2.2.2 不等式的解集
课标要求
素养要求
1.了解不等式(组)解集的概念，会求简单的一元一次不等式(组)的解集.
2.了解绝对值不等式的概念，会求形如|x|≤m，|x|≥m的绝对值不等式的解集.
1.通过学习不等式(组)解集的概念，提升数学抽象素养.
2.通过求不等式(组)的解集，提升数学运算素养.
3.通过学习绝对值不等式及其解法，提升直观想象及数学运算素养.
教材知识探究
如图为某三岔路口交通环道的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A，B，C的机动车辆如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段AB，BC，CA的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出车辆数相等).
问题1 你能用x3，x1，x2分别表示出x1，x2，x3吗？
提示 x1＝50＋x3－55＝x3－5，x2＝x1－20＋30＝x1＋10，
x3＝x2－35＋30＝x2－5.
问题2 你能判断出x1，x2，x3的大小吗？
提示 由1知x1＝x3－5，x2＝x3＋5，则x1
1.不等式的解集与不等式组的解集
(1)不等式的解集不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.
(2)不等式组的解集对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集.
不等式组中若有一个不等式的解集为?，则不等式组的解集为?；每一个不等式的解集均不是?，不等式组的解集也可能是?
2.绝对值不等式
(1)绝对值不等式的概念一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式.
(2)两种简单的绝对值不等式的解集
①关于x的不等式|x|>m(m>0)的解为x>m或x<－m，解集为(－∞，－m)∪(m，＋∞)； 当m＝0时，其解集为{x∈R|x≠0}，当m<0时，其解集为R
②关于x的不等式|x|0)的解为－m当m≤0时，其解集为?
(3)数轴上两点之间的距离公式及线段中点的坐标公式,一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为
这就是数轴上两点之间的距离公式.
如果线段AB的中点M对应的数为x，即M(x)，则
这就是数轴上的中点坐标公式.
教材拓展补遗
[微判断]
1.不等式x>y2的解集为(0，＋∞).(×)
提示 未指明未知数.
2.不等式组中的不等式不能有等号.(×)
提示 不等式组中的不等式可以有等号.
3.关于x的不等式|x|提示 当m≤0时，不正确.
[微训练]
1.平流层是指地球表面以上10 km到50 km的区域，下述不等式中，x能表示平流层高度的是( )
A.|x＋10|<50 B.|x－10|<50
C.|x＋30|<20 D.|x－30|<20
解析 由题意知10答案 D
2.不等式组的解集为________.
解析 由－2x－5≥0得x≤－，
由x－3≥0得x≥3，
∴原不等式组的解集为∩[3，＋∞)＝?.
答案 ?
3.关于x的不等式ax<1的解集为________.
解析 当a<0时，x>，解集为；
当a＝0时，x∈R；
当a>0时，x<，解集为.
答案 当a<0时，解集为；当a＝0，时解集为R；当a>0时，解集为.
[微思考]
1.解关于x的不等式ax>b(a，b为常数)与解关于x的一次不等式ax>b(a，b为常数)有什么区别？
提示 解关于x的不等式ax>b时，要分a<0，a＝0，a>0三种情况讨论求解；解关于x的一次不等式ax>b时，只分a<0，a>0两种情况讨论求解.
2.若不等式ax－1>x＋2的解集为M，不等式ax－1>x＋2在(m，n)上恒成立，那么M＝(m，n)吗？
提示 不一定.应有(m，n)?M.
题型一 含参数的一元不等式
【例1】 求关于x的不等式ax>b(a，b为常数)的解集.
解 当a<0时，有x<，
即解集为；
当a＝0时，若b<0，解集为R，若b≥0，解集为?；
当a>0时，有x>，解集为.
综上，a<0时，解集为；
a＝0时，若b<0，则解集为R，
若b≥0，则解集为?；
a>0时，解集为.
规律方法 1.不含参数的一元一次不等式都可化归为ax>b(ax≥b，ax＜b，ax≤b)求解.
2.含参数的一元不等式常需分类讨论(如本例)，还要关注不等式是否指明了未知数的次数(如本例改为求关于x的一次不等式ax>b(a，b为常数)的解集时，则应不讨论a＝0的情况.)
【训练1】 已知不等式ax＋1>－x＋2的解集为(－∞，－2)，求a的值.
解 原不等式可化为(a＋1)x>1，由题意知a＋1<0且＝－2，∴a＝－，
题型二 一元一次不等式组的解集
解每个一元一次不等式时的依据：不等式的性质
【例2】 求不等式组的解集.
解 由2(x＋1)－3由－>解得x>－1.
在数轴上分别表示出两个不等式的解集，如图.
故原不等式组的解集为(－1，3).
规律方法 1.解一元一次不等式的一般步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1.
2.解一元一次不等式组时，一般借助数轴求交集.
【训练2】 求不等式组的解集.
解 由不等式2(x－1)≥3(x－2)－2可解得x≤6，由不等式2x＋>－3可解得x>－3，利用数轴易知不等式组的解集为(－3，6].
题型三 数轴上两点之间的距离及中点坐标与绝对值不等式
【例3】 (1)求不等式|1－2x|≥2的解集；
(2)在数轴上A(3)，B(x)，AB的中点M到原点的距离不小于6，求x的取值范围；
(3)解不等式|x－1|＋|x－2|≤5.
解 (1)令1－2x＝t，则原不等式可化为|t|≥2，
则t≤－2或t≥2，即1－2x≤－2 ①或1－2x≥2 ②，
由①得x≥，由②得x≤－，故原不等式的解集为∪.
(2)AB的中点M的坐标为，由题意可得≤6，
即|3＋x|≤12，
∴－12≤3＋x≤12，
∴－15≤x≤9，即x的取值范围是[－15，9].
(3)法一 设A(1)，B(2)，则AB的中点M，
则|x－1|＋|x－2|≤5?≤，
∴－≤x－≤，
即－1≤x≤4，故原不等式的解集为[－1，4].
法二 原不等式等价于
或或
解得－1≤x≤1或1∴－1≤x≤4.
故原不等式的解集为[－1，4].
规律方法 (1)形如|f(x)|>m(m>0)，|g(x)|0)的不等式一般可用换元法求解集；
(2)涉及到数轴上两点距离的不等关系，转化为绝对值不等式求解；
(3)形如|x＋a|±|x＋b|【训练3】 (1)求不等式|x－1|＋|x－2|>2的解集；
(2)已知数轴上A(x)，B(－1)，且线段AB的中点到C(1)的距离大于5，求x的取值范围.
解 (1)法一 设A(1)，B(2)，则AB的中点M，则|x－1|＋|x－2|>2?>1?x－<－1或x－>1?x<或x>，
∴原不等式的解集为∪.
法二 原不等式等价于
或或
解得x<或?或x>，
∴x<或x>.
故原不等式的解集为∪.
(2)AB的中点M，
由题意>5，
即>5，
∴|x－3|>10，x－3<－10或x－3>10，
即x<－7或x>13，
∴x的取值范围是(－∞，－7)∪(13，＋∞).
一、素养落地
1.通过学习不等式(组)解集的概念，提升数学抽象素养；通过求不等式(组)的解集提升数学运算素养；通过求绝对值不等式的解集提升直观想象和数学运算素养.
2.解不等式的过程中要不断地使用不等式的性质.求不等式组解集时常利用数轴求交集.
3.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|{x|－a?
?
|x|>a
{x|x<－a或x>a}
{x|x∈R且x≠0}
R
(2)|ax＋b|≤c和|ax＋b|≥c型不等式的解法
|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；
|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
(ⅰ)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
(ⅱ)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想.
二、素养训练
1.不等式<1的正整数解有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析 由<1，得x<4，又x∈N*，∴x＝1，2，3.
答案 C
2.不等式组的解集为(2，＋∞)，则( )
A.m>2 B.m<2
C.m＝2 D.m≤2
解析 由>1，得x>2.由题意的解集为(2，＋∞)，即(2，＋∞)∩(m，＋∞)＝(2，＋∞)，
∴(2，＋∞)?(m，＋∞)，∴m≤2.
答案 D
3.三角形三边长为4，1－2a，7，则a的取值范围是________.
解析 由题意得解得－5答案 (－5，－1)
4.不等式|3x－4|<2的解集是________.
解析 由|3x－4|<2，得－2<3x－4<2，∴答案
5.求下列关于x的不等式(组)的解集.
(1)ax≤b；(2)
解 (1)①当a<0时，x≥，不等式的解集为；
②当a＝0时，若b≥0，不等式的解集为R；若b<0，不等式的解集为?.
③当a>0时，x≤，不等式的解集为.
综上，a<0时，解集为；a＝0时，若b≥0，则解集为R，若b<0，则解集为?；a>0时，解集为.
(2)由－≥解得x≥，由2x当≤即b≤时，∩＝?，原不等式组的解集为?；
当>即b>时，∩＝，原不等式组的解集为.
综上，b≤时，解集为?；
b>时，解集为.
基础达标
一、选择题
1.代数式1－m的值大于－1，又不大于3，则m的取值范围是( )
A.(－1，3] B.[－3，1)
C.[－2，2) D.(－2，2]
解析 由题意知，－1<1－m≤3，∴－2≤m<2.
答案 C
2.已知关于x的不等式组的解集是[1，3)，则a＝( )
A.1 B.2
C.0 D.－1
解析 由x－3(x－2)≤4解得x≥1，由>x－1解得x答案 C
3.若方程组中，未知数x，y满足x＋y>0，则m的取值范围是( )
A.(－4，＋∞) B.[－4，＋∞)
C.(－∞，－4) D.(－∞，－4]
解析 解方程组得
由x＋y>0，得＋>0，
解得m>－4.
答案 A
4.设不等式|x－a|A.1，3 B.－1，3
C.－1，－3 D.，
解析 由|x－a|由题意(a－b，a＋b)＝(－1，2)，
∴∴
答案 D
5.对任意实数x，若不等式|x＋1|－|x－2|>k恒成立，则k的取值范围为( )
A.(－∞，3) B.(－∞，－3)
C.(1，3] D.(－∞，－3]
解析 |x＋1|，|x－2|的几何意义分别为数轴上的点X到表示－1和2的点的距离，|x＋1|－|x－2|的几何意义为两距离之差，由图可得其最小值为－3，故选B.
答案 B
二、填空题
6.已知数轴上，A(x)，B(1)，且AB＝，则x的值为________.
解析 由题意|x－1|＝，∴x－1＝±，
∴x＝或x＝－.
答案 或－
7.已知A＝{x|x<3}，B＝{x|2x＋1解析 A＝(－∞，3)，B＝，
∵A?B，∴≥3，a≥7.
答案 [7，＋∞)
8.不等式|x＋1|>|5－x|的解集是________.
解析 两边平方得(x＋1)2>(5－x)2，即x2＋2x＋1>25－10x＋x2，∴x>2.
答案 (2，＋∞)
三、解答题
9.已知数轴上，A(－1)，B(x)，C(6).
(1)若A，B关于点C对称，求x的值；
(2)若线段AB的中点到C的距离小于5，求x的取值范围.
解 (1)由数轴上中点坐标公式得6＝，
∴x＝13.
(2)AB的中点为，
由题意得<5，
即<5，|x－13|<10，
∴－10即x的取值范围是(3，23).
10.解不等式3<|2x－3|<5.
解 ∵3<|2x－3|<5，
∴3<2x－3<5或－5<2x－3<－3，
即3故原不等式的解集为(－1，0)∪(3，4).
能力提升
11.解关于x的不等式|2x－1|<2m－1(m∈R).
解 (1)当2m－1≤0，即m≤时，因|2x－1|≥0，故原不等式的解集为?；
(2)当2m－1>0，即m>时，原不等式等价于
－(2m－1)<2x－1<2m－1，
解得1－m综上，当m≤时，原不等式的解集为空集；
当m>时，原不等式的解集为{x|1－m12.解不等式|x－1|＋|x＋2|<5.
解 法一 记A(1)，B(－2)，则AB的中点为M，
|x－1|＋|x＋2|<5?<，
即<，
∴－法二 原不等式等价于或
或
解得－3∴－3故原不等式的解集为(－3，2).
课件31张PPT。2.2.2 不等式的解集教材知识探究如图为某三岔路口交通环道的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A，B，C的机动车辆如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段 的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出车辆数相等).问题1 你能用x3，x1，x2分别表示出x1，x2，x3吗？
提示 x1＝50＋x3－55＝x3－5，x2＝x1－20＋30＝x1＋10，
x3＝x2－35＋30＝x2－5.
问题2 你能判断出x1，x2，x3的大小吗？
提示 由1知x1＝x3－5，x2＝x3＋5，则x1①关于x的不等式|x|>m(m>0)的解为x>m或x<－m，解集为______________________；(－∞，－m)∪(m，＋∞)当m＝0时，其解集为{x∈R|x≠0}，当m<0时，其解集为R②关于x的不等式|x|0)的解为－m如果线段AB的中点M对应的数为x，即M(x)，则 x=__________.这就是数轴上的中点坐标公式.教材拓展补遗
[微判断]
1.不等式x>y2的解集为(0，＋∞).( )
提示 未指明未知数.
2.不等式组中的不等式不能有等号.( )
提示 不等式组中的不等式可以有等号.
3.关于x的不等式|x| 提示 当m≤0时，不正确.×××[微训练]
1.平流层是指地球表面以上10 km到50 km的区域，下述不等式中，x能表示平流层高度的是( )
A.|x＋10|<50 B.|x－10|<50
C.|x＋30|<20 D.|x－30|<20
解析 由题意知10 答案 D答案 ?3.关于x的不等式ax<1的解集为________.[微思考]
1.解关于x的不等式ax>b(a，b为常数)与解关于x的一次不等式ax>b(a，b为常数)有什么区别？
提示 解关于x的不等式ax>b时，要分a<0，a＝0，a>0三种情况讨论求解；解关于x的一次不等式ax>b时，只分a<0，a>0两种情况讨论求解.
2.若不等式ax－1>x＋2的解集为M，不等式ax－1>x＋2在(m，n)上恒成立，那么M＝(m，n)吗？
提示 不一定.应有(m，n)?M.题型一 含【例1】 求关于x的不等式ax>b(a，b为常数)的解集.参数的一元不等式当a＝0时，若b<0，解集为R，若b≥0，解集为?；a＝0时，若b<0，则解集为R，若b≥0，则解集为?；规律方法 1.不含参数的一元一次不等式都可化归为ax>b(ax≥b，ax＜b，ax≤b)求解.
2.含参数的一元不等式常需分类讨论(如本例)，还要关注不等式是否指明了未知数的次数(如本例改为求关于x的一次不等式ax>b(a，b为常数)的解集时，则应不讨论a＝0的情况.)【训练1】 已知不等式ax＋1>－x＋2的解集为(－∞，－2)，求a的值.题型二解 由2(x＋1)－3故原不等式组的解集为(－1，3).规律方法 1.解一元一次不等式的一般步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1.
2.解一元一次不等式组时，一般借助数轴求交集.题型三 数轴上两点之间的距离及中点坐标与绝对值不等式
【例3】 (1)求不等式|1－2x|≥2的解集；(2)在数轴上A(3)，B(x)，AB的中点M到原点的距离不小于6，求x的取值范围；
(3)解不等式|x－1|＋|x－2|≤5.解 (1)令1－2x＝t，则原不等式可化为|t|≥2，
则t≤－2或t≥2，即1－2x≤－2 ①或1－2x≥2 ②，∴－12≤3＋x≤12，∴－15≤x≤9，即x的取值范围是[－15，9].即－1≤x≤4，故原不等式的解集为[－1，4].解得－1≤x≤1或1故原不等式的解集为[－1，4].规律方法 (1)形如|f(x)|>m(m>0)，|g(x)|0)的不等式一般可用换元法求解集；
(2)涉及到数轴上两点距离的不等关系，转化为绝对值不等式求解；
(3)形如|x＋a|±|x＋b|2的解集；
(2)已知数轴上A(x)，B(－1)，且线段AB的中点到C(1)的距离大于5，求x的取值范围.∴x的取值范围是(－∞，－7)∪(13，＋∞).一、素养落地
1.通过学习不等式(组)解集的概念，提升数学抽象素养；通过求不等式(组)的解集提升数学运算素养；通过求绝对值不等式的解集提升直观想象和数学运算素养.
2.解不等式的过程中要不断地使用不等式的性质.求不等式组解集时常利用数轴求交集.
3.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集(2)|ax＋b|≤c和|ax＋b|≥c型不等式的解法
|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；
|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
(ⅰ)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
(ⅱ)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想.二、素养训练A.1个 B.2个
C.3个 D.4个答案 C∴(2，＋∞)?(m，＋∞)，∴m≤2.答案 D3.三角形三边长为4，1－2a，7，则a的取值范围是________.答案 (－5，－1)4.不等式|3x－4|<2的解集是________.5.求下列关于x的不等式(组)的解集.