2.1.3 方程组的解集
课标要求
素养要求
1.了解方程组及其解集的定义.
2.掌握求方程组解集的常用方法.
3.了解方程组中方程个数、未知数个数对方程组解集的影响.
通过求方程组解集，提升数学运算素养.
教材知识探究
我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”
设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x，y，z，则当z＝81时，x＝________，y＝________.
提示 法一 由题意得
即解得
法二 100－81＝19(只)，81÷3＝27(元).
假设剩余的19只鸡全是鸡翁，则5×19＝95(元).
因为95－73＝22(元).
所以鸡母：22÷(5－3)＝11(只)，
鸡翁：19－11＝8(只).
方程组的解集
(1)概念
一般地，将多个方程联立，就能得到方程组.方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集.
(2)解法
求方程组解集的依据还是等式的性质等，常用的方法是消元法.
(3)方程组的解集
当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素.此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来.
教材拓展补遗
[微判断]
1.若ab＝0，则a＝0或b＝0.(√)
2.二元方程的解集是无限集.(×)
提示 (x－1)2＋(y－1)2＝0的解集为{(x，y)|(1，1)}.
3.二元一次方程组的解集可能是空集.(√)
[微训练]
1.若＋|2a－b＋1|＝0，则(b－a)2 019＝________.
解析 由题意得解得
∴(b－a)2 019＝(－3＋2)2 019＝(－1)2 019＝－1.
答案 －1
2.二元一次方程组的解集为{(x，y)|(2，1)}，则2m－n的算术平方根为________.
解析 由题意得
解得∴2m－n＝4，∴＝2.
答案 2
3.下列说法正确的是________(填序号).
①二元一次方程只有一个解；②二元一次方程组有无数个解；③二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的解；④三元一次方程组一定由三个三元一次方程组成.
解析 二元一次方程有无穷多个解，①不正确；二元一次方程组有一个解或无穷多个解或无解，②不正确；由方程组解集的定义知③正确；三元一次方程组中并非每一个方程均为三元一次方程，④不正确.
答案 ③
[微思考]
1.常见的消元法有哪两种？
提示 加减消元和代入消元.
2.解二元二次方程组的基本思路是什么？
提示 “消元”与“降次”.
题型一 二元一次方程组解的个数
【例1】 已知方程组试确定a，c的值，使方程组
(1)有一个解；(2)有无数个解；(3)没有解.
解 (1)当1×2－a≠0即a≠2时，方程组有一个解.
(2)当即a＝2且c＝14时，方程组有无穷多解.
(3)当即a＝2且c≠14时，方程组无解.
规律方法 对于二元一次方程组
(1)当A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1＝0(或B1C2－B2C1＝0)时，有无穷多解.
(2)当A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)时，无解.
(3)当A1B2－A2B1≠0时，有唯一解.
特别地，若A2B2C2≠0，
则当＝＝时，有无穷多解；
当＝≠时，无解；
当≠时，有唯一解.
【训练1】 (1)与二元一次方程5x－y＝2组成的方程组有无数多个解的方程是( )
A.10x＋2y＝4 B.4x－y＝7
C.20x－4y＝3 D.15x－3y＝6
(2)方程组有唯一解，则m的取值范围是________.
解析 (1)满足＝＝的方程为15x－3y＝6.故选D.
(2)方程组可化为
由题意得≠，∴m≠－5.
答案 (1)D (2)(－∞，－5)∪(－5，＋∞)
题型二 二元(三元)一次方程组的解法
【例2】 已知抛物线经过A(－2，0)，B，C(0，2)三点，求抛物线的表达式.
解 法一 设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则有解得
故抛物线的表达式为y＝2x2＋5x＋2.
法二 由题意可设抛物线的表达式为y＝a(x＋2)，把(0，2)代入，得2＝a.
∴抛物线的表达式为y＝2(x＋2)，
即为y＝2x2＋5x＋2.
规律方法 (1)消元法是解二元(三元)一次方程组的基本方法，要根据方程组的特点确定用加减消元法还是用代入消元法.
(2)待定系数法是求表达式的常用方法.
【训练2】 a，b，c取什么值时，x3－ax2＋bx＋c＝(x－1)·(x－2)(x－3)恒成立？
解 ∵(x－1)(x－2)(x－3)＝(x－1)(x2－5x＋6)＝x3－6x2＋11x－6，
∴要使x3－ax2＋bx＋c＝x3－6x2＋11x－6恒成立，
则∴
题型三 求二元二次方程组的解集
【例3】 求下列方程组的解集：
(1)
(2)
解 (1)把①代入②得x2＋(x＋1)2＝13，
整理得x2＋x－6＝0，解得x1＝－3，x2＝2.
把x1＝－3代入①，得y1＝－2，
把x2＝2代入①，得y2＝3，
所以原方程组的解集为{(x，y)|(－3，－2)，(2，3)}.
(2)方程组可化为
即为或
或或
解得或或或
所以原方程组的解集为
.
规律方法 1.对形如
的方程组可用代入法.
2.对形如的方程组可通过“降次”转化为1中的形式求解.
【训练3】 求下列方程组的解集：
(1) (2)
解 (1)法一 由①得，y＝7－x，代入②整理得，x2－7x＋12＝0.
解得x1＝3或x2＝4，分别代入①得y1＝4或y2＝3，
∴方程组的解集为{(x，y)|(3，4)，(4，3)}.
法二 由题意知x，y是方程z2－7z＋12＝0的两根，
即为(z－3)(z－4)＝0的两根，∴或
∴原方程组的解集为{(x，y)|(3，4)，(4，3)}.
(2)方程组中，①可化为(x－2y)2＋(x－2y)－2＝0，
即(x－2y＋2)(x－2y－1)＝0.
∴x－2y＋2＝0或x－2y－1＝0.
原方程组等价于(ⅰ)或(ⅱ)
由(ⅰ)解得由(ⅱ)解得
所以原方程组的解集为.
一、素养落地
1.通过求方程的解集提升数学运算素养.
2.消元与降次是求方程组解集的基本方法.
二、素养训练
1.某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的是( )
A. B.
C. D.
解析 由题意得
答案 B
2.三个二元一次方程2x＋5y－6＝0，3x－2y－9＝0，y＝kx－9有公共解的条件是k＝( )
A.4 B.3
C.2 D.1
解析 由解得代入y＝kx－9，得0＝3k－9.∴k＝3.
答案 B
3.已知a－3b＝2a＋b－15＝1，则代数式a2－4ab＋b2＋3的值为________.
解析 由解得
∴a2－4ab＋b2＋3＝72－4×7×2＋22＋3＝0.
答案 0
4.从方程组(xyz≠0)中，可得＝________，＝________.
解析 方程组可化为∴
∴＝，＝.
答案
5.求方程组的解集.
解 由，①式可化为(2x－3y)(2x＋3y)＝15.③
把②代入③，易得2x＋3y＝3，于是原方程组可化为解得
所以原方程组的解集为.
基础达标
一、选择题
1.下列方程组中，只有一个解的是( )
A. B.
C. D.
解析 A、B无解，D有无穷多解，C只有一个解.
答案 C
2.如果的解是正数，那么a的取值范围是( )
A.(－∞，2) B.
C. D.
解析 由解得
由即解得－2＜a＜.
答案 C
3.已知方程组有无数多个解，则a，b的值分别为( )
A.a＝－3，b＝－14 B.a＝3，b＝－7
C.a＝－1，b＝9 D.a＝－3，b＝14
解析 检验满足＝＝的只有a＝－3，b＝－14.
答案 A
4.已知与都是方程y＝kx＋b的解，则k与b的值分别为( )
A.k＝，b＝－4 B.k＝－，b＝4
C.k＝，b＝4 D.k＝－，b＝－4
解析 把分别代入y＝kx＋b，得－2＝4k＋b①，－5＝－2k＋b②.
解①②组成的方程组得
答案 A
5.关于x，y的方程组的解是方程3x＋2y＝34的一组解，那么m的值是( )
A.2 B.－1
C.1 D.－2
解析 由解得代入3x＋2y＝34可解得m＝2.
答案 A
二、填空题
6.已知方程x＋3y＝5，请写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为这个方程可以是________.
解析 设所写出的二元一次方程为y＝kx＋b(k≠0).把(4，1)代入y＝kx＋b，得1＝4k＋b，令b＝0，则k＝，∴这个方程可以是y＝x，即x－4y＝0.
答案 x－4y＝0(答案不唯一)
7.关于x，y的方程3kx＋2y＝6k－3，对于任何k的值都有相同的解，则方程的解集为________.
解析 方程可化为k(3x－6)＋2y＋3＝0，由题意∴
答案
8.方程组的一个解为那么这个方程组的另一个解是________.
解析 由题意，得a＝5，b＝6，x，y是方程z2－5z＋6＝0的两根，∴或
答案
三、解答题
9.在y＝ax2＋bx＋c中，当x＝0时y＝－7，当x＝1时，y＝－9，当x＝－1时y＝－3，求a，b，c的值.
解 把(0，－7)，(1，－9)，(－1，－3)分别代入y＝ax2＋bx＋c，得解得
10.已知关于x，y的方程组与方程组有相同的解，求出这个解及a，b的值.
解 由题意可得∴
即为方程组的解，把它代入ax＋by＝1及bx＋ay＝6，得
解得
能力提升
11.已知关于x，y的方程组有解，求m2＋n2的值.
解 由解得代入③④得
即解得
∴m2＋n2＝＋＝.
12.求下列方程组的解集：
(1) (2)
(3)
解 (1)①×2－③×3，得5y－7z＝－29④，
解由②④组成的方程组得
把y＝－3，z＝2代入①得，3x－3－2×2＝2，∴x＝3.
∴原方程组的解集为{(x，y，z)|(3，－3，2)}.
(2)①＋②＋③得2(x2＋y2＋z2)＝12，
即x2＋y2＋z2＝6④，
④－①得z2＝3，∴z＝±，④－②得x2＝2，∴x＝±，
④－③得y2＝1，∴y＝±1.
∴原方程组的解集为{(x，y，z)|(，1，)，(－，1，)，(，－1，)，(，1，－)，(－，－1，)，(－，1，－)，(，－1，－)，
(－，－1，－)}.
(3)由①得(x－2y)(x－3y)＝3，把②代入上式，得x－3y＝3③，
故原方程组可化为解得
∴原方程组的解集为{(x，y)|(－3，－2)}.
课件27张PPT。2.1.3 方程组的解集教材知识探究法二 100－81＝19(只)，81÷3＝27(元).
假设剩余的19只鸡全是鸡翁，则5×19＝95(元).
因为95－73＝22(元).
所以鸡母：22÷(5－3)＝11(只)，
鸡翁：19－11＝8(只).方程组的解集
(1)概念
一般地，将多个方程联立，就能得到方程组.方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集.
(2)解法
求方程组解集的依据还是等式的性质等，常用的方法是 .
(3)方程组的解集
当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有________个元素.此时，如果将其中一些未知数看成______，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来.消元法无穷个常数教材拓展补遗
[微判断]
1.若ab＝0，则a＝0或b＝0.( )
2.二元方程的解集是无限集.( )
提示 (x－1)2＋(y－1)2＝0的解集为{(x，y)|(1，1)}.
3.二元一次方程组的解集可能是空集.( )√×√[微训练]∴(b－a)2 019＝(－3＋2)2 019＝(－1)2 019＝－1.答案 －1答案 23.下列说法正确的是________(填序号).①二元一次方程只有一个解；②二元一次方程组有无数个解；③二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的解；④三元一次方程组一定由三个三元一次方程组成.
解析 二元一次方程有无穷多个解，①不正确；二元一次方程组有一个解或无穷多个解或无解，②不正确；由方程组解集的定义知③正确；三元一次方程组中并非每一个方程均为三元一次方程，④不正确.
答案 ③[微思考]
1.常见的消元法有哪两种？
提示 加减消元和代入消元.
2.解二元二次方程组的基本思路是什么？
提示 “消元”与“降次”.题型一 二元一次方程组解的个数(1)有一个解；(2)有无数个解；(3)没有解.解 (1)当1×2－a≠0即a≠2时，方程组有一个解.【训练1】 (1)与二元一次方程5x－y＝2组成的方程组有无数多个解的方程是( )A.10x＋2y＝4 B.4x－y＝7
C.20x－4y＝3 D.15x－3y＝6答案 (1)D (2)(－∞，－5)∪(－5，＋∞)题型二 二元(三元)一次方程组的解法解 法一 设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，规律方法 (1)消元法是解二元(三元)一次方程组的基本方法，要根据方程组的特点确定用加减消元法还是用代入消元法.
(2)待定系数法是求表达式的常用方法.【训练2】 a，b，c取什么值时，x3－ax2＋bx＋c＝(x－1)·(x－2)(x－3)恒成立？解 ∵(x－1)(x－2)(x－3)＝(x－1)(x2－5x＋6)＝x3－6x2＋11x－6，∴要使x3－ax2＋bx＋c＝x3－6x2＋11x－6恒成立，题型三 求二元二次方程组的解集
【例3】 求下列方程组的解集：解 (1)把①代入②得x2＋(x＋1)2＝13，
整理得x2＋x－6＝0，解得x1＝－3，x2＝2.
把x1＝－3代入①，得y1＝－2，
把x2＝2代入①，得y2＝3，
所以原方程组的解集为{(x，y)|(－3，－2)，(2，3)}.【训练3】 求下列方程组的解集：解得x1＝3或x2＝4，分别代入①得y1＝4或y2＝3，
∴方程组的解集为{(x，y)|(3，4)，(4，3)}.法二 由题意知x，y是方程z2－7z＋12＝0的两根，∴原方程组的解集为{(x，y)|(3，4)，(4，3)}.可化为(x－2y)2＋(x－2y)－2＝0，即(x－2y＋2)(x－2y－1)＝0.
∴x－2y＋2＝0或x－2y－1＝0.一、素养落地
1.通过求方程的解集提升数学运算素养.
2.消元与降次是求方程组解集的基本方法.二、素养训练
1.某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的是( )答案 B2.三个二元一次方程2x＋5y－6＝0，3x－2y－9＝0，y＝kx－9有公共解的条件是k＝( )
A.4 B.3 C.2 D.1答案 B3.已知a－3b＝2a＋b－15＝1，则代数式a2－4ab＋b2＋3的值为________.∴a2－4ab＋b2＋3＝72－4×7×2＋22＋3＝0.
答案 0
