q是s的充分条件，∴q?s.∴s是q的充要条件.
(2)由r?q，q?s?r，知r是q的充要条件.
(3)∵p是r的必要条件，∴r?p，∴q?r?p.又p? q，
∴p是q的必要不充分条件.规律方法 解决传递性问题的关键是画出推出的结构图，也可以考虑命题之间的关系. 充分、必要条件具有传递性，若A?B，B?C，则A?C；若A?B，B?C，则A?C.【训练3】 如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )A.丙是甲的充分不必要条件 B.丙是甲的必要不充分条件
C.丙是甲的充要条件 D.丙是甲的既不充分也不必要条件
解析 如图所示，∵甲是乙的必要条件，∴乙?甲.又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，
∴丙?乙，但乙?丙.
综上，有丙?乙?甲，甲? 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.
答案 A一、素养落地
1.通过学习充要条件的概念培养数学抽象素养，通过判断充要条件提升逻辑推理素养.
2.充要条件的证明与探求
(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：
①p是q的充要条件，则由p?q证的是充分性，由q?p证的是必要性；
②p的充要条件是q，则由p?q证的是必要性，由q?p证的是充分性.
(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.二、素养训练
1.“1C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 设A＝{x|1答案 A2.“xy＝0”是“x2＋y2＝0”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 “x2＋y2＝0”可化为“x＝0且y＝0”.故选B.
答案 B3.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( )A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若x＝1，则x2－2x＋1＝0；若x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，则x＝1.故选A.
答案 A4.设p：a，b都是偶数，q：a＋b是偶数，则p是q成立的( )A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 p?q，但q? p.
答案 B5.关于x的不等式|x|>a的解集为R的充要条件是________.解析 由题意知|x|>a恒成立，
∵|x|≥0，∴a<0.答案 a<0