课件36张PPT。2.2 不等式
2.2.1 不等式及其性质教材知识探究在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜，你能根据这一事实表示出糖水浓度不等式吗？1.不等关系与不等式两个量的大小关系有几种？不等关系与不等式不是同一个概念(1)不等式的概念
用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接 ，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式.两个数或代数式(2)实数的坐标与实数的性质
①实数的坐标
实数与数轴上的点一一对应，如果点P对应的数为x，则称x为点P的_______，并记作P(x).两个数在数轴上对应的点的相对位置决定了这两个数的大小.
数轴上的点往数轴的正方向(负方向)运动时，它所对应的实数会变大(变小).一个数加上一个正数，相当于数轴上对应的点向_________移动了一段距离；一个数减去一个正数(即加上一个负数)，相当于数轴上对应的点向_________移动了一段距离.②实数的性质作差法比较大小的依据任意给定两个实数a，b，那么
a－b＜0?________，a－b＝0? ________ ，a－b＞0? ________.坐标正方向负方向a＜ba＝ba＞b2.不等式的性质及推论(1)不等式的性质可用于比较大小、放缩法及不等式的变形中性质1 如果a＞b，那么a＋c＞b＋c.
性质2 如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc.
性质3 如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc.
性质4 如果a＞b，b＞c，那么a＞c.(传递性)
性质5 a>b? b
推论1 如果a＋b＞c，那么a＞c－b.(移项法则)
推论2 如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d.
推广：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向.
推论3 如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.
推广：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向.
推论4 如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n＞1).(还能推广吗？)3.数学证明中的常用方法这些证明方法，不仅适用于证明不等式，还可应用于其它的数学证明(1)作差法：通过比较两式之差的符号来判断两式的大小，这种方法通常称为作差法.
(2)综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法.,推理形式及其实质：综合法中，最重要的推理形式为p?q，其中p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论.(3)分析法：从要证明的结论出发，一步步分析探索使结论成立的充分条件，直到得到一个明显成立的(充分)条件为止，这种证明方法通常称之为分析法.,推理形式及其实质：分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为p?q，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件.
(4)反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立.这种得到数学结论的方法通常称为反证法.反证法是一种间接证法.,推理形式及其实质：从要证命题“若p，则q”的否定若“p，则綈q”的结论綈q推出矛盾，这就证明了原命题的否定是假命题，从而说明原命题是真命题.教材拓展补遗
[微判断]
1.a不小于b可以表示为a>b.( )
提示 a不小于b应表示为a≥b.
2.a>b?ac2>bc2.( )
提示 由ac2>bc2?a>b，但当c＝0时，a>b?ac2>bc2..
3.同向不等式相加与相乘的条件是一致的.( )
提示 同向不等式相乘需要每个不等式两端非负，而相加只需不等式同向即可.
4.设a，b∈R，且a>b，则a3>b3.( )×××√√[微训练]
1.设a，b，c∈R，且a＞b，则( )答案 D2.用分析法：欲证①A>B，只需证②C A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立，即②?①，故①是②的必要条件.
答案 B[微思考]
1.当x＝3时，x≥3成立吗？
提示 当x＝3时，x≥3成立，实际上，x≥3的含义是x>3或x＝3中有一个成立时，x≥3成立.
2.若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？
提示 a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立.
3.若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？
提示 不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立.4.要证明命题“若p，则q”为真，我们可以通过证明它的逆否命题“若綈q，则綈p”为真，从而证明原命题“若p，则q”为真，这种证法通常叫做“逆否证法”，这种证法与反证法的推理依据有什么不同？提示 逆否证明推理依据是互为逆否命题的两命题真假性相同，反证法的依据是命题与其否定真假性相反.题型一 用不等式(组)表示不等关系【例1】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种.按照生产的要求600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍，写出满足所有上述不等关系的不等式(组).解 设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根.规律方法 1.将不等关系表示成不等式(组)的思路
(1)读懂题意，找准不等式所联系的量.
(2)用适当的不等号连接.
(3)多个不等关系用不等式组表示.
2.常见的文字语言与符号语言之间的转换【训练1】 某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组).题型二 不等式性质(及推论)的简单应用
方向1 利用不等式的性质判断命题的真假例答案 C规律方法 不等式的性质常与比较大小结合考查，此类问题一般结合不等式的性质，利用作差法或作商法求解，也可以用特殊值求解.方向2 利用不等式的性质求范围规律方法 求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除.【训练2】 (1)设a>b>0，c方向1 作差法证明不等式(或比较大小)【例3－1】 已知a>0，规律方法 比较大小最常用的是作差法，作差法比较两个实数(代数式)大小的步骤为：
第一步：作差并变形，其目标是应容易判断差的符号.
变形有两种情形：
①将差式进行因式分解转化为几个因式相乘.
②将差式通过配方转化为几个非负数之和，然后判断.
第二步：判断差值与零的大小关系.第三步：得出结论.【训练3－1】 已知x<1，求证x3－1<2x2－2x的大小.证明 (x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2方向2 综合法证明不等式规律方法 综合法证明不等式，证明的每一步都必须有依据：不等式的性质或实数运算的符号法则.方向3 分析法、反证法证明不等式法二 (分析法)规律方法 1.分析法证明不等式，一般叙述方式为“要证……，只需证……”，也可用“?”来表述.
2.反证法证明不等式，要把反设作条件，由此推理，直到推出矛盾.出现矛盾主要有：与已知条件矛盾，与学过的定义、定理、公理及其它数学事实矛盾，与自身矛盾等.一、素养落地
1.通过用不等式(组)表示实际问题的不等关系、不等式的性质提升数学抽象素养，通过作差法、运用不等式的性质解决问题，提升数学运算素养和逻辑推理素养.
2.比较两个实数(或代数式)的大小，一般可用作差法.作差法比较实数的大小一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论.作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式.
3.不等式证明的常用方法主要有：作差(商)法、综合法、分析法、反证法和逆否证法，应掌握这些证法的推理形式和实质，灵活选用合适的方法.二、素养训练解析 当导火索的长度为x厘米时，燃烧的时间为2x秒，人跑开的距离为4×2x米，为了保证安全，有4×2x>100.答案 C2.设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是( )
A.a－b>0 B.a3＋b3>0
C.a2－b2<0 D.a＋b<0
解析 本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，排除A，B，C，故选D.
答案 D答案 a>c>b答案 (2，5)2.2 不等式
2.2.1 不等式及其性质
课标要求
素养要求
1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.
2.会作差法比较两个实数的大小.
3.掌握不等式的性质及推论.
4.运用不等式的性质及推论解决有关问题.
1.通过运用不等式(组)表示实际问题的不等关系及比较两个实数的大小提升数学抽象及数学运算素养.
2.通过学习不等式的性质及运用不等式的性质解决问题，提升逻辑推理及数学运算素养.
教材知识探究
在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜，你能根据这一事实表示出糖水浓度不等式吗？
提示 糖水变甜这一现象对应的不等式为＜，其中a＜b，c＞0.
1.不等关系与不等式
两个量的大小关系有几种？不等关系与不等式不是同一个概念
(1)不等式的概念
用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式.
(2)实数的坐标与实数的性质
①实数的坐标
实数与数轴上的点一一对应，如果点P对应的数为x，则称x为点P的坐标，并记作P(x).两个数在数轴上对应的点的相对位置决定了这两个数的大小.
数轴上的点往数轴的正方向(负方向)运动时，它所对应的实数会变大(变小).一个数加上一个正数，相当于数轴上对应的点向正方向移动了一段距离；一个数减去一个正数(即加上一个负数)，相当于数轴上对应的点向负方向移动了一段距离.
②实数的性质 作差法比较大小的依据
任意给定两个实数a，b，那么
a－b＜0?a＜b，a－b＝0?a＝b，a－b＞0?a＞b.
2.不等式的性质及推论
(1)不等式的性质 可用于比较大小、放缩法及不等式的变形中
性质1 如果a＞b，那么a＋c＞b＋c.
性质2 如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc.
性质3 如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc.
性质4 如果a＞b，b＞c，那么a＞c.(传递性)
性质5 a>b?b(2)推论
推论1 如果a＋b＞c，那么a＞c－b.(移项法则)
推论2 如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d.
推广：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向.
推论3 如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.
推广：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向.
推论4 如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n＞1).
推论5__如果a＞b＞0，那么＞. (还能推广吗？)
3.数学证明中的常用方法,
这些证明方法，不仅适用于证明不等式，还可应用于其它的数学证明
(1)作差法：通过比较两式之差的符号来判断两式的大小，这种方法通常称为作差法.
(2)综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法.,推理形式及其实质：综合法中，最重要的推理形式为p?q，其中p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论.
(3)分析法：从要证明的结论出发，一步步分析探索使结论成立的充分条件，直到得到一个明显成立的(充分)条件为止，这种证明方法通常称之为分析法.,推理形式及其实质：分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为p?q，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件.
(4)反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立.这种得到数学结论的方法通常称为反证法.反证法是一种间接证法.,推理形式及其实质：从要证命题“若p，则q”的否定若“p，则綈q”的结论綈q推出矛盾，这就证明了原命题的否定是假命题，从而说明原命题是真命题.
教材拓展补遗
[微判断]
1.a不小于b可以表示为a>b.(×)
提示 a不小于b应表示为a≥b.
2.a>b?ac2>bc2.(×)
提示 由ac2>bc2?a>b，但当c＝0时，a>b??/ ac2>bc2..
3.同向不等式相加与相乘的条件是一致的.(×)
提示 同向不等式相乘需要每个不等式两端非负，而相加只需不等式同向即可.
4.设a，b∈R，且a>b，则a3>b3.(√)
5.推论5可推广为：如果a＞b＞0，那么＞(n∈N*且n≥2)(√)
[微训练]
1.设a，b，c∈R，且a＞b，则( )
A.ac＞bc B.＜
C.a2＞b2 D.a3＞b3
解析 当c＝0时，选项A不成立；当a＞0，b＜0时，选项B不成立；当a＝1，b＝－5时，选项C不成立；a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)·
＞0，故选D.
答案 D
2.用分析法：欲证①A>B，只需证②CA.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立，即②?①，故①是②的必要条件.
答案 B
[微思考]
1.当x＝3时，x≥3成立吗？
提示 当x＝3时，x≥3成立，实际上，x≥3的含义是x>3或x＝3中有一个成立时，x≥3成立.
2.若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？
提示 a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立.
3.若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？
提示 不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立.
4.要证明命题“若p，则q”为真，我们可以通过证明它的逆否命题“若綈q，则綈p”为真，从而证明原命题“若p，则q”为真，这种证法通常叫做“逆否证法”，这种证法与反证法的推理依据有什么不同？
提示 逆否证明推理依据是互为逆否命题的两命题真假性相同，反证法的依据是命题与其否定真假性相反.
题型一 用不等式(组)表示不等关系
【例1】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种.按照生产的要求600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍，写出满足所有上述不等关系的不等式(组).
解 设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根.
根据题意得：
规律方法 1.将不等关系表示成不等式(组)的思路
(1)读懂题意，找准不等式所联系的量.
(2)用适当的不等号连接.
(3)多个不等关系用不等式组表示.
2.常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字语言
大于，高于，超过
小于，低于，少于
大于等于至少，不低于
小于等于，至多，不超过
符号语言
>
<
≥
≤
【训练1】 某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组).
解 设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则
题型二 不等式性质(及推论)的简单应用
方向1 利用不等式的性质判断命题的真假
【例2－1】 若<<0，有下面四个不等式：①|a|>|b|；②ab3.则不正确的不等式的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析 由<<0可得b0，则a＋bb3，④正确.故不正确的不等式的个数为2.
答案 C
规律方法 不等式的性质常与比较大小结合考查，此类问题一般结合不等式的性质，利用作差法或作商法求解，也可以用特殊值求解.
方向2 利用不等式的性质求范围
【例2－2】 已知1解 ∵3∴1－4又<<，∴<<，
即<<2.综上，a－b的取值范围为(－3，3)，的取值范围为.
规律方法 求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除.
【训练2】 (1)设a>b>0，cA.ac>bd B.<
C.> D.ac2解析 a>b>0，c－d>0，
即有－ac>－bd>0，即ac由cd>0，可得<，则B对，C错；
由－c>－d>0，－ac>－bd>0，
可得ac2>bd2，则D错.故选B.
答案 B
(2)已知－<β<α<，求2α－β的取值范围.
解 ∵－<α<，－<β<，
∴－<－β<.∴－π<α－β<π.
又∵β<α，∴α－β>0，∴0<α－β<π，
又2α－β＝α＋(α－β)，
∴－<2α－β<π.
故2α－β的取值范围为.
题型三 不等式的证明
方向1 作差法证明不等式(或比较大小)
【例3－1】 已知a>0，试比较a与的大小.
解 因为a－＝＝，a>0，
所以当a>1时，>0，有a>；
当a＝1时，＝0，有a＝；
当0综上，当a>1时，a>；
当a＝1时，a＝；
当0规律方法 比较大小最常用的是作差法，作差法比较两个实数(代数式)大小的步骤为：
第一步：作差并变形，其目标是应容易判断差的符号.
变形有两种情形：
①将差式进行因式分解转化为几个因式相乘.
②将差式通过配方转化为几个非负数之和，然后判断.
第二步：判断差值与零的大小关系.
第三步：得出结论.
【训练3－1】 已知x<1，求证x3－1<2x2－2x的大小.
证明 (x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2
＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)，
∵＋>0，x－1<0，
∴(x－1)<0，
∴x3－1<2x2－2x.
方向2 综合法证明不等式
【例3－2】 已知a>b>0，c>d>0，求证>.
证明 ∵a>b>0，c>d>0，
∴ac>bd>0，又cd>0，>0，∴>>0，
∴>.
规律方法 综合法证明不等式，证明的每一步都必须有依据：不等式的性质或实数运算的符号法则.
【训练3－2】 已知a>b>0，c<0，求证>.
证明 ∵a>b>0，∴ab>0，>0，∴a×>b×，
即>，由c<0，得>.
方向3 分析法、反证法证明不等式
【例3－3】 证明－<2－.
证明 法一 (分析法)
要证－<2－，
即＋<2＋，
只需证明(＋)2<(2＋)2，
展开得9＋6<9＋4，
即3<2，
只需证明(3)2<(2)2，即18<20.
又因为18<20成立，所以－<2－.
法二 (分析法)
要证－<2－，只需证<，
只需证2＋<＋.
因为2<，<，
所以2＋<＋，
所以－<2－.
法三 (反证法)
假设－≥2－，即＋≥2＋，
两边平方，得9＋2×≥9＋2×2，
即3≥2，从而(3)2≥(2)2，即18≥20，矛盾，因此假设不成立，所以－<2－.
规律方法 1.分析法证明不等式，一般叙述方式为“要证……，只需证……”，也可用“?”来表述.
2.反证法证明不等式，要把反设作条件，由此推理，直到推出矛盾.出现矛盾主要有：与已知条件矛盾，与学过的定义、定理、公理及其它数学事实矛盾，与自身矛盾等.
【训练3－3】 已知x>0，求证<1＋.
证明 法一 (分析法)
∵x>0，∴>0，1＋>0，
∴要证<1＋，只需证1＋x<1＋x＋，只需证0<.
∵x>0，∴>0成立，故<1＋.
法二 (反证法)
假设≥1＋，
∵x>0，∴不等式两边非负，
∴1＋x≥1＋x＋，即0≥，
∴x＝0，与条件x>0矛盾.
∴假设不成立，故<1＋成立.
一、素养落地
1.通过用不等式(组)表示实际问题的不等关系、不等式的性质提升数学抽象素养，通过作差法、运用不等式的性质解决问题，提升数学运算素养和逻辑推理素养.
2.比较两个实数(或代数式)的大小，一般可用作差法.作差法比较实数的大小一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论.作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式.
3.不等式证明的常用方法主要有：作差(商)法、综合法、分析法、反证法和逆否证法，应掌握这些证法的推理形式和实质，灵活选用合适的方法.
二、素养训练
1.在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度是每秒4米，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100米以外的安全区，导火索的长度x(厘米)应该满足的不等式为( )
A.4×2x≥100 B.4×2x≤100
C.4×2x>100 D.4×2x<100
解析 当导火索的长度为x厘米时，燃烧的时间为2x秒，人跑开的距离为4×2x米，为了保证安全，有4×2x>100.
答案 C
2.设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是( )
A.a－b>0 B.a3＋b3>0
C.a2－b2<0 D.a＋b<0
解析 本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，排除A，B，C，故选D.
答案 D
3.设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系是________.
解析 b＝，c＝，显然b而a2＝2，c2＝8－2＝8－<8－<2，
所以a>c>b.
答案 a>c>b
4.若8解析 ∵2又∵8答案 (2，5)
5.已知a＞b＞0，m＞0，求证：＜.(用两种方法证明)
证明 法一 (作差法)－＝＝＝.
∵a＞b＞0，m＞0，∴b－a＜0，a＋m＞0.
∴＜0，∴＜.
法二 (分析法)
∵a>b>0，m>0，∴a(a＋m)>0，
从而又∵a>b>0，m>0，∴bm基础达标
一、选择题
1.设xA.x2ax>a2
C.x2a2>ax
解析 ∵xa2.
∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.
又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.
∴x2>ax>a2.
答案 B
2.要证－<－成立，只需证明( )
A.(－)2<(－)2 B.(－)2<(－)2
C.(＋)2<(＋)2 D.(－－)2<(－)2
解析 根据分析法知需是－<－成立的充分条件，结合不等式的性质：“若a>b>0，则a2>b2”，应选C.
答案 C
3.用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a，b，c中恰有一个是偶数”正确的反设为( )
A.a，b，c都是奇数
B.a，b，c都是偶数
C.a，b，c中至少有两个偶数
D.a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
解析 反设应为“a，b，c中的偶数不是只有一个”，即a，b，c至少有两个偶或都是奇数.
答案 D
4.若1A.(－3，3] B.(－3，5)
C.(－3，3) D.(1，4)
解析 ∵－4又∵1答案 C
5.已知a，b，c，d为正实数，且<，则( )
A.<< B.<<
C.<< D.均上均可能
解析 ∵a，b，c，d为正实数，<，∴ad∴－＝＝<0，
－＝＝>0，
∴<<.
答案 A
二、填空题
6.设实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于________.
解析 假设a，b，c都小于，则a＋b＋c<1，与已知矛盾.故a，b，c中至少有一个数不小于.
答案
7.已知－≤α<β≤，则的取值范围是________.
解析 ∵－≤α<β≤，∴－≤<≤.
∴－≤<，①
－<≤，
∴－≤－<.②
由①＋②得－≤<.
又知α<β，∴α－β<0.∴－≤<0.
答案
8.要使－<成立，a，b应满足的条件是________.
解析 －∴<，∴当ab>0时有<，即b当ab<0时，有>，即b>a.
答案 ab>0且a>b，或ab<0且a三、解答题
9.设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小.
解 ∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
当且仅当x＝y＝且z＝1时取等号.
10.已知c>a>b>0，求证：>.
证明 法一 (作差法)
－＝
＝＝.
∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0，a－b>0.
∴>0.
∴>.
法二 (综合法)
∵c>a>b>0，∴－c<－a<－b<0，
∴0>0，又a>b>0，∴>.
能力提升
11.已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，求4a－2b的取值范围.
解 法一 设u＝a＋b，v＝a－b得a＝，b＝，
∴4a－2b＝2u＋2v－u＋v＝u＋3v.
∵－1≤v≤2，∴－3≤3v≤6.又1≤u≤4，
则－2≤u＋3v≤10，即－2≤4a－2b≤10.
故4a－2b的取值范围为[－2，10].
法二 令4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，
∴4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b.∴∴
又
∴－2≤4a－2b≤10.故4a－2b的取值范围为[－2，10].
12.已知n∈N*，且n≥2，求证>－.
证明 法一 (分析法)
要证>－，即证1>n－，
只需证>n－1，
∵n≥2，∴只需证n(n－1)>(n－1)2，只需证n>n－1，只需证0>－1，此时不等式显然成立，故原结论成立.
法二 (分析法)
当n∈N*，且n≥2时，
>－?>?＋>?>0?n－1>0?n>1?n∈N*且n≥2，∴原不等式成立.
法三 (综合法)
∵n∈N*且n≥2，
∴n－1>0，>0，
＋>>0，
两边同乘以，得>，即>－.
