2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
课标要求
素养要求
1.理解判别式的作用，掌握一元二次方程的解法：因式分解法(包括“十字相乘法”)，配方法和求根公式法(重点).
2.掌握一元二次方程根与系数的关系(韦达定理).
通过求一元二次方程的解集及根与系数关系的应用，提升逻辑推理和数学运算素养.
教材知识探究
利用恒等式的变形，推导一元二次方程根与系数的关系如下
设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)两根为x1，x2，
令ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)＝ax2－a(x1＋x2)x＋ax1x2，
∴即
1.一元二次方程的解集
(1)一般地，方程x2＝t：
①当t>0时，解集为{，－}；
②当t＝0时，解集为{0}；
③当t<0时，解集为?．
(2)一般地，方程(x－k)2＝t：
①当t>0时，解集为{k＋，k－}；
②当t＝0时，解集为{k}；
③当t<0时，解集为?．
(3)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式及求根公式
判别式只能判定实系数(系数全都是实数)一元二次方程的解集的情况
一般地，Δ＝b2－4ac称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式．对一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，Δ>0?有两个不相等的实根；Δ＝0?有两个相等的实根；Δ<0?无实数根．
当Δ≥0时，x1＝，x2＝叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式．
(4)一元二次方程的解集 实系数一元二次方程有实数根的充要条件是Δ≥0
设ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
①当Δ＝b2－4ac＞0时，方程的解集为；
②当Δ＝b2－4ac＝0时，方程的解集为；
③当Δ＝b2－4ac＜0，方程的解集为?. 是指在实数范围内方程无解．
2.一元二次方程根与系数的关系
对任何Δ≥0的一元二次方程，根与系数的关系都成立
设x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，则有
常用的几个变形：
①x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2；
②(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；
③x＋x＝(x1＋x2)3－3x1x2(x1＋x2)；
④|x1－x2|＝＝；
⑤＋＝.
教材拓展补遗
[微判断]
1.ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数)叫做一元二次方程.(×)
提示 当a＝0时，不是一元二次方程.
2.一元二次方程均可化为(x－k)2＝t的形式.(√)
3.一元二次方程解的情况由一元二次方程的系数完全确定.(√)
[微训练]
1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( )
A.3(x＋1)2＝2(x＋1) B.＋－2＝0
C.ax2＋bx＋c＝0 D.x2＋2x＝x2－1
解析 A中方程可化为3x2＋4x＋1＝0，是一元二次方程；B中方程是关于的一元二次方程；对C，当a＝0时，不是关于x的一元二次方程；D中方程可化为2x＝－1，不是一元二次方程.
答案 A
2.已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式m2－m的值等于( )
A.－1 B.0
C.1 D.2
解析 由题意，m2－m－1＝0，即m2－m＝1.
答案 C
3.关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝1，则p，q的值分别为( )
A.－3，2 B.3，－2
C.2，－3 D.2，3
解析 由根与系数的关系，得∴
答案 A
[微思考]
一元二次方程(系数均为实数)有两个根，它的解集是否一定有两个元素？
提示 当一元二次方程的判别式为零时，方程有两个相等的实数根，其解集只有一个元素.
题型一 一元二次方程判别式的应用
【例1】 试证明：不论m为何值，方程2x2－(4m－1)x－m2－m＝0总有两个不相等的实数根.
证明 ∵Δ＝[－(4m－1)]2－4×2×(－m2－m)＝24m2＋1＞0，
∴不论m为何值时，方程2x2－(4m－1)x－m2－m＝0总有两个不相等的实数根.
规律方法 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R且a≠0)的实数根的情况可由Δ＝b2－4ac加以判定，即Δ＞0时，有两不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根.
【训练1】 不解方程，判别下列方程根的情况.
(1)x2－14x＋12＝0；(2)4x2＋12x＋9＝0；
(3)2x2－3x＋6＝0.
解 (1)Δ＝(－14)2－4×1×12＝148＞0，∴x2－14x＋12＝0有两个不相等的实数根；
(2)Δ＝122－4×4×9＝0，∴4x2＋12＋9＝0有两个相等的实数根；
(3)Δ＝(－3)2－4×2×6＝－39＜0，∴2x2－3x＋6＝0没有实数根.
题型二 换元法的应用
【例2】 求方程－－1＝0的解集.
解 令y＝≠0，则方程－－1＝0可化为y2－y－1＝0，
由求根公式，得y1＝或y2＝，
即＝或＝，
∴x＝或x＝－，
∴原方程的解集为.
规律方法 通过引入新元y(y为关于x的代数式)，可把一些关于x的方程化为关于y的二次方程ay2＋by＋c＝0(a≠0)，从而求出y的值，进而求出x的值.
【训练2】 求下列方程的解集.
(1)x4－3x2＋2＝0；(2)x＋2－1＝0；
(3)(x2－x)2－(x2－x)－2＝0.
解 (1)令y＝x2≥0，得y2－3y＋2＝0，
∴y＝1或y＝2，即x2＝1或x2＝2，
∴x＝±1或x＝±.
∴原方程的解集为{－，－1，1，}.
(2)令y＝≥0，得y2＋2y－1＝0，
∴y＝－1＋或y＝－1－(舍).
从而＝－1＋，即x＝3－2，
∴原方程的解集为{3－2}.
(3)令x2－x＝t，得t2－t－2＝0，∴t1＝－1或t2＝2，
即x2－x＋1＝0 ①或x2－x－2＝0 ②
对①，Δ＝－3＜0，无实数解；
对②，易得x＝－1或x＝2，故原方程的解集为{－1，2}.
题型三 一元二次方程根与系数关系的应用
【例3】 已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求m的取值范围；
(2)当x＋x＝6x1x2时，求m的值.
解 (1)由Δ＝(－2)2－4(m－1)＝－4(m－2)≥0，得m≤2，即m的取值范围是
(－∞，2].
(2)由根与系数的关系，得
∵x＋x＝6x1x2，∴(x1＋x2)2＝8x1x2，
即22＝8(m－1)，解得m＝.
∵<2，∴m的值为.
规律方法 运用根与系数的关系，注意两点
(1)常见变形x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2，|x1－x2|＝；
(2)整体代入.
【训练3】 已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围；
(2)若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值.
解 (1)由Δ＝[－2(k－1)]2－4k2＝4(1－2k)≥0，得k≤，即k的取值范围是.
(2)由根与系数的关系，得
∵|x1＋x2|＝x1x2－1，∴|2(k－1)|＝k2－1 ①，
∵k∈，∴k－1≤－，∴①可化为－2＝k＋1，∴k＝－3.
一、素养落地
1.通过学习求一元二次方程的解集提升运算素养；通过学习根与系数的关系提升逻辑推理和数学运算素养.
2.求一元二次方程解集时，先用判别式判定解的情况再求解集.
3.运用根与系数关系时，注意恒等变形和整体代入.
二、素养训练
1.用配方法解下列方程时，配方有错误的是( )
A.x2－2x－99＝0化为(x－1)2＝100
B.x2＋8x＋9＝0化为(x＋4)2＝25
C.2t2－7t－4＝0化为＝
D.3y2－4y－2＝0化为＝
解析 x2＋8x＋9＝0配方应为(x＋4)2＝7.选B.
答案 B
2.如果关于x的方程ax2＋x－1＝0有实数根，则a的取值范围是( )
A. B.
C.∪(0，＋∞) D.∪(0，＋∞)
解析 当a＝0时，x＝1，符合题意；当a≠0时，由Δ＝12＋4a≥0，得a≥－.综上，a的取值范围为.
答案 B
3.已知(x2＋y2＋1)(x2＋y2－3)＝5，则x2＋y2＝________.
解析 令t＝x2＋y2≥0，则原方程可化为(t＋1)(t－3)＝5，即t2－2t－8＝0.
∴t＝4或t＝－2(舍去)，故x2＋y2＝4.
答案 4
4.已知关于x的方程x2－kx＋k－2＝0有两个正实根，则k的取值范围是________.
解析 由题意得解得k＞2.
答案 (2，＋∞)
5.求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程6x2－3x－2＝0的两根的平方.
解 设方程6x2－3x－2＝0的两根为x1，x2，
则x1＋x2＝，x1x2＝－.
由题意求作方程的两根为x，x，
则x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝，
x·x＝(x1x2)2＝，
故求作的一元二次方程为x2－x＋＝0，
即为36x2－33x＋4＝0.
基础达标
一、选择题
1.解方程(5x－1)2＝3(5x－1)的适当方法是( )
A.开平方法 B.配方法
C.公式法 D.因式分解法
解析 由(5x－1)2＝3(5x－1)，得(5x－1)(5x－4)＝0，再求解最简单.故选D.
答案 D
2.如果x2＋2(m－2)x＋9是完全平方式，那么m的值等于( )
A.5 B.5或－1
C.－1 D.－5或－1
解析 由题意m－2＝±3，∴m＝5或m＝－1.
答案 B
3.下列结论正确的是( )
A.若x2＝4，则x＝2
B.若x2－5xy－6y2＝0(xy≠0)，则＝6或＝－1
C.方程x(2x－1)＝2x－1的解集为{1}
D.方程＝0的解集为{1，2}
解析 对A，由x2＝4，得x＝±2；对B，∵xy≠0，∴方程两边同除以y2得－5－6＝0，∴＝6或＝－1；对C，方程可化为(2x－1)(x－1)＝0，解集为；对D，x＝1时方程无意义.故选B.
答案 B
4.已知α，β是一元二次方程x2－5x－2＝0的两实数根，则α2＋αβ＋β2的值为( )
A.－1 B.9
C.23 D.27
解析 由根与系数的关系，得
则α2＋αβ＋β2＝(α＋β)2－αβ＝52＋2＝27.
答案 D
5.小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项，解得两根为2，－3，而小华看错常数项，解得两根为－2，5，那么原方程为( )
A.x2－3x＋6＝0 B.x2－3x－6＝0
C.x2＋3x－6＝0 D.x2＋3x＋6＝0
解析 设原方程为x2＋mx＋n＝0，其两根为x1，x2，由题意，得
∴m＝－3，n＝－6.选B.
答案 B
二、填空题
6.设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2 018＝0的两个实根，则m2＋3m＋n＝________.
解析 ∵m，n是方程x2＋2x－2 018＝0的两根，
∴m2＋2m－2 018＝0，
即m2＋2m＝2 018，
又m＋n＝－2，故m2＋3m＋n＝(m2＋2m)＋(m＋n)＝2 018－2＝2 016.
答案 2 016
7.已知方程x2＋4x－2m＝0的一个根α比另一个根β小4，则α＝________，β＝________，m＝________.
解析 由Δ＝16＋8m＞0得m＞－2，由题意α＝β－4，即α－β＝－4 ①，又α＋β＝－4 ②，由①②得α＝－4，β＝0，∴αβ＝0＝－2m，m＝0.
答案 －4 0 0
8.关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1＝0的两实数根为负，则实数m的取值范围是________.
解析 设方程两根为x1，x2，则x1＜0，x2＜0，
∴∴0≤m＜.
答案
三、解答题
9.求下列方程的解集：
(1)x4－2x2－8＝0；(2)－－1＝0.
解 (1)令y＝x2(y≥0)，则原方程可变为y2－2y－8＝0，
∴y＝4或y＝－2(舍去)，即x2＝4，∴x＝±2，∴原方程的解集为{2，－2}.
(2)令y＝≠0，则原方程可化为6y2－y－1＝0，
∴(3y＋1)(2y－1)＝0，
∴y＝－或，即＝－或，
∴x＝－3或2，∴原方程的解集为{－3，2}.
10.设x1，x2是方程3x2－2x－4＝0的两根，不解方程，求下列各式的值；
(1)＋；(2)＋；(3)(x1－x2)2；(4)x＋x.
解 由根与系数的关系，得
(1)＋＝＝－.
(2)＋＝＝＝－2
＝－－2＝－.
(3)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝.
(4)x＋x＝(x1＋x2)(x－x1x2＋x)
＝(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]
＝(x1＋x2)3－3x1x2(x1＋x2)＝.
能力提升
11.已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根.
(1)是否存在a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值.
解 由题意知
∴a≥0且a≠6.
由根与系数的关系，得
(1)若－x1＋x1x2＝4＋x2，
则x1＋x2＋4＝x1x2，
即4－＝，∴a＝24.
故满足条件的a存在，且a＝24.
(2)∵(x1＋1)(x2＋1)＝(x1＋x2)＋x1x2＋1＝－＋1＝为负整数，
∴a可取的整数为7，8，9，12.
12.已知一元二次方程x2－4x＋k＝0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数，且x2－4x－k＝0与x2＋mx＋1＝0有一个根相同，求此时m的值.
解 (1)由题意Δ＝(－4)2－4k＝4(4－k)＞0，∴k<4.
即k的取值范围为(－∞，4).
(2)∵k∈(－∞，4)，∴k的最大整数为k＝3.∴方程x2－4x－k＝0即x2－4x－3＝0的解集为{2－，2＋}.设方程x2＋mx＋1＝0的两根为x1，x2，则
若方程x2＋mx＋1＝0的一个根为2－，则另一个根为＝－，
此时m＝－(x1＋x2)＝－＝.
若方程x2＋mx＋1＝0的一个根为2＋，则另一个根为＝，
此时m＝－(x1＋x2)＝－＝－.
课件26张PPT。2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系教材知识探究利用恒等式的变形，推导一元二次方程根与系数的关系如下
设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)两根为x1，x2，
令ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)＝ax2－a(x1＋x2)x＋ax1x2，1.一元二次方程的解集(1)一般地，方程x2＝t：
①当t>0时，解集为 ；
②当t＝0时，解集为 ；
③当t<0时，解集为 ．
(2)一般地，方程(x－k)2＝t：
①当t>0时，解集为 ；
②当t＝0时，解集为____；
③当t<0时，解集为_____．{0}?{k}?(3)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式及求根公式判别式只能判定实系数(系数全都是实数)一元二次方程的解集的情况一般地，Δ＝___________称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式．对一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，Δ>0?____________________；Δ＝0?____________________；Δ<0?__________．b2－4ac有两个不相等的实根有两个相等的实根无实数根(4)①当Δ＝b2－4ac＞0时，方程的解集为 一元二次方程的解集实系数一元二次方程有实数根的充要条件是Δ≥0设ax2＋bx＋c＝0(a≠0)②当Δ＝b2－4ac＝0时，方程的解集为 ③当Δ＝b2－4ac＜0，方程的解集为?.是指在实数范围内方程无解．2.一元二次方程根与系数的关系对任何Δ≥0的一元二次方程，根与系数的关系都成立教材拓展补遗
[微判断]1.ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数)叫做一元二次方程.( )
提示 当a＝0时，不是一元二次方程.
2.一元二次方程均可化为(x－k)2＝t的形式.( )
3.一元二次方程解的情况由一元二次方程的系数完全确定.( )×√√[微训练]
1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( )答案 A2.已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式m2－m的值等于( )A.－1 B.0
C.1 D.2
解析 由题意，m2－m－1＝0，即m2－m＝1.
答案 C3.关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝1，则p，q的值分别为( )答案 A[微思考]一元二次方程(系数均为实数)有两个根，它的解集是否一定有两个元素？
提示 当一元二次方程的判别式为零时，方程有两个相等的实数根，其解集只有一个元素.题型一 一元二次方程判别式的应用
【例1】 试证明：不论m为何值，方程2x2－(4m－1)x－m2－m＝0总有两个不相等的实数根.证明 ∵Δ＝[－(4m－1)]2－4×2×(－m2－m)＝24m2＋1＞0，
∴不论m为何值时，方程2x2－(4m－1)x－m2－m＝0总有两个不相等的实数根.规律方法 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R且a≠0)的实数根的情况可由Δ＝b2－4ac加以判定，即Δ＞0时，有两不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根.【训练1】 不解方程，判别下列方程根的情况.(1)x2－14x＋12＝0；(2)4x2＋12x＋9＝0；
(3)2x2－3x＋6＝0.
解 (1)Δ＝(－14)2－4×1×12＝148＞0，∴x2－14x＋12＝0有两个不相等的实数根；
(2)Δ＝122－4×4×9＝0，∴4x2＋12＋9＝0有两个相等的实数根；
(3)Δ＝(－3)2－4×2×6＝－39＜0，∴2x2－3x＋6＝0没有实数根.题型二 换元法的应用规律方法 通过引入新元y(y为关于x的代数式)，可把一些关于x的方程化为关于y的二次方程ay2＋by＋c＝0(a≠0)，从而求出y的值，进而求出x的值.【训练2】 求下列方程的解集.解 (1)令y＝x2≥0，得y2－3y＋2＝0，∴y＝1或y＝2，即x2＝1或x2＝2，(3)令x2－x＝t，得t2－t－2＝0，∴t1＝－1或t2＝2，
即x2－x＋1＝0 ①或x2－x－2＝0 ②
对①，Δ＝－3＜0，无实数解；对②，易得x＝－1或x＝2，故原方程的解集为{－1，2}.题型三 一元二次方程根与系数关系的应用
【例3】 已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个实数根x1，x2.解 (1)由Δ＝(－2)2－4(m－1)＝－4(m－2)≥0，得m≤2，即m的取值范围是(－∞，2].【训练3】 已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2.(1)求k的取值范围；
(2)若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值.∵|x1＋x2|＝x1x2－1，∴|2(k－1)|＝k2－1 ①，∴①可化为－2＝k＋1，∴k＝－3.一、素养落地
1.通过学习求一元二次方程的解集提升运算素养；通过学习根与系数的关系提升逻辑推理和数学运算素养.
2.求一元二次方程解集时，先用判别式判定解的情况再求解集.
3.运用根与系数关系时，注意恒等变形和整体代入.二、素养训练
1.用配方法解下列方程时，配方有错误的是( )解析 x2＋8x＋9＝0配方应为(x＋4)2＝7.选B.答案 B2.如果关于x的方程ax2＋x－1＝0有实数根，则a的取值范围是( )答案 B3.已知(x2＋y2＋1)(x2＋y2－3)＝5，则x2＋y2＝________.解析 令t＝x2＋y2≥0，则原方程可化为(t＋1)(t－3)＝5，即t2－2t－8＝0.
∴t＝4或t＝－2(舍去)，故x2＋y2＝4.答案 44.已知关于x的方程x2－kx＋k－2＝0有两个正实根，则k的取值范围是________.答案 (2，＋∞)5.求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程6x2－3x－2＝0的两根的平方.解 设方程6x2－3x－2＝0的两根为x1，x2，
