3.1.3 函数的奇偶性
第一课时 函数的奇偶性
课标要求
素养要求
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义.
2.能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图像特征解决一些简单问题.
通过本节内容的学习，让学生结合实例，利用图像抽象出函数性质，提升直观想象和逻辑推理素养.
教材知识探究
在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如图，六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影……
问题1 上述材料中提到的图形对称指的是“整个图形对称”还是“图形的部分”对称？
提示 整个图形对称.
问题2 哪个图形是轴对称图形？哪个图形是中心对称图形？
提示 ①是轴对称图形，②既是轴对称图形，又是中心对称图形.
1.偶函数的定义及图像特征
(1)偶函数的定义： x为D中的任意值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数.
(2)偶函数的图像特征：偶函数的图像关于y轴对称.反之，图像关于y轴对称的函数一定是偶函数.
2.奇函数的定义及图像特征
(1)奇函数的定义： x为D中的任意值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数.
(2)奇函数的图像特征：奇函数的图像关于原点对称.反之，图像关于原点对称的函数一定是奇函数.
教材拓展补遗
[微判断]
1.对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数.(×)
提示 反例：f(x)＝x2，存在x＝0，f(－0)＝－f(0)＝0，但函数f(x)＝x2不是奇函数.
2.不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.(×)
提示 函数f(x)＝0，x∈R既是奇函数，又是偶函数.
3.奇函数f(x)的定义域为R，且f(－2)＝5，则f(2)＝－5.(√)
[微训练]
1.f(x)＝x3＋的图像关于________对称.
解析 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
又f(－x)＝(－x)3＋＝－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数.∴其图像关于原点对称.
答案 原点
2.函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则f(－2)＝________.
解析 ∵当x>0时，f(x)＝－x＋1，∴f(2)＝－2＋1＝－1.又f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝1.
答案 1
[微思考]
1.如果函数f(x)具有奇偶性，那么函数f(x)的定义域一定关于原点对称吗？
提示 定义域一定关于原点对称.由函数奇偶性的定义知，若x在定义域内，则－x一定也在定义域内(若－x不在定义域内，则f(－x)无意义)，因此，具有奇偶性的函数的定义域必关于原点对称.
2.若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)的值是多少？
提示 由于函数f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，又函数f(x)在x＝0处有意义，于是f(0)＝f(－0)＝－f(0)，即2f(0)＝0，所以f(0)＝0.
题型一 函数奇偶性的判定
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝2－|x|；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝.
解 (1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数.
(2)函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数.
规律方法 判断函数奇偶性的两种方法：
(1)定义法：
(2)图像法：
【训练1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；
(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3)f(x)＝.
解 (1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.
(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数.
题型二 分段函数奇偶性的判定
【例2】 判断函数f(x)＝的奇偶性.
解 f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
当x>0时，－x<0，
f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x).
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数.
规律方法 分段函数奇偶性的判断应注意
(1)定义域是否关于原点对称；
(2)在各段求出f(－x)后与对应段上的f(x)比较.
【训练2】 判断函数f(x)＝的奇偶性.
解 f(x)的定义域为R，
当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)3＝－x3，而f(x)＝x2，
∴当x<0时不满足f(－x)＝f(x)，也不满足f(－x)＝－f(x).故此函数是非奇非偶函数.
题型三 奇、偶函数的图像特征
【例3】 已知函数f(x)＝，令g(x)＝f.
(1)已知f(x)在区间[0，＋∞)上的图像如图，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图像，请说明你的作图依据；
(2)求证：f(x)＋g(x)＝1(x≠0).
解 (1)∵f(x)＝，∴f(x)的定义域为R.
又对任意x∈R，都有f(－x)＝＝＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故f(x)的图像关于y轴对称，其图像如图所示，
(2)证明 ∵g(x)＝f＝＝(x≠0)，
∴f(x)＋g(x)＝＋＝＝1，
即f(x)＋g(x)＝1(x≠0).
规律方法 (1)先判断函数的奇偶性；
(2)利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称.
【训练3】 (1)如图给出了奇函数y＝f(x)的局部图像，则f(－2)的值为( )
A. B.－
C. D.－
(2)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，当x∈[0，5]时，函数y＝f(x)的图像如图所示，则使函数值y＜0的x的取值集合为( )
A.(2，5) B.(－5，－2)∪(2，5)
C.(－2，0) D.(－2，0)∪(2，5)
解析 (1)奇函数的图像关于原点对称，因此，f(－2)＝－f(2)＝－.
(2)因为原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图像关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0，5]上的图像，知它在[－5，0]上的图像，如图所示，由图像知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5).
答案 (1)B (2)D
一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升学生的直观想象和逻辑推理素养.
2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式f(－x)＝±f(x)?f(－x)?f(x)＝0?＝±1(f(x)≠0).
3.(1)若f(x)＝0且f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)f(x)为奇函数?f(x)的图像关于原点对称，f(x)为偶函数?f(x)的图像关于y轴对称.
二、素养训练
1.下列图像表示的函数具有奇偶性的是( )
解析 选项A中的图像关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C，D中的图像所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图像关于y轴对称，其表示的函数是偶函数，故选B.
答案 B
2.f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－3)＝2，则下列各点在函数f(x)图像上的是( )
A.(－3，－2) B.(3，2)
C.(2，－3) D.(3，－2)
解析 点(－3，2)关于原点的对称点为(3，－2).
答案 D
3.已知f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)≥2，则当x≤0时( )
A.f(x)≤2 B.f(x)≥2
C.f(x)≤－2 D.f(x)∈R
解析 根据偶函数的图像关于y轴对称，易知当x≤0时，有f(x)≥2.故选B.
答案 B
4.已知函数f(x)是定义在区间[a－1，2a]上的奇函数，则实数a的值为________________.
解析 由题意知a－1＋2a＝0，得a＝.
答案
5.求证：函数f(x)＝x2＋的图像关于y轴对称.
证明 ∵函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
且f(－x)＝(－x)2＋＝x2＋＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，故其图像关于y轴对称.
三、审题答题
示范(三) 函数奇偶性的综合应用
【典型示例】 (12分)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝
(1)在给定的坐标系中画出函数f(x)在R上的图像(不用列表)①；
(2)直接写出当x<0时f(x)的解析式②；
(3)讨论直线y＝m(m∈R)与y＝f(x)的图像的交点个数.③
联想解题
看到①首先想到作出x≥0时f(x)的图像，然后利用对称性，作出x<0时f(x)的图像，看到②想到利用偶函数的定义，求解析式，看到③想到在同一坐标系中作直线y＝m.
满分示范
解 (1)函数图像如图
4分
(2)f(x)＝6分
(3)设交点个数为g(m)，
当m>5时，g(m)＝0；8分
当m＝5时，g(m)＝2；
当1当m＝1时，g(m)＝3；
当m<1时，g(m)＝2；12分
综上所述，g(m)＝
(没有写出分段形式答案不扣分)
满分心得
(1)此类问题主要利用了奇、偶函数的对称性，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称.
(2)定义域是函数的灵魂，尤其是求解析式时应注意定义域.
基础达标
一、选择题
1.已知f(x)是定义在R上的偶函数，则f(5)＋f(－5)＝( )
A.0 B.5
C.2f(5) D.f(0)
解析 因为f(x)是偶函数，所以f(－5)＝f(5)，故f(5)＋f(－5)＝2f(5).
答案 C
2.下列函数中既是偶函数又在(0，＋∞)上是增函数的是( )
A.y＝x3 B.y＝|x|＋1
C.y＝－x2＋1 D.y＝2x＋1
解析 排除法.偶函数只有B、C，而函数y＝|x|＋1在(0，＋∞)上为增函数，函数y＝－x2＋1在(0，＋∞)上为减函数.故选B.
答案 B
3.若函数f(x)满足＝1，则f(x)的图像的对称轴是( )
A.x轴 B.y轴
C.直线y＝x D.不能确定
解析 ＝1?f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数，∴其图像的对称轴为y轴.
答案 B
4.f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中不一定正确的是( )
A.f(－x)＋f(x)＝0 B.f(－x)－f(x)＝－2f(x)
C.f(x)·f(－x)≤0 D.＝－1
解析 f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，所以A，B，C均正确.只有f(x)≠0时，才有＝－1，D不正确.
答案 D
5.如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是( )
A.y＝x＋f(x) B.y＝xf(x)
C.y＝x2＋f(x) D.y＝x2f(x)
解析 ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x).
令y＝g(x).
对于A，g(－x)＝－x＋f(－x)＝－x－f(x)＝－g(x)，
∴y＝x＋f(x)是奇函数.
对于B，g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，
∴y＝xf(x)是偶函数.
对于C，g(－x)＝(－x)2＋f(－x)＝x2－f(x)，
由于g(－x)≠g(x)，g(－x)≠－g(x)，
∴y＝x2＋f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
对于D，g(－x)＝(－x)2f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)，
∴y＝x2f(x)是奇函数.
答案 B
二、填空题
6.下列函数为偶函数的是________(只填序号).
①y＝x2(x≥0)；②y＝(x－1)；③y＝2；④y＝|x|(x≤0).
解析 对于①④，其定义域显然不关于原点对称，故其为非奇非偶函数；又②中，由得定义域为[－1，1)，不关于原点对称，故②也是非奇非偶函数；对于③，其定义域为R，且对?x∈R都满足f(－x)＝f(x)＝2，故③是偶函数.
答案 ③
7.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.
解析 ∵f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝x2＋1，
∴f(－2)＝－f(2)＝－(4＋1)＝－5.
又f(0)＝0，
∴f(－2)＋f(0)＝－5＋0＝－5.
答案 －5
8.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝________.
解析 在f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1中，
令x＝－1，得f(－1)－g(－1)＝1，
又f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，
∴f(1)＋g(1)＝1.
答案 1
三、解答题
9.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)＝x4－3x2；
(2)f(x)＝.
解 (1)f(x)＝x4－3x2的定义域是R，关于原点对称.
又f(－x)＝(－x)4－3(－x)2＝x4－3x2＝f(x)，
∴f(x)＝x4－3x2是偶函数.
(2)由得－1≤x＜0或0＜x≤1，
∴f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称，
∴f(x)＝＝.
又f(－x)＝＝－f(x)，故f(x)为奇函数.
10.已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，求证g(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)为奇函数.
证明 ∵f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
即a(－x)2－bx＋c＝ax2＋bx＋c，∴b＝0，
∴g(x)＝ax3＋cx，其定义域为R，
又g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－(ax3＋cx)＝－g(x).
∴g(x)为奇函数.
能力提升
11.定义在[－3，－1]∪[1，3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图像如图所示.
(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图像；
(2)比较f(1)与f(3)的大小.
解 (1)因为f(x)是奇函数，其图像关于原点对称，可作出f(x)图像如图所示.
(2)由(1)中的图像可知f(x)在[1，3]上单调递减，
∴f(1)>f(3).
12.已知函数f(x)是正比例函数，函数g(x)是反比例函数，且f(1)＝1，g(1)＝2.
(1)求函数f(x)和g(x)；
(2)判断f(x)＋g(x)的奇偶性；
(3)求函数f(x)＋g(x)在(0，2)上的最小值.
解 (1)设f(x)＝k1x，g(x)＝(k1，k2≠0)，
则1＝f(1)＝k1，2＝g(1)＝k2，
∴f(x)＝x，g(x)＝.
(2)令h(x)＝f(x)＋g(x)＝x＋，
则其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
又h(－x)＝－x＋＝－＝－h(x)，
∴f(x)＋g(x)为奇函数.
(3)∵当x∈(0，2)时，f(x)＋g(x)＝x＋≥2＝2，
当且仅当x＝>0，即x＝∈(0，2)时不等式等号成立，故f(x)＋g(x)在(0，2)上的最小值为2.
课件35张PPT。3.1.3 函数的奇偶性
第一课时 函数的奇偶性教材知识探究在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如图，六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影……问题1 上述材料中提到的图形对称指的是“整个图形对称”还是“图形的部分”对称？
提示 整个图形对称.
问题2 哪个图形是轴对称图形？哪个图形是中心对称图形？
提示 ①是轴对称图形，②既是轴对称图形，又是中心对称图形.1.偶函数的定义及图像特征(1)偶函数的定义：x为D中的任意值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有__________，且____________ ，则称y＝f(x)为偶函数.
(2)偶函数的图像特征：偶函数的图像关于______对称.反之，图像关于y轴对称的函数一定是____函数.－x∈Df(－x)＝f(x)y轴偶2.奇函数的定义及图像特征(1)奇函数的定义：x为D中的任意值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有________，且______________ ，则称y＝f(x)为奇函数.
(2)奇函数的图像特征：奇函数的图像关于_______对称.反之，图像关于原点对称的函数一定是_____函数.－x∈Df(－x)＝－f(x)原点奇教材拓展补遗
[微判断]
1.对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数.( )
提示 反例：f(x)＝x2，存在x＝0，f(－0)＝－f(0)＝0，但函数f(x)＝x2不是奇函数.
2.不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.( )
提示 函数f(x)＝0，x∈R既是奇函数，又是偶函数.
3.奇函数f(x)的定义域为R，且f(－2)＝5，则f(2)＝－5.( )××√[微训练]解析 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴f(x)为奇函数.∴其图像关于原点对称.答案 原点2.函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则f(－2)＝________.解析 ∵当x>0时，f(x)＝－x＋1，∴f(2)＝－2＋1＝－1.又f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝1.答案 1[微思考]
1.如果函数f(x)具有奇偶性，那么函数f(x)的定义域一定关于原点对称吗？提示 定义域一定关于原点对称.由函数奇偶性的定义知，若x在定义域内，则－x一定也在定义域内(若－x不在定义域内，则f(－x)无意义)，因此，具有奇偶性的函数的定义域必关于原点对称.2.若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)的值是多少？提示 由于函数f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，又函数f(x)在x＝0处有意义，于是f(0)＝f(－0)＝－f(0)，即2f(0)＝0，所以f(0)＝0.题型一【例1】 判断下列函数的奇偶性：函数奇偶性的判定解 (1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数.
(2)函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数.规律方法 判断函数奇偶性的两种方法：
(1)定义法：(2)图像法：【训练1】 判断下列函数的奇偶性：解 (1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.
(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数.题型二 分段函数奇偶性的判定解 f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
当x>0时，－x<0，
f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x).
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数.规律方法 分段函数奇偶性的判断应注意
(1)定义域是否关于原点对称；
(2)在各段求出f(－x)后与对应段上的f(x)比较.解 f(x)的定义域为R，
当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)3＝－x3，而f(x)＝x2，
∴当x<0时不满足f(－x)＝f(x)，也不满足f(－x)＝－f(x).故此函数是非奇非偶函数.题型三 奇、偶函数的图像特征(1)已知f(x)在区间[0，＋∞)上的图像如图，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图像，请说明你的作图依据；
(2)求证：f(x)＋g(x)＝1(x≠0).规律方法 (1)先判断函数的奇偶性；
(2)利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称.【训练3】 (1)如图给出了奇函数y＝f(x)的局部图像，则f(－2)的值为( )(2)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，当x∈[0，5]时，函数y＝f(x)的图像如图所示，则使函数值y＜0的x的取值集合为( )A.(2，5) B.(－5，－2)∪(2，5)
C.(－2，0) D.(－2，0)∪(2，5)(2)因为原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图像关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0，5]上的图像，知它在[－5，0]上的图像，如图所示，由图像知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5).答案 (1)B (2)D二、素养训练
1.下列图像表示的函数具有奇偶性的是( )解析 选项A中的图像关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C，D中的图像所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图像关于y轴对称，其表示的函数是偶函数，故选B.
答案 B2.f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－3)＝2，则下列各点在函数f(x)图像上的是( )
A.(－3，－2) B.(3，2)
C.(2，－3) D.(3，－2)
解析 点(－3，2)关于原点的对称点为(3，－2).
答案 D3.已知f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)≥2，则当x≤0时( )A.f(x)≤2 B.f(x)≥2
C.f(x)≤－2 D.f(x)∈R
解析 根据偶函数的图像关于y轴对称，易知当x≤0时，有f(x)≥2.故选B.
答案 B4.已知函数f(x)是定义在区间[a－1，2a]上的奇函数，则实数a的值为________________.且f(－x)＝(－x)2＋＝x2＋＝f(x)，证明 ∵函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，三、审题答题
示范(三) 函数奇偶性的综合应用(1)在给定的坐标系中画出函数f(x)在R上的图像(不用列表)①；(2)直接写出当x<0时f(x)的解析式②；(3)讨论直线y＝m(m∈R)与y＝f(x)的图像的交点个数.③联想解题
看到①首先想到作出x≥0时f(x)的图像，然后利用对称性，作出x<0时f(x)的图像，看到②想到利用偶函数的定义，求解析式，看到③想到在同一坐标系中作直线y＝m.满分示范
解 (1)函数图像如图4分(3)设交点个数为g(m)，
当m>5时，g(m)＝0；8分
当m＝5时，g(m)＝2；
当1当m＝1时，g(m)＝3；
当m<1时，g(m)＝2；12分满分心得
(1)此类问题主要利用了奇、偶函数的对称性，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称.
(2)定义域是函数的灵魂，尤其是求解析式时应注意定义域.第二课时 函数奇偶性的应用
课标要求
素养要求
1.掌握函数奇偶性的简单应用.
2.了解函数图像的对称轴、对称中心满足的条件.
1.通过函数奇偶性的应用，熟悉转化、对称等思考方法，提升逻辑推理素养.
2.通过函数图像的对称轴、对称中心条件，提升直观想象和数学抽象素养.
教材知识探究
问题1 图(1)和图(2)分别是偶函数和奇函数的一部分图像，你能结合奇偶函数图像的特征画出相应图像的另一部分吗？
提示 偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称.
问题2 就图(1)而言，函数在区间(－∞，－2]与[2，＋∞)上的单调性是否相同？就图(2)而言，函数在区间与上的单调性是否相同？
提示 (1)单调性相反，(2)单调性相同.
1.函数的奇偶性与单调性的性质
(1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a(2)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a2.奇偶函数的运算性质
在公共定义域内：
(1)两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；
(2)两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数；
(3)一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数.
3.函数的对称轴与对称中心
(1)若函数f(x)的定义域为D，对?x∈D都有f(T＋x)＝f(T－x)(T为常数)，则x＝T是f(x)的对称轴.
(2)若函数f(x)的定义域为D，对?x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(a，b为常数)，则(a，b)是f(x)的对称中心.
教材拓展补遗
[微判断]
1.若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|).(√)
2.若对f(x)定义域内任意的x都有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图像关于x＝对称.(√)
3.若奇函数f(x)在[a，b]上有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值－M.(√)
[微训练]
1.定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则( )
A.f(3)C.f(3)解析 ∵f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4)，又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，0＜3＜π<4，
∴f(3)答案 C
2.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x－x2，则当x>0时，f(x)＝________
解析 设x>0，则－x<0，
∴f(－x)＝－x－(－x)2＝－x－x2.
又f(－x)＝－f(x)，故f(x)＝x＋x2.
答案 x＋x2
[微思考]
1.若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像关于y轴对称，则f(x)，g(x)是偶函数吗？
提示 不是偶函数，因为只有自身的图像关于y轴对称的函数才是偶函数.
2.函数y＝的图像有对称中心吗？若有，指出对称中心.
提示 y＝＝1＋，对称中心为(1，1).
题型一 利用奇偶性求函数解析式
【例1】 (1)函数f(x)是R上的偶函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝________.
(2)函数f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，则f(x)＝________.
解析 (1)设x>0，则－x<0，所以f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1).因为函数f(x)为R上的偶函数，故当x>0时，f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)，即x>0时，f(x)＝x(x＋1).
(2)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.
由于f(x)是R上的奇函数，故f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝2x2＋3x－1，
即当x<0时，f(x)＝2x2＋3x－1.
因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0.
综上，f(x)的解析式为f(x)＝
答案 (1)x(x＋1) (2)
规律方法 利用函数奇偶性求解析式的方法
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应设在哪个区间上.
(2)要利用已知区间的解析式进行代入.
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x).
提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0.
【训练1】 (1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2－x，求函数f(x)的解析式；
(2)已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，当x∈(－∞，0)时，求f(x)的解析式.
解 (1)设x>0，则－x<0，
∴f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x.
又f(x)是R上的奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x2－x.
又∵函数定义域为R，∴f(0)＝0，
综上可知f(x)＝
(2)设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1，
又f(x)在R上为偶函数，∴当x<0时，f(x)＝f(－x)＝x2－x－1，即x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2－x－1.
题型二 利用奇偶性研究函数的性质
【例2】 研究函数f(x)＝x2－2|x|＋1的单调性，并求出f(x)的最值.
解 f(x)的定义域为R，
f(－x)＝(－x)2－2|－x|＋1＝x2－2|x|＋1＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，且f(x)＝
当x≥0时，f(x)＝(x－1)2，由二次函数的性质易得，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.
∵f(x)为偶函数，∴f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，
f(x)min＝f(－1)＝f(1)＝0，f(x)max不存在.
规律方法 在研究奇偶函数的性质，可先研究y轴一侧函数的性质，然后根据奇偶性推断y轴另一侧函数的性质.
【训练2】 研究函数f(x)＝x＋的单调性，并写出函数的值域.
解 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)，f(x)为奇函数.
当x∈(0，＋∞)时，由均值不等式可知f(x)＝x＋≥
2＝2，当且仅当x＝1时等号成立，即f(x)∈[2，＋∞)，
同理可知当x∈(－∞，0)时，f(x)∈(－∞，－2].
下面证明当x∈(0，1]时，f(x)单调递减.
任取x1，x2∈(0，1]且x1≠x2，
则＝＝
＝＝1－.
∵x1，x2∈(0，1]且x1≠x2，
∴0＜x1x2＜1，∴＞1，1－<0，即<0，
∴f(x)在(0，1]上单调递减.
类似地，可以证明f(x)在[1，＋∞)上单调递增.
∵f(x)为奇函数，∴f(x)在(－∞，－1]上单调递增，在(－1，0)上单调递减.
综上，f(x)在(－∞，－1]，[1，＋∞)上单调递增，在[－1，0)，(0，1]上单调递减，f(x)的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞).
题型三 函数奇偶性的应用
方向1 利用函数的单调性与奇偶性比较大小
【例3－1】 若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )
A.fC.f(2)解析 ∵对任意实数x总有f(－x)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，∴f(2)＝f(－2).
又f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，－2<－<－1.
∴f(2)答案 B
规律方法 比较大小的方法：
①自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
②自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.
方向2 利用奇偶性、单调性解不等式
自变量需在定义域内，若f(x)为偶函数，可利用f(x)＝f(|x|)，避免讨论
【例3－2】 (1)设定义在[－3，3]上的奇函数f(x)在区间[0，3]上是减函数，若f(1－m)(2)定义在[－2，2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)为减函数，若g(1－m)解 (1)因为f(x)是奇函数且f(x)在[0，3]上是减函数，
所以f(x)在[－3，3]上是减函数.
所以不等式f(1－m)解得－2≤m<，即m的取值范围为.
(2)∵g(x)在[－2，2]上为偶函数，且x≥0时为减函数，
∴g(1－m)≤g(m)?g(|1－m|)?－1≤m<.
即m的取值范围为.
规律方法 利用函数奇偶性和单调性解不等式
解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)方向3 利用函数奇偶性求参数(值)
【例3－3】 (1)若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
(2)已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b＝________.
解析 (1)∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)，
即(x＋a)(x－4)＝(－x＋a)(－x－4)，
整理得，2a＝8，∴a＝4.
(2)由题意知则
所以
当a＝－1，b＝1时，经检验知f(x)为奇函数，故a＋b＝0.
答案 (1)4 (2)0
规律方法 利用函数奇偶性求参数值的方法
(1)此类问题应充分运用奇(偶)函数的定义，构造函数，从而使问题得到快速解决.
(2)在定义域关于原点对称的前提下，若解析式中仅含有x的奇次项，则函数为奇函数；若解析式中仅含有x的偶次项，则函数为偶函数，常利用此结论构造函数.
(3)利用奇偶性求参数值时，应根据x∈R等式恒成立的特征求参数.
【训练3】 (1)函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A.[－2，2] B.[－1，1]
C.[0，4] D.[1，3]
(2)已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(－4，4)，且在(－4，0]上的图像如图所示，则关于x的不等式f(x)g(x)<0的解集是________.
解析 (1)∵f(x)为奇函数，f(1)＝－1，∴f(－1)＝1.
∵－1≤f(x－2)≤1，
∴f(1)≤f(x－2)≤f(－1).
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，
∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D.
(2)设h(x)＝f(x)g(x)，
则h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)，
∴h(x)是奇函数，
补全f(x)，g(x)的图像(图略)，由图像可知：
当－40，g(x)<0，此时h(x)<0；
当00，此时h(x)<0，
∴h(x)<0的解集为(－4，－2)∪(0，2).
故答案为(－4，－2)∪(0，2).
答案 (1)D (2)(－4，－2)∪(0，2)
题型四 证明函数图像的对称性
【例4】 求证：二次函数f(x)＝－x2－2x＋1的图像关于x＝－1对称.
证明 任取x∈R，
∵f(－1＋x)＝－(－1＋x)2－2(－1＋x)＋1＝－x2＋2，
f(－1－x)＝－(－1－x)2－2(－1－x)＋1＝－x2＋2，
∴f(－1＋x)＝f(－1－x)，
∴f(x)的图像关于x＝－1对称.
规律方法 (1)要证明函数f(x)的图像关于x＝h对称，只需证明对定义域内的任意x，满足f(h－x)＝f(h＋x).
(2)要证明函数f(x)的图像关于点(a，b)对称，只需证明对定义域内的任意x ，满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b.
【训练4】 证明函数f(x)＝的图像关于点(－1，1)对称.
证明 函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞).
任取x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
∵f(－1＋x)＋f(－1－x)＝＋
＝＋＝2，
即f(－1＋x)＋f(－1－x)＝2×1，
∴f(x)的图像关于点(－1，1)对称.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，提升直观想象和逻辑推理素养.
2.奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.
3.如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
4.利用奇偶性可以简化研究函数性质的过程，利用奇偶性求函数值、解析式、比较大小、解不等式等核心问题是转化.
5.对于抽象函数(未给出解析表达式的函数)可画出满足条件的示意图来帮助分析解决问题.
二、素养训练
1.已知函数y＝f(x)在R上为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则当x<0时，f(x)的解析式是( )
A.f(x)＝－x(x＋2) B.f(x)＝x(x－2)
C.f(x)＝－x(x－2) D.f(x)＝x(x＋2)
解析 设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝x2＋2x，
又f(x)为R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x(x＋2)，故选A.
答案 A
2.若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 f(－x)＝(m－1)x2－(m－2)x＋(m2－7m＋12)，f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)，由f(－x)＝f(x)，得m－2＝0，即m＝2.
答案 B
3.设函数y＝f(x)是偶函数，若f(－3)＋f(－1)－5＝f(3)＋f(1)＋a，则a＝________.
解析 ∵f(x)是偶函数，∴f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，故由题意知a＝－5.
答案 －5
4.若f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数，f(－2)＝0，则不等式xf(x)＜0的解集为________.
解析 根据题意画出f(x)的大致图像：
由图像可知－2＜x＜0或0＜x＜2时，xf(x)＜0.
答案 (－2，0)∪(0，2)
5.证明函数f(x)＝的图像关于(－1，0)对称.
证明 要证f(x)的图像关于(－1，0)对称，只需证明f(x)对任意的x∈(－∞，
－1)∪(－1，＋∞)，f(－1＋x)＝－f(－1－x).
∵f(－1＋x)＝＝，
f(－1－x)＝＝－，
∴f(－1＋x)＝－f(－1－x)，
故y＝的图像关于(－1，0)对称.
基础达标
一、选择题
1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，则f(2)的值是( )
A.0 B.1
C.2 D.4
解析 由题意得f(0＋2)＝f(2)＝f(0)＝0.
答案 A
2.f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(2，5)上是( )
A.增函数 B.减函数
C.有增有减 D.增减性不确定
解析 由f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，得m＝0，所以f(x)＝－x2＋3，画出函数f(x)＝－x2＋3的图像(略)知，在区间(2，5)上为减函数.
答案 B
3.若偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则a＝f(－)，b＝f，c＝f的大小关系是( )
A.b＜a＜c B.b＜c＜a
C.a＜c＜b D.c＜a＜b
解析 由f(x)为偶函数，得a＝f(－)＝f().
又∵＜＜，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f()＜f＜f，即a＜c＜b.
答案 C
4.已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，f(－2)＝10，则f(2)等于( )
A.－26 B.－18
C.－10 D.10
解析 设g(x)＝x5＋ax3＋bx，函数定义域为R.
∵g(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＝－x5－ax3－bx＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数.
∵f(－2)＝g(－2)－8＝10，∴g(－2)＝18，
∴g(2)＝－g(－2)＝－18，
∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.
答案 A
5.奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上有( )
A.最大值－ B.最大值
C.最小值－ D.最小值
解析 法一 当x<0时，f(x)＝x2＋x＝－，
所以f(x)有最小值－，
因为f(x)是奇函数，
所以当x>0时，f(x)有最大值.
法二 当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝－x(1－x).
又f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝x(1－x)＝－x2＋x＝－＋，
所以当x>0时，f(x)有最大值.故选B.
答案 B
二、填空题
6.如果函数F(x)＝是奇函数，则f(x)＝________.
解析 设x<0，∴－x>0，
∴F(－x)＝2(－x)－3＝－2x－3.
又∵F(x)为奇函数，
∴F(x)＝－F(－x)＝2x＋3，即f(x)＝2x＋3.
答案 2x＋3
7.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0)上是增函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是________.
解析 ∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数，又因为f(2)＝0，所以f(x)<0?f(|x|)<0＝f(2)，即|x|>2，所以x>2或x<－2.
答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)
8.若函数f(x)＝x2－2ax＋3图像的对称轴为x＝1，则当x∈[－1，2]时，f(x)的值域为________.
解析 由对称轴为x＝1得a＝1.∴f(x)＝x2－2x＋3，
∴f(x)在[－1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，
∴f(x)min＝f(1)＝2，f(x)max＝f(－1)＝6，
∴f(x)∈[2，6].
答案 [2，6]
三、解答题
9.已知函数f(x)＝x＋(a>0).
(1)判断函数f(x)的奇偶性并证明.
(2)若a＝4，证明：函数f(x)在区间(2，＋∞)上是增函数.
解 (1)函数f(x)为奇函数，证明如下：
函数f(x)＝x＋(a>0)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且关于原点对称.
又因为f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数.
(2)a＝4时f(x)＝x＋，
设x1，x2是区间(2，＋∞)上的任意两个实数且x1≠x2.
则＝＝
＝＝1－＝.
因为x1，x2∈(2，＋∞)，所以x1x2>4，
所以x1x2－4>0，所以>0，
所以函数f(x)在(2，＋∞)上为增函数.
10.设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)＝x5＋x3＋b.
(1)求b值；
(2)若f(x)在[0，2]上单调递增，且f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围.
解 (1)因为函数f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，
所以f(0)＝0，解得b＝0(经检验符合题意).
(2)因为函数f(x)在[0，2]上是增函数，又f(x)是奇函数，所以f(x)在[－2，2]上是增函数.
因为f(m)＋f(m－1)>0，
所以f(m－1)>－f(m)＝f(－m)，
所以m－1>－m，①
又需要不等式f(m)＋f(m－1)>0在函数f(x)定义域内有意义，
所以②
解①②得所以m的取值范围为.
能力提升
11.已知函数f(x)＝x3＋bx2＋ax是定义在[－3，a＋1]上的奇函数，求：
(1)实数a，b的值；
(2)求f(x)的值域.
解 (1)因为函数f(x)＝x3＋bx2＋ax是定义在[－3，a＋1]上的奇函数，所以－3＋a＋1＝0，得a＝2，
又f(－x)＝－f(x)对任意x∈[－3，3]恒成立，
即(－x)3＋b(－x)2＋2(－x)＝－x3－bx2－2x，
得2bx2＝0对任意x∈[－3，3]恒成立，所以b＝0.
综上所述，a＝2，b＝0.
(2)由(1)知f(x)＝x3＋2x，x∈[－3，3]，
易得函数为增函数，所以f(x)min＝f(－3)＝－33，
f(x)max＝f(3)＝－f(－3)＝33，
所以f(x)的值域为[－33，33].
12.已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)证明f(x)在(－1，1)上是增函数；
(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.
解 (1)由题意，得∴
故f(x)＝(经检验符合题意).
(2)任取x1，x2∈(－1，1)且x1≠x2，
则＝＝
＝.
∵x1，x2∈(－1，1)，∴－1∴1－x1x2>0，又1＋x>0，1＋x>0，
∴>0，∴f(x)在(－1，1)上是增函数.
(3)由f(x)为奇函数及f(t－1)＋f(t)<0得f(t－1)<－f(t)＝f(－t).
∵f(x)在(－1，1)上是增函数，
∴解得0∴不等式的解集为.
课件38张PPT。第二课时 函数奇偶性的应用教材知识探究问题1 图(1)和图(2)分别是偶函数和奇函数的一部分图像，你能结合奇偶函数图像的特征画出相应图像的另一部分吗？提示 偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称.提示 (1)单调性相反，(2)单调性相同.1.函数的奇偶性与单调性的性质(1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a(2)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a 在公共定义域内：
(1)两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；
(2)两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数；
(3)一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数.
3.函数的对称轴与对称中心
(1)若函数f(x)的定义域为D，对?x∈D都有f(T＋x)＝f(T－x)(T为常数)，则x＝___是f(x)的对称轴.
(2)若函数f(x)的定义域为D，对?x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(a，b为常数)，则________是f(x)的对称中心.T(a，b)教材拓展补遗
[微判断]
1.若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|).( )√√3.若奇函数f(x)在[a，b]上有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值－M.( )√[微训练]
1.定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则( )A.f(3)C.f(3)解析 ∵f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4)，又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，0＜3＜π<4，
∴f(3)答案 C2.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x－x2，则当x>0时，f(x)＝________解析 设x>0，则－x<0，
∴f(－x)＝－x－(－x)2＝－x－x2.
又f(－x)＝－f(x)，故f(x)＝x＋x2.答案 x＋x2[微思考]
1.若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像关于y轴对称，则f(x)，g(x)是偶函数吗？
提示 不是偶函数，因为只有自身的图像关于y轴对称的函数才是偶函数.题型一【例1】 (1)函数f(x)是R上的偶函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝________.利用奇偶性求函数解析式(2)函数f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，则f(x)＝________.
解析 (1)设x>0，则－x<0，所以f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1).因为函数f(x)为R上的偶函数，故当x>0时，f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)，即x>0时，f(x)＝x(x＋1).
(2)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.
由于f(x)是R上的奇函数，故f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝2x2＋3x－1，即当x<0时，f(x)＝2x2＋3x－1.因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0.规律方法 利用函数奇偶性求解析式的方法
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应设在哪个区间上.
(2)要利用已知区间的解析式进行代入.
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x).
提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0.【训练1】 (1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2－x，求函数f(x)的解析式；(2)已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，当x∈(－∞，0)时，求f(x)的解析式.解 (1)设x>0，则－x<0，
∴f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x.
又f(x)是R上的奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x2－x.
又∵函数定义域为R，∴f(0)＝0，(2)设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1，
又f(x)在R上为偶函数，∴当x<0时，f(x)＝f(－x)＝x2－x－1，即x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2－x－1.题型二 利用奇偶性研究函数的性质
【例2】 研究函数f(x)＝x2－2|x|＋1的单调性，并求出f(x)的最值.解 f(x)的定义域为R，
f(－x)＝(－x)2－2|－x|＋1＝x2－2|x|＋1＝f(x)，当x≥0时，f(x)＝(x－1)2，由二次函数的性质易得，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.
∵f(x)为偶函数，∴f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，
f(x)min＝f(－1)＝f(1)＝0，f(x)max不存在.规律方法 在研究奇偶函数的性质，可先研究y轴一侧函数的性质，然后根据奇偶性推断y轴另一侧函数的性质.同理可知当x∈(－∞，0)时，f(x)∈(－∞，－2].下面证明当x∈(0，1]时，f(x)单调递减.
任取x1，x2∈(0，1]且x1≠x2，类似地，可以证明f(x)在[1，＋∞)上单调递增.
∵f(x)为奇函数，∴f(x)在(－∞，－1]上单调递增，在(－1，0)上单调递减.
综上，f(x)在(－∞，－1]，[1，＋∞)上单调递增，在[－1，0)，(0，1]上单调递减，f(x)的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞).题型三 函数奇偶性的应用
方向1 利用函数的单调性与奇偶性比较大小
【例3－1】 若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )解析 ∵对任意实数x总有f(－x)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，∴f(2)＝f(－2).答案 B规律方法 比较大小的方法：
①自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
②自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.方向2利用奇偶性、单调性解不等式自变量需在定义域内，若f(x)为偶函数，可利用f(x)＝f(|x|)，避免讨论【例3－2】 (1)设定义在[－3，3]上的奇函数f(x)在区间[0，3]上是减函数，若f(1－m) (2)定义在[－2，2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)为减函数，若g(1－m)所以f(x)在[－3，3]上是减函数.(2)∵g(x)在[－2，2]上为偶函数，且x≥0时为减函数，规律方法 利用函数奇偶性和单调性解不等式
解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)整理得，2a＝8，∴a＝4.当a＝－1，b＝1时，经检验知f(x)为奇函数，故a＋b＝0.答案 (1)4 (2)0规律方法 利用函数奇偶性求参数值的方法
(1)此类问题应充分运用奇(偶)函数的定义，构造函数，从而使问题得到快速解决.
(2)在定义域关于原点对称的前提下，若解析式中仅含有x的奇次项，则函数为奇函数；若解析式中仅含有x的偶次项，则函数为偶函数，常利用此结论构造函数.
(3)利用奇偶性求参数值时，应根据x∈R等式恒成立的特征求参数.【训练3】 (1)函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )A.[－2，2] B.[－1，1]
C.[0，4] D.[1，3]
(2)已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(－4，4)，且在(－4，0]上的图像如图所示，则关于x的不等式f(x)g(x)<0的解集是________.解析 (1)∵f(x)为奇函数，f(1)＝－1，∴f(－1)＝1.
∵－1≤f(x－2)≤1，∴f(1)≤f(x－2)≤f(－1).
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D.(2)设h(x)＝f(x)g(x)，
则h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，
补全f(x)，g(x)的图像(图略)，由图像可知：
当－40，g(x)<0，此时h(x)<0；
当00，此时h(x)<0，
∴h(x)<0的解集为(－4，－2)∪(0，2).故答案为(－4，－2)∪(0，2).答案 (1)D (2)(－4，－2)∪(0，2)题型四 证明函数图像的对称性
【例4】 求证：二次函数f(x)＝－x2－2x＋1的图像关于x＝－1对称.证明 任取x∈R，
∵f(－1＋x)＝－(－1＋x)2－2(－1＋x)＋1＝－x2＋2，
f(－1－x)＝－(－1－x)2－2(－1－x)＋1＝－x2＋2，
∴f(－1＋x)＝f(－1－x)，
∴f(x)的图像关于x＝－1对称.规律方法 (1)要证明函数f(x)的图像关于x＝h对称，只需证明对定义域内的任意x，满足f(h－x)＝f(h＋x).
(2)要证明函数f(x)的图像关于点(a，b)对称，只需证明对定义域内的任意x ，满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b.证明 函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞).
任取x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，即f(－1＋x)＋f(－1－x)＝2×1，
∴f(x)的图像关于点(－1，1)对称.一、素养落地
1.通过本节课的学习，提升直观想象和逻辑推理素养.
2.奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.
3.如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
4.利用奇偶性可以简化研究函数性质的过程，利用奇偶性求函数值、解析式、比较大小、解不等式等核心问题是转化.
5.对于抽象函数(未给出解析表达式的函数)可画出满足条件的示意图来帮助分析解决问题.二、素养训练
1.已知函数y＝f(x)在R上为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则当x<0时，f(x)的解析式是( )
A.f(x)＝－x(x＋2) B.f(x)＝x(x－2)
C.f(x)＝－x(x－2) D.f(x)＝x(x＋2)
解析 设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝x2＋2x，
又f(x)为R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x(x＋2)，故选A.
答案 A2.若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是( )A.1 B.2
C.3 D.4
解析 f(－x)＝(m－1)x2－(m－2)x＋(m2－7m＋12)，f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)，由f(－x)＝f(x)，得m－2＝0，即m＝2.
答案 B3.设函数y＝f(x)是偶函数，若f(－3)＋f(－1)－5＝f(3)＋f(1)＋a，则a＝________.解析 ∵f(x)是偶函数，∴f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，故由题意知a＝－5.
答案 －54.若f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数，f(－2)＝0，则不等式xf(x)＜0的解集为________.解析 根据题意画出f(x)的大致图像：由图像可知－2＜x＜0或0＜x＜2时，xf(x)＜0.答案 (－2，0)∪(0，2)证明 要证f(x)的图像关于(－1，0)对称，只需证明f(x)对任意的x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，f(－1＋x)＝－f(－1－x).
