1.4 充分条件与必要条件
1.4.1 充分条件与必要条件
课标要求
素养要求
1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.
2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.
通过对必要条件、充分条件的学习和理解，体会必要条件、充分条件等常用逻辑用语在数学表达、论证等方面的作用，重点提升逻辑推理素养与数学抽象素养.
教材知识探究
某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯.这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示.
问题 (1)A开关闭合时B灯一定亮吗？
(2)B灯亮时A开关一定闭合吗？
提示 (1)一定亮.
(2)不一定，还可能是C开关闭合.
1.充分条件与必要条件 区分概念中充分条件与必要条件的推出符号的箭头方向
(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p?q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.
(2)如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p?/ q，此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.
2.判定定理和性质定理与充分条件、必要条件的关系
(1)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.
(2)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.
教材拓展补遗
[微判断]
1.若p是q的充分条件，则p是唯一的.(×)
提示 不是唯一的，使结论成立的条件有多个.
2.“若q，则p”是真命题，则p是q的必要条件.(√)
3.“x＝3”是“x2＝9”的充分条件.(√)
4.“ab>0”是“a>0，b>0”的必要条件.(√)
[微训练]
1.“x>2”是“x>3”的________条件(填“充分”或“必要”).
答案 必要
2.“a＝b”是“ac＝bc”的______条件(填“充分”或“必要”).
答案 充分
[微思考]
你能将下面的性质定理写成“若p，则q”的形式，并用必要条件的语言表述吗？
(1)平行四边形的对角线相互平分；
(2)菱形的对角线互相垂直.
提示 (1)“平行四边形的对角线相互平分”可表述为“若平面四边形为平行四边形，则它的对角线相互平分”，所以“对角线相互平分”是“平面四边形是平行四边形”的必要条件.
(2)“菱形的对角线互相垂直”可表述为“若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直”，所以“对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要条件.
题型一 命题真假的判断 命题是可以判断真假的陈述句
【例1】 判断下列命题的真假：
(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；
(2)若x∈N，则x3>x2成立；
(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；
(4)存在一个三角形没有外接圆.
解 (1)假命题.反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2.
(2)假命题.反例：当x＝0时，x3>x2不成立.
(3)真命题.∵m>1?Δ＝4－4m<0，
∴方程x2－2x＋m＝0无实数根.
(4)假命题.因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆.
规律方法 要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.
【训练1】 下列命题：
①若xy＝1，则x，y互为倒数；
②平面内，四条边相等的四边形是正方形；
③平行四边形是梯形；
④若ac2>bc2，则a>b.
其中真命题的序号是________(填序号).
解析 ①④是真命题，②平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，③平行四边形不是梯形.
答案 ①④
题型二 充分条件、必要条件的判
【例2】 给出下列四组命题：
(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
(3)p：A?B，q：A∩B＝A；
(4)p：a>b，q：ac>bc.
试分别指出p是q的什么条件.
解 (1)∵两个三角形相似?/ 两个三角形全等，但两个三角形全等?两个三角形相似，
∴p是q的必要条件但不是充分条件.
(2)∵矩形的对角线相等，∴p?q，
而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q?p.
∴p是q的充分条件但不是必要条件.
(3)∵p?q且q?p，
∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件.
(4)∵p?q，且q?p，
∴p是q的既不是充分条件，也不是必要条件.
规律方法 一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题.要判断p是不是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是不是q的必要条件，就要看q能否推出p.
【训练2】 指出下列哪些命题中p是q的充分条件？
(1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB.
(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.
(3)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)·(x－2)＝0.
解 (1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C?AC>AB，所以p是q的充分条件.
(2)对于实数x，y，因为x＝2且y＝6?x＋y＝8，
所以由x＋y≠8?x≠2或y≠6，
故p是q的充分条件.
(3)由x＝1?(x－1)(x－2)＝0，
故p是q的充分条件.
故(1)(2)(3)命题中p是q的充分条件.
题型三 根据必要条件(充分条件)求参数的范围
【例3】 (1)已知P＝{x|a－4
(2)已知p：a≤x≤a＋1，q：0解析 (1)因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q?P，
所以即
所以－1≤a≤5.
(2)令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|0∵p是q的充分条件但不是必要条件，∴M?N，
∴解得0答案 (1){a|－1≤a≤5} (2){a|0规律方法 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.
【训练3】 (1)若“x2或x<1”的充分条件但不是必要条件，求m的取值范围.
(2)已知p：x<－3或x>1，q：x>a，且q是p的充分条件但不是必要条件，求a的取值范围.
解 (1)由已知条件知{x|x2或x<1}.
∴m≤1.
(2)由已知条件得{x|x>a}?{x|x<－3或x>1}，∴a≥1.
一、素养落地
1.通过学习充分条件与必要条件的概念提升数学抽象素养，通过判断充分条件与必要条件及其应用培养逻辑推理素养.
2.充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断.
(2)利用集合间的包含关系进行判断.
3.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，注意转化与化归思想的应用.
二、素养训练
1.若p：a∈M∪N，q：a∈M，则p是q的( )
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既是充分条件，也是必要条件
D.既不是充分条件，也不是必要条件
解析 由a∈M∪N?a∈M，但a∈M?a∈M∪N，即p?q，但q?p.
答案 B
2.“－21或x<－1”的( )
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既不是充分条件，也不是必要条件
D.既是充分条件，也是必要条件
解析 ∵－21或x<－1，且x>1或x<－1?－21或x<－1”的既不是充分条件，也不是必要条件.
答案 C
3.“a>b”是“a>|b|”的( )
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既是充分条件，也是必要条件
D.既不是充分条件，也不是必要条件
解析 由a>|b|?a>b，而a>b推不出a>|b|.
答案 B
4.若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既不是充分条件，也不是必要条件
D.无法判断
解析 当a＝1时，|a|＝1成立，
但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立.
∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件.
答案 A
5.若“x>m”是“x>3或x<1”的充分条件但不是必要条件，求m的取值范围.
解 由已知条件，知{x|x>m}?{x|x>3或x<1}.∴m≥3.
三、审题答题
示范(一) 利用充分条件(必要条件)求参数范围
【典型示例】 (12分)已知条件p：x<1－a或x>1＋a①和条件q：x<或x>1②，求使p是q的充分条件但不是必要条件③的最小正整数a④.
联想解题
看到①转化成集合形式.
看到②转化成集合形式.
看到③想到需转化为条件p与条件q对应集合间的包含关系，然后建立关于a的不等式组求解.
看到④想到求出的是a的一个范围，然后在此基础上求出最小正整数a.
满分示范
解 依题意a＞0.由条件p：x<1－a或x>1＋a，
可设M＝{x|x<1－a或x>1＋a}，1分
由条件q：x<或x>1，可设N＝{x|x<或x>1}.2分
要使p是q的充分条件但不是必要条件，则M?N，应有或
解得a≥.10分
令a＝1，则M＝{x|x<0或x>2}?N＝{x|x<或x>1}.
即p?q，反之不成立.
∴a＝1.12分
满分心得
解本题的关键是条件“p是q的充分条件但不是必要条件”的转化，利用两个解集间的包含关系建立不等关系求解.
基础达标
一、选择题
1.设p：x<3，q：－1A.既是充分条件，又是必要条件
B.充分条件但不是必要条件
C.必要条件但不是充分条件
D.既不是充分条件，也不是必要条件
解析 因为{x|－1答案 C
2.下列语句是命题的是( )
A.今天天气真好啊！
B.你怎么又没交作业？
C.x>2
D.方程x2＋2x＋3＝0无实根
解析 A是一个感叹句，不能判断真假，所以不是命题；B是问句，不能判断真假，不是命题；C不知道x的值是多少，所以不能判断真假，不是命题；D是真命题.
答案 D
3.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既是充分条件，也是必要条件
D.既不是充分条件，也不是必要条件
解析 x≥2且y≥2可以推出x2＋y2≥4，但x＝1且y＝3满足x2＋y2≥4但不满足x≥2且y≥2，故选A.
答案 A
4.设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分条件但不是必要条件是( )
A.x＋y＝2 B.x＋y>2
C.x2＋y2>2 D.xy>1
解析 对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但命题不成立，也不符合题意.
答案 B
5.下列说法正确的是( )
A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B.语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题
C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D.“x＝2时，x2－3x＋2＝0”是真命题
解析 命题“直角相等”写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A错误；语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是陈述句，而且可以判断真假，故该语句是命题，所以选项B错误；选项C错误，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”；选项D正确.
答案 D
二、填空题
6.设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的________条件.
解析 若“四边形ABCD为菱形”，则“对角线AC⊥BD”成立；而若“对角线AC⊥BD”成立，则“四边形ABCD不一定为菱形”，所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件但不是必要条件.
答案 充分条件但不是必要
7.已知a，b都是实数，那么“>”是“|a|>|b|”的________条件.
解析 >可得a>b≥0可以推出|a|>|b|，但|a|>|b|不可以推出>.
答案 充分条件但不是必要
8.下列不等式：
①x<1；②0其中，可以作为|x|<1的一个充分条件的所有序号为_____________________.
解析 由于|x|<1即－1答案 ②③④
三、解答题
9.判断下列语句中哪些是命题，是真命题还是假命题：
(1)末位是0的整数能被5整除；
(2)平行四边形的对角线相等且互相平分；
(3)对顶角相等；
(4)二次函数的图象一定开口向上吗？
解 (1)是命题，真命题；(2)是命题，假命题.因为平行四边形的对角线不一定相等；(3)是命题，真命题；(4)不是命题，因为该语句不是陈述句.
10.下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；
(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝.
解 (1)∵a＋b＝0?a2＋b2＝0，
a2＋b2＝0?a＋b＝0.
∴p是q的必要条件但不是充分条件.
(2)∵四边形的对角线相等?四边形是矩形，
四边形是矩形?四边形的对角线相等.
∴p是q的必要条件但不是充分条件.
(3)∵x＝1或x＝2?x－1＝，
x－1＝?x＝1或x＝2，
∴p是q的充分条件，也是必要条件.
能力提升
11.已知M＝{x|a－1解 ∵M是N的充分条件但不是必要条件，∴M?N，
∴或
解得－2≤a≤7.
故a的取值范围是{a|－2≤a≤7}.
12. 是否存在实数p，使4x＋p<0是x>2或x<－1的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由.
解 令A＝{x|x>2或x<－1}.
由4x＋p<0，得B＝.
当B?A时，即－≤－1，即p≥4，
此时x<－≤－1?x>2或x<－1，
∴当p≥4时，4x＋p<0是x>2或x<－1的充分条件.
课件28张PPT。1.4 充分条件与必要条件
1.4.1 充分条件与必要条件教材知识探究某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯.这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示.
问题 (1)A开关闭合时B灯一定亮吗？
(2)B灯亮时A开关一定闭合吗？
提示 (1)一定亮.
(2)不一定，还可能是C开关闭合.1.区分概念中充分条件与必要条件的推出符号的箭头方向(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p?q，并且说p是q的 ，q是p的 .
(2)如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p?q，此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.2.判定定理和性质定理与充分条件、必要条件的关系
(1)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.
(2)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.充分条件与必要条件充分条件必要条件教材拓展补遗
[微判断]
1.若p是q的充分条件，则p是唯一的.( )
提示 不是唯一的，使结论成立的条件有多个.
2.“若q，则p”是真命题，则p是q的必要条件.( )
3.“x＝3”是“x2＝9”的充分条件.( )
4.“ab>0”是“a>0，b>0”的必要条件.( )×√√√[微训练]
1.“x>2”是“x>3”的________条件(填“充分”或“必要”).
答案 必要
2.“a＝b”是“ac＝bc”的______条件(填“充分”或“必要”).
答案 充分[微思考]
你能将下面的性质定理写成“若p，则q”的形式，并用必要条件的语言表述吗？
(1)平行四边形的对角线相互平分；
(2)菱形的对角线互相垂直.
提示 (1)“平行四边形的对角线相互平分”可表述为“若平面四边形为平行四边形，则它的对角线相互平分”，所以“对角线相互平分”是“平面四边形是平行四边形”的必要条件.
(2)“菱形的对角线互相垂直”可表述为“若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直”，所以“对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要条件.命题命题是可以判断真假的陈述句【例1】 判断下列命题的真假：
(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；
(2)若x∈N，则x3>x2成立；
(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；
(4)存在一个三角形没有外接圆.题型一 真假的判断解 (1)假命题.反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2.
(2)假命题.反例：当x＝0时，x3>x2不成立.
(3)真命题.∵m>1?Δ＝4－4m<0，
∴方程x2－2x＋m＝0无实数根.
(4)假命题.因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆.规律方法 要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.【训练1】 下列命题：
①若xy＝1，则x，y互为倒数；
②平面内，四条边相等的四边形是正方形；
③平行四边形是梯形；
④若ac2>bc2，则a>b.
其中真命题的序号是________(填序号).
解析 ①④是真命题，②平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，③平行四边形不是梯形.
答案 ①④题型二 【例2】 给出下列四组命题：
(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
(3)p：A?B，q：A∩B＝A；
(4)p：a>b，q：ac>bc.
试分别指出p是q的什么条件.充分条件、必要条件的判断 解 (1)∵两个三角形相似?两个三角形全等，但两个三角形全等?两个三角形相似，
∴p是q的必要条件但不是充分条件.
(2)∵矩形的对角线相等，∴p?q，
而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q?p.
∴p是q的充分条件但不是必要条件.
(3)∵p?q且q?p，
∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件.
(4)∵p?q，且q?p，
∴p是q的既不是充分条件，也不是必要条件.规律方法 一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题.要判断p是不是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是不是q的必要条件，就要看q能否推出p.【训练2】 指出下列哪些命题中p是q的充分条件？
(1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB.
(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.
(3)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)·(x－2)＝0.
解 (1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C?AC>AB，所以p是q的充分条件.
(2)对于实数x，y，因为x＝2且y＝6?x＋y＝8，
所以由x＋y≠8?x≠2或y≠6，
故p是q的充分条件.
(3)由x＝1?(x－1)(x－2)＝0，
故p是q的充分条件.
故(1)(2)(3)命题中p是q的充分条件.题型三 根据必要条件(充分条件)求参数的范围
【例3】 (1)已知P＝{x|a－4解析 (1)因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q?P，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以－1≤a≤5.
(2)令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|0∵p是q的充分条件但不是必要条件，∴M?N，答案 (1){a|－1≤a≤5} (2){a|02或x<1”的充分条件但不是必要条件，求m的取值范围.
(2)已知p：x<－3或x>1，q：x>a，且q是p的充分条件但不是必要条件，求a的取值范围.
解 (1)由已知条件知{x|x2或x<1}.
∴m≤1.
(2)由已知条件得{x|x>a}?{x|x<－3或x>1}，∴a≥1.1.通过学习充分条件与必要条件的概念提升数学抽象素养，通过判断充分条件与必要条件及其应用培养逻辑推理素养.
2.充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断.
(2)利用集合间的包含关系进行判断.
3.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，注意转化与化归思想的应用.二、素养训练
1.若p：a∈M∪N，q：a∈M，则p是q的( )
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既是充分条件，也是必要条件
D.既不是充分条件，也不是必要条件解析 由a∈M∪N?a∈M，但a∈M?a∈M∪N，即p?q，但q?p.
答案 B2.“－21或x<－1”的( )
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既不是充分条件，也不是必要条件
D.既是充分条件，也是必要条件
解析 ∵－21或x<－1，且x>1或x<－1?－21或x<－1”的既不是充分条件，也不是必要条件.
答案 C3.“a>b”是“a>|b|”的( )
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既是充分条件，也是必要条件
D.既不是充分条件，也不是必要条件
解析 由a>|b|?a>b，而a>b推不出a>|b|.
答案 B4.若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既不是充分条件，也不是必要条件
D.无法判断
解析 当a＝1时，|a|＝1成立，
但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立.
∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件.
答案 A5.若“x>m”是“x>3或x<1”的充分条件但不是必要条件，求m的取值范围.
解 由已知条件，知{x|x>m}?{x|x>3或x<1}.∴m≥3.三、审题答题
示范(一) 利用充分条件(必要条件)求参数范围【典型示例】 (12分)已知p是q的充分条件但不是必要条件③的最小正整数a④.联想解题
看到①转化成集合形式.
看到②转化成集合形式.
看到③想到需转化为条件p与条件q对应集合间的包含关系，然后建立关于a的不等式组求解.看到④想到求出的是a的一个范围，然后在此基础上求出最小正整数a.
和条件q：求使满分示范
解 依题意a＞0.由条件p：x<1－a或x>1＋a，
可设M＝{x|x<1－a或x>1＋a}，1分即p?q，反之不成立.∴a＝1.12分满分心得
解本题的关键是条件“p是q的充分条件但不是必要条件”的转化，利用两个解集间的包含关系建立不等关系求解.