课件30张PPT。[数学文化]——了解数学文化的发展与应用柯西与柯西不等式在历史上，有一位数学家叫欧拉，他的徒弟叫拉格朗日，他徒弟的徒弟叫柯西.这个徒弟的徒弟虽然比不上他，但是还是写了些东西的，做出了一些成就.柯西，出生于巴黎，在数学领域有很高的建树和造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分等式，他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书.第二章 等式与不等式[读图探新]——发现现象背后的知识1.在日常生活中，购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.2 m(含1.2 m)而不超过1.5 m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票(简称儿童票)，超1.5 m时应买全价票.每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票.图12.汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还需继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，“刹车距离”是分析 事故的重要因素.在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但最后还是碰了，事后现场勘查发现甲的刹车距离超过12 m，乙的刹车距离超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离S(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.图2图3问题1：在图1中，从数学的角度应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？
问题2：在图2中，如何检验甲、乙两车有无超速现象？
问题3：在图3中，这样计算的重量相对于原来的真实重量到底是大了还是小了呢？
链接：相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，我们可以利用相等关系或不等关系构建方程、不等式等，不等式中通常利用不等符号来表示，如不超过即为小于等于，超过则为大于.刹车距离与速度有着密切的关系，通过本章学习，我们可以迅速地判断汽车是否超速及项链重量的真实性问题.2.1 等 式
2.1.1 等式的性质与方程的解集教材知识探究有只狡猾的狐狸平时总喜欢戏弄其它动物，有一天它遇见老虎，狐狸说：“我发现了2和5可以相等.我这里有一个方程5x－2＝2x－2.
等式两边同时加上2，得5x－2＋2＝2x－2＋2，即5x＝2x ①
等式两边同时除以x，得5＝2 ②”
老虎瞪大了眼睛，一脸的疑惑.你认为狐狸的说法正确吗？
问题 如果正确，请说明理由；如果不正确，请指出错在哪里，并加以改正.1.等式的性质这些性质是等式或方程变形的依据(1)如果a＝b，则对任意c，都有a＋c____b＋c；
(2)如果a＝b，则对任意不为零的c，都有ac____bc；
(3)如果a＝b，则对任意c，都有a－c____b－c；＝＝＝＝2.恒等式(1)恒等式的含义若恒等式两边是多项式，则对应项的系数相等一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取 时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等.
(2)常见的代数恒等式
①(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
②a2－b2＝(a＋b)(a－b)
③a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)
a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)
④(x＋a)(x＋b)＝_________________
(ax＋b)(cx＋d)＝ x2＋(a＋b)x＋abacx2＋(ad＋bc)x＋bd任意实数(3)十字相乘法
给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ 且C＝ ，则x2＋Cx＋D＝ .为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用图来表示：其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于____，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”.aba＋b(x＋a)(x＋b)C3.方程的解集(1)方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的________的值.一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集.
(2)方程(x－x1)(x－x2)＝0，当x1≠x2时解集为 ，
当x1＝x2时解集为______.未知数{x1，x2}{x1}教材拓展补遗
[微判断]1.若ac＝bc，则a＝b.( )
提示 当c＝0时，不一定有a＝b.××3.2x＋5＝0是等式，但不是恒等式.( )
4.t3－1＝(t－1)(t2＋t＋1)是恒等式.( )√√[微训练]
1.根据等式的性质，下列各式变形正确的是( )答案 A2.若a＝b，则在①a＋3＝b＋3；②a＋2＝b－2；③a－m＝b－m；④a＋4＝b－2中，正确的个数有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析 由等式性质知①③正确，②④不正确.
答案 B3.(1)(m＋n)·k＝mk＋nk用量词表述为____________________________________.
(2)x(x＋2)＝0用量词表述为_____________________________________________.
答案 (1)对?m，n，k∈R，(m＋n)k＝mk＋nk
(2)?x∈R，x(x＋2)＝0[微思考]
1.方程是等式吗？
提示 方程是等式.
2.x＋y＝1是恒等式吗？
提示 x＋y＝1不是恒等式.
3.若Ex2＋Fx＋G＝(ax＋b)(cx＋d)，则E，F，G与a，b，c，d之间有什么关系.
提示 E＝ac，F＝ad＋bc，G＝bd.题型一 代数式的化简
【例1】 化简(x＋1)2－(1－2x)2.解 法一 (x＋1)2－(1－2x)2＝x2＋2x＋1－(1－4x＋4x2)＝x2＋2x＋1－1＋4x－4x2＝－3x2＋6x.
法二 (x＋1)2－(1－2x)2＝[(x＋1)＋(1－2x)][(x＋1)－(1－2x)]＝(2－x)3x＝－3x2＋6x.规律方法 代数式的化简常利用到代数乘法公式.【训练1】 化简(3x＋1)2－(x＋1)2.解 法一 (3x＋1)2－(x＋1)2＝9x2＋6x＋1－(x2＋2x＋1)＝9x2＋6x＋1－x2－2x－1＝8x2＋4x.
法二 (3x＋1)2－(x＋1)2＝[(3x＋1)＋(x＋1)][(3x＋1)－(x＋1)]＝(4x＋2)·2x＝8x2＋4x.题型二 “十字相乘法”分解因式
【例2】 分解因式：(1)x2－x－6；(2)2x2－3x＋1.规律方法 (1)x2＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b)需满足C＝a＋b，D＝ab；
(2)Ex2＋Fx＋G＝(ax＋b)(cx＋d)需满足E＝ac，F＝ad＋bc，G＝bd.【训练2】 分解因式：
(1)x2－3x＋2；(2)－x2＋(a－2)x＋2a.题型三 求方程的解集
【例3】 (1)求关于x的方程ax＝1(其中a是常数)的解集；
(2)求方程4x2－3x－1＝0的解集.解 (1)当a＝0时，0×x＝1无解，此时解集为?；(2)因为4x2－3x－1＝(x－1)(4x＋1)，
所以原方程可化为(x－1)(4x＋1)＝0，规律方法 1.对于形如ax＝b(x为未知数，a，b为常数)的方程要注意讨论a，b是否为零.
2.“十字相乘法”也是解一元二次方程的一种常见方法.【训练3】 (1)求关于x的方程ax＝0(其中a为常数)的解集；
(2)求关于x的方程3x2－(6＋t)x＋2t＝0(其中t为常数)的解集.解 (1)当a＝0时，解集为R；当a≠0时，解集为{0}.
(2)∵3x2－(6＋t)x＋2t＝(x－2)(3x－t)，
原方程可化为(x－2)(3x－t)＝0，∴x－2＝0或3x－t＝0.一、素养落地
1.通过等式性质及恒等式代数变形的应用，能加强我们对运算合理性、严谨性的认识，提升数学运算素养.
2.恒等式是进行代数变形的依据之一，要熟悉常见的代数恒等式，重点掌握“十字相乘法”这一常见方法.
3.对于求含参数的方程的解集，要注意对参数分类讨论，并把结果写成集合形式.二、素养训练
1.下列说法正确的是( )答案 B2.下列叙述正确的有( )解析 由等式的定义知①正确；关于x，y的方程x＋y＝1有无数个解，②不正确；对③，当a＝0时，不正确；对④，当二次三项式的判别式小于零时，不正确.答案 B3.方程x(x－1)(x＋2)(x＋5)＝0的解集是________.解析 由x(x－1)(x＋2)(x＋5)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－2或x＝－5.∴方程的解集为{－5，－2，0，1}.
答案 {－5，－2，0，1}4.由恒等式(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，可直接得到(a－b)3＝________.解析 在恒等式中，以－b代b得(a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3.答案 a3－3a2b＋3ab2－b3第二章 等式与不等式
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
柯西与柯西不等式
在历史上，有一位数学家叫欧拉，他的徒弟叫拉格朗日，他徒弟的徒弟叫柯西.这个徒弟的徒弟虽然比不上他，但是还是写了些东西的，做出了一些成就.柯西，出生于巴黎，在数学领域有很高的建树和造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分等式，他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书.
[读图探新]——发现现象背后的知识
1.在日常生活中，购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.2 m(含
1.2 m)而不超过1.5 m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票(简称儿童票)，超1.5 m时应买全价票.每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票.
图1
2.汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还需继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，“刹车距离”是分析
事故的重要因素.在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但最后还是碰了，事后现场勘查发现甲的刹车距离超过12 m，乙的刹车距离超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离S(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.
图2
3.某金店有一座天平，由于左、右两臂长略有不等，所以直接称重不准确.有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左、右两盘各称一次，得到两个不同的重量a和b，然后就把两次称得的重量的算术平均数作为项链的重量来计算.顾客对这个重量的真实性提出了质疑.
图3
问题1：在图1中，从数学的角度应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？
问题2：在图2中，如何检验甲、乙两车有无超速现象？
问题3：在图3中，这样计算的重量相对于原来的真实重量到底是大了还是小了呢？
链接：相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，我们可以利用相等关系或不等关系构建方程、不等式等，不等式中通常利用不等符号来表示，如不超过即为小于等于，超过则为大于.刹车距离与速度有着密切的关系，通过本章学习，我们可以迅速地判断汽车是否超速及项链重量的真实性问题.
2.1 等 式
2.1.1 等式的性质与方程的解集
课标要求
素养要求
1.能用符号语言和量词表示等式的性质.
2.了解恒等式，掌握常见的恒等式，会用“十字相乘法”分解二次三项式.
3.能利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，求一些方程的解集.
通过利用等式的性质和恒等式的变形培养数学运算素养.
教材知识探究
有只狡猾的狐狸平时总喜欢戏弄其它动物，有一天它遇见老虎，狐狸说：“我发现了2和5可以相等.我这里有一个方程5x－2＝2x－2.
等式两边同时加上2，得5x－2＋2＝2x－2＋2，即5x＝2x ①
等式两边同时除以x，得5＝2 ②”
老虎瞪大了眼睛，一脸的疑惑.你认为狐狸的说法正确吗？
问题 如果正确，请说明理由；如果不正确，请指出错在哪里，并加以改正.
提示 不正确.错在②上，应改为等式两边同时加上－2x，得5x－2x＝2x－2x，即3x＝0，两边同乘以，得x＝0.
1.等式的性质 这些性质是等式或方程变形的依据
(1)如果a＝b，则对任意c，都有a＋c＝b＋c；
(2)如果a＝b，则对任意不为零的c，都有ac＝bc；
(3)如果a＝b，则对任意c，都有a－c＝b－c；
(4)如果a＝b，则对任意不为零的c，都有＝.
2.恒等式
(1)恒等式的含义 若恒等式两边是多项式，则对应项的系数相等
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等.
(2)常见的代数恒等式
①(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
②a2－b2＝(a＋b)(a－b)
③a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)
a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)
④(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab
(ax＋b)(cx＋d)＝acx2＋(ad＋bc)x＋bd
(3)十字相乘法
给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，则x2＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b).为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用图来表示： ，其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”.
3.方程的解集
(1)方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值.一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集.
(2)方程(x－x1)(x－x2)＝0，当x1≠x2时解集为{x1，x2}，
当x1＝x2时解集为{x1}.
教材拓展补遗
[微判断]
1.若ac＝bc，则a＝b.(×)
提示 当c＝0时，不一定有a＝b.
2.若a＝b，则＝.(×)
提示 当c＝0时，得不到＝.
3.2x＋5＝0是等式，但不是恒等式.(√)
4.t3－1＝(t－1)(t2＋t＋1)是恒等式.(√)
[微训练]
1.根据等式的性质，下列各式变形正确的是( )
A.由x＝y，得x＝2y
B.由3x－2＝4x＋2，得x＝4
C.由2x－3＝3x，得x＝3
D.由3x－5＝7，得3x＝7－5
解析 对等式x＝y两边同乘以3，得x＝2y，A正确，B、C、D均不正确.
答案 A
2.若a＝b，则在①a＋3＝b＋3；②a＋2＝b－2；③a－m＝b－m；④a＋4＝b－2中，正确的个数有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析 由等式性质知①③正确，②④不正确.
答案 B
3.(1)(m＋n)·k＝mk＋nk用量词表述为____________________________________.
(2)x(x＋2)＝0用量词表述为_____________________________________________.
答案 (1)对?m，n，k∈R，(m＋n)k＝mk＋nk
(2)?x∈R，x(x＋2)＝0
[微思考]
1.方程是等式吗？
提示 方程是等式.
2.x＋y＝1是恒等式吗？
提示 x＋y＝1不是恒等式.
3.若Ex2＋Fx＋G＝(ax＋b)(cx＋d)，则E，F，G与a，b，c，d之间有什么关系.
提示 E＝ac，F＝ad＋bc，G＝bd.
题型一 代数式的化简
【例1】 化简(x＋1)2－(1－2x)2.
解 法一 (x＋1)2－(1－2x)2＝x2＋2x＋1－(1－4x＋4x2)＝x2＋2x＋1－1＋4x－4x2＝－3x2＋6x.
法二 (x＋1)2－(1－2x)2＝[(x＋1)＋(1－2x)][(x＋1)－(1－2x)]＝(2－x)3x＝－3x2＋6x.
规律方法 代数式的化简常利用到代数乘法公式.
【训练1】 化简(3x＋1)2－(x＋1)2.
解 法一 (3x＋1)2－(x＋1)2＝9x2＋6x＋1－(x2＋2x＋1)＝9x2＋6x＋1－x2－2x－1＝8x2＋4x.
法二 (3x＋1)2－(x＋1)2＝[(3x＋1)＋(x＋1)][(3x＋1)－(x＋1)]＝(4x＋2)·2x＝8x2＋4x.
题型二 “十字相乘法”分解因式
【例2】 分解因式：
(1)x2－x－6；(2)2x2－3x＋1.
规律方法 (1)x2＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b)需满足C＝a＋b，D＝ab；
(2)Ex2＋Fx＋G＝(ax＋b)(cx＋d)需满足E＝ac，F＝ad＋bc，G＝bd.
【训练2】 分解因式：
(1)x2－3x＋2；(2)－x2＋(a－2)x＋2a.
题型三 求方程的解集
【例3】 (1)求关于x的方程ax＝1(其中a是常数)的解集；
(2)求方程4x2－3x－1＝0的解集.
解 (1)当a＝0时，0×x＝1无解，此时解集为?；
当a≠0时，在方程ax＝1两边同时乘以，得x＝，
此时解集为；
综上，当a＝0时，解集为?；当a≠0时，解集为.
(2)因为4x2－3x－1＝(x－1)(4x＋1)，
所以原方程可化为(x－1)(4x＋1)＝0，
所以x－1＝0或4x＋1＝0，即x＝1或x＝－，
故原方程的解集为.
规律方法 1.对于形如ax＝b(x为未知数，a，b为常数)的方程要注意讨论a，b是否为零.
2.“十字相乘法”也是解一元二次方程的一种常见方法.
【训练3】 (1)求关于x的方程ax＝0(其中a为常数)的解集；
(2)求关于x的方程3x2－(6＋t)x＋2t＝0(其中t为常数)的解集.
解 (1)当a＝0时，解集为R；
当a≠0时，解集为{0}.
(2)∵3x2－(6＋t)x＋2t＝(x－2)(3x－t)，
原方程可化为(x－2)(3x－t)＝0，
∴x－2＝0或3x－t＝0.
即x＝2或x＝，
∴当t＝6时，方程的解集为{2}；
当t≠6时，方程的解集为.
一、素养落地
1.通过等式性质及恒等式代数变形的应用，能加强我们对运算合理性、严谨性的认识，提升数学运算素养.
2.恒等式是进行代数变形的依据之一，要熟悉常见的代数恒等式，重点掌握“十字相乘法”这一常见方法.
3.对于求含参数的方程的解集，要注意对参数分类讨论，并把结果写成集合形式.
二、素养训练
1.下列说法正确的是( )
A.在等式ab＝ac两边都除以a，可得b＝c
B.在等式a＝b两边都除以c2＋1，可得＝
C.在等式＝两边都除以a，可得b＝c
D.在等式2x＝2a－b两边同除以2，可得x＝a－b
解析 对A，当a＝0时不正确；对B，∵c2＋1≠0，∴B正确；对C，等式＝两边都除以a可得＝，∴C不正确；对D在等式2x＝2a－b两边同除以2，得x＝a－，∴D不正确.
答案 B
2.下列叙述正确的有( )
①用等号连接的式子叫等式
②方程不可能有无数个解
③方程ax＝10的解集为
④二次三项式都能进行因式分解
A.0个 B.1个
C.3个 D.4个
解析 由等式的定义知①正确；关于x，y的方程x＋y＝1有无数个解，②不正确；对③，当a＝0时，不正确；对④，当二次三项式的判别式小于零时，不正确.
答案 B
3.方程x(x－1)(x＋2)(x＋5)＝0的解集是________.
解析 由x(x－1)(x＋2)(x＋5)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－2或x＝－5.∴方程的解集为{－5，－2，0，1}.
答案 {－5，－2，0，1}
4.由恒等式(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，可直接得到(a－b)3＝________.
解析 在恒等式中，以－b代b得(a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3.
答案 a3－3a2b＋3ab2－b3
5.求方程－＝－的解集.
解 方程可化为＝，
即＝.
∴x2＋3x＋2＝x2＋7x＋12≠0
∴x＝－，所求解集为.
基础达标
一、选择题
1.下列等式变形正确的是( )
A.若x－1＝y＋1，则x＝y B.若m＝n，则＝
C.若2x＝－2x，则x＝－2 D.若2x＝3，则x＝
解析 若m＝n，则两边同除以3，得＝，故B正确，其余均不正确.
答案 B
2.下列式子是恒等式的是( )
A.＝3 B.y＝x＋1
C.a2－2b2＝(a＋b)(a－b) D.5x－2＝0
解析 A中等式不含字母，不是恒等式；对B，当x＝1，y＝1时不成立，不是恒等式；对C，对?a，b∈R，等式均成立，∴C中等式是恒等式；对D，由于只有x＝时等式成立，不是恒等式.
答案 C
3.下列叙述正确的个数为( )
①x2－x＋1不能分解因式
②a2－2ab－3b2可分解为(a＋b)(a－3b)
③在恒等式(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca中，以－b代b可得(a－b＋c)2＝a2＋b2＋c2－2ab－2bc＋2ca
④y＝x2＋1用量词表述为“对?x∈R，?y∈R，y＝x2＋1”
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 ①②③④均正确，选D.
答案 D
4.若4x3－x＝1，则8x4＋12x3－2x2－5x＋5的值是( )
A.2 B.4
C.6 D.8
解析 ∵4x3－x＝1，∴8x4＋12x3－2x2－5x＋5＝2x(4x3－x)＋3(4x3－x)－2x＋5＝2x＋3－2x＋5＝8.
答案 D
5.若＝M＋＋，a，b为常数，则( )
A.M是一个二次多项式 B.M是一个一次多项式
C.M＋a＋b＝6 D.a＋b－M＝10
解析 由已知等式得：
＝，
∴x2－1＝Mx2＋(－5M＋a＋b)x＋(6M－3a－2b)，
∴解得∴M＋a＋b＝6.
答案 C
二、填空题
6.利用十字相乘法分解因式：
(1)x2－(2a＋3)x＋6a＝________；
(2)6x2－x－1＝________.
解析 (1)11－2a－3
(2)23－11
故x2－(2a＋3)x＋6a＝(x－2a)(x－3)，
6x2－x－1＝(2x－1)(3x＋1).
答案 (1)(x－2a)(x－3) (2)(2x－1)(3x＋1)
7.已知x＝，y＝，那么＋＝________.
解析 由题意得：xy＝1，x＋y＝10，
∴原式＝＝＝970.
答案 970
8.已知a是整数，x，y是方程x2－xy－ax＋ay＋1＝0的整数解，则x－y＝________.
解析 原方程可变形为x(x－y)－a(x－y)＝－1，
即(x－y)(x－a)＝－1.
∵a，x，y都是整数，∴或
故x－y＝±1.
答案 ±1
三、解答题
9.已知5a－3b－1＝5b－3a，利用等式的性质比较a，b的大小.
解 原等式可化为8(a－b)＝1，∴a－b＞0即a＞b.
10.求关于x的方程ax＝2x－1的解集，其中a是常数.
解 原方程可化为(2－a)x＝1，当a＝2时，解集为?；
当a≠2时，解集为.
综上，当a＝2时，解集为?；当a≠2时，解集为.
能力提升
11.已知集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|ax＝1}，若A∪B＝A，求实数a的取值集合.
解 A＝{－1，2}，∵A∪B＝A，∴B?A.
当a＝0时，B＝?，满足B?A；
当a≠0时，B＝?{－1，2}，∴＝－1或＝2，
∴a＝－1或a＝.综上，a的取值集合为.
12.已知＝＝，求的值.
解 令＝＝＝k，
则a＋b＝2k，b－2c＝3k，3c－a＝4k，
∴a＝－k，b＝k，c＝k，
∴＝＝.
