2.2.4 均值不等式及其应用
第一课时 均值不等式
课标要求
素养要求
掌握均值不等式≥(a，b都是正数).能用均值不等式解决问题.
通过学习均值不等式及其简单应用，重点培养数学运算、逻辑推理素养.
教材知识探究
如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标.它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理所作的“弦图”进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车.
问题 依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？
提示 由图可知
①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；
②a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，取“＝”.
1.算术平均值与几何平均值
(1)两个正数的算术平均值、几何平均值定义
给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值；数称为a，b的几何平均值.
(2)均值不等式 如果条件改为a≥0，b≥0，均值不等式仍成立
如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立.
2.重要不等式
已知a，b∈R，则有
(1)a2＋b2≥2ab；
(2)(a＋b)2≥4ab；
(3)2(a2＋b2)≥(a＋b)2；
当且仅当a＝b时，等号成立.
教材拓展补遗
[微判断]
1.≥对任意实数a，b都成立.(×)
提示 只有当a≥0且b≥0时，≥才能成立.
2.若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2.(√)
3.若a>0，b>0，则ab≤.(√)
[微训练]
1.不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是________.
解析 当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，
即a＝1时，等号成立.
答案 a＝1
2.当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________(填序号).
①＋≥2；②a－b≥2；
③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.
解析 根据≥ab，≥成立的条件判断，知①②④错，只有③正确.
答案 ③
[微思考]
不等式≥ab和≥成立的条件相同吗？
提示 (1)≥ab与≥成立的条件不同.前者中的a，b为任意实数，后者中的a，b只能取非负实数.
(2)两个不等式都是当且仅当a＝b时取到等号，这一点在求最值时经常用到.a＝b?＝ab；a＝b≥0?＝.
题型一 利用均值不等式比较大小
【例1】 设0
A.aC.a<解析 法一 ∵00，即>a，排除D项，故选B.
法二 取a＝2，b＝8，则＝4，＝5，所以a<<答案 B
规律方法 利用均值不等式比较实数大小的注意事项
(1)利用均值不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积).
(2)利用均值不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0.
【训练1】 比较大小：________2(填“>”“<”“≥”或“≤”).
解析 ＝＋≥2，当且仅当＝.即x＝0时，等号成立.
答案 ≥
题型二 用均值不等式证明不等式
当代数式含有三项或多项时，要拆分成部分能利用均值不等式的形式
【例2】 已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明：＋＋≥9.
“1”的代换是常用转化技巧
证明 ＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立.
故＋＋≥9(当且仅当a＝b＝c＝时取等号).
规律方法 在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式.
【训练2】 已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：＋＋>3.
证明 因为a，b，c全不相等，
所以与，与，与全不相等，
所以＋>2，＋>2，＋>2，
三式相加得，＋＋＋＋＋>6，
所以＋＋>3，
即＋＋>3.
题型三 均值不等式的变形应用
【例3】 (1)设a，b，c∈R，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
(2)已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
①＋＋≥8；②≥9.
证明 (1)∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
∴(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)≥2ab＋2bc＋2ca.
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(当且仅当a＝b＝c时等号成立).
(2)①∵a＋b＝1，
∴＋＋＝＋＋＝2，
又∵a>0，b>0，
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立).
②法一 ∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＋＝1＋＝2＋，同理，1＋＝2＋，
∴＝
＝5＋2≥5＋4＝9.
∴≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立).
法二 ＝1＋＋＋.
由①知，＋＋≥8，
故＝1＋＋＋≥9.
规律方法 几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R).
(2)＋≥2(a，b同号)；
(3)ab≤(a，b∈R)；
(4)≥≥≥(a＞0，b＞0).
【训练3】 设a，b均为正实数，求证：＋＋ab≥2.
证明 ∵a，b均为正实数，∴＋≥.
∵＋ab≥2，∴＋＋ab≥2(当且仅当a＝b时取等号).
一、素养落地
1.通过学习均值不等式培养数学抽象素养，通过运用均值不等式进行证明提升数学运算及逻辑推理素养.
2.两个不等式a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解.一方面：当a＝b≥0时，＝；另一方面：当＝时，也有a＝b≥0.
3.在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式.
二、素养训练
1.下列不等式成立的是( )
A.ab≤ B.ab≥
C.a＋b≥2 D.a＋b≤2
解析 a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，ab≤，故选A.
答案 A
2.若0A. B.a2＋b2
C.2ab D.a
解析 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·＝.
a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.
∵0∴a<.∴a2＋b2最大.
答案 B
3.若x>0，则x＋________2(填“＝”，“≥”，“≤”，“>”，“<”).
解析 x>0时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时取等号.
答案 ≥
4.设a>0，b>0，给出下列不等式：
①a2＋1>a；②≥4；
③(a＋b)≥4；④a2＋9>6a.
其中恒成立的是________(填序号).
解析 由于a2＋1－a＝＋>0，故①恒成立；
由于＝ab＋＋＋≥2＋2＝4，当且仅当即a＝b＝1时，“＝”成立，故②恒成立；
由于(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b＝1时“＝”成立，故③恒成立；
当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立.综上，①②③正确.
答案 ①②③
5.已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，
证明：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.
证明 ∵a＋b＋c＝1，
∴(1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)
≥2·2·2＝8abc，
当且仅当b＝c＝a＝时，等号成立.
故(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc(当且仅当a＝b＝c＝时取等号).
基础达标
一、选择题
1.不等式a2＋≥4中，等号成立的条件是( )
A.a＝4 B.a＝
C.a＝－ D.a＝±
解析 此不等式等号成立的条件为a2＝，即a＝±，故选D.
答案 D
2.设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是( )
A.s≥t B.s>t
C.s≤t D.s解析 ∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1，即t≤s.
答案 A
3.已知y＝x＋－2(x<0)，则y有( )
A.最大值为0 B.最小值为0
C.最大值为－4 D.最小值为－4
解析 ∵x<0，∴y＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝时，即x＝－1时“＝”成立.
答案 C
4.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(aA.aC.解析 设甲、乙两地的距离为s，则v＝＝.
由于aa，
又＋>2，∴v<.故a答案 A
5.已知a，b∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是( )
A.a＋b＋≥2 B.(a＋b)≥4
C.≥2 D.＞
解析 ∵a＋b＋≥2＋≥2(当且仅当a＝b＝时，等号成立)，A成立；
(a＋b)≥2＋＋≥2＋2＝4(当且仅当a＝b＝1时，等号成立)，B成立；
a2＋b2≥2ab＞0，∴≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，C成立；
∵a＋b≥2，∴≤1，不等式两边同乘，得≤，所以D不成立.
答案 D
二、填空题
6.已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是________.
解析 x2＝，y2＝a＋b＝.
∵a＋b>2(a>0，b>0且a≠b)，∴x2∵x，y>0，∴x答案 x7.已知a>b>c，则与的大小关系是________.
解析 ∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0.
∴＝≥，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号.
答案 ≤
8.若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④＋≥2，对满足条件的a，b恒成立的是________(填序号).
解析 因为ab≤＝1，所以①正确；因为(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤2＋a＋b＝4，故②不正确；a2＋b2≥＝2，所以③正确；＋＝＝≥2，所以④正确.
答案 ①③④
三、解答题
9.设a>0，b>0，且a＋b＝＋，证明：a＋b≥2.
证明 由a>0，b>0知a＋b>0，又a＋b＝＋＝，故ab＝1，即有a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b时取得等号，∴a＋b≥2(当且仅当a＝b＝1时取“＝”).
10.已知a>0，b>0，求证：＋≥a＋b.
证明 ∵a，b>0，∴＋b≥2＝2a，＋a≥2＝2b，∴＋b＋＋a≥2a＋2b，∴＋≥a＋b(当且仅当a＝b时等号成立).
能力提升
11.设x>0，求证：x＋≥.
证明 ∵x>0，∴x＋>0，∴x＋＝x＋＝x＋＋－≥2－＝，
当且仅当x＋＝，即x＝时，等号成立.
12.已知a，b都是正数，求证：≤≤≤.
证明 ∵a>0，b>0，∴＋≥2，∴≤，即≤(当且仅当a＝b时取“＝”).
又∵＝≤＝，
∴≤(当且仅当a＝b时取“＝”)，
又≥(当且仅当a＝b时取“＝”).
故≤≤≤(当且仅当a＝b时取“＝”).
第二课时 均值不等式的应用
课标要求
素养要求
掌握均值不等式≤(a，b≥0).结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.
通过学习均值不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养.
教材知识探究
(1)某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？
(2)某农场主想用篱笆围成一个10 000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？
问题 实例中两个问题的实质是什么？如何求解？
提示 这两个都是求最值问题.第一个问题是矩形周长一定，即长x与宽y的和一定，求xy的最大值，xy≤＝252＝625，当且仅当x＝y＝25时取等号，即鸡舍为正方形，长与宽各为25米时鸡舍面积最大.第二个问题是矩形面积一定，求矩形长x与宽y之和最小值，x＋y≥2＝2＝200，当且仅当x＝y＝100时取等号，即当农场为正方形，边长为100米时，所用篱笆最省.
1.均值不等式与最大(小)值
两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.
(1)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
(2)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
2.均值不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具.
教材拓展补遗
[微判断]
1.对于实数a，b，若a＋b为定值，则ab有最大值.(×)
提示 a，b不一定为正实数.
2.对于实数a，b，若ab为定值，则a＋b有最小值.(×)
提示 a，b不一定为正实数.
3.若x>2，则x＋的最小值为2.(×)
提示 当且仅当x＝1时才能取得最小值2，故x>2时，取不到最小值2.
[微训练]
1.已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是________.
解析 a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝时等号成立.
答案 2
2.已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是________.
解析 由m2＋n2≥2mn，∴mn≤＝50.当且仅当m＝n＝±5时等号成立.
答案 50
[微思考]
1.利用均值不等式求最大值或最小值时，应注意什么问题呢？
提示 利用均值不等式求最值时应注意：一正，二定，三相等.
2.已知x，y为正数，且＋＝1，求x＋y的最小值.
下面是某同学的解题过程：
解：因为x>0，y>0，所以1＝＋≥2×＝，所以≥4.从而x＋y≥2≥2×4＝8.故x＋y的最小值为8.
请分析上面解法是否正确，并说明理由.
解 这个同学的解法是错误的.理由如下：
上述解法中连续使用两次均值不等式，但这两个不等式中的等号不能同时成立.第一个不等式当且仅当＝＝，即x＝2，y＝8时，等号成立；第二个不等式当且仅当x＝y时，等号成立，因此x＋y不能等于8.
正解 x＋y＝(x＋y)＝1＋＋＋4＝＋＋5≥2·＋5＝9，当且仅当
即x＝3，y＝6时，等号成立.故x＋y的最小值为9.
题型一 利用均值不等式求最值
【例1】 (1)已知x>2，求x＋的最小值；
(2)设x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值.
解 (1)∵x>2，∴x－2>0，
∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，
当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立.
∴x＋的最小值为6.
(2)法一 由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x.
∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝，
∴x＋y＝x＋＝x＋
＝(x－8)＋＋10
≥2＋10＝18，
当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立.
∴x＋y的最小值是18.
法二 由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0，得＋＝1.
∴x＋y＝(x＋y)
＝＋＋10≥10＋10＝18，
当且仅当＝，即x＝2y＝12时等号成立.
∴x＋y的最小值是18.
规律方法 利用均值不等式求最值的策略
【训练1】 (1)若x<0，求y＝＋3x的最大值；
(2)若x>1，求y＝＋x的最小值.
解 (1)因为x<0，所以y＝－≤－2
＝－12，当且仅当－＝－3x，
即x＝－2时等号成立，所以y的最大值为－12.
(2)因为x>1，所以x－1>0，y＝＋x－1＋1≥
2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时等号成立，所以y的最小值为3.
题型二 利用均值不等式解决实际应用问题
【例2】 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).
(1)若设休闲区的长和宽的比＝x(x>1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式；
(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
解 (1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米，由a2x＝4 000，得a＝.
则S＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160＝4 000＋(8x＋20)·＋160
＝80＋4 160(x>1).
(2)因为80＋4 160≥80×2＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760，当且仅当2＝，即x＝2.5时，等号成立，此时a＝40，ax＝100，
所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米.
规律方法 利用均值不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.
(2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.
(4)正确写出答案.
【训练2】 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
解 设该厂每x天购买一次面粉，其购买量为6x吨.
由题意可知，面粉的保管费及其他费用为
3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1).
设平均每天所支付的总费用为y1元，
则y1＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝9x＋＋10 809≥2＋10 809
＝10 989(元)，
当且仅当9x＝，即x＝10时，等号成立.
所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.
题型三 均值不等式的综合应用
【探究1】 已知x>0，y>0且＋＝1，则x＋y的最小值为________.
解析 法一 (1的代换)：
因为＋＝1，
所以x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋.
因为x>0，y>0，所以＋≥2＝6，
当且仅当＝，即y＝3x ①时，取“＝”.
又＋＝1，②
解①②可得x＝4，y＝12.
所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16.
法二 (消元法)：由＋＝1，得x＝.
因为x>0，y>0，所以y－9>0.
所以x＋y＝＋y＝y＋＝y＋＋1＝
(y－9)＋＋10≥2＋10＝16，
当且仅当y－9＝，即y＝12时，取“＝”，此时x＝4，
所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16.
法三 (构造定值)：因为x>0，y>0，且＋＝1，
所以x>1，y>9.
由＋＝1，得y＋9x＝xy?xy－9x－y＋9－9＝0?(x－1)(y－9)＝9(定值).
所以x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2＋10＝2×3＋10＝16，
当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时取等号，所以x＋y的最小值是16.
答案 16
【探究2】 已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于( )
A.10 B.9
C.8 D.7
解析 因为a>0，b>0，所以2a＋b>0，所以要使＋≥恒成立，只需m≤(2a＋b)恒成立，而(2a＋b)＝4＋＋＋1≥5＋4＝9，当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9.
答案 B
【探究3】 若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.
解析 ∵a＞0，b＞0，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，
即ab－2－3≥0，解得≥3，即ab≥9.
答案 [9，＋∞)
【探究4】 已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为________.
解析 正数x，y满足x＋y＝1，
即有(x＋2)＋(y＋1)＝4，
则＋＝[(x＋2)＋(y＋1)]
＝≥＝×(5＋4)＝，
当且仅当x＝2y＝时，取得最小值.
答案
规律方法 利用均值不等式求条件最值的常用方法
(1)“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用均值不等式求最值.
(2)构造法：
①构造不等式：利用ab≤，将式子转化为含ab或a＋b的不等式，将ab，(a＋b)作为整体解出范围；
②构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用均值不等式求最值.
(3)函数法：若利用均值不等式时等号取不到，无法利用均值不等式求最值时，则可将要求的式子看成一个函数求最值.
【训练3】 (1)已知2a＋b＝1，a>0，b>0，则＋的最小值是( )
A.2 B.3－2
C.3＋2 D.3＋
(2)已知a，b，c都是正数，且a＋2b＋c＝1，则＋＋的最小值是( )
A.3＋2 B.3－2
C.6－4 D.6＋4
解析 (1)＋＝(2a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即a＝1－，b＝－1时，等号成立.∴＋的最小值是3＋2.
(2)＋＋＝(a＋2b＋c)
＝4＋＋＋＋＋＋≥4＋2
＋2 ＋2 ＝6＋4，
当且仅当＝，＝，＝即a＝c＝，b＝时，等号成立.
答案 (1)C (2)D
一、素养落地
1.通过运用均值不等式求最值，培养数学运算及逻辑推理素养，通过运用均值不等式解决实际应用问题，提升数学建模素养.
2.利用均值不等式求最值
(1)利用均值不等式求最值要把握下列三个条件：
①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.
(2)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件.
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用均值不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用均值不等式得到的结果往往是错误的.
二、素养训练
1.当x>0时，＋4x的最小值为( )
A.4 B.8
C.8 D.16
解析 ∵x>0，∴>0，4x>0.
∴＋4x≥2＝8，
当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8，
∴当x>0时，＋4x的最小值为8.
答案 C
2.已知x>－2，则x＋的最小值为( )
A.－ B.－1
C.2 D.0
解析 ∵x>－2，∴x＋2>0，∴x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝－1时“＝”成立.
答案 D
3.已知x>0，y>0，且x＋2y＝2，那么xy的最大值是________.
解析 ∵x>0，y>0，∴x＋2y＝2≥2，∴2xy≤1，
∴xy≤，当且仅当x＝2y即x＝1，y＝时“＝”成立.
答案
4.若不等式x2－ax＋1≥0对一切x∈(0，＋∞)恒成立，则a的取值范围是________.
解析 x2－ax＋1≥0，x∈(0，＋∞)恒成立?ax≤x2＋1，x∈(0，＋∞)恒成立?a≤x＋，x∈(0，＋∞)恒成立.
∵x∈(0，＋∞)，x＋≥2，∴a≤2.
答案 (－∞，2]
5.已知x>0，y>0，a>0，b>0，a，b为常数且满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.
解 ∵x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，取“＝”的条件为＝，此时x＋y的最小值＝(＋)2＝18，
即a＋b＋2＝18.①
又a＋b＝10.②
联立①②有或
基础达标
一、选择题
1.若(x>1)在x＝t处取得最小值，则t等于( )
A.1＋ B.2
C.3 D.4
解析 ∵x>1，∴＝＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，
当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立.
答案 B
2.已知正数x，y满足＋＝1，则x＋2y的最小值是( )
A.18 B.16
C.8 D.10
解析 ∵x>0，y>0且＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当＝，即x＝12，y＝3时，等号成立.
答案 A
3.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A.5千米处 B.4千米处
C.3千米处 D.2千米处
解析 设仓库与车站的距离为d，则y1＝，y2＝k2d，由题意知2＝，8＝10k2，∴k1＝20，k2＝0.8.∴y1＋y2＝＋0.8d≥2＝8，当且仅当＝0.8d，即d＝5时，等号成立.选A.
答案 A
4.设计用32 m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m，则车厢的最大容积是( )
A.(38－3) m3 B.16 m3
C.4 m3 D.14 m3
解析 设车厢的长为b m，高为a m.由已知得2b＋2ab＋4a＝32，即b＝，
∴V＝a··2＝2·.
设a＋1＝t>1，则V＝2
≤2＝16，当且仅当2t＝，即t＝3时取“＝”，此时a＝2.故选B.
答案 B
5.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为( )
A.10 m B.20 m
C.30 m D.40 m
解析 设矩形的另一边长为y.由三角形相似得＝，其中0答案 B
二、填空题
6.设x>－1，则的最小值是______.
解析 ∵x>－1，∴x＋1>0，
设x＋1＝t>0，则x＝t－1，
于是有＝
＝＝t＋＋5≥2 ＋5＝9，
当且仅当t＝，即t＝2时取“＝”，此时x＝1.
∴当x＝1时，取得最小值9.
答案 9
7.已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________.
解析 根据题意，3a＋b＝2ab?＋＝1，
则a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝2＋，
当且仅当b＝a即a＝，b＝时等号成立，
则a＋b的最小值为2＋.
答案 2＋
8.若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________.
解析 因为x>0，
所以＝≤＝.
当且仅当x＝1时，等号成立，
所以的最大值为.
所以a≥.
答案
三、解答题
9.(1)若x>0，求y＝x＋的最小值，并求此时x的值；
(2)设0解 (1)当x>0时，x＋≥2＝4，
当且仅当x＝时，
即x2＝4，x＝2时取等号.
∴y＝x＋(x>0)在x＝2时取得最小值4.
(2)∵00，
∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]
≤2＝，
当且仅当2x＝3－2x，
即x＝时，等号成立.
∵∈，
∴y＝4x(3－2x)的最大值为.
10.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？
解 设底面的长为x m，宽为y m，水池总造价为z元.
根据题意，有
z＝150×＋120(2×3x＋2×3y)
＝240 000＋720(x＋y).
由容积为4 800 m3，可得3xy＝4 800.
因此，xy＝1 600.
故z＝240 000＋720(x＋y)≥240 000＋720×2
＝240 000＋720×2＝297 600，
当且仅当x＝y，即x＝y＝40时，等号成立.
所以，将水池的底面设计成边长为40 m的正方形时总造价最低，最低总造价是297 600元.
能力提升
11.已知x，y都是正数.
(1)若3x＋2y＝12，求xy的最大值；
(2)若x＋2y＝3，求＋的最小值.
解 (1)∵3x＋2y＝12，
∴xy＝·3x·2y≤×＝6，
当且仅当3x＝2y，即x＝2，y＝3时，等号成立.
∴xy的最大值为6.
(2)∵x＋2y＝3，∴1＝＋，
∴＋＝＝＋＋＋
≥1＋2＝1＋，
当且仅当＝，
即x＝3－3，y＝3－时取等号，
∴＋的最小值为1＋.
12.某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2020年日本东京奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件.已知2020年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用.若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完.
(1)将2020年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数.
(2)该企业2020年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)
解 (1)由题意可设3－x＝，将t＝0，x＝1代入，得k＝2.∴x＝3－.
当年生产x万件时，∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，∴年生产成本为32x＋3＝32(3－)＋3.
当销售x(万件)时，年销售收入为
150%[32(3－)＋3]＋t.
由题意，生产x万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，
得年利润y＝150%＋t－－t＝ (t≥0).
(2)y＝＝50－
≤50－2＝50－2＝42(万元)，
当且仅当＝，
即t＝7时，y取最大值42万元，
∴当促销费投入7万元时，企业的年利润最大
课件27张PPT。2.2.4 均值不等式及其应用
第一课时 均值不等式教材知识探究如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标.它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理所作的“弦图”进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车.问题 依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？
提示 由图可知
①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；
②a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，取“＝”.1.算术平均值与几何平均值(1)两个正数的算术平均值、几何平均值定义
给定两个正数a，b，数_______称为a，b的算术平均值；数_____称为a，b的几何平均值.
(2)均值不等式如果条件改为a≥0，b≥0，均值不等式仍成立a＝b2.重要不等式已知a，b∈R，则有
(1)a2＋b2≥2ab；
(2)(a＋b)2≥4ab；
(3)2(a2＋b2)≥(a＋b)2；
当且仅当a＝b时，等号成立.教材拓展补遗
[微判断]×√√[微训练]
1.不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是________.解析 当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，
即a＝1时，等号成立.答案 a＝12.当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________(填序号).答案 ③[微思考]题型一 利用均值不等式比较大小
【例1】 设0(1)利用均值不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积).
(2)利用均值不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0.【训练1】 比较大小：________2(填“>”“<”“≥”或“≤”).答案 ≥题型二【例2】 已知a，b，c为正数，且用均值不等式证明不等式当代数式含有三项或多项时，要拆分成部分能利用均值不等式的形式a＋b＋c＝1“1”的代换是常用转化技巧规律方法 在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式.证明 因为a，b，c全不相等，题型三 均值不等式的变形应用
【例3】 (1)设a，b，c∈R，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
(2)已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：证明 (1)∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
∴(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)≥2ab＋2bc＋2ca.
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(当且仅当a＝b＝c时等号成立).规律方法几个重要的不等式一、素养落地
1.通过学习均值不等式培养数学抽象素养，通过运用均值不等式进行证明提升数学运算及逻辑推理素养.3.在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式.二、素养训练
1.下列不等式成立的是( )答案 A2.若0∵00，b>0，给出下列不等式：其中恒成立的是________(填序号).答案 ①②③5.已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.证明 ∵a＋b＋c＝1，
∴(1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)课件35张PPT。第二课时 均值不等式的应用教材知识探究(1)某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？
(2)某农场主想用篱笆围成一个10 000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？问题 实例中两个问题的实质是什么？如何求解？1.均值不等式与最大(小)值两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.
(1)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当______时，积xy有最大值
________.
(2)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当________时，和x＋y有最小值______.x＝y2.均值不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具.x＝y教材拓展补遗
[微判断]
1.对于实数a，b，若a＋b为定值，则ab有最大值.( )
提示 a，b不一定为正实数.
2.对于实数a，b，若ab为定值，则a＋b有最小值.( )
提示 a，b不一定为正实数.×××提示 当且仅当x＝1时才能取得最小值2，故x>2时，取不到最小值2.[微训练]
1.已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是________.2.已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是________.答案 50[微思考]
1.利用均值不等式求最大值或最小值时，应注意什么问题呢？提示 利用均值不等式求最值时应注意：一正，二定，三相等.下面是某同学的解题过程：解 这个同学的解法是错误的.理由如下：即x＝3，y＝6时，等号成立.故x＋y的最小值为9.题型一(2)设x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值.利用均值不等式求最值(2)法一 由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x.∴x＋y的最小值是18.∴x＋y的最小值是18.规律方法 利用均值不等式求最值的策略即x＝－2时等号成立，所以y的最大值为－12.题型二 利用均值不等式解决实际应用问题【例2】 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米.规律方法 利用均值不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.
(2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.
(4)正确写出答案.【训练2】 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？解 设该厂每x天购买一次面粉，其购买量为6x吨.
由题意可知，面粉的保管费及其他费用为3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1).设平均每天所支付的总费用为y1元，所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.题型三解析 法一 (1的代换)：均值不等式的综合应用解①②可得x＝4，y＝12.所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16.所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16.当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时取等号，所以x＋y的最小值是16.答案 16答案 B【探究3】 若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.答案 [9，＋∞)解析 正数x，y满足x＋y＝1，
即有(x＋2)＋(y＋1)＝4，规律方法 利用均值不等式求条件最值的常用方法
(1)“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用均值不等式求最值.
(2)构造法：②构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用均值不等式求最值.
(3)函数法：若利用均值不等式时等号取不到，无法利用均值不等式求最值时，则可将要求的式子看成一个函数求最值.答案 (1)C (2)D一、素养落地
1.通过运用均值不等式求最值，培养数学运算及逻辑推理素养，通过运用均值不等式解决实际应用问题，提升数学建模素养.
2.利用均值不等式求最值
(1)利用均值不等式求最值要把握下列三个条件：
①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.
(2)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件.
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用均值不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用均值不等式得到的结果往往是错误的.二、素养训练答案 C答案 D3.已知x>0，y>0，且x＋2y＝2，那么xy的最大值是________.4.若不等式x2－ax＋1≥0对一切x∈(0，＋∞)恒成立，则a的取值范围是________.答案 (－∞，2]