3.2 函数与方程、不等式之间的关系
第一课时 函数的零点，二次函数的零点及其与对应方程、
不等式解集之间的关系
课标要求
素养要求
1.理解函数零点的概念，会求简单函数的零点.
2.理解二次函数的零点与对应方程、不等式解集之间的关系，能借助二次函数的图像求一元二次不等式的解集.
1.通过求函数的零点，培养数学运算素养.
2.通过二次函数的图像、零点、方程、不等式解集之间关系的对应，培养联系、转化的思想观点，提升逻辑推理、直观想象素养.
教材知识探究
如图已知函数f(x)＝x＋1的图像.
问题 (1)写出方程f(x)＝0的解集A；
(2)写出不等式f(x)>0的解集B；
(3)写出不等式f(x)<0的解集C；
(4)A∩B，B∩C，A∩C有什么关系？
(5)A∪B∪C与f(x)的定义域集合R有什么关系？
提示 (1)A＝{－1} (2)B＝(－1，＋∞)
(3)C＝(－∞，－1) (4)A∩B＝B∩C＝A∩C＝?
(5)A∪B∪C＝R
1.函数的零点 零点不是点
(1)定义：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点.
(2)α是函数f(x)的零点?(α，0)是函数图像与x轴的公共点.
(3)当函数图像通过零点且穿过x轴时，函数值变号，该零点称为函数的变号零点；当函数图像通过零点但不穿过x轴时，函数值不变号，该零点叫做函数的不变号零点.
(4)两个零点把x轴分为三个开区间，在每个开区间上所有函数值保持同号.
2.二次函数的零点与其对应的二次方程、不等式的解集之间的关系
a>0与a<0时不等式的解集不同
对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)：
(1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中有两个元素x1，x2(x1
若a>0，则不等式f(x)>0的解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，f(x)<0的解集为(x1，x2)；,
若a<0，则不等式f(x)>0的解集为(x1，x2)，f(x)<0的解集为(－∞，x1)∪(x2，
＋∞).
(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中只有一个元素x0，且x0是f(x)唯一的零点，f(x)的图像与x轴有一个公共点(x0，0).,若a>0，则不等式f(x)>0的解集为(－∞，x0)∪(x0，＋∞)，f(x)<0的解集为?；,若a<0，不等式f(x)>0的解集为?，f(x)<0的解集为(－∞，x0)∪(x0，＋∞).
(3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，此时f(x)无零点，f(x)的图像与x轴没有公共点.,若a>0，不等式f(x)>0的解集为R，f(x)<0的解集为?；,若a<0，不等式f(x)>0的解集为?，f(x)<0的解集为R.
教材拓展补遗
[微判断]
1.函数的零点就是函数的图像与x轴的交点.(×)
提示 函数的零点是函数的图像与x轴交点的横坐标.
2.一次函数y＝kx＋b(k≠0)只有一个零点.(√)
3.一次不等式的解集不可能为?，也不可能为R.(√)
4.对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ＝0时，此函数有两个零点，对应的方程有两个相等的实数根.(×)
提示 对f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ＝0时，函数只有一个零点.
[微训练]
1.函数y＝2x－1的图像与x轴的交点坐标及其零点分别是________.
解析 令y＝0，得2x－1＝0，∴x＝，与x轴的交点为.
答案 ，
2.不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是________.
解析 由9x2＋6x＋1＝(3x＋1)2≤0，∴只有3x＋1＝0即x＝－时，不等式才成立，即其解集为.
答案
3.设二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，则ab的值为________.
解析 由题意知a<0，且－1，为方程ax2＋bx＋1＝0的两根，
根据根与系数的关系，得
∴∴ab＝6.
答案 6
[微思考]
1.求一元二次不等式解集的常用方法是什么？
提示 因式分解法、配方法、图像法.
2.ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立的充要条件是什么？
提示
3.二次函数常有几种设法？
提示 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：f(x)＝a＋(a≠0)；
(3)零点式(两根式)：
f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2是二次函数的零点.
题型一 求一元二次不等式的解集
二次项系数为负时，可先化为正，再解不等式.别忘了前面学过的配方法和因式分解法
【例1】 求下列一元二次不等式的解集：
(1)x2－5x>6；(2)4x2－4x＋1≤0；(3)－x2＋7x>6.
解 (1)由x2－5x>6，得x2－5x－6>0.
∵x2－5x－6＝0的两根是x＝－1或6.
∴原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}.
(2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0，
方程(2x－1)2＝0的根为x＝.
∴4x2－4x＋1≤0的解集为.
(3)由－x2＋7x>6，得x2－7x＋6<0，
而x2－7x＋6＝0的两个根是x＝1或6，
∴不等式x2－7x＋6<0的解集为{x|1规律方法 当所给不等式不是一般形式的不等式时，应先化为一般形式.在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要结合相对应的一元二次方程的根的情况以及对应的二次函数的图像.
【训练1】 求下列不等式的解集：
(1)2x2－x＋6>0；
(2)－x2＋3x－5>0；
(3)(5－x)(x＋1)≥0.
解 (1)∵方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，
∴函数y＝2x2－x＋6的图像开口向上，与x轴无交点.
∴原不等式的解集为R.
(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，
∵方程x2－6x＋10＝0的判别式Δ＝62－40＝－4<0，
∴原不等式的解集为?.
(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，
∴原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}.
题型二 求含参数的一元二次不等式的解集
【例2】 解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0.
解 (1)当a＝0时，原不等式可化为－2x＋4>0，
解得x<2，所以原不等式的解集为{x|x<2}.
(2)当a>0时，原不等式可化为(ax－2)(x－2)>0，
对应方程的两个根为x1＝，x2＝2.
①当02，
所以原不等式的解集为；
②当a＝1时，＝2，所以原不等式的解集为{x|x≠2}；
③当a>1时，<2，所以原不等式的解集为
.
(3)当a<0时，原不等式可化为(－ax＋2)(x－2)<0，对应方程的两个根为x1＝，x2＝2，则<2，所以原不等式的解集为.
综上，当a<0时，原不等式的解集为；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x<2}；
当0当a>1时，原不等式的解集为.
规律方法 含参数不等式的解题步骤为：(1)将二次项系数化为正数且另一端是零；(2)判断相应的方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有两个相异实根，为了写出解集还要比较两个根的大小).另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定不等式是否为二次不等式.
【训练2】 求关于x的不等式m2x2＋2mx－3<0的解集.
解 (1)当m＝0时，原不等式化为－3<0，一定成立，故不等式解集为R.
(2)当m≠0时，原不等式化为(mx＋3)(mx－1)<0.
当m>0时，解得－当m＜0时，解得综上，m＝0时，原不等式解集为R；m>0时，原不等式解集为；m<0时，原不等式解集为.
题型三 三个“二次”间对应关系的应用
【例3】 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为(1，2)，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集.
解 由题意知1，2是方程x2＋ax＋b＝0的两根.
由根与系数的关系，可得
即
∴不等式bx2＋ax＋1>0，
就是2x2－3x＋1>0.
由2x2－3x＋1>0，得(2x－1)(x－1)>0，
所以x<或x>1.
∴bx2＋ax＋1>0的解集为∪(1，＋∞).
规律方法 1.已知不等式的解集求参数，要运用函数的零点与对应不等式的解集之间的关系来解决.
2.常运用根与系数的关系(韦达定理)列方程(组)求出参数.
【训练3】 若关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3解 ∵ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3且－3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
由韦达定理得即
∴不等式bx2＋2ax－c－3b<0，即为－ax2＋2ax＋15a<0，即x2－2x－15<0，∴(x－5)(x＋3)＜0，
故所求的不等式的解集为{x|－3题型四 求函数的零点
【例4】 求函数f(x)＝(x＋2)(x＋1)(x－1)2的零点，并写出不等式f(x)>0和f(x)≤0的解集.
解 令f(x)＝0，得f(x)的零点为－2，－1，1，由此可画出f(x)的图像的示意图.
∴f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，
f(x)≤0的解集为[－2，－1]∪{1}.
规律方法 1.分解因式，求得函数的零点；
2.写不等式的解集常用标根引线法，奇次因式的根要穿过(变号零点)，偶次因式的根(不变号零点)要穿而不过.
【训练4】 求函数f(x)＝(x＋2)(x＋1)3(x－1)的零点，并写出不等式f(x)>0和f(x)≤0的解集.
解 令f(x)＝0，得
f(x)的零点为－2，－1，1.
由此可画出f(x)图像的示意图，
∴f(x)>0的解集为(－2，－1)∪(1，＋∞)，f(x)≤0的解集为(－∞，－2]∪[－1，1].
一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学运算、逻辑推理、直观想象素养.
2.求一元二次不等式解集的常用方法有因式分解法、配方法和图像法(包括示意图法)，图像法是基本方法.对于含有参数的一元二次不等式，要注意分类讨论.
3.会利用二次函数与x轴的交点、零点及其对应方程的解集、不等式解集之间的相互关系解决有关问题.
二、素养训练
1.不等式2x2－x－1>0的解集是( )
A. B.(1，＋∞)
C.(－∞，1)∪(2，＋∞) D.∪(1，＋∞)
解析 ∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，
∴由2x2－x－1>0得(2x＋1)(x－1)>0，
解得x>1或x<－，
∴不等式的解集为∪(1，＋∞).
答案 D
2.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7A.1 B.2
C.3 D.4
解析 由题可知－7和－1为ax2＋8ax＋21＝0的两个根，∴－7×(－1)＝，a＝3.
答案 C
3.已知函数y＝f(x)具有奇偶性且存在多个零点，则这些零点之和为________.
解析 奇、偶函数的零点关于原点对称，所以它们的和为零.
答案 零
4.函数f(x)＝x3－4x的零点为________.
解析 ∵f(x)＝x(x2－4)＝x(x＋2)(x－2)，∴f(x)的零点为－2，0，2.
答案 －2，0，2
5.解关于x的不等式：ax2＋(1－a)x－1>0(a>－1).
解 (1)当a＝0时，原不等式化为x－1>0，∴不等式的解集为{x|x>1}；
当a≠0时，方程ax2＋(1－a)x－1＝0的两根为x1＝－，x2＝1.
(2)当a>0时，－<1，∴不等式的解集为；
(3)当－1＜a＜0时，1<－，∴不等式的解集为.
综上，a>0时，不等式的解集为；a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}；－1基础达标
一、选择题
1.函数y＝x2－4的图像与x轴的交点坐标及函数的零点分别是( )
A.(0，±2)；±2 B.(±2，0)；±2
C.(0，－2)；－2 D.(－2，0)；2
解析 令x2－4＝0，得x＝±2，故交点坐标为(±2，0)，函数的零点为±2.
答案 B
2.函数f(x)＝x3－2x2＋2x的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 令f(x)＝0即x3－2x2＋2x＝0，
得x(x2－2x＋2)＝0.
∵x2－2x＋2＝0无解，∴x＝0，∴f(x)的零点为0.
答案 B
3.不等式x2－4x＋5>0的解集为( )
A.(－1，5) B.(－∞，－1)∪(5，＋∞)
C.R D.?
解析 令x2－4x＋5＝0，
则Δ＝(－4)2－4×5×1＝－4<0，
∴原不等式的解集为R.
答案 C
4.如果二次函数y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点，则m的取值范围是( )
A.(－2，6) B.[－2，6]
C.(－∞，－2)∪(6，＋∞) D.{－2，6}
解析 由题意，得Δ＝m2－4(m＋3)＞0，即m2－4m－12＞0，
∴m＞6或m＜－2.
答案 C
5.已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 007个，则f(x)的零点个数为( )
A.1 007 B.1 008
C.2 014 D.2 015
解析 因为f(x)是R上的奇函数，则f(0)＝0，且在(0，＋∞)内的零点有1 007个，所以f(x)在(－∞，0)内的零点有1 007个.所以f(x)的零点共有1 007＋1 007＋1＝
2 015 (个).
答案 D
二、填空题
6.若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，则a＝________，b＝________.
解析 由题意知－4，2为方程x2＋ax＋b＝0的两根，由根与系数关系，可得解得
答案 2 －8
7.函数f(x)＝的零点为________.
解析 令x2＋2x－3＝0，得x1＝1，x2＝－3，
又x≤0，∴x＝－3是函数一个零点；
令－2＋x2＝0得x＝±.
又x＞0，∴x＝为函数的零点.
故f(x)的零点为－3，.
答案 －3，
8.若函数f(x)＝2x2－ax＋3有一个零点为，则f(1)＝________.
解析 因为函数f(x)＝2x2－ax＋3有一个零点为，所以是方程2x2－ax＋3＝0的一个根，则2×－a＋3＝0，解得a＝5，所以f(x)＝2x2－5x＋3，则f(1)＝2－5＋3＝0.
答案 0
三、解答题
9.已知函数f(x)＝2(m－1)x2－4mx＋2m－1.
(1)m为何值时，函数的图像与x轴有两个交点；
(2)如果函数的一个零点是0，求m的值.
解 (1)函数图像与x轴有两个交点，则
解得m＞且m≠1.
(2)0是函数的一个零点，∴f(0)＝0，
∴2m－1＝0，∴m＝.
10.若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a<0的解集.
解 由ax2＋bx＋c≥0的解集为，
知a<0，且关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为－，2，
∴∴b＝－a，c＝－a.
∴不等式cx2－bx＋a<0可变形为x2－x＋a<0，即2ax2－5ax－3a>0.
又∵a<0，∴2x2－5x－3<0，即(2x＋1)(x－3)<0，
∴所求不等式的解集为.
能力提升
11.已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点.
(1)求m的范围；
(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m的值.
解 (1)当m＋6＝0，即m＝－6时，
函数为y＝－14x－5，显然有零点；
当m＋6≠0，即m≠－6时，
则Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)
＝－36m－20≥0，得m≤－.
∴当m≤－且m≠－6时，二次函数有零点.
综上，m的取值范围是.
(2)设x1，x2是函数的两个零点，则有
x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵＋＝－4，即＝－4，
∴－＝－4，解得m＝－3.
且当m＝－3时，m＋6≠0，Δ＞0，符合题意，
∴m的值为－3.
12.已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围.
解 (1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∵y＝f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，
∴f(x)＝
(2)当x∈[0，＋∞)，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；
当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1.
∴据此可作出函数y＝f(x)的图像，如图所示，
根据图像得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1，1).
课件29张PPT。3.2 函数与方程、不等式之间的关系
第一课时 函数的零点，二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系教材知识探究如图已知函数f(x)＝x＋1的图像.问题 (1)写出方程f(x)＝0的解集A；
(2)写出不等式f(x)>0的解集B；
(3)写出不等式f(x)<0的解集C；
(4)A∩B，B∩C，A∩C有什么关系？
(5)A∪B∪C与f(x)的定义域集合R有什么关系？提示 (1)A＝{－1} (2)B＝(－1，＋∞) (3)C＝(－∞，－1)
(4)A∩B＝B∩C＝A∩C＝? (5)A∪B∪C＝R1.函数的零点零点不是点(1)定义：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值________，即________，则称α为函数y＝f(x)的________.
(2)α是函数f(x)的零点? ________是函数图像与x轴的公共点.
(3)当函数图像通过零点且穿过x轴时，函数值________，该零点称为函数的变号零点；当函数图像通过零点但不穿过x轴时，函数值________，该零点叫做函数的不变号零点.
(4)两个零点把x轴分为三个开区间，在每个开区间上所有函数值__________.等于零f(α)＝0零点(α，0)变号不变号保持同号2.二次函数的零点与其对应的二次方程、不等式的解集之间的关系a>0与a<0时不等式的解集不同对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)：
(1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中有两个元素x1，x2(x10，则不等式f(x)>0的解集为_____________________，f(x)<0的解集为 ；,若a<0，则不等式f(x)>0的解集为___________，f(x)<0的解集为____________________.(x1，0)，(x2，0)(－∞，x1)∪(x2，＋∞)(x1，x2)(x1，x2)(－∞，x1)∪(x2，＋∞)(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中只有一个元素x0，且x0是f(x)唯一的零点，f(x)的图像与x轴有一个公共点(x0，0).,若a>0，则不等式f(x)>0的解集为______________________，f(x)<0的解集为____；,若a<0，不等式f(x)>0的解集为____，f(x)<0的解集为______________________.
(3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，此时f(x)无零点，f(x)的图像与x轴没有公共点.,若a>0，不等式f(x)>0的解集为______，f(x)<0的解集为______；
若a<0，不等式f(x)>0的解集为______，f(x)<0的解集为______. (－∞，x0)∪(x0，＋∞)??(－∞，x0)∪(x0，＋∞)R??R教材拓展补遗
[微判断]
1.函数的零点就是函数的图像与x轴的交点.( )
提示 函数的零点是函数的图像与x轴交点的横坐标.
2.一次函数y＝kx＋b(k≠0)只有一个零点.( )
3.一次不等式的解集不可能为?，也不可能为R.( )
4.对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ＝0时，此函数有两个零点，对应的方程有两个相等的实数根.( )
提示 对f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ＝0时，函数只有一个零点.×√√×[微训练]
1.函数y＝2x－1的图像与x轴的交点坐标及其零点分别是________.2.不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是________.答案 6[微思考]
1.求一元二次不等式解集的常用方法是什么？提示 因式分解法、配方法、图像法.2.ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立的充要条件是什么？3.二次函数常有几种设法？提示 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(3)零点式(两根式)：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2是二次函数的零点.题型一【例1】 求下列一元二次不等式的解集：求一元二次不等式的解集二次项系数为负时，可先化为正，再解不等式.别忘了前面学过的配方法和因式分解法(1)x2－5x>6；(2)4x2－4x＋1≤0；(3)－x2＋7x>6.解 (1)由x2－5x>6，得x2－5x－6>0.
∵x2－5x－6＝0的两根是x＝－1或6.
∴原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}.(2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0，(3)由－x2＋7x>6，得x2－7x＋6<0，
而x2－7x＋6＝0的两个根是x＝1或6，
∴不等式x2－7x＋6<0的解集为{x|1∴函数y＝2x2－x＋6的图像开口向上，与x轴无交点.∴原不等式的解集为R.
(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，
∵方程x2－6x＋10＝0的判别式Δ＝62－40＝－4<0，
∴原不等式的解集为?.
(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，∴原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}.题型二求含参数的一元二次不等式的解集【例2】 解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0.解 (1)当a＝0时，原不等式可化为－2x＋4>0，
解得x<2，所以原不等式的解集为{x|x<2}.
(2)当a>0时，原不等式可化为(ax－2)(x－2)>0，规律方法 含参数不等式的解题步骤为：(1)将二次项系数化为正数且另一端是零；(2)判断相应的方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有两个相异实根，为了写出解集还要比较两个根的大小).另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定不等式是否为二次不等式.【训练2】 求关于x的不等式m2x2＋2mx－3<0的解集.解 (1)当m＝0时，原不等式化为－3<0，一定成立，故不等式解集为R.
(2)当m≠0时，原不等式化为(mx＋3)(mx－1)<0.题型三 三个“二次”间对应关系的应用
【例3】 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为(1，2)，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集.解 由题意知1，2是方程x2＋ax＋b＝0的两根.∴不等式bx2＋ax＋1>0，就是2x2－3x＋1>0.
由2x2－3x＋1>0，得(2x－1)(x－1)>0，规律方法 1.已知不等式的解集求参数，要运用函数的零点与对应不等式的解集之间的关系来解决.
2.常运用根与系数的关系(韦达定理)列方程(组)求出参数.【训练3】 若关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－30的解集为{x|－3且－3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，∴不等式bx2＋2ax－c－3b<0，即为－ax2＋2ax＋15a<0，即x2－2x－15<0，
∴(x－5)(x＋3)＜0，故所求的不等式的解集为{x|－3【例4】 求函数f(x)＝(x＋2)(x＋1)(x－1)2的零点，并写出不等式f(x)>0和f(x)≤0的解集.解 令f(x)＝0，得f(x)的零点为－2，－1，1，由此可画出f(x)的图像的示意图.∴f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，
f(x)≤0的解集为[－2，－1]∪{1}.规律方法 1.分解因式，求得函数的零点；
2.写不等式的解集常用标根引线法，奇次因式的根要穿过(变号零点)，偶次因式的根(不变号零点)要穿而不过.【训练4】 求函数f(x)＝(x＋2)(x＋1)3(x－1)的零点，并写出不等式f(x)>0和f(x)≤0的解集.解 令f(x)＝0，得f(x)的零点为－2，－1，1.
由此可画出f(x)图像的示意图，∴f(x)>0的解集为(－2，－1)∪(1，＋∞)，f(x)≤0的解集为(－∞，－2]∪[－1，1].一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学运算、逻辑推理、直观想象素养.
2.求一元二次不等式解集的常用方法有因式分解法、配方法和图像法(包括示意图法)，图像法是基本方法.对于含有参数的一元二次不等式，要注意分类讨论.
3.会利用二次函数与x轴的交点、零点及其对应方程的解集、不等式解集之间的相互关系解决有关问题.二、素养训练
1.不等式2x2－x－1>0的解集是( )解析 ∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，
∴由2x2－x－1>0得(2x＋1)(x－1)>0，答案 D2.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－70(a>－1).解 (1)当a＝0时，原不等式化为x－1>0，∴不等式的解集为{x|x>1}；第二课时 零点的存在性及其近似值的求法
课标要求
素养要求
1.理解函数零点存在定理，会判断零点所在区间.
2.了解二分法求函数的近似零点.
3.能解决二次函数零点分布问题.
1.通过判定零点所在区间及二分法求零点的近似值，培养数学运算素养.
2.通过零点个数的判定、二次函数零点分布问题，培养逻辑推理、直观想象素养.
教材知识探究
如图，已知A，B是函数y＝f(x)图像上的两点且函数图像是连接A，B两点的连续不断的线：
问题 (1)函数y＝f(x)在[a，b]上一定存在零点吗？
(2)若函数y＝f(x)在[a，b]上单调，则f(x)在[a，b]上有几个零点？
(3)若函数y＝f(x)在[a，b]上只有一个零点，则y＝f(x)在[a，b]上一定具有单调性吗？
(4)若函数y＝f(x)在[a，b]上有两个零点，则y＝f(x)在[a，b]上具有单调性吗？
提示 (1)y＝f(x)在[a，b]上一定存在零点.
(2)只有一个零点.
(3)y＝f(x)在[a，b]不一定具有单调性.
(4)y＝f(x)在[a，b]上不具有单调性.
1.函数零点存在定理,
满足定理两个条件，一定有零点；不满足两个条件，也可能有零点)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即?x0∈(a，b)，f(x0)＝0.
2.二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近为零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.由函数的零点与相应的方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解.
3.二分法求函数近似零点的步骤
在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，且f(a)f(b)<0)，给定近似的精度ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得|x1－x0|<ε的一般步骤如下：
第一步 检查|b－a|<2ε是否成立，如果成立，取x1＝，计算结束；如果不成立，转到第二步.
第二步 计算区间(a，b)的中点对应的函数值，若f＝0，取x1＝，计算结束；若f≠0，转到第三步.
第三步 若f(a)f<0，将的值赋给b
，回到第一步；否则必有ff(b)<0，将的值赋给a，回到第一步.
这些步骤可用如图所示的框图表示.
教材拓展补遗
[微判断]
1.若函数y＝f(x)在[a，b]上图像连续，且f(a)f(b)>0，则y＝f(x)在(a，b)内一定没有零点.(×)
提示 不正确.如函数f(x)＝x2在[－1，1]上有零点为0.
2.若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.(×)
提示 不正确.如(1)中的例子.
3.若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[a，b]上至多有一个零点.(√)
4.二分法可求所有函数的近似零点.(×)
提示 当零点左右两侧附近函数值同号时，不能用二分法求函数的近似零点.
[微训练]
1.函数f(x)＝x3＋x－的零点所在区间是( )
A.(－1，0) B.(0，1)
C.(1，2) D.(－2，－1)
解析 ∵f(－2)＝(－2)3＋(－2)－<0，f(－1)＝(－1)3＋(－1)－<0，f(0)＝－<0，f(1)＝1＋1－>0，f(2)＝23＋2－>0，
∴f(0)f(1)<0，又f(x)的图像在[0，1]上是连续不断的，故由函数零点存在定理知f(x)在(0，1)上存在零点.
答案 B
2.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，ac<0，则函数的零点个数是( )
A.1个 B.2个
C.0个 D.无法确定
解析 ∵Δ＝b2－4ac，ac<0，∴Δ>0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个根，故函数有两个零点.
答案 B
3.下列图像表示的函数能用二分法求零点的是( )
解析 对于选项A，图像与x轴无交点，不存在零点；对于选项B，图像与x轴有公共点，但零点两边的函数值同号，不能用二分法求零点；对于选项C，函数零点两边的函数值异号，可用二分法求零点；对于D，零点两边的函数值同号，不能用二分法求零点.故选C.
答案 C
[微思考]
1.有的同学认为，对于函数f(x)＝x＋，有f(1)f(－1)<0，则函数f(x)一定有零点.你认为正确吗？
提示 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，它在(－1，1)上不是连续的，不能用零点存在定理判定.
事实上，∵f(x)∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴f(x)无零点.
2.若函数y＝f(x)不满足零点存在定理的两个条件，这个函数可能有零点吗？
提示 可能有零点，也可能没有零点.
题型一 函数零点存在定理的应用
【例1】 求证函数f(x)＝x3－3x＋2至少有一个零点.
证明 法一 ∵f(x)＝x3－3x＋2＝x3－1－3(x－1)＝(x－1)2(x＋2)，
∴f(x)有两个零点为－2，1.故f(x)至少有一个零点.
法二 由f(x)＝x3－3x＋2，得f(0)＝2，f(－3)＝－16，又∵f(x)图像在[－3，0]上是一条连续曲线，∴由函数零点存在定理，知f(x)在[－3，0]上至少有一个零点.
规律方法 1.若函数的零点易求，可直接求出零点，否则利用函数零点存在定理判断.
2.利用函数零点存在定理时，关键在于找准区间，且只能判定在区间上零点的存在性，但需注意，不满足定理的条件，也可能存在零点，另外要判定有几个零点，需结合函数的性质或图像进行判定.
【训练1】 (1)判断函数f(x)＝－x2零点的个数；
(2)求证函数f(x)＝x3＋x＋1只有一个零点.
解 (1)法一 ∵f(x)＝－x2＝，∴f(x)只有一个零点.
法二 令y1＝，y2＝x2，在同一坐标系中作出它们的图像如图.
两函数图像只有一个交点，故f(x)只有一个零点.
(2)因为x3，x＋1在R上均为增函数，∴f(x)＝x3＋x＋1在R上单调递增且在R上图像是一条连续曲线.又∵f(－1)＝－1，f(0)＝1，
∴f(x)在(－1，0)上有且只有一个零点.
故f(x)＝x3＋x＋1只有一个零点.
题型二 二分法求函数零点的近似值
【例2】 求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为正数的零点(精确到0.1).
解 由于f(1)＝－6＜0，f(2)＝4＞0，可取区间[1，2]作为计算的初始区间.
用二分法逐次计算，列表如下：
端点或中点横坐标
计算端点或中
点的函数值
定区间
a0＝1，b0＝2
f(1)＝－6，f(2)＝4
[1，2]
x1＝＝1.5
f(x1)＝－2.625＜0
[1.5，2]
x2＝＝1.75
f(x2)≈0.234 4＞0
[1.5，1.75]
x3＝＝1.625
f(x3)≈－1.302 7＜0
[1.625，1.75]
x4＝＝1.687 5
f(x4)≈－0.561 8＜0
[1.687 5，1.75]
x5＝＝1.718 75
f(x5)≈－0.171＜0
[1.718 75，1.75]
x6＝＝1.734 375
f(x6)≈0.03＞0
[1.718 75，1.734 375]
至此可以看出，区间[1.718 75，1.734 375]内的所有值精确到0.1都为1.7，所以1.7就是所求函数零点精确到0.1的实数解，即为函数的一个正数零点.
规律方法 1.在选择区间[a，b]时要使其长度尽可能小，以减少运算次数.在没有特别要求的情况下，为了便于计算和操作，可以尝试取相邻的两个整数作为初始值区间的端点.
2.切记最后分得的区间两端点共同的近似值才是零点的近似值，若无共同近似值则需继续运算，直到符合要求为止.
【训练2】 求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点(精确到0.1).
解 由于f(1)＝1－1－1＝－1＜0，
f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875＞0，
∴f(x)在区间[1，1.5]内存在零点，
取区间[1，1.5]作为计算的初始区间，
用二分法逐次计算，列表如下：
端点或中点横坐标
计算端点或中点的函数值
定区间
a0＝1，b0＝1.5
f(1)＝－1，
f(1.5)＝0.875
[1，1.5]
x0＝＝1.25
f(x0)＜0
[1.25，1.5]
x1＝＝1.375
f(x1)＞0
[1.25，1.375]
x2＝＝1.312 5
f(x2)＜0
[1.312 5，1.375]
x3＝＝1.343 75
f(x3)＞0
[1.312 5，1.343 75]
∵区间[1.312 5，1.343 75]内的所有值精确到0.1的近似值都是1.3，所以原函数精确到0.1的近似零点为1.3.
题型三 二次函数零点的分布
【例3】 函数f(x)＝2kx2－2x－3k－2的两零点一个小于1，一个大于1，求实数k的取值范围.
解 由题意知k≠0，当k＞0时，需f(1)<0，解得k>－4，故k>0；
当k<0时，需f(1)>0，解得k<－4.
综上k的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞).
规律方法 1.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点分布问题：
(1)两零点都大于m?
(2)两零点在(m，n)内?
(3)一零点比m大，一零点比m小?f(m)＜0；
(4)一零点比m小，一零点比n大(m≤n)?f(m)＜0且f(n)＜0；
(5)一零点在(m，n)内，一零点在(p，q)内(m＜n≤p＜q)?
2.二次方程根的分布问题可转化为对应的二次函数的零点分布问题.
【训练3】 若函数f(x)＝kx2－(2k＋1)x－3在(－1，1)和(1，3)内各有一个零点，求实数k的取值范围.
解 ∵函数f(x)＝kx2－(2k＋1)x－3的图像是连续曲线，∴由题意可知f(－1)f(1)<0且f(1)f(3)<0，
即即
解得k<－4或k>2.
故所求的实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞).
一、素养落地
1.通过本课内容，主要训练数学运算和逻辑推理素养.
2.判定零点个数，若函数的零点易求，可直接求出零点，否则，一种方法是利用零点存在定理并结合函数性质(如单调性)，另一种方法是把f(x)转化为f1(x)－f2(x)，作出在同一坐标系中f1(x)和f2(x)的图像，观察判断它们交点的个数.
3.二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间的范围.当区间的两个端点的值按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点.
二、素养训练
1.设用二分法求方程f(x)＝0在x∈(1，2)内的近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的根落在区间( )
A.(1，1.25) B.(1.25，1.5)
C.(1.5，2) D.不能确定
解析 ∵f(1.5)f(1.25)＜0，
∴方程的根落在区间(1.25，1.5)上.
答案 B
2.在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )
A.0.68 B.0.72
C.0.7 D.0.6
解析 已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64，0.72]，又0.68＝(0.64＋0.72)/2，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68，0.72]上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值.
答案 C
3.用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________.
解析 令f(x)＝x3－2x－5，f(x)图像在[2，3]上连续不断，
∵f(2)＝－1＜0，f(3)＝16＞0，f(2.5)＝5.625＞0，
∴f(2)f(2.5)＜0，
故下一个有根区间是[2，2.5].
答案 [2，2.5]
4.下列函数图像均与x轴有交点，其中能用二分法求函数零点的是________(填序号).
解析 图①②④中所示函数的零点都不是变号零点，因此不能用二分法求解；图③中所示函数的零点是变号零点，能用二分法求解.
答案 ③
5.已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a＜0)在区间(0，1)上有零点，求实数a的取值范围.
解 由于函数f(x)的图像开口向上，对称轴是x＝－?(0，1)，因此有即所以－2＜a＜0，即a的取值范围为(－2，0).
基础达标
一、选择题
1.对于函数f(x)在定义域内用二分法求零点的过程如下：f(2 017)＜0，f(2 018)＜0，f(2 019)＞0，则下列叙述正确的是( )
A.函数f(x)在(2 017，2 018)内不存在零点
B.函数f(x)在(2 018，2 019)内不存在零点
C.函数f(x)在(2 018，2 019)内存在零点
D.函数f(x)在(2 017，2 018)内可能存在零点
解析 由于只有满足函数图像在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点，所以在不清楚f(x)的图像是不是连续的情况下，选项C不一定正确.只有选项D正确.
答案 D
2.用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A.[－2，1] B.[－1，0]
C.[0，1] D.[1，2]
解析 由于f(－2)＝－3＜0，f(1)＝6＞0，故可以取区间[－2，1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算.
答案 A
3.下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是( )
A.若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点
B.若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值
C.函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点
D.用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
解析 使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确.
答案 A
4.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R，a≠0)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
m
－4
－6
－6
－4
n
6
不求a，b，c的值，可以判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根所在区间是( )
A.(－3，－1)和(2，4) B.(－3，－1)和(－1，1)
C.(－1，1)和(1，2) D.(－∞，－3)和(4，＋∞)
解析 由表格中数据可知f(－3)f(－1)＜0，
f(2)f(4)＜0，又二次函数的图像是连续不断的，故选A.
答案 A
5.若函数f(x)的图像是连续不断的，且f(0)>0，f(1)f(2)·f(4)<0，则下列命题正确的是( )
A.函数f(x)在区间(0，1)内有零点
B.函数f(x)在区间(1，2)内有零点
C.函数f(x)在区间(0，2)内有零点
D.函数f(x)在区间(0，4)内有零点
解析 由f(1)f(2)f(4)<0知，f(1)，f(2)，f(4)中有一个或三个小于0，∴函数f(x)在区间(0，4)内有零点，选D.
答案 D
二、填空题
6.用二分法求函数y＝f(x)在区间(2，4)上的近似零点，验证f(2)f(4)＜0，给定精度ε＝0.01，取区间(2，4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点x0∈________(填区间).
解析 ∵f(2)f(4)＜0，f(2)f(3)＜0，
∴f(3)f(4)＞0，故x0∈(2，3).
答案 (2，3)
7.f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.437 5)＝0.162
f(1.406 25)＝－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为________.
解析 ∵f(1.437 5)＝0.162，
f(1.406 25)＝－0.054，
∴f(1.437 5)f(1.406 25)＜0，
即方程有一个近似解在(1.406 25，1.437 5)内.
又(1.406 25，1.437 5)内的所有值精确到0.1都为1.4，所以1.4就是所求方程精确到0.1的近似根.
答案 1.4
8.在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：最多需要称________次就可以发现这枚假币.
解析 由二分法的原理可得，最多需要4次.
答案 4
三、解答题
9.用二分法求函数y＝x3－3的一个正零点(精确到0.1).
解 f(1)＝－2＜0，f(2)＝5＞0，因此可取区间[1，2]作为计算的初始区间.用二分法逐步计算，见下表：
端点或中点横坐标
计算端点或中点的函数值
定区间
a0＝1，b0＝2
f(1)＝－2，f(2)＝5
[1，2]
x0＝＝1.5
f(1.5)＝0.375
[1，1.5]
x1＝＝1.25
f(1.25)＝－1.046 9
[1.25，1.5]
x2＝＝1.375
f(1.375)＝－0.400 4
[1.375，1.5]
x3＝＝1.437 5
f(1.437 5)＝－0.029 5
[1.437 5，1.5]
x4＝＝1.468 75
f(1.468 75)＝0.168 4
[1.437 5，1.468 75]
x5＝
＝1.453 125
f(1.453 125)＝0.068 38
[1.437 5，1.453 125]
x6＝
＝1.445 312 5
f(1.445 312 5)＝0.0192
[1.437 5，1.445 312 5]
∵1.437 5与1.445 312 5精确到0.1时，近似值都为1.4，∴函数f(x)＝x3－3精确到0.1的近似正零点为1.4.
10.若函数f(x)＝ax2－x－1的负零点有且仅有一个，求实数a的取值范围.
解 当a＝0时，f(x)＝－x－1，
令f(x)＝0，得x＝－1，符合题意；
当a>0时，此函数图像开口向上.
又f(0)＝－1<0，结合二次函数图像(略)知符合题意；
当a<0时，此函数图像开口向下.
又f(0)＝－1<0，从而有即a＝－.
综上可知，实数a的取值范围为[0，＋∞)∪.
能力提升
11.已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)＞0，f(1)＞0.
(1)证明a＞0；
(2)利用二分法证明方程f(x)＝0在[0，1]内有两个实根.
证明 (1)∵f(1)＞0，∴3a＋2b＋c＞0，
即3(a＋b＋c)－b－2c＞0.
∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c＞0，
则－b－c＞c，即a＞c.
∵f(0)＞0，∴c＞0，则a＞0.
(2)在[0，1]内选取二等分点，
则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a＜0.
∵f(0)＞0，f(1)＞0，
∴f(x)在区间和上至少各有一个零点，
又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在[0，1]内有两个实根.
12.已知函数f(x)＝|x2－2x|－a，求满足下列条件的实数a的取值范围.
(1)函数f(x)没有零点；
(2)函数f(x)有两个零点；
(3)函数f(x)有三个零点；
(4)函数f(x)有四个零点.
解 令|x2－2x|－a＝0，则|x2－2x|＝a，构造函数g(x)＝|x2－2x|，y＝a，作出函数g(x)＝|x2－2x|的图像(如图所示)，由图像可知：
(1)当a＜0时，函数y＝a与y＝g(x)的图像没有交点，
即函数f(x)没有零点.
(2)当a＝0或a＞1时，函数y＝a与y＝g(x)的图像有两个交点，即f(x)有两个零点.
(3)当a＝1时，函数y＝a与y＝g(x)的图像有三个交点，即f(x)有三个零点.
(4)当0＜a＜1时，函数y＝a与y＝g(x)的图像有四个交点，即f(x)有四个零点.
课件31张PPT。第二课时 零点的存在性及其近似值的求法教材知识探究如图，已知A，B是函数y＝f(x)图像上的两点且函数图像是连接A，B两点的连续不断的线：问题 (1)函数y＝f(x)在[a，b]上一定存在零点吗？
(2)若函数y＝f(x)在[a，b]上单调，则f(x)在[a，b]上有几个零点？
(3)若函数y＝f(x)在[a，b]上只有一个零点，则y＝f(x)在[a，b]上一定具有单调性吗？
(4)若函数y＝f(x)在[a，b]上有两个零点，则y＝f(x)在[a，b]上具有单调性吗？
提示 (1)y＝f(x)在[a，b]上一定存在零点.
(2)只有一个零点.
(3)y＝f(x)在[a，b]不一定具有单调性.
(4)y＝f(x)在[a，b]上不具有单调性.1.函数零点存在定理满足定理两个条件，一定有零点；不满足两个条件，也可能有零点)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)___0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即?x0∈(a，b)，f(x0)＝0.2.二分法的概念对于在区间[a，b]上连续不断且___________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间___________，使区间的两个端点__________________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.由函数的零点与相应的方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解.第一步 检查|b－a|<2ε是否成立，如果成立，取x1＝ ，计算结束；如果不成立，转到第二步.ba教材拓展补遗
[微判断]
1.若函数y＝f(x)在[a，b]上图像连续，且f(a)f(b)>0，则y＝f(x)在(a，b)内一定没有零点.( )
提示 不正确.如函数f(x)＝x2在[－1，1]上有零点为0.
2.若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.( )
提示 不正确.如(1)中的例子.
3.若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[a，b]上至多有一个零点.( )
4.二分法可求所有函数的近似零点.( )
提示 当零点左右两侧附近函数值同号时，不能用二分法求函数的近似零点.××√×[微训练]A.(－1，0) B.(0，1) C.(1，2) D.(－2，－1)答案 B2.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，ac<0，则函数的零点个数是( )A.1个 B.2个
C.0个 D.无法确定
解析 ∵Δ＝b2－4ac，ac<0，∴Δ>0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个根，故函数有两个零点.
答案 B3.下列图像表示的函数能用二分法求零点的是( )解析 对于选项A，图像与x轴无交点，不存在零点；对于选项B，图像与x轴有公共点，但零点两边的函数值同号，不能用二分法求零点；对于选项C，函数零点两边的函数值异号，可用二分法求零点；对于D，零点两边的函数值同号，不能用二分法求零点.故选C.
答案 C[微思考]提示 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，它在(－1，1)上不是连续的，不能用零点存在定理判定.
事实上，∵f(x)∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴f(x)无零点.2.若函数y＝f(x)不满足零点存在定理的两个条件，这个函数可能有零点吗？提示 可能有零点，也可能没有零点.题型一【例1】 求证函数f(x)＝x3－3x＋2至少有一个零点.函数零点存在定理的应用证明 法一 ∵f(x)＝x3－3x＋2＝x3－1－3(x－1)＝(x－1)2(x＋2)，
∴f(x)有两个零点为－2，1.故f(x)至少有一个零点.
法二 由f(x)＝x3－3x＋2，得f(0)＝2，f(－3)＝－16，又∵f(x)图像在[－3，0]上是一条连续曲线，∴由函数零点存在定理，知f(x)在[－3，0]上至少有一个零点.规律方法 1.若函数的零点易求，可直接求出零点，否则利用函数零点存在定理判断.
2.利用函数零点存在定理时，关键在于找准区间，且只能判定在区间上零点的存在性，但需注意，不满足定理的条件，也可能存在零点，另外要判定有几个零点，需结合函数的性质或图像进行判定.两函数图像只有一个交点，故f(x)只有一个零点.
(2)因为x3，x＋1在R上均为增函数，∴f(x)＝x3＋x＋1在R上单调递增且在R上图像是一条连续曲线.又∵f(－1)＝－1，f(0)＝1，
∴f(x)在(－1，0)上有且只有一个零点.
故f(x)＝x3＋x＋1只有一个零点.题型二 二分法求函数零点的近似值
【例2】 求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为正数的零点(精确到0.1).解 由于f(1)＝－6＜0，f(2)＝4＞0，可取区间[1，2]作为计算的初始区间.
用二分法逐次计算，列表如下：至此可以看出，区间[1.718 75，1.734 375]内的所有值精确到0.1都为1.7，所以1.7就是所求函数零点精确到0.1的实数解，即为函数的一个正数零点.规律方法 1.在选择区间[a，b]时要使其长度尽可能小，以减少运算次数.在没有特别要求的情况下，为了便于计算和操作，可以尝试取相邻的两个整数作为初始值区间的端点.
2.切记最后分得的区间两端点共同的近似值才是零点的近似值，若无共同近似值则需继续运算，直到符合要求为止.【训练2】 求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点(精确到0.1).解 由于f(1)＝1－1－1＝－1＜0，f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875＞0，
∴f(x)在区间[1，1.5]内存在零点，取区间[1，1.5]作为计算的初始区间，
用二分法逐次计算，列表如下：∵区间[1.312 5，1.343 75]内的所有值精确到0.1的近似值都是1.3，所以原函数精确到0.1的近似零点为1.3.题型三 二次函数零点的分布
【例3】 函数f(x)＝2kx2－2x－3k－2的两零点一个小于1，一个大于1，求实数k的取值范围.解 由题意知k≠0，当k＞0时，需f(1)<0，解得k>－4，故k>0；
当k<0时，需f(1)>0，解得k<－4.
综上k的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞).规律方法 1.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点分布问题：(3)一零点比m大，一零点比m小?f(m)＜0；
(4)一零点比m小，一零点比n大(m≤n)?f(m)＜0且f(n)＜0；2.二次方程根的分布问题可转化为对应的二次函数的零点分布问题.【训练3】 若函数f(x)＝kx2－(2k＋1)x－3在(－1，1)和(1，3)内各有一个零点，求实数k的取值范围.解 ∵函数f(x)＝kx2－(2k＋1)x－3的图像是连续曲线，∴由题意可知f(－1)f(1)<0且f(1)f(3)<0，解得k<－4或k>2.
故所求的实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞).一、素养落地
1.通过本课内容，主要训练数学运算和逻辑推理素养.
2.判定零点个数，若函数的零点易求，可直接求出零点，否则，一种方法是利用零点存在定理并结合函数性质(如单调性)，另一种方法是把f(x)转化为f1(x)－f2(x)，作出在同一坐标系中f1(x)和f2(x)的图像，观察判断它们交点的个数.
3.二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间的范围.当区间的两个端点的值按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点.二、素养训练
1.设用二分法求方程f(x)＝0在x∈(1，2)内的近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的根落在区间( )
A.(1，1.25) B.(1.25，1.5)
C.(1.5，2) D.不能确定
解析 ∵f(1.5)f(1.25)＜0，
∴方程的根落在区间(1.25，1.5)上.
答案 B2.在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )
A.0.68 B.0.72 C.0.7 D.0.6
解析 已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64，0.72]，又0.68＝(0.64＋0.72)/2，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68，0.72]上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值.
答案 C3.用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________.解析 令f(x)＝x3－2x－5，f(x)图像在[2，3]上连续不断，
∵f(2)＝－1＜0，f(3)＝16＞0，f(2.5)＝5.625＞0，
∴f(2)f(2.5)＜0，
故下一个有根区间是[2，2.5].
答案 [2，2.5]4.下列函数图像均与x轴有交点，其中能用二分法求函数零点的是________(填序号).解析 图①②④中所示函数的零点都不是变号零点，因此不能用二分法求解；图③中所示函数的零点是变号零点，能用二分法求解.
答案 ③5.已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a＜0)在区间(0，1)上有零点，求实数a的取值范围.