3.1.2 函数的单调性
第一课时 单调性的定义与证明、函数的最值
课标要求
素养要求
1.借助函数图像，会用不等式符号表达函数的单调性.
2.理解函数单调性的作用和实际意义，了解函数最值的定义.
3.在理解函数单调性定义的基础上，会用单调性的定义证明简单函数的单调性，能利用单调性求简单函数的最值、值域.
1.结合实例，经历从具体的直观描述到形式的符号表达的抽象过程.
2.加深对函数定义的理解，体会用符号形式表达单调性定义的必要性.
3.在函数单调性的应用过程中，提升逻辑推理和数学运算素养.
教材知识探究
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：
时间间隔t
刚记忆完毕
20分钟后
60分钟后
8～9小时后
1天后
2天后
6天后
一个月后
记忆量y (百分比)
100
58.2
44.2
35.8
33.7
27.8
25.4
21.1
以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图.
艾滨浩斯
问题 (1)当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？
(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？
提示 (1)随着时间间隔t逐渐增大，函数值y逐渐变小.通过这个试验，在以后的学习中，我们应及时复习刚学习过的知识.
(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”是减函数曲线.
1.函数单调性的定义
定义中x1，x2的三个特征：①任意性：定义中“任意”二字不能去掉，应用时不能以特殊代替一般；②有大小；③同区间
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I?D：
(1)如果对任意x1，x2∈I，当x1
(2)如果对任意x1，x2∈I，当x1f(x2)，则称y＝f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减)，如图(2)所示.
两种情况下，都称函数在I上具有单调性(当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间).
2.单调性的性质
在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；
减函数＋减函数＝减函数；
增函数－减函数＝增函数；
减函数－增函数＝减函数.
3.函数的最大值与最小值 最值点与最值是两个不同的概念
一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点；如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点.最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点.
教材拓展补遗
[微判断]
1.函数f(x)的定义域为I，如果定义域内某个区间D上存在两个自变量x1，x2，当x1提示 应该为?x1，x2∈D，当x12.若f(x)在区间D上为减函数，则在此区间上函数值随自变量的增大而减小.(√)
3.函数f(x)＝在(1，2]上无最大值，最小值为，值域为.(√)
4.若f(x)是R上的减函数，则f(－3)>f(2).(√)
[微训练]
1.下列函数中，在区间(－∞，0)上为减函数的是( )
A.f(x)＝－ B.f(x)＝x
C.f(x)＝－x2 D.f(x)＝1－x
解析 由函数的图像知f(x)＝1－x在(－∞，0)上为减函数，故选D.
答案 D
2.若函数f(x)＝ax－3在R上单调递增，则a的取值范围为( )
A.(－∞，0) B.(0，＋∞)
C.[1，＋∞) D.(－∞，1]
解析 因为f(x)＝ax－3在R上递增，所以a>0，故选B.
答案 B
3.已知函数y＝f(x)(x∈[－2，6])的图像如图.根据图像可知y＝f(x)的单调递增区间为________，单调递减区间为________，最大值为________，最小值点为________.
解析 由图像可知f(x)在[－2，6]上的单调递增区间为[－2，－1]和[2，6]，单调递减区间为[－1，2]，f(x)的最大值为2，最小值点为2.
答案 [－2，－1]和[2，6] [－1，2] 2 2
[微思考]
1.f(x)在区间D上为增函数，且x1，x2∈D，若f(x1)＜f(x2)，则x1，x2有什么大小关系？
提示 x1＜x2.
2.f(x)的定义域为[a，c]，a＜b＜c，且f(x)在[a，b]上递减，在[b，c]上单调递增，则f(x)的最小值点能确定吗？f(x)一定有最大值吗？
提示 f(x)的最小值点为x＝b；
f(x)一定有最大值.
题型一 判断或证明函数的单调性
【例1】 已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义加以证明.
解 (1)由x2－1≠0，得x≠±1，
所以函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠±1}.
(2)函数f(x)＝在(1，＋∞)上单调递减.
证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1那么f(x2)－f(x1)＝－＝.
由x1，x2∈(1，＋∞)，得x1>1，x2>1，
所以x－1>0，x－1>0，x1＋x2>0.
又x1即f(x1)>f(x2)，
因此，函数f(x)＝在(1，＋∞)上单调递减.
规律方法 利用定义证明函数单调性的步骤：
(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的关系式；
(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号
(4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号与定义确定单调性.
【训练1】 证明函数f(x)＝x＋在区间(2，＋∞)上是增函数.
证明 任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1那么f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)＋＝.
由x1，x2∈(2，＋∞)，得x1>2，x2>2.
所以x1x2>4，x1x2－4>0，又由x1于是<0，即f(x1)所以函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数.
题型二 求函数的单调区间
在书写单调区间时，对区间端点的开闭不作要求，但若函数在区间某些点处无意义，单调区间一定不能含有这些点
【例2】 已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R.
(1)将函数写成分段函数的形式；
(2)画出函数的图像；
(3)根据图像写出它的单调区间.
解 (1)f(x)＝x2－4|x|＋3＝
(2)函数的图像如图.
(3)由图像可知单调递增区间为[－2，0)，[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，
－2]，[0，2].
规律方法 1.求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图像容易作出，可作出其图像，根据图像写出其单调区间.
2.一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，一般不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接.
【训练2】 (1)如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图像，则函数的单调递减区间是________，单调递增区间是________.
(2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图像并写出函数的单调区间.
(1)解析 观察图像可知单调递增区间为[－5，－2]，[1，3]，单调递减区间为
[－2，1]，[3，5].
答案 [－2，1]和[3，5] [－5，－2]和[1，3]
(2)解 y＝
即y＝
函数的大致图像如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调递减区间为[－1，0]，[1，＋∞).
题型三 利用单调性比较大小、解不等式、求函数的最值(值域)
注意函数的定义域；求函数最值常用方法：①单调性法；②图像法；③二次函数法等
【例3】 (1)已知f(x)在(－∞，＋∞)内是减函数，a，b∈R，且a＋b≤0，则有( )
A.f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b) B.f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)
C.f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b) D.f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
(2)已知函数y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)(3)函数y＝在[2，3]上的最小值为________.
解析 (1)由题意知a＋b≤0，得到a≤－b，b≤－a.
∵f(x)在(－∞，＋∞)内是减函数，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b).故选D.
(2)由题知解得0(3)易知y＝在[2，3]上递减，∴ymin＝f(3)＝.
答案 (1)D (2) (3)
规律方法 1.利用单调性比较大小的方法
(1)利用函数单调性可以比较函数自变量(函数值)的大小，例如：已知f(x)在区间D上为增函数，则对x1，x2∈D，x1(2)利用单调性比较函数值的大小，务必将自变量x的值转化到同一单调区间上才能进行比较，最后写结果时再还原回去.
2.利用函数的单调性解不等式的方法
当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域.
【训练3】 (1)如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的x都有f(2＋x)＝f(2－x)，则f(1)，f(2)，f(4)的大小关系为________________(用“>”号连接).
(2)已知函数f(x)为定义在区间[－1，1]上的增函数，则满足f(x)解析 (1)由题意知f(x)的对称轴为x＝2，故f(1)＝f(3)，
∵f(x)＝x2＋bx＋c在[2，＋∞)上为增函数，
∴f(2)(2)由题意得解得－1≤x<.
答案 (1)f(4)>f(1)>f(2) (2)
题型四 利用单调性求参数的取值范围
【例4】 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b.
若函数f(x)在区间[1，2]上不单调，求实数a的取值范围.
解 ∵f(x)＝x2＋ax＋b的对称轴为x＝－，
又f(x)在区间[1，2]上不单调，
∴1<－<2，即－4即a的取值范围为(－4，－2).
【迁移1】 函数不变，若f(x)在[1，2]上单调，求实数a的取值范围.
解 若f(x)在[1，2]上单调，则－≤1或－≥2，
即a≥－2或a≤－4，
即a的取值范围为(－∞，－4]∪[－2，＋∞).
【迁移2】 函数不变，若函数f(x)在区间(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且f(m＋2)解 ∵f(x)在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，
∴－＝1，∴a＝－2.如图.
∵f(m＋2)∴0则实数m的取值范围为(－2，0).
【迁移3】 函数不变，若f(x)的单调递增区间为[2，＋∞)，求a的值.
解 ∵f(x)的对称轴为x＝－，且递增区间为[2，＋∞)，∴－＝2，∴a＝－4.
规律方法 由函数单调性求参数范围的处理方法是：
(1)由函数解析式求参数
若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件，
若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性.
若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件.
(2)抽象函数求参数：依据单调增(减)函数中函数值与自变量的关系f(a)>f(b)?a>b(a【训练4】 已知函数f(x)＝－(a>0，x>0).
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数.
(2)若f(x)在上的值域是，求a的值.
(1)证明 任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则x2－x1>0，x1x2>0，
那么f(x2)－f(x1)＝－
＝－＝>0，
所以f(x2)>f(x1)，所以f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数.
(2)解 因为f(x)在上的值域是，
又由(1)知f(x)在上单调递增，
所以f＝，f(2)＝2.
所以a＝
一、素养落地
1.通过本节课的学习，能够养成规范化思考问题的习惯，重点提升学生的逻辑推理、数学运算素养.
2.函数的单调性是函数在定义域的某个子集上的性质，这个子集可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集.
3.若函数f(x)在其定义域的两个区间A，B上都是增(减)函数，一般不能简单认为f(x)在A∪B上是增(减)函数.
4.利用函数单调性可以比较函数自变量(函数值)的大小.
二、素养训练
1.下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )
A.y＝2x＋1 B.y＝x2＋1
C.y＝3－x D.y＝x2＋2x＋1
解析 函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上是减函数.
答案 C
2.函数y＝f(x)(－2≤x≤2)的图像如图所示，则函数的最大值、最小值分别为( )
A.f(2)，f(－2) B.f，f(－1)
C.f，f D.f，f(0)
解析 由图像可知f(x)max＝f，f(x)min＝f，故选C.
答案 C
3.若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是________.
解析 由题意a≠0，当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2.
答案 ±2
4.定义在(－2，2)上的函数f(x)是增函数，且满足f(1－a)解析 由题设知实数a应满足：解得答案
5.已知函数f(x)＝是减函数，求实数a的取值范围.
解 由题意得，要使f(x)是减函数，需－2×1＋5≥－2×1＋a，即a≤5.故实数a的取值范围为(－∞，5].
基础达标
一、选择题
1.函数y＝f(x)，x∈[－4，4]的图像如图所示，则f(x)的增区间是( )
A.[－4，4] B.[－4，－3]∪[1，4]
C.[－3，1] D.[－3，4]
解析 由图像知增区间为[－3，1]，故选C.
答案 C
2.下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是( )
A.y＝5－x B.y＝x2＋2
C.y＝ D.y＝－|x|
解析 选项A，C，D中的函数在(0，2)上是减函数，只有函数y＝x2＋2在(0，2)上是增函数.
答案 B
3.函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是( )
A.(－∞，－3) B.(0，＋∞)
C.(3，＋∞) D.(－∞，－3)∪(3，＋∞)
解析 ∵f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，
∴2m>－m＋9，即m>3，故选C.
答案 C
4.函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])的最小、最大值分别为( )
A.3，5 B.－3，5
C.1，5 D.5，－3
解析 因为f(x)＝－2x＋1在[－2，2]是减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5.
答案 B
5.已知定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x)的对称轴为x＝4，则( )
A.f(2)>f(3) B.f(2)>f(5)
C.f(3)>f(5) D.f(3)>f(6)
解析 ∵f(x)关于x＝4对称且在(4，＋∞)上为减函数，
∴f(x)在(－∞，4)上为增函数，且f(5)＝f(3)，f(6)＝f(2)，
∴f(5)＝f(3)>f(2)＝f(6)，故选D.
答案 D
二、填空题
6.函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________.
解析 函数f(x)＝的单调减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)，又f(x)在(a，＋∞)上单调递减，所以a≥－1.
答案 [－1，＋∞)
7.函数f(x)＝－3x在区间[2，4]上的最大值为________.
解析 ∵函数f(x)＝－3x在区间[2，4]上是减函数，∴f(x)max＝f(2)＝－3×2＝－4.
答案 －4
8.函数y＝f(x)在(－2，2)上为增函数，且f(2m)>f(－m＋1)，则实数m的取值范围是________.
解析 由题意知解得答案
三、解答题
9.已知函数f(x)＝mx＋＋(m，n是常数)，且f(1)＝2，f(2)＝.
(1)求m，n的值；
(2)当x∈[1，＋∞)时，判断f(x)的单调性并用定义证明.
解 (1)因为f(1)＝m＋＋＝2，
f(2)＝2m＋＋＝.所以
(2)由(1)知f(x)＝x＋＋.
f(x)在x∈[1，＋∞)上为增函数，证明如下：
任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝x1＋＋－
＝(x1－x2)
＝.
因为1≤x11，
所以2x1x2>2>1，
所以<0，即f(x1)所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增.
10.求函数f(x)＝x＋(x>0)的单调区间，并指出函数的最小值.
解 设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1＝(x1－x2)－
＝.
∵00.
由于x1x2－9的符号不能确定，因此需要对x1，x2的取值进行讨论.
当x1，x2∈(0，3]时，有x1x2－9<0，所以>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在区间(0，3]上是减函数；
当x1，x2∈[3，＋∞)时，有x1x2－9>0，所以<0，即f(x1)综上可知，函数f(x)＝x＋(x>0)的单调递减区间是(0，3]，单调递增区间是[3，＋∞).故f(x)的最小值为f(3)＝6.
能力提升
11.判断函数f(x)＝(a≠0)在区间(－1，1)上的单调性.
解 任取x1，x2∈(－1，1)且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
＝.
∵－1∴x－1<0，x－1<0，x1x2＋1>0，x2－x1>0.
∴当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(－1，1)上为减函数.
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在(－1，1)上为增函数.
综上，当a>0时，f(x)在(－1，1)上为减函数，当a<0时，f(x)在(－1，1)上为增函数.
12.若f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x，y>0，满足f＝f(x)－f(y).
(1)求f(1)的值；
(2)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f<2.
解 (1)在f＝f(x)－f(y)中，
令x＝y＝1，
则有f(1)＝f(1)－f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)∵f(6)＝1，
∴f(x＋3)－f<2＝f(6)＋f(6)，
∴f(3x＋9)－f(6)即f∵f(x)是(0，＋∞)上的增函数，
∴
解得－3即不等式的解集为(－3，9).
课件37张PPT。3.1.2 函数的单调性
第一课时 单调性的定义与证明、函数的最值教材知识探究德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图.艾滨浩斯问题 (1)当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？
(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？
提示 (1)随着时间间隔t逐渐增大，函数值y逐渐变小.通过这个试验，在以后的学习中，我们应及时复习刚学习过的知识.
(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”是减函数曲线.1.函数单调性的定义定义中x1，x2的三个特征：①任意性：定义中“任意”二字不能去掉，应用时不能以特殊代替一般；②有大小；③同区间一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I?D：
(1)如果对_______x1，x2∈I，当x1(2)如果对_______x1，x2∈I，当x1两种情况下，都称函数在I上具有单调性(当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间).任意f(x1)f(x2)2.单调性的性质在公共定义域内，增函数＋增函数＝_________；
减函数＋减函数＝_________；
增函数－减函数＝_________；
减函数－增函数＝_________.增函数减函数增函数减函数3.函数的最大值与最小值最值点与最值是两个不同的概念一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对_______x∈D，都有f(x) _______ f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点；如果对_______ x∈D，都有f(x) _______ f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点.最大值和最小值统称为_______ ，最大值点和最小值点统称为_________.任意≤任意≥最值最值点教材拓展补遗
[微判断]
1.函数f(x)的定义域为I，如果定义域内某个区间D上存在两个自变量x1，x2，当x1 提示 应该为?x1，x2∈D，当x12.若f(x)在区间D上为减函数，则在此区间上函数值随自变量的增大而减小.( ) ×√√4.若f(x)是R上的减函数，则f(－3)>f(2).( )√[微训练]
1.下列函数中，在区间(－∞，0)上为减函数的是( )解析 由函数的图像知f(x)＝1－x在(－∞，0)上为减函数，故选D.
答案 D2.若函数f(x)＝ax－3在R上单调递增，则a的取值范围为( )A.(－∞，0) B.(0，＋∞)
C.[1，＋∞) D.(－∞，1]
解析 因为f(x)＝ax－3在R上递增，所以a>0，故选B.
答案 B3.已知函数y＝f(x)(x∈[－2，6])的图像如图.根据图像可知y＝f(x)的单调递增区间为________，单调递减区间为________，最大值为________，最小值点为________.解析 由图像可知f(x)在[－2，6]上的单调递增区间为[－2，－1]和[2，6]，单调递减区间为[－1，2]，f(x)的最大值为2，最小值点为2.
答案 [－2，－1]和[2，6] [－1，2] 2 2[微思考]
1.f(x)在区间D上为增函数，且x1，x2∈D，若f(x1)＜f(x2)，则x1，x2有什么大小关系？
提示 x1＜x2.
2.f(x)的定义域为[a，c]，a＜b＜c，且f(x)在[a，b]上递减，在[b，c]上单调递增，则f(x)的最小值点能确定吗？f(x)一定有最大值吗？
提示 f(x)的最小值点为x＝b； f(x)一定有最大值.题型一(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义加以证明.判断或证明函数的单调性由x1，x2∈(1，＋∞)，得x1>1，x2>1，规律方法 利用定义证明函数单调性的步骤：
(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的关系式；
(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号
(4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号与定义确定单调性.所以x1x2>4，x1x2－4>0，又由x1(2)画出函数的图像；
(3)根据图像写出它的单调区间.(2)函数的图像如图.(3)由图像可知单调递增区间为[－2，0)，[2，＋∞)，单调递减区间为
(－∞，－2]，[0，2].规律方法 1.求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图像容易作出，可作出其图像，根据图像写出其单调区间.
2.一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，一般不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接.【训练2】 (1)如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图像，则函数的单调递减区间是________，单调递增区间是________.(2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图像并写出函数的单调区间.(1)解析 观察图像可知单调递增区间为[－5，－2]，[1，3]，单调递减区间为
[－2，1]，[3，5].答案 [－2，1]和[3，5] [－5，－2]和[1，3]函数的大致图像如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调递减区间为[－1，0]，[1，＋∞).题型三利用单调性比较大小、解不等式、求函数的最值(值域)注意函数的定义域；求函数最值常用方法：①单调性法；②图像法；③二次函数法等【例3】 (1)已知f(x)在(－∞，＋∞)内是减函数，a，b∈R，且a＋b≤0，则有( )
A.f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b) B.f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)
C.f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b) D.f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
(2)已知函数y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)∵f(x)在(－∞，＋∞)内是减函数，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b).故选D.规律方法 1.利用单调性比较大小的方法
(1)利用函数单调性可以比较函数自变量(函数值)的大小，例如：已知f(x)在区间D上为增函数，则对x1，x2∈D，x1(2)利用单调性比较函数值的大小，务必将自变量x的值转化到同一单调区间上才能进行比较，最后写结果时再还原回去.
2.利用函数的单调性解不等式的方法
当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域.【训练3】 (1)如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的x都有f(2＋x)＝f(2－x)，则f(1)，f(2)，f(4)的大小关系为________________(用“>”号连接).解析 (1)由题意知f(x)的对称轴为x＝2，故f(1)＝f(3)，
∵f(x)＝x2＋bx＋c在[2，＋∞)上为增函数，
∴f(2)【例4】 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b.若函数f(x)在区间[1，2]上不单调，求实数a的取值范围.【迁移1】 函数不变，若f(x)在[1，2]上单调，求实数a的取值范围.即a的取值范围为(－∞，－4]∪[－2，＋∞).【迁移2】 函数不变，若函数f(x)在区间(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且f(m＋2)∴0则实数m的取值范围为(－2，0).【迁移3】 函数不变，若f(x)的单调递增区间为[2，＋∞)，求a的值.规律方法 由函数单调性求参数范围的处理方法是：
(1)由函数解析式求参数
若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件，
若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性.
若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件.
(2)抽象函数求参数：依据单调增(减)函数中函数值与自变量的关系f(a)>f(b)?a>b(a0，x1x2>0，所以f(x2)>f(x1)，所以f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数.一、素养落地
1.通过本节课的学习，能够养成规范化思考问题的习惯，重点提升学生的逻辑推理、数学运算素养.
2.函数的单调性是函数在定义域的某个子集上的性质，这个子集可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集.
3.若函数f(x)在其定义域的两个区间A，B上都是增(减)函数，一般不能简单认为f(x)在A∪B上是增(减)函数.
4.利用函数单调性可以比较函数自变量(函数值)的大小.二、素养训练
1.下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )A.y＝2x＋1 B.y＝x2＋1
C.y＝3－x D.y＝x2＋2x＋1
解析 函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上是减函数.
答案 C2.函数y＝f(x)(－2≤x≤2)的图像如图所示，则函数的最大值、最小值分别为( )答案 C3.若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是________.解析 由题意a≠0，当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2.答案 ±24.定义在(－2，2)上的函数f(x)是增函数，且满足f(1－a)课标要求
素养要求
1.了解直线的斜率及意义.
2.了解函数的平均变化率，理解函数单调性与平均变化率的关系.
3.会用函数单调性的充要条件证明简单函数的单调性.
1.加深函数单调性的理解.
2.在运用函数单调性充要条件过程中，提升数学运算和逻辑推理素养.
教材知识探究
科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考查，如图是某天气温随时间的变化曲线.请根据曲线图思考下列问题：
问题1 在区间[6，17]对应的曲线上任取不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝一定大于零吗？
提示 一定大于零.
问题2 如果在区间[2，10]对应的曲线上任取不同两点C(x3，y3，)D(x4，y4)，＝一定大于零吗？
提示 不一定大于零，也可能小于或等于零.
1.直线的斜率 垂直于x轴的直线斜率不存在
(1)直线的斜率的定义：一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称为直线AB的斜率；当x1＝x2时，称直线AB的斜率不存在.
若记Δx＝x2－x1，相应的Δy＝y2－y1，则当Δx≠0时，斜率可记为.
(2)直线的斜率的作用
直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度.
2.函数的平均变化率、函数递增递减的充要条件
用充要条件证函数的单调性更方便
(1)函数的平均变化率
一般地，当x1≠x2时，称＝为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率.
(2)函数递增、递减的充要条件
一般地，若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，＝，则：
①y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是＞0在I上恒成立；
②y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是＜0在I上恒成立.
教材拓展补遗
[微判断]
1.若直线的斜率不存在，则直线与x轴垂直，反之也成立.(√)
2.Δx＝x2－x1，则x2＝x1＋Δx.(√)
3.一次函数y＝kx＋b(k≠0)满足Δy＝kΔx.(√)
4.函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率＝.(√)
5.若函数y＝f(x)在I上是增函数，且x1，x2∈I，那么当f(x1)x2.(×)
提示 应有x1[微训练]
1.在函数的平均变化率中，Δx( )
A.大于零 B.小于零
C.不等于零 D.可以等于零
答案 C
2.已知函数f(x)＝－x2＋x的图像上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx，－2＋Δy)，则＝( )
A.3 B.3Δx－(Δx)2
C.3－(Δx)2 D.3－Δx
解析 Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)
＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2)
＝－(Δx)2＋3Δx，
∴＝＝－Δx＋3.
答案 D
[微思考]
对?x1，x2∈D，若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，则y＝f(x)在区间D上是增函数吗？若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0，则y＝f(x)在区间D上是减函数吗？简要说明原因.
提示 是.若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)同号，即x2>x1时，f(x2)>f(x1)，所以f(x)在D上为增函数.同理(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0时，f(x)在D上为减函数.
题型一 求函数的平均变化率
【例1】 已知函数f(x)＝2x2＋1.
(1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率；
(2)求函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率；
(3)求当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值.
解 (1)由已知得Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝2Δx(2x0＋Δx)，
∴＝＝4x0＋2Δx.
(2)由(1)可知：＝4x0＋2Δx，当x0＝2，Δx＝0.01时，＝4×2＋2×0.01＝8.02.
(3)由(1)可知＝4x0＋2Δx，当x0＝1，Δx＝时，＝4×1＋2×＝5.
规律方法 求函数f(x)在[x1，x2]上的平均变化率的方法步骤是：
(1)先求Δx＝x2－x1；
(2)再求Δy＝f(x2)－f(x1)；
(3)由定义求出＝.
【训练1】 求函数f(x)＝－2x2＋5在区间[2，2＋Δx]上的平均变化率.
解 ∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)
＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)
＝－8Δx－2(Δx)2，
∴＝－8－2Δx，
即平均变化率为－8－2Δx.
题型二 函数递增递减充要条件的应用
【例2】 证明函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数.
用充要条件不必关注x1，x2间的大小，只需x1≠x2即可
证明 设?x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，
则＝
＝＝
＝－，
∵x1>0，x2>0，∴x1＋x2＞0，xx＞0，
∴<0，∴f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减.
规律方法 利用函数递增递减的充要条件证明单调性的步骤
(1)设?x1，x2∈I?定义域，且x1≠x2；
(2)计算；
(3)判定与0的关系；
(4)依据充要条件得结论.
【训练2】 证明f(x)＝是定义域上的增函数.
证明 函数f(x)＝的定义域为[0，＋∞)，设?x1，x2∈[0，＋∞)且x1≠x2，
则＝
＝＝
＝>0，
∴函数f(x)＝在定义域[0，＋∞)上是增函数.
题型三 利用单调性求函数的最值
【例3】 已知函数f(x)＝x＋.
(1)求证f(x)在[1，＋∞)上是增函数；
(2)求f(x)在[1，4]上的最大值及最小值.
(1)证明 设?x1，x2∈[1，＋∞)且x1≠x2，
则＝＝＝.
∵x1≥1，x2≥1且x1≠x2，∴x1x2>1，
∴x1x2－1>0，
∴>0，∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数.
(2)解 由(1)可知f(x)在[1，4]上单调递增，
∴当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝2，
当x＝4时，f(x)取得最大值，最大值为f(4)＝.
综上所述，f(x)在[1，4]上的最大值是，最小值是2.
规律方法 1.函数的最值与单调性的关系：
(1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；
(2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a).
2.利用单调性求最值的步骤：
(1)判断函数的单调性；
(2)利用单调性写出最值.
【训练3】 已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞).
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意的x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.
解 (1)当a＝时，f(x)＝＝x＋＋2.
设任意x1，x2∈[1，＋∞)，且x1≠x2，
则＝＝1－.
因为x1≠x2且x1≥1，x2≥1，所以x1x2>1，
所以1－>0，所以>0，
即函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数.
所以函数f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝1＋＋2＝.
(2)因为f(x)＝>0在[1，＋∞)上恒成立，
所以x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立.
记y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，
所以y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上单调递增，故当x＝1时，y取得最小值，最小值为3＋a.
所以当3＋a>0，即a>－3时，f(x)>0恒成立，
所以实数a的取值范围为(－3，＋∞).
一、素养落地
1.通过函数单调性充要条件的应用，提升数学运算和逻辑推理素养.
2.用单调性定义与用单调性的充要条件证明函数的单调性本质相同，但定义中x1，x2必须定大小，而充要条件中只需x1≠x2即可.
二、素养训练
1.对于函数y＝，当Δx＝1时，Δy的值是( )
A.1 B.－1 C.0.1 D.不能确定
解析 只由Δx＝1不能确定区间的端点，Δy的值不能确定.
答案 D
2.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆).若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )
A.90万元 B.60万元
C.120万元 D.120.25万元
解析 设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－＋30＋，由于x∈N，∴当x＝9或10时，L最大为120万元.
答案 C
3.已知曲线y＝－1上两点A，B(2＋Δx，－＋Δy)，当Δx＝1时，直线AB的斜率为________.
解析 Δy＝－1－＝，
kAB＝＝－，当Δx＝1时，kAB＝－.
答案 －
4.函数f(x)＝|x|，x∈[－1，3]，则f(x)的最大值为________，最小值为________.
解析 根据图像可知，f(x)max＝3，f(x)min＝0.
答案 3 0
5.求函数y＝x3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并计算当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值.
解 当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为＝＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2.
当x0＝1，Δx＝时，平均变化率的值为3×12＋3×1×＋＝.
三、审题答题
示范(二) 利用函数的单调性求最值
【典型示例】 (12分)已知函数f(x)＝.
(1)证明函数f(x)在(－1，＋∞)上是减函数①.
(2)求x∈[0，3]时，函数f(x)的值域②.
联想解题：看到①想到利用函数单调性的定义或充要条件证明f(x)在(－1，＋∞)上的单调性.
看到②首先利用(1)的结论判断f(x)在[0，3]上的单调性―→求f(x)在[0，3]上的最值―→得到f(x)在[0，3]上的值域.
满分示范
(1)证明 设任意x1，x2∈(－1，＋∞)且x1≠x2①，
1分
则＝＝②＝③，
3分
∵x1>－1，x2>－1，
∴x1＋1>0，x2＋1>0，4分
∴<0，<0④，5分
∴函数f(x)在(－1，＋∞)上是减函数.⑤6分
(2)由(1)的证明知，函数f(x)在(－1，＋∞)上是减函数.
∵[0，3]?(－1，＋∞)，8分
∴函数f(x)在[0，3]上是减函数.10分
∴函数f(x)在[0，3]上的最大值是f(0)＝2，最小值是f(3)＝⑥.11分
∴函数f(x)在[0，3]上的值域是⑦.12分
满分心得
(1)求函数的最值的常用方法―→函数的单调性.
(2)判断函数单调性的步骤.
取值——计算——变形——判断——结论
① ② ③ ④ ⑤
（3）得到函数的值域―→得到函数的值域
⑥ ⑦
基础达标
一、选择题
1.一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2，2.1]内相应的平均速度为( )
A.0.41 B.3
C.4 D.4.1
解析 ＝＝4.1.
答案 D
2.若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C.(3，＋∞) D.(－∞，－3]
解析 ∵函数y＝x2＋(2a－1)x＋1的图像开口向上，且以直线x＝－为对称轴，又∵函数在区间(－∞，2]上是减函数，故2≤－，解得a≤－.
答案 B
3.已知函数f(x)＝－2x－3的定义域为D，值域为[－1，5]，则D＝( )
A.[－4，0] B.[－4，－1]
C.[－2，－1] D.[－1，4]
解析 由－2x－3＝－1，得x＝－1；由－2x－3＝5，得x＝－4.又函数f(x)在D上为减函数，故D＝[－4，－1].
答案 B
4.函数f(x)＝，x∈[1，2]的最大值是( )
A. B.
C.1 D.
解析 令g(x)＝1－x(1－x)＝x2－x＋1＝＋，则g(x)在[1，2]上单调递增，所以g(x)∈[1，3]，所以≤≤1.故f(x)的最大值为1.
答案 C
5.函数f(x)＝的值域为( )
A. B.[－1，2]
C. D.
解析 f(x)＝＝1－，当x∈时，函数f(x)为增函数，
∴当x＝时，函数取得最小值，最小值为f＝1－＝1－2＝－1，当x＝2时，函数取得最大值，最大值为f(2)＝1－＝，即函数f(x)的值域为，故选A.
答案 A
二、填空题
6.函数y＝的最小值为________，最大值为________.
解析 由题意可知，当x∈[－3，－1]时，函数y＝x＋1单调递增，∴当x＝－3时，ymin＝－2；当x∈(－1，4]时，函数y＝－x－1单调递减，当x＝4时，ymin＝－5，故最小值为－5，同理可得，最大值为0.
答案 －5 0
7.函数g(x)＝2x－的值域为________.
解析 设＝t(t≥0)，则x＋1＝t2，即x＝t2－1，
∴y＝2t2－t－2＝2－，∵t≥0，∴当t＝时，ymin＝－，∴函数g(x)的值域为.
答案
8.函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a解析 y＝－(x－3)2＋18，∵a∴函数y在区间[a，b]上单调递增，∴当x＝b时，y取得最大值9，当x＝a时，y取得最小值－7，
即
解得b＝0(b＝6不合题意，舍去)，a＝－2(a＝8不合题意，舍去).
答案 －2 0
三、解答题
9.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，试指出哪一个厂治污效果较好？
解 在t0处，虽然W1(t0)＝W2(t0)，
但>，
即＜，
所以，在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小.所以乙厂治污效果较好.
10.已知函数f(x)＝ax2－4ax＋b(a>0)在区间[0，1]上有最大值1和最小值－2.
(1)求a，b的值；
(2)若在区间[－1，1]上，不等式f(x)>－x＋m恒成立，求实数m的取值范围.
解 (1)∵f(x)＝a(x－2)2＋b－4a，
又a>0，∴函数图像开口向上，对称轴x＝2，
∴f(x)在[0，1]上是减函数；
∴f(0)＝b＝1，且f(1)＝b－3a＝－2，∴a＝b＝1.
(2)f(x)>－x＋m?x2－4x＋1>－x＋m
即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1，1]上恒成立，
只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上的最小值大于0即可.
∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减，
∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0得，m<－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1).
能力提升
11.已知函数f(x)＝x2－ax＋1，
(1)求f(x)在[0，1]上的最大值g(a)；
(2)当a＝1时，求f(x)在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值g(t).
解 (1)因为函数f(x)＝x2－ax＋1的图像开口向上，其对称轴为x＝，
所以区间[0，1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，
当≤，即a≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝2－a；
当>，即a>1时，f(x)的最大值为f(0)＝1.
综上，g(a)＝
(2)当a＝1时，f(x)＝x2－x＋1，其图像的对称轴为x＝.
①当t≥时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，∴g(t)＝f(t)＝t2－t＋1；
②当t＋1≤，即t≤－时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
∴g(t)＝f(t＋1)＝t2＋t＋1；
③当t<所以g(t)＝f＝.
综上，g(t)＝
12.设函数f(x)＝，其中a∈R.
(1)若a＝1，函数f(x)的定义域为[0，3]，求f(x)的最大值和最小值；
(2)若函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，求使函数f(x)在定义域内是减函数的a的取值范围.
解 f(x)＝＝＝a－.
(1)当a＝1时，f(x)＝1－，
设任意x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2，
则＝＝.
又∵x1＋1>0，x2＋1>0，∴>0，
∴函数f(x)在[0，3]上是增函数.
∴f(x)max＝f(3)＝1－＝，
f(x)min＝f(0)＝1－＝－1.
(2)设任意x3，x4∈(0，＋∞)，且x3≠x4，
则x3＋1>0，x4＋1>0.
若使f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
则只要＝<0，
又＝，
∴当a＋1<0，即a<－1时，有<0.
∴a的取值范围为(－∞，－1).
课件32张PPT。第二课时 函数的平均变化率教材知识探究科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考查，如图是某天气温随时间的变化曲线.请根据曲线图思考下列问题：1.直线的斜率垂直于x轴的直线斜率不存在(1)直线的斜率的定义：一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称_________为直线AB的斜率；当x1＝x2时，称直线AB的斜率不存在.(2)直线的斜率的作用
直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的____________.倾斜程度2.函数的平均变化率、函数递增递减的充要条件 用充要条件证函数的单调性更方便＞＜教材拓展补遗
[微判断]
1.若直线的斜率不存在，则直线与x轴垂直，反之也成立.( )
2.Δx＝x2－x1，则x2＝x1＋Δx.( )
3.一次函数y＝kx＋b(k≠0)满足Δy＝kΔx.( )√√√√5.若函数y＝f(x)在I上是增函数，且x1，x2∈I，那么当f(x1)x2.( )×提示 应有x1C.不等于零 D.可以等于零
答案 CA.3 B.3Δx－(Δx)2
C.3－(Δx)2 D.3－Δx
解析 Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)
＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2)
＝－(Δx)2＋3Δx，答案 D[微思考]题型一 求函数的平均变化率
【例1】 已知函数f(x)＝2x2＋1.(1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率；
(2)求函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率；解 (1)由已知得Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝2Δx(2x0＋Δx)，规律方法 求函数f(x)在[x1，x2]上的平均变化率的方法步骤是：
(1)先求Δx＝x2－x1；
(2)再求Δy＝f(x2)－f(x1)；【训练1】 求函数f(x)＝－2x2＋5在区间[2，2＋Δx]上的平均变化率.解 ∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)
＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)
＝－8Δx－2(Δx)2，题型二 函数递增递减充要条件的应用
【例2】用充要条件不必关注x1，x2间的大小，只需x1≠x2即可题型三利用单调性求函数的最值(1)求证f(x)在[1，＋∞)上是增函数；
(2)求f(x)在[1，4]上的最大值及最小值.∵x1≥1，x2≥1且x1≠x2，∴x1x2>1，∴x1x2－1>0，(2)解 由(1)可知f(x)在[1，4]上单调递增，
∴当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝2，规律方法 1.函数的最值与单调性的关系：
(1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；
(2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a).
2.利用单调性求最值的步骤：
(1)判断函数的单调性；
(2)利用单调性写出最值.所以y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上单调递增，
故当x＝1时，y取得最小值，最小值为3＋a.
所以当3＋a>0，即a>－3时，f(x)>0恒成立，所以实数a的取值范围为(－3，＋∞).一、素养落地
1.通过函数单调性充要条件的应用，提升数学运算和逻辑推理素养.
2.用单调性定义与用单调性的充要条件证明函数的单调性本质相同，但定义中x1，x2必须定大小，而充要条件中只需x1≠x2即可.二、素养训练A.1 B.－1 C.0.1 D.不能确定解析 只由Δx＝1不能确定区间的端点，Δy的值不能确定.
答案 D2.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆).若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )
A.90万元 B.60万元 C.120万元 D.120.25万元答案 C4.函数f(x)＝|x|，x∈[－1，3]，则f(x)的最大值为________，最小值为________.解析 根据图像可知，f(x)max＝3，f(x)min＝0.答案 3 0三、审题答题
示范(二) 利用函数的单调性求最值(1)证明函数f(x)在(－1，＋∞)上是减函数①.(2)求x∈[0，3]时，函数f(x)的值域②.联想解题：看到①想到利用函数单调性的定义或充要条件证明f(x)在(－1，＋∞)上的单调性.看到②首先利用(1)的结论判断f(x)在[0，3]上的单调性―→求f(x)在[0，3]上的最值―→得到f(x)在[0，3]上的值域.满分示范(1)证明 设任意x1，x2∈(－1，＋∞)且x1≠x2①，1分∵x1>－1，x2>－1，∴x1＋1>0，x2＋1>0，4分∴函数f(x)在(－1，＋∞)上是减函数.⑤6分(2)由(1)的证明知，函数f(x)在(－1，＋∞)上是减函数.
∵[0，3]?(－1，＋∞)，8分
∴函数f(x)在[0，3]上是减函数.10分
∴函数f(x)在[0，3]上的最大值是f(0)＝2，满分心得
(1)求函数的最值的常用方法―→函数的单调性.
(2)判断函数单调性的步骤.① ② ③ ④ ⑤（3）得到函数的值域―→得到函数的值域
⑥ ⑦