课件41张PPT。第三章 函 数[数学文化]——了解数学文化的发展与应用1.早期函数概念——几何观念下的函数
十七世纪伽利略(G.Galileo，意，1564～1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系.
1673年，德国数学家莱布尼茨首次使用“fun_ction”(函数)表示“幂”.2.十八世纪函数概念——代数观念下的函数1718年约翰·贝努利(Bernoulli Johann，瑞，1667～1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义；1755年，瑞士数学家欧拉将函数定义为“如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数.”3.十九世纪函数概念——对应关系下的函数
1837年德国数学家狄利克雷提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数.”
1930年新的现代函数定义为，若对集合M中的任意元素x，总有集合N中的确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y＝f(x).元素x称为自变元，元素y称为因变元.
19世纪70年代以后，随着集合概念的出现，函数概念又进而用更加严谨的集合和对应语言表述，言简意赅地讲述了数学中一个最重要的概念——函数.[读图探新]——发现现象背后的知识函数的最值(图三) 函数的奇偶性(图四)问题1：图一中青少年的好奇心与其年龄，图二中每次人口普查的年份与其对应的总人口数是否存在一一对应的关系呢？如何刻画这些变量间的对应关系呢？
问题2：“菊花”烟花设计者为了达到施放烟花的最佳效果，制造时应精心设计烟花达到最高点时爆裂，如何确定烟花爆裂的最佳时刻？
问题3：天安门是轴对称图形，那么如何用自然语言描述函数的图像特征呢？
链接：图一、图二中存在一一对应关系，这种变量间的对应关系常用函数模型来描述，函数可以用图像法、列表法和解析法来表示；图三、图四可以用函数的最值和奇偶性刻画函数的性质.3.1 函数的概念与性质
3.1.1 函数及其表示方法
第一课时 函数的概念教材知识探究问题1 时间t和物体下落的距离s满足什么条件？
提示 0≤t≤3，0≤s≤44.1.
问题2 时间t(0≤t≤3)确定后，下落的距离s确定吗？
提示 确定.
问题3 下落后的某一时刻能同时对应两个距离吗？
提示 不能.函数的概念学好数学概念，理解非常重要(1)定义：一般地，给定两个____________A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的____________ ，在集合B中都有__________的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域.
函数的这种定义强调的是“对应关系”，对应关系也可用其他小写英文字母如g，h等表示.非空实数集每一个实数x唯一确定(2)函数的三要素：_________、___________、_________.
(3)同一个函数：如果两个函数表达式表示的函数_________相同，___________也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示就是同一个函数.
(4)函数定义域约定及求定义域的依据
①在表示函数时，如果不会产生歧义，函数的定义域通常省略不写，此时就约定：函数的定义域就是使得这个函数_________的所有实数组成的集合.
②求函数定义域常用的依据：
a.分式中分母不能为_____；
b.二次根式中的被开方数要__________________.定义域对应关系值域定义域对应关系有意义零大于或等于零教材拓展补遗
[微判断]
1.函数的定义域和值域一定是无限集合.( )
提示 函数的定义域和值域也可能是有限集，如f(x)＝1.
2.根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.( )
提示 根据函数的定义，对于定义域中的任意一个数x，在值域中都有唯一确定的数y与之对应.
3.在函数的定义中，集合B是函数的值域.( )
提示 在函数的定义中，函数的值域是集合B的子集.
4.在函数y＝f(x)中，对于不同的x，y也不同.( )
提示 根据函数的定义，对于不同的x，y可以相同，例如f(x)＝x2.××××[微训练]解析 只需满足x－1≥0，∴x≥1.
答案 [1，＋∞)答案 7[微思考]
1.在函数的概念中，如果函数y＝f(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？
提示 确定.
2.如果函数y＝f(x)的定义域、值域确定，那么对应关系确定吗？
提示 不确定，例如函数的定义域为A＝{－1，0，1}，值域为B＝{0，1}，则对应关系f(x)＝x2或f(x)＝|x|均可.题型一【例1】 (1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )函数关系的判断A.0个 B.1个
C.2个 D.3个(2)已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{x|0≤x≤4}，则下列对应关系中，不能看作是从A到B的函数关系的是( )解析 (1)①错，x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性.②对，同时满足任意性与唯一性.③错，x＝2时，对应元素y＝3?N，不满足任意性.④错，x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性.
(2)根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素在集合B中没有元素与它对应，故不正确.答案 (1)B (2)D规律方法 1.根据图形判断对应是否为函数的方法
(1)任取一条垂直于x轴的直线l；
(2)在定义域内平行移动直线l；
(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.
2.判断一个对应是否是函数的方法【训练1】 (1)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图像可能是( )(2)已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系：
①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|，其中能构成从M到N的函数是( )
A.① B.② C.③ D.④
解析 (1)A中的定义域不是[－2，2]，C中图形不满足唯一性，D中的值域不是[0，2]，故选B.
(2)只有y＝|x|是符合题意的对应关系，故选D.
答案 (1)B (2)D题型二【例2】 (1)下列各组函数：同一个函数的判定⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5).
其中表示同一个函数的是________(填序号).(1)解析 ①f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一个函数；②f(x)与g(x)的解析式不同，不是同一个函数；③f(x)＝|x＋3|，与g(x)的解析式不同，不是同一个函数；④f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一个函数；⑤f(x)与g(x)的定义域、对应关系分别对应相同，故是同一个函数.
答案 ⑤规律方法 判断两个函数为同一个函数应注意的三点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数.
(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.
(3)在化简解析式时，必须是等价变形.【训练2】 下列各组函数是同一个函数的是( )解析 A，B，C中的定义域均不相同，故选D.答案 D题型三【例3】 求下列函数的定义域：求函数的定义域规律方法 当函数解析式较复杂时，要先确定全部限制条件，依次列出不等式或不等式组，再分别求出每个不等式的解集，最后求出这些集合的交集即为函数的定义域.答案 (1)C (2)A题型四 求函数值或函数的值域
方向1求函数的值求值时，明确函数解析式，代入求值(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f[g(3)]的值.规律方法 求函数值的方法及关注点
(1)方法：①已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值；②求f[g(a)]的值应遵循由里往外的原则.
(2)关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义.方向2 判定对象与值域的关系规律方法 1.列方程看方程在定义域内是否有解；2.先求值域再判断.方向3求函数的值域首先确定函数的定义域，对于一次函数、二次函数、反比例函数可借助图像求函数的值域，值域要写成集合或区间的形式规律方法 法一是观察法；法二是反解法.(1)求f(0)，f(1)和f(2)；
(2)求S；一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象、数学运算素养.
2.函数符号“y＝f(x)”是数学中抽象符号之一，“y＝f(x)”仅为y是x的函数的数学表示，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图表或图像.二、素养训练
1.若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是( )解析 A中值域为{y|0≤y≤2}，故错误；C，D中值域为{1，2}，故错误，故选B.答案 B2.下表表示函数y＝f(x)的x与y的所有对应值，则此函数的定义域为( )A.{－1，0，1} B.{2，3，5}
C.{x|－1≤x≤1} D.{x|2≤x≤5}
解析 定义域为x的所有取值构成的集合，故选A.
答案 A答案 3a4.已知四组函数：解析 对于第一组，定义域不同；对于第三组，定义域不同，对应关系也不同；对于第二、四组，定义域与对应关系分别对应相同.
答案 ②④5.求出函数g(x)＝x2－2的值域A，判断－5和7是否是A中的元素.解 g(x)的定义域为R，
∵x2≥0，∴x2－2≥－2，
∴A＝[－2，＋∞).
故－5?A，7∈A.
第三章 函 数
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
1.早期函数概念——几何观念下的函数
十七世纪伽利略(G.Galileo，意，1564～1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系.
1673年，德国数学家莱布尼茨首次使用“fun_ction”(函数)表示“幂”.
2.十八世纪函数概念——代数观念下的函数
1718年约翰·贝努利(Bernoulli Johann，瑞，1667～1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义；1755年，瑞士数学家欧拉将函数定义为“如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数.”
3.十九世纪函数概念——对应关系下的函数
1837年德国数学家狄利克雷提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数.”
1930年新的现代函数定义为，若对集合M中的任意元素x，总有集合N中的确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y＝f(x).元素x称为自变元，元素y称为因变元.
19世纪70年代以后，随着集合概念的出现，函数概念又进而用更加严谨的集合和对应语言表述，言简意赅地讲述了数学中一个最重要的概念——函数.
[读图探新]——发现现象背后的知识
函数的最值(图三) 函数的奇偶性(图四)
问题1：图一中青少年的好奇心与其年龄，图二中每次人口普查的年份与其对应的总人口数是否存在一一对应的关系呢？如何刻画这些变量间的对应关系呢？
问题2：“菊花”烟花设计者为了达到施放烟花的最佳效果，制造时应精心设计烟花达到最高点时爆裂，如何确定烟花爆裂的最佳时刻？
问题3：天安门是轴对称图形，那么如何用自然语言描述函数的图像特征呢？
链接：图一、图二中存在一一对应关系，这种变量间的对应关系常用函数模型来描述，函数可以用图像法、列表法和解析法来表示；图三、图四可以用函数的最值和奇偶性刻画函数的性质.
3.1 函数的概念与性质
3.1.1 函数及其表示方法
第一课时 函数的概念
课标要求
素养要求
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念；
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；
3.了解构成函数的要素及同一个函数的概念，能求简单函数的定义域和值域.
1.通过对函数概念的理解，提升数学抽象素养；
2.通过求简单函数的定义域，提升数学运算素养.
教材知识探究
某物体从高度为44.1 m的空中自由下落，物体下落的距离s(m)与所用时间t(s)的平方成正比，这个规律用数学式子可以描述为s＝gt2，其中g取9.8 m/s2.
问题1 时间t和物体下落的距离s满足什么条件？
提示 0≤t≤3，0≤s≤44.1.
问题2 时间t(0≤t≤3)确定后，下落的距离s确定吗？
提示 确定.
问题3 下落后的某一时刻能同时对应两个距离吗？
提示 不能.
函数的概念 学好数学概念，理解非常重要
(1)定义：一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域.
函数的这种定义强调的是“对应关系”，对应关系也可用其他小写英文字母如g，h等表示.
(2)函数的三要素：定义域、对应关系、值域.
(3)同一个函数：如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示就是同一个函数.
(4)函数定义域约定及求定义域的依据
①在表示函数时，如果不会产生歧义，函数的定义域通常省略不写，此时就约定：函数的定义域就是使得这个函数有意义的所有实数组成的集合.
②求函数定义域常用的依据：
a.分式中分母不能为零；
b.二次根式中的被开方数要大于或等于零.
教材拓展补遗
[微判断]
1.函数的定义域和值域一定是无限集合.(×)
提示 函数的定义域和值域也可能是有限集，如f(x)＝1.
2.根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.(×)
提示 根据函数的定义，对于定义域中的任意一个数x，在值域中都有唯一确定的数y与之对应.
3.在函数的定义中，集合B是函数的值域.(×)
提示 在函数的定义中，函数的值域是集合B的子集.
4.在函数y＝f(x)中，对于不同的x，y也不同.(×)
提示 根据函数的定义，对于不同的x，y可以相同，例如f(x)＝x2.
[微训练]
1.函数y＝的定义域是________.
解析 只需满足x－1≥0，∴x≥1.
答案 [1，＋∞)
2.若f(x)＝x2－，则f(3)＝________.
解析 f(3)＝9－＝9－2＝7.
答案 7
[微思考]
1.在函数的概念中，如果函数y＝f(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？
提示 确定.
2.如果函数y＝f(x)的定义域、值域确定，那么对应关系确定吗？
提示 不确定，例如函数的定义域为A＝{－1，0，1}，值域为B＝{0，1}，则对应关系f(x)＝x2或f(x)＝|x|均可.
题型一 函数关系的判断
【例1】 (1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
(2)已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{x|0≤x≤4}，则下列对应关系中，不能看作是从A到B的函数关系的是( )
A.f：x→y＝x B.f：x→y＝x
C.f：x→y＝x D.f：x→y＝x
解析 (1)①错，x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性.②对，同时满足任意性与唯一性.③错，x＝2时，对应元素y＝3?N，不满足任意性.④错，x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性.
(2)根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素在集合B中没有元素与它对应，故不正确.
答案 (1)B (2)D
规律方法 1.根据图形判断对应是否为函数的方法
(1)任取一条垂直于x轴的直线l；
(2)在定义域内平行移动直线l；
(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.
2.判断一个对应是否是函数的方法
【训练1】 (1)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图像可能是( )
(2)已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系：
①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|，其中能构成从M到N的函数是( )
A.① B.② C.③ D.④
解析 (1)A中的定义域不是[－2，2]，C中图形不满足唯一性，D中的值域不是[0，2]，故选B.
(2)只有y＝|x|是符合题意的对应关系，故选D.
答案 (1)B (2)D
题型二 同一个函数的判定
【例2】 (1)下列各组函数：
①f(x)＝，g(x)＝x－1；
②f(x)＝，g(x)＝；
③f(x)＝，g(x)＝x＋3；
④f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0；
⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5).
其中表示同一个函数的是________(填序号).
(2)试判断函数y＝·与函数y＝是否为同一个函数，并说明理由.
(1)解析 ①f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一个函数；②f(x)与g(x)的解析式不同，不是同一个函数；③f(x)＝|x＋3|，与g(x)的解析式不同，不是同一个函数；④f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一个函数；⑤f(x)与g(x)的定义域、对应关系分别对应相同，故是同一个函数.
答案 ⑤
(2)解 不是同一个函数.对于函数y＝·，由解得x≥1，故定义域为{x|x≥1}，对于函数y＝，由(x＋1)(x－1)≥0解得x≥1或x≤－1，故定义域为{x|x≥1或x≤－1}，显然两个函数定义域不同，故不是同一个函数.
规律方法 判断两个函数为同一个函数应注意的三点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数.
(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.
(3)在化简解析式时，必须是等价变形.
【训练2】 下列各组函数是同一个函数的是( )
A.y＝1，y＝
B.y＝·，y＝
C.y＝|x|，y＝()2
D.y＝x，y＝
解析 A，B，C中的定义域均不相同，故选D.
答案 D
题型三 求函数的定义域
【例3】 求下列函数的定义域：
(1)y＝(x－1)0＋；(2)y＝＋.
解 (1)要使函数有意义，当且仅当
解得x>－1且x≠1，
所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}.
(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤1且x≠－1，即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}.
规律方法 当函数解析式较复杂时，要先确定全部限制条件，依次列出不等式或不等式组，再分别求出每个不等式的解集，最后求出这些集合的交集即为函数的定义域.
【训练3】 (1)函数f(x)＝的定义域为( )
A. B.{x|x>1}
C. D.
(2)设全集为R，函数f(x)＝的定义域为M，则?RM为( )
A.{x|x>2} B.{x|x<2}
C.{x|x≤2} D.{x|x≥2}
解析 (1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
解得即x≥且x≠1，故选C.
(2)自变量x的取值必须满足2－x≥0，即x≤2，
∴M＝{x|x≤2}，∴?RM＝{x|x>2}，故选A.
答案 (1)C (2)A
题型四 求函数值或函数的值域
方向1 求函数的值 求值时，明确函数解析式，代入求值
【例4－1】 已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).
(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f[g(3)]的值.
解 (1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.
又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)∵g(3)＝32＋2＝11，
∴f[g(3)]＝f(11)＝＝.
规律方法 求函数值的方法及关注点
(1)方法：①已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值；②求f[g(a)]的值应遵循由里往外的原则.
(2)关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义.
方向2 判定对象与值域的关系
【例4－2】 已知函数f(x)＝的值域为S，试判断－，是否是S中的元素.
解 由≥1知＝－无解，因此－?S.
当＝时，可解得x＝±，∴∈S.
规律方法 1.列方程看方程在定义域内是否有解；2.先求值域再判断.
方向3 求函数的值域
首先确定函数的定义域，对于一次函数、二次函数、反比例函数可借助图像求函数的值域，值域要写成集合或区间的形式
【例4－3】 求函数f(x)＝的值域.
解 法一 f(x)＝＝1－，x∈R，∵x2≥0，
∴x2＋1≥1，
∴0＜≤1，－1≤－＜0，0≤1－＜1，
∴f(x)的值域为[0，1).
法二 令y＝，x∈R，则x2＝≥0，
即∴0≤y＜1.
∴f(x)的值域为[0，1).
规律方法 法一是观察法；法二是反解法.
【训练4】 已知函数f(x)＝的值域为S.
(1)求f(0)，f(1)和f(2)；
(2)求S；
(3)判断－2，是否是S中的元素.
解 f(x)的定义域为R.
(1)f(0)＝＝1，f(1)＝＝0，
f(2)＝＝－.
(2)法一 f(x)＝＝＝－1＋，
∵x2≥0，∴x2＋1≥1，∴0＜≤1，∴0＜≤2，
－1＜－1＋≤1，即S＝(－1，1].
法二 令y＝，x∈R，则x2＝≥0，
即∴－1＜y≤1，即S＝(－1，1].
(3)法一 由(2)知S＝(－1，1]，
∴－2?S，∈S.
法二 令＝－2，则x2＝－3，无解，∴－2?S.
令＝，则x2＝，x＝±∈R，
即f＝.∴∈S.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象、数学运算素养.
2.函数符号“y＝f(x)”是数学中抽象符号之一，“y＝f(x)”仅为y是x的函数的数学表示，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图表或图像.
二、素养训练
1.若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是( )
解析 A中值域为{y|0≤y≤2}，故错误；C，D中值域为{1，2}，故错误，故选B.
答案 B
2.下表表示函数y＝f(x)的x与y的所有对应值，则此函数的定义域为( )
x
－1
0
1
f(x)
2
3
5
A.{－1，0，1} B.{2，3，5}
C.{x|－1≤x≤1} D.{x|2≤x≤5}
解析 定义域为x的所有取值构成的集合，故选A.
答案 A
3.已知函数f(x)＝，则f＝________.
解析 f＝＝3a.
答案 3a
4.已知四组函数：
①f(x)＝x，g(x)＝()2；②f(x)＝|x|，g(x)＝；③f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)；④f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.
其中是同一个函数的是________(填序号).
解析 对于第一组，定义域不同；对于第三组，定义域不同，对应关系也不同；对于第二、四组，定义域与对应关系分别对应相同.
答案 ②④
5.求出函数g(x)＝x2－2的值域A，判断－5和7是否是A中的元素.
解 g(x)的定义域为R，
∵x2≥0，∴x2－2≥－2，
∴A＝[－2，＋∞).
故－5?A，7∈A.
基础达标
一、选择题
1.设f(x)＝x2是定义在A上值域为B的函数，如果集合B＝{1}，那么集合A不可能是( )
A.{1} B.{－1}
C.{－1，1} D.{－1，0}
解析 若集合A＝{－1，0}，则0∈A，但02?B，故选D.
答案 D
2.图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是( )
A.①② B.①④
C.①②④ D.③④
解析 根据函数的定义，可以多对一，或一对一，故选B.
答案 B
3.下列各组函数为同一个函数的是( )
A.f(x)＝x，g(x)＝
B.f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0
C.f(x)＝，g(x)＝
D.f(x)＝，g(x)＝x－3
解析 A.因为这两个函数的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数；B.这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数；C.这两个函数的定义域和对应关系分别对应相同，所以这两个函数为同一个函数；D.这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数.故选C.
答案 C
4.四个函数：①y＝x＋1；②y＝x2；③y＝x2－1；④y＝中定义域相同的函数有( )
A.①②③ B.①②
C.②③ D.②③④
解析 ①②③中函数的定义域均为R，而④中函数的定义域为{x|x≠0}，故选A.
答案 A
5.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”.函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1，7}的“孪生函数”共有( )
A.10个 B.9个
C.8个 D.4个
解析 由2x2－1＝1，得x1＝1，x2＝－1；由2x2－1＝7，得x3＝－2，x4＝2，所以定义域为2个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”.
答案 B
二、填空题
6.若f(x)＝，则f(1)＝________.
解析 f(1)＝＝.
答案
7.已知函数f(x)＝，若f(a)＝3，则实数a＝____________.
解析 函数f(x)的定义域为[3，＋∞)，又f(a)＝＝3，∴a＝12.
答案 12
8.下列各对函数中是同一个函数的是________(填序号).
①f(x)＝2x－1与g(x)＝2x－x0；
②f(x)＝与g(x)＝|2x＋1|；
③f(n)＝2n＋1(n∈Z)与g(n)＝2n－1(n∈Z)；
④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2.
解析 ①函数f(x)的定义域为R，函数g(x)的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数；②f(x)＝＝|2x＋1|与g(x)＝|2x＋1|的定义域和对应关系分别对应相同，是同一个函数；③f(n)＝2n＋1(n∈Z)与g(n)＝2n－1(n∈Z)的对应关系不相同，不是同一个函数；④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2的定义域和对应关系分别对应相同，是同一个函数.
答案 ②④
三、解答题
9.已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)；(2)求f[f(1)].
解 (1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.
(2)∵f(1)＝＝，
∴f[f(1)]＝f＝＝.
10.求函数f(x)＝，x∈[1，2]的值域.
解 f(x)＝＝1－.
∵x∈[1，2]，∴x2∈[1，4].
∴x2＋2∈[3，6]，∴∈，
∴－∈，
∴1－∈，
∴f(x)的值域为.
能力提升
11.已知函数f(x)＝＋.
(1)求函数的定义域；
(2)求f(－4)，f的值.
解 (1)使根式有意义的实数x的集合是{x|x≥－5}，使分式有意义的实数x的集合是{x|x≠2}，
所以这个函数的定义域是{x|x≥－5}∩{x|x≠2}＝{x|x≥－5且x≠2}.
(2)f(－4)＝＋＝1－＝.
f＝＋＝－＝－.
12.已知函数f(x)对任意实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)成立.
(1)求f(0)和f(1)的值.
(2)若f(2)＝a，f(3)＝b(a，b均为常数)，求f(36)的值.
解 (1)令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0),
所以f(0)＝0.
令x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，
所以f(1)＝0.
(2)令x＝y＝2，
则f(4)＝f(2×2)＝f(2)＋f(2)＝2f(2)＝2a.
令x＝y＝3，
则f(9)＝f(3×3)＝f(3)＋f(3)＝2f(3)＝2b.
令x＝4，y＝9，
得f(36)＝f(4×9)＝f(4)＋f(9)＝2a＋2b.
第二课时 函数的表示方法
课标要求
素养要求
1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图像法以及各自的优缺点.
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.
3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
1.结合实例，经历函数三种表示法的抽象过程，体会三种表示法的作用，培养学生的数学抽象素养.
2.结合实例，加深对分段函数概念的理解及应用，提升逻辑推理、数学运算素养.
教材知识探究
(1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值为380千米/时.若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式.
(2)如图是我国人口出生率变化曲线：
(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表
污染源距离
50
100
200
300
500
氰化物浓度
0.678
0.398
0.121
0.05
0.01
问题 根据初中学过的知识，说出问题(1)、(2)、(3)分别是用什么法表示函数的？
提示 解析法、图像法和列表法.
1.函数的三种表示方法 函数的定义中，对应关系有哪三种表达形式
(1)解析法：在函数y＝f(x)中，如果f(x)是用代数式(或解析式)来表示的，这种表示函数的方法称为解析法.
(2)列表法：用列表的形式给出了函数的对应关系，这种表示函数的方法称为列表法.
(3)图像法
①函数图像：一般地，将函数y＝f(x)，x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x，y)组成的集合F称为函数的图像，即F＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}.
②图像上点的坐标与函数的关系：如果F是函数y＝f(x)的图像，则图像上任意一点的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f(x)；反之，满足函数关系y＝f(x)的点(x，y)都在函数图像F上.
③图像法：用函数的图像表示函数的方法称为图像法.
④作函数图像的方法
ⅰ.描点作图法：实际作图时，经常先描出函数图像上一些有代表性的点，然后再根据有关性质作出函数图像，这称为描点作图法.其步骤是列表、描点、连线.
ⅱ.变换作图法 图像的变换不简单
b.对称：y＝f(x)y＝－f(x)；
y＝f(x)y＝f(－x)；
y＝f(x)y＝－f(－x).
求解y＝f(x)与y＝f(－x)、y＝－f(x)的关系时需利用该结论.
c.其他：y＝f(x)y＝|f(x)|；
y＝f(x)y＝f(|x|).
2.分段函数与常数函数
(1)分段函数：如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数.
(2)常数函数：值域只有一个元素的函数，这类函数通常称为常数函数.也就是说，常数函数中所有自变量对应的函数值都相等.
教材拓展补遗
[微判断]
1.任何一个函数都可以用列表法表示.(×)
提示 如果函数的定义域是连续的数集，则该函数就不能用列表法表示.
2.任何一个函数都可以用图像法表示.(×)
提示 有些函数是不能画出图像的，如f(x)＝
3.函数的图像一定是其定义域上的一条连续不断的曲线.(×)
提示 反例：f(x)＝的图像就不是连续的曲线.
4.分段函数是一个函数.(√)
5.函数f(x)＝x＋1与g(x)＝x＋1(x∈N)的图像相同.(×)
提示 两函数的定义域不同，则图像不同.
6.若f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)＝3x－1.(√)
[微训练]
1.函数f(x)＝3x－1，x∈[1，5]的图像是( )
A.直线 B.射线
C.线段 D.离散的点
解析 ∵f(x)＝3x－1为一次函数，图像为一条直线，而x∈[1，5]，则此时图像为线段.故选C.
答案 C
2.已知函数f(x)＝
则f(2)＝( )
A.0 B.
C.1 D.2
解析 f(2)＝＝1.故选C.
答案 C
3.下列函数中不满足f(2x)＝2f(x)的是( )
A.f(x)＝|x| B.f(x)＝x－|x|
C.f(x)＝x＋1 D.f(x)＝－x
解析 验证法.若f(x)＝x＋1，则f(2x)＝2x＋1，而2f(x)＝2(x＋1)＝2x＋2，则f(2x)≠2f(x)，故选C.
答案 C
[微思考]
1.是否所有的函数都有三种表示方法呢？
提示 不是，有些函数无法写出其解析式.
2.函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等，那么判断一个图形是不是函数图像的依据是什么？
提示 要检验一个图形是否为某个函数的图像，其方法为：在定义域内任取一个x值作垂直于x轴的直线，若此直线与图形有唯一交点，则图形为在此定义域内的函数图像；若无交点或多于1个交点，则不是函数图像.
题型一 三种表示法的应用
【例1】 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来.
解 (1)列表法：
x/台
1
2
3
4
5
y/元
3 000
6 000
9 000
12 000
15 000
x/台
6
7
8
9
10
y/元
18 000
21 000
24 000
27 000
30 000
(2)图像法：
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}.
规律方法 理解函数表示法的三个关注点
(1)列表法、图像法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念.
(2)列表法更直观形象，图像法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数.
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主.
【训练1】 将一条长为10 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形.试用多种方法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝长x(x∈N*)的函数关系.
解 这个函数的定义域为{x|1≤x<10，x∈N*}.
①解析法：S＝＋.
将上式整理得S＝x2－x＋，x∈{x|1≤x<10，x∈N*}.
②列表法：
一段铁丝长x(cm)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
两个正方形的面积之和S(cm2)
③图像法：
题型二 求函数解析式
方向1 换元法 (配凑法)、方程组法求函数解析式
换元法要注意新元的取值范围，否则易弄错函数定义域
【例2－1】 求下列函数的解析式：
(1)已知f(x＋2)＝2x＋3，求f(x)；
(2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)；
(3)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x).
解 (1)f(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，∴f(x)＝2x－1.
(2)法一 (换元法)：令t＝＋1，t≥1，则x＝(t－1)2，
所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1).
法二 (配凑法)：f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1.
因为＋1≥1，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1).
(3)∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①
∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②
∴由①－2×②得3f(x)＝x2－6x，∴f(x)＝x2－2x.
规律方法 1.已知f[g(x)]＝h(x)求f(x)，常用的有两种方法：
(1)换元法，即令t＝g(x)解出x，代入h(x)中得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围.
(2)配凑法，即从f[g(x)]的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可.
2.方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.
方向2 用待定系数法求函数解析式
【例2－2】 (1)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝16x－25，求f(x)；
(2)已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x).
解 (1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，
∴∴或
∴f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋.
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，
∴∴∴f(x)＝x2－2x－1.
规律方法 待定系数法求函数解析式：
已知所要求的f(x)的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式.
【训练2】 (1)已知函数f(x＋1)＝3x＋2，求f(x)；
(2)已知f＝x2＋，求f(x)；
(3)已知f(x)＋2f＝x(x≠0)，求f(x).
解 (1)法一(换元法) 令x＋1＝t，∴x＝t－1，
∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，∴f(x)＝3x－1.
法二(配凑法)f(x＋1)＝3x＋2＝3(x＋1)－1，
∴f(x)＝3x－1.
(2)∵f＝x2＋＝＋2，
令t＝x－，
∴f(t)＝t2＋2，∴f(x)＝x2＋2.
(3)∵f(x)＋2f＝x，
∴用代替x得f＋2f(x)＝，
消去f得f(x)＝－(x≠0)，
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝－(x≠0).
题型三 分段函数求值问题
解决此问题的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段就用哪一段的解析式
【例3】 已知函数f(x)＝求f(－5)，f(1)，f.
解 由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2，2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(1)＝3×1＋5＝8，f＝f＝f＝3×＋5＝.
【迁移1】 (变换所求)例3条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值.
解 当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去；当－2
【迁移2】 (变换所求)例3的条件不变，若f(x)>2x，求x的取值范围.
解 当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x，即x<1，所以x≤－2；
当－22x可化为3x＋5>2x，即x>－5，所以－2当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，则x∈?.
综上可得，x的取值范围是{x|x<2}.
规律方法 1.求分段函数函数值的方法
(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间.
(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.
当出现f[f(x0)]的形式时，应从内到外依次求值.
2.已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.
【训练3】 (1)f(x)＝则f(5)的值是( )
A.24 B.21
C.18 D.16
(2)已知f(x)＝若f(a)<－3，则a的取值范围为( )
A.(－3，＋∞) B.[－3，＋∞)
C.(－∞，－3) D.(－∞，－3]
解析 (1)f(5)＝f[f(10)]，f(10)＝f[f(15)]＝f(18)＝21，∴f(5)＝f(21)＝24.故选A.
(2)当a≤－2时，a<－3，∴a<－3；
当－2当a≥4时，3a<－3，a<－1，此时不等式无解，故选C.
答案 (1)A (2)C
题型四 分段函数的图像与应用
【例4】 (1)已知f(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式为________.
(2)已知函数f(x)＝1＋(－2①用分段函数的形式表示函数f(x)；②画出函数f(x)的图像；③写出函数f(x)的值域.
(1)解析 当0≤x≤1时，f(x)＝－1；
当1则解得此时f(x)＝x－2.
综上，f(x)＝
答案 f(x)＝
(2)解 ①当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，
当－2所以f(x)＝
②函数f(x)的图像如图所示.
③由(2)知，f(x)在(－2，2]上的值域为[1，3).
规律方法 1.由分段函数的图像确定函数解析式的步骤
(1)定类型：根据自变量在不同范围内图像的特点，先确定函数的类型.
(2)设函数式：设出函数的解析式.
(3)列方程(组)：根据图像中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式.
(4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围.
2.作分段函数图像的注意点
作分段函数的图像时，定义域内各分界点处的取值情况决定着图像在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点.
【训练4】 已知f(x)＝
(1)画出f(x)的图像；
(2)求f(x)的值域.
解 (1)利用描点法，作出f(x)的图像，如图所示.
(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.
由图像知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0，1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0，1].
一、素养落地
1.通过本节课的学习，学会有逻辑地思考问题，并增强交流能力，重点提升学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理素养.
2.函数三种表示法的优缺点
3.分段函数是一个函数，而不是几个函数，只是对于x的不同取值区间，有着不同的对应关系.
二、素养训练
1.已知函数f(x)由下表给出，则f(11)＝( )
x
05≤x<10
10≤x<15
15≤x≤20
y
2
3
4
5
A.2 B.3
C.4 D.5
解析 由表可知f(11)＝4.
答案 C
2.已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是( )
A.f(x)＝x2＋6x B.f(x)＝x2＋8x＋7
C.f(x)＝x2＋2x－3 D.f(x)＝x2＋6x－10
解析 法一 设t＝x－1，则x＝t＋1.∵f(x－1)＝x2＋4x－5，∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.
法二 ∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)，
∴f(x)＝x2＋6x，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.
故选A.
答案 A
3.已知函数f(x)由下表给出，则f[f(3)]＝________.
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1
解析 由题设给出的表知f(3)＝4，则f[f(3)]＝f(4)＝1，故填1.
答案 1
4.已知f(x)是一次函数，若f[f(x)]＝4x＋8，则f(x)的解析式为________.
解析 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a2x＋ab＋b.
又f[f(x)]＝4x＋8，
∴解得或
∴f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8.
答案 f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8
5.已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2).
(1)画出f(x)图像的简图；
(2)根据图像写出f(x)的值域.
解 (1)f(x)图像的简图如图所示.
(2)观察f(x)的图像可知，f(x)图像上所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，则f(x)的值域是[－1，3].
基础达标
一、选择题
1.设函数f(x)＝则f的值为( )
A. B.－
C. D.18
解析 当x>1时，f(x)＝x2＋x－2，则f(2)＝22＋2－2＝4，∴＝.当x≤1时，f(x)＝1－x2，
∴f＝f＝1－＝.故选A.
答案 A
2.已知f(1－2x)＝，则f的值为( )
A.4 B.
C.16 D.
解析 根据题意令1－2x＝，解得x＝，故＝16，即f＝16.
答案 C
3.已知函数f(x)＝则函数f(x)的图像是( )
解析 当x＝－1时，y＝0，即图像过点(－1，0)，D错；当x＝0时，y＝1，即图像过点(0，1)，C错；当x＝1时，y＝2，即图像过点(1，2)，B错.故选A.
答案 A
4.已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图像是如图所示的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f[g(2)]＝( )
x
1
2
3
f(x)
2
3
0
A.3 B.2
C.1 D.0
解析 由题图知g(2)＝1，∴f[g(2)]＝f(1)＝2.故选B.
答案 B
5.设x∈R，定义符号函数sgn x＝则( )
A.x＝－x|sgn x| B.x＝－xsgn|x|
C.|x|＝|x|sgn x D.|x|＝xsgn x
解析 对于选项A，右边＝－x|sgn x|＝而左边＝x，显然不正确；对于选项B，右边＝－xsgn |x|＝而左边＝x，显然不正确；对于选项C，右边＝|x|sgn x＝而左边＝|x|＝显然不正确；对于选项D，右边＝xsgn x＝而左边＝|x|＝显然正确.故选D.
答案 D
二、填空题
6.若函数f(x)＝则f{f[f(－2 018)]}＝________.
解析 f(－2 018)＝0，∴f[f(－2 018)]＝f(0)＝π，
∴f{f[f(－2 018)]}＝f(π)＝π2＋1.
答案 π2＋1
7.已知f(x)＝若f(x0)＝8，则x0＝______.
解析 当x0≤2时，f(x0)＝x＋2＝8，即x＝6，
∴x0＝－或x0＝(舍).
当x0>2时，f(x0)＝2x0＝8，∴x0＝4.
综上，x0＝－或4.
答案 －或4
8.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f[g(1)]的值为________；满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是________.
解析 由表中对应值，知f[g(1)]＝f(3)＝1.
当x＝1时，f[g(1)]＝1，g[f(1)]＝g(1)＝3，不满足条件；
当x＝2时，f[g(2)]＝f(2)＝3，g[f(2)]＝g(3)＝1，满足条件；
当x＝3时，f[g(3)]＝f(1)＝1，g[f(3)]＝g(1)＝3，不满足条件；
所以满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是2.
答案 1 2
三、解答题
9.求下列函数的解析式：
(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；
(2)已知f(1＋)＝x－2－1，求f(x).
(3)已知f＝x2＋，求f(x).
(4)若2f(x)＋f＝2x＋(x≠0)，求f(x).
解 (1)设x＋1＝t，则x＝t－1，
∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，
∴f(x)＝x2－5x＋6，
(2)设1＋＝t(t≥1)，则＝t－1，
∴f(t)＝(t－1)2－2(t－1)－1＝t2－4t＋2，
∴f(x)＝x2－4x＋2(x≥1).
(3)f＝x2＋＝－2，
∴f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2).
(4)∵2f(x)＋f＝2x＋(x≠0)，①
∴用代替x，得2f＋f(x)＝＋，②
①×2－②得3f(x)＝4x－＋，
∴f(x)＝x－＋(x≠0).
10.已知函数f(x)＝
(1)求f(－1)，f，f(4)的值；
(2)求函数的定义域、值域.
解 (1)易知f(－1)＝0，f＝－×＝－，f(4)＝3.
(2)作出图像如图所示.利用数形结合易知f(x)的定义域为[－1，＋∞)，值域为(－1，2]∪{3}.
能力提升
11.已知f(x)＝x2－bx＋c且f(1)＝0，f(2)＝－3.
(1)求f(x)的函数解析式；
(2)求f的表达式及其定义域.
解 (1)由得
解得b＝6，c＝5，
故f(x)＝x2－6x＋5.
(2)由(1)知f＝－＋5，
由x＋1>0得x>－1，
即f的定义域为(－1，＋∞).
12.给定函数f(x)＝4－x2，g(x)＝3x，x∈R.
(1)画出函数f(x)，g(x)的图像；
(2)?x∈R，用m(x)表示f(x)，g(x)中的较小者，记为m(x)＝min{f(x)，g(x)}，请分别用图像法和解析法表示函数m(x).
解 (1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图像，如图.
(2)结合函数m(x)的定义，可得到m(x)的图像如图.
由4－x2＝3x，
得x＝－4或x＝1，
结合m(x)的图像，
得m(x)的解析式为
m(x)＝
课件41张PPT。第二课时 函数的表示方法教材知识探究(1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值为380千米/时.若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式.
(2)如图是我国人口出生率变化曲线：(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表问题 根据初中学过的知识，说出问题(1)、(2)、(3)分别是用什么法表示函数的？
提示 解析法、图像法和列表法.1.函数的三种表示方法函数的定义中，对应关系有哪三种表达形式(1)解析法：在函数y＝f(x)中，如果f(x)是用 来表示的，这种表示函数的方法称为解析法.
(2)列表法：用 的形式给出了函数的对应关系，这种表示函数的方法称为列表法.
(3)图像法
①函数图像：一般地，将函数y＝f(x)，x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x，y)组成的集合F称为函数的图像，即F＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}.代数式(或解析式)列表②图像上点的坐标与函数的关系：如果F是函数y＝f(x)的图像，则图像上任意一点的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f(x)；反之，满足函数关系y＝f(x)的点(x，y)都在函数图像F上.
③图像法：用函数的 表示函数的方法称为图像法.
④作函数图像的方法
ⅰ.描点作图法：实际作图时，经常先描出函数图像上一些有代表性的点，然后再根据有关性质作出函数图像，这称为描点作图法.其步骤是 .图像列表、描点、连线ⅱ.变换作图法图像的变换不简单2.分段函数与常数函数(1)分段函数：如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的 方式，则称其为分段函数.
(2)常数函数：值域只有 元素的函数，这类函数通常称为常数函数.也就是说，常数函数中所有自变量对应的函数值都相等.对应一个教材拓展补遗
[微判断]
1.任何一个函数都可以用列表法表示.( )
提示 如果函数的定义域是连续的数集，则该函数就不能用列表法表示.
2.任何一个函数都可以用图像法表示.( )××3.函数的图像一定是其定义域上的一条连续不断的曲线.( )×4.分段函数是一个函数.( )√5.函数f(x)＝x＋1与g(x)＝x＋1(x∈N)的图像相同.( )
提示 两函数的定义域不同，则图像不同.
6.若f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)＝3x－1.( )×√[微训练]
1.函数f(x)＝3x－1，x∈[1，5]的图像是( )
A.直线 B.射线
C.线段 D.离散的点
解析 ∵f(x)＝3x－1为一次函数，图像为一条直线，而x∈[1，5]，则此时图像为线段.故选C.
答案 C3.下列函数中不满足f(2x)＝2f(x)的是( )
A.f(x)＝|x| B.f(x)＝x－|x|
C.f(x)＝x＋1 D.f(x)＝－x
解析 验证法.若f(x)＝x＋1，则f(2x)＝2x＋1，而2f(x)＝2(x＋1)＝2x＋2，则f(2x)≠2f(x)，故选C.
答案 C[微思考]
1.是否所有的函数都有三种表示方法呢？
提示 不是，有些函数无法写出其解析式.
2.函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等，那么判断一个图形是不是函数图像的依据是什么？
提示 要检验一个图形是否为某个函数的图像，其方法为：在定义域内任取一个x值作垂直于x轴的直线，若此直线与图形有唯一交点，则图形为在此定义域内的函数图像；若无交点或多于1个交点，则不是函数图像.题型一【例1】 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来.三种表示法的应用解 (1)列表法：(2)图像法：(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}.规律方法 理解函数表示法的三个关注点
(1)列表法、图像法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念.
(2)列表法更直观形象，图像法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数.
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主.【训练1】 将一条长为10 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形.试用多种方法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝长x(x∈N*)的函数关系.解 这个函数的定义域为{x|1≤x<10，x∈N*}.②列表法：③图像法：题型二 求函数解析式
方向1【例2－1】 求下列函数的解析式：换元法(配凑法)、方程组法求函数解析式换元法要注意新元的取值范围，否则易弄错函数定义域解 (1)f(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，∴f(x)＝2x－1.所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1).规律方法 1.已知f[g(x)]＝h(x)求f(x)，常用的有两种方法：
(1)换元法，即令t＝g(x)解出x，代入h(x)中得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围.
(2)配凑法，即从f[g(x)]的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可.
2.方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.方向2 用待定系数法求函数解析式
【例2－2】 (1)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝16x－25，求f(x)；
(2)已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x).解 (1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，规律方法 待定系数法求函数解析式：
已知所要求的f(x)的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式.【训练2】 (1)已知函数f(x＋1)＝3x＋2，求f(x)；解 (1)法一(换元法) 令x＋1＝t，∴x＝t－1，
∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，∴f(x)＝3x－1.
法二(配凑法)f(x＋1)＝3x＋2＝3(x＋1)－1，
∴f(x)＝3x－1.题型三分段函数求值问题解决此问题的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段就用哪一段的解析式【迁移1】 (变换所求)例3条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值.【迁移2】 (变换所求)例3的条件不变，若f(x)>2x，求x的取值范围.解 当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x，即x<1，所以x≤－2；
当－22x可化为3x＋5>2x，即x>－5，所以－2当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，则x∈?.
综上可得，x的取值范围是{x|x<2}.规律方法 1.求分段函数函数值的方法
(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间.
(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.
当出现f[f(x0)]的形式时，应从内到外依次求值.
2.已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.解析 (1)f(5)＝f[f(10)]，f(10)＝f[f(15)]＝f(18)＝21，∴f(5)＝f(21)＝24.故选A.
(2)当a≤－2时，a<－3，∴a<－3；
当－2当a≥4时，3a<－3，a<－1，此时不等式无解，故选C.
答案 (1)A (2)C题型四【例4】 (1)已知f(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式为________.分段函数的图像与应用①用分段函数的形式表示函数f(x)；②画出函数f(x)的图像；③写出函数f(x)的值域.②函数f(x)的图像如图所示.③由(2)知，f(x)在(－2，2]上的值域为[1，3).规律方法 1.由分段函数的图像确定函数解析式的步骤
(1)定类型：根据自变量在不同范围内图像的特点，先确定函数的类型.
(2)设函数式：设出函数的解析式.
(3)列方程(组)：根据图像中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式.
(4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围.
2.作分段函数图像的注意点
作分段函数的图像时，定义域内各分界点处的取值情况决定着图像在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点.解 (1)利用描点法，作出f(x)的图像，如图所示.(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.
由图像知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0，1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0，1].一、素养落地
1.通过本节课的学习，学会有逻辑地思考问题，并增强交流能力，重点提升学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理素养.
2.函数三种表示法的优缺点3.分段函数是一个函数，而不是几个函数，只是对于x的不同取值区间，有着不同的对应关系.二、素养训练
1.已知函数f(x)由下表给出，则f(11)＝( )A.2 B.3
C.4 D.5
解析 由表可知f(11)＝4.
答案 C2.已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是( )A.f(x)＝x2＋6x B.f(x)＝x2＋8x＋7
C.f(x)＝x2＋2x－3 D.f(x)＝x2＋6x－10
解析 法一 设t＝x－1，则x＝t＋1.∵f(x－1)＝x2＋4x－5，∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.
法二 ∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)，
∴f(x)＝x2＋6x，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.
故选A.
答案 A3.已知函数f(x)由下表给出，则f[f(3)]＝________.解析 由题设给出的表知f(3)＝4，则f[f(3)]＝f(4)＝1，故填1.
答案 14.已知f(x)是一次函数，若f[f(x)]＝4x＋8，则f(x)的解析式为________.解析 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a2x＋ab＋b.
又f[f(x)]＝4x＋8，5.已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2).(1)画出f(x)图像的简图；
(2)根据图像写出f(x)的值域.解 (1)f(x)图像的简图如图所示.(2)观察f(x)的图像可知，f(x)图像上所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，则f(x)的值域是[－1，3].