1.4.2 充要条件
课标要求
素养要求
通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.
针对充要条件问题，通过几个数学定义的研究比较，学生经历梳理知识、提炼定义、感悟思想的学习过程，提升逻辑推理素养与数学抽象素养.
教材知识探究
主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了.”主人听了，随口说了句：“该来的没有来.”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了.主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了.”李四听了大怒，拂袖而去.
问题 请你用逻辑学原理解释二人离去的原因.
提示 张三走的原因是：“该来的没有来”的等价命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的.李四走的原因是：“不该走的又走了”的等价命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该走的.
1.逆命题
将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”称这个命题为原命题的逆命题.
2.充要条件 理解概念时要联系充分条件与必要条件的概念
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p?q，又有q?p，就记作p?q.
此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件，显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.
教材拓展补遗
[微判断]
1.若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.(√)
2.四边形是平行四边形的充要条件是四边形的两组对边分别相等.(√)
3.两个三角形相似的充要条件是两个三角形的三边对应成比例.(√)
4.xy>0是x>0，y>0的充要条件.(×)
提示 必要不充分条件.
[微训练]
1.“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的________条件.
解析 设命题p：(2x－1)x＝0，命题q：x＝0，则命题p：x＝0或x＝，故p是q的必要不充分条件.
答案 必要不充分
2.设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的________条件.
解析 当x>1时，x3>1，当x3>1时，x>1.
答案 充要
[微思考]
1.若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.这种说法对吗？
提示 正确.若p是q的充要条件，则p?q，即p等价于q，故此说法正确.
2.“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
提示 (1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.
(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.
题型一 充要条件的判断与探求
【例1】 判断下列各题中，p是否为q的充要条件？
(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；
(2)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
(3)p：|x|>3，q：x2>9.
解 (1)在△ABC中，显然有∠A>∠B?BC>AC，
所以p是q的充要条件.
(2)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p?q；
若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q?p，故p?q，
所以p是q的充要条件.
(3)由于p：|x|>3?q：x2>9，所以p是q的充要条件.
规律方法 1.判断p是q的充分必要条件，主要是判断p?q及q?p这两个命题是否成立.若p?q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q?p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件.
2.在已知充要条件的前提下，充分条件是不确定的，只要保证是充要条件的一个子集即可，而充分不必要条件应为充要条件的一个真子集.
【训练1】 (1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是( )
A.ab＝0 B.ab>0
C.a2＋b2＝0 D.a2＋b2>0
解析 a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.
答案 D
(2)设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则A?(A∩B)的充要条件为________；一个充分不必要条件可为________.
解析 A?(A∩B)?A?B，B＝{x|3≤x≤22}.
若A＝?，则2a＋1>3a－5，解得a<6；
若A≠?，则A?B??6≤a≤9.
综上可知，A?(A∩B)的充要条件为a≤9；一个充分不必要条件可为6≤a≤9.
答案 a≤9 6≤a≤9(答案不唯一)
题型二 充要条件的证明
【例2】 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明 先证必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，则a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
再证充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0，故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
规律方法 一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q?p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p?q.
【训练2】 求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
证明 ①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，
x＝0时y＝0，函数图象过原点.
②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，所以x＝0时y＝0，得0＝k·0＋b，b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
题型三 递推法判断命题间的关系
【例3】 已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：
(1)s是q的什么条件？
(2)r是q的什么条件？
(3)p是q的什么条件？
解 由已知
可得，如图所示.
(1)由图可知s?q，且q?s，
∴s是q的充要条件；
(2)由图可知r?q且q?r，
∴r是q的充要条件；
(3)由图可知p?q而q?p，
则p是q的必要不充分条件.
规律方法 解决传递性问题的关键是画出推出的结构图，也可以考虑命题之间的关系.
充分、必要条件具有传递性，若A?B，B?C，则A?C；若A?B，B?C，则A?C.
【训练3】 如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )
A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C.丙是甲的充要条件
D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
解析 如图所示，∵甲是乙的必要条件，∴乙?甲.
又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，∴丙?乙，但乙?丙.
综上，有丙?乙?甲，甲?丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.
答案 A
一、素养落地
1.通过学习充要条件的概念培养数学抽象素养，通过判断充要条件提升逻辑推理素养.
2.充要条件的证明与探求
(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：
①p是q的充要条件，则由p?q证的是充分性，由q?p证的是必要性；
②p的充要条件是q，则由p?q证的是必要性，由q?p证的是充分性.
(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.
二、素养训练
1.“1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 A＝{x|1答案 A
2.“x2＋y2＝0”是“xy＝0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 “x2＋y2＝0”可化为“x＝0且y＝0”.故选A.
答案 A
3.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若x＝1，则x2－2x＋1＝0；若x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，则x＝1.故选A.
答案 A
4.设p：a，b都是偶数，q：a＋b是偶数，则p是q成立的( )
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 p?q，但q?p.
答案 B
5.关于x的不等式|x|>a的解集为R的充要条件是________.
解析 由题意知|x|>a恒成立，
∵|x|≥0，∴a<0.
答案 a<0
基础达标
一、选择题
1.设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 a2＋b2＝c2?△ABC为直角三角形，故选C.
答案 C
2.已知p：－2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 p：－2q：－1∵{x|－1∴p是q的必要不充分条件，选B.
答案 B
3.设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 当x>1且y>1时，x＋y>2，所以充分性成立；
令x＝－1，y＝4，则x＋y>2，但x<1，所以必要性不成立，
所以p是q的充分不必要条件.故选A.
答案 A
4.使“x∈”成立的一个充分不必要条件是( )
A.x≥0 B.x<0或x>2
C.x∈{－1，3，5} D.x≤－或x≥3
解析 选项中只有x∈{－1，3，5}是使“x∈
”成立的一个充分不必要条件.
答案 C
5.“x＝1”是“x∈{x|x≤a}”的充分条件，则实数a的取值范围为( )
A.a＝ B.a<
C.a<1 D.a≥1
解析 由题意，{1}是{x|x≤a}的子集，∴a≥1.故选D.
答案 D
二、填空题
6.p：两个三角形的三条边对应相等，q：两个三角形全等，则p是q的________条件.
解析 p?q，q?p，故p是q的充要条件.
答案 充要
7.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象不过第三象限的充要条件是________.
解析 如图所示，要使一次函数y＝kx＋b(k≠0)不过第三象限，则需k<0且b≥0.
答案 k<0且b≥0
8.“a>1”是“<1”的________条件.
解析 若a>1，则<1，反之要<1，当a<0时也成立，不能推出a>1.
答案 充分不必要
三、解答题
9.指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答).
(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c.
解 (1)x－3＝0?(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0?/ x－3＝0，故p是q的充分不必要条件.
(2)两个三角形相似?/ 两个三角形全等，但两个三角形全等?两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件；
(3)a>b?a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c?a>b，故p是q的充要条件.
10.不等式3x＋a≥0成立的充要条件为x≥2，求a的值.
解 3x＋a≥0化为x≥－.
由题意＝{x|x≥2}，
所以－＝2，a＝－6.
能力提升
11.已知P＝{x|－2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围.
解 ∵x∈P是x∈S的必要条件，
则S?P.
∴解得m≤3.
又∵S为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0.
综上，可知0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件.
12.已知a，b，c均为实数，证明“ac<0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件.
证明 充分性：∵ac<0，∴a≠0，∴方程ax2＋bx＋c＝0为一元二次方程，且Δ＝b2－4ac≥－4ac>0，∴ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，分别设为x1，x2.
∵ac<0，∴x1·x2＝<0，∴x1，x2为一正一负，即ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根.
必要性：∵ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，∴a≠0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0为一元二次方程.
设两个根分别为x1，x2，则x1·x2＝<0，∴ac<0.
综上知，“ac<0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件.
课件26张PPT。1.4.2 充要条件教材知识探究主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了.”主人听了，随口说了句：“该来的没有来.”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了.主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了.”李四听了大怒，拂袖而去.
问题 请你用逻辑学原理解释二人离去的原因.
提示 张三走的原因是：“该来的没有来”的等价命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的.李四走的原因是：“不该走的又走了”的等价命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该走的.1.逆命题
将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“ ”称这个命题为原命题的逆命题.
2.理解概念时要联系充分条件与必要条件的概念如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是 ，即既有p?q，又有q?p，就记作 .
此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 ，显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.充要条件若q,则p真命题p?q充要条件教材拓展补遗
[微判断]
1.若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.( )
2.四边形是平行四边形的充要条件是四边形的两组对边分别相等.( )
3.两个三角形相似的充要条件是两个三角形的三边对应成比例.( )
4.xy>0是x>0，y>0的充要条件.( )
提示 必要不充分条件.√√√×[微训练]
1.“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的________条件.答案 必要不充分2.设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的________条件.
解析 当x>1时，x3>1，当x3>1时，x>1.
答案 充要[微思考]
1.若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.这种说法对吗？
提示 正确.若p是q的充要条件，则p?q，即p等价于q，故此说法正确.2.“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
提示 (1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.
(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.题型一充要条件的判断与探求 【例1】 判断下列各题中，p是否为q的充要条件？
(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；
(2)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
(3)p：|x|>3，q：x2>9.解 (1)在△ABC中，显然有∠A>∠B?BC>AC，
所以p是q的充要条件.
(2)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p?q；
若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q?p，故p?q，
所以p是q的充要条件.
(3)由于p：|x|>3?q：x2>9，所以p是q的充要条件.规律方法 1.判断p是q的充分必要条件，主要是判断p?q及q?p这两个命题是否成立.若p?q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q?p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件.
2.在已知充要条件的前提下，充分条件是不确定的，只要保证是充要条件的一个子集即可，而充分不必要条件应为充要条件的一个真子集.【训练1】 (1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是( )
A.ab＝0 B.ab>0
C.a2＋b2＝0 D.a2＋b2>0
解析 a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.
答案 D(2)设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则A?(A∩B)的充要条件为________；一个充分不必要条件可为________.解析 A?(A∩B)?A?B，B＝{x|3≤x≤22}.
若A＝?，则2a＋1>3a－5，解得a<6；综上可知，A?(A∩B)的充要条件为a≤9；一个充分不必要条件可为6≤a≤9.
答案 a≤9 6≤a≤9(答案不唯一)充要条件的证明【例2】 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明 先证必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，则a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
再证充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0，故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.题型二 规律方法 一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q?p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p?q.【训练2】 求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
证明 ①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，
x＝0时y＝0，函数图象过原点.
②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，所以x＝0时y＝0，得0＝k·0＋b，b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.递推法判断命题间的关系【例3】 已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：
(1)s是q的什么条件？
(2)r是q的什么条件？
(3)p是q的什么条件？解 由已知可得，如图所示.
(1)由图可知s?q，且q?s，
∴s是q的充要条件；题型三(2)由图可知r?q且q?r，
∴r是q的充要条件；
(3)由图可知p?q而q?p，
则p是q的必要不充分条件.规律方法 解决问题的关键是画出推出的结构图，也可以考虑命题之间的关系.传递性充分、必要条件具有传递性，若A?B，B?C，则A?C；若A?B，B?C，则A?C.【训练3】 如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )
A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C.丙是甲的充要条件
D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
解析 如图所示，∵甲是乙的必要条件，∴乙?甲.又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，∴丙?乙，但乙?丙.
综上，有丙?乙?甲，甲?丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.答案 A一、素养落地
1.通过学习充要条件的概念培养数学抽象素养，通过判断充要条件提升逻辑推理素养.
2.充要条件的证明与探求
(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：
①p是q的充要条件，则由p?q证的是充分性，由q?p证的是必要性；
②p的充要条件是q，则由p?q证的是必要性，由q?p证的是充分性.
(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.二、素养训练
1.“1 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 A＝{x|1 答案 A2.“x2＋y2＝0”是“xy＝0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 “x2＋y2＝0”可化为“x＝0且y＝0”.故选A.
答案 A3.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若x＝1，则x2－2x＋1＝0；若x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，则x＝1.故选A.
答案 A4.设p：a，b都是偶数，q：a＋b是偶数，则p是q成立的( )
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 p?q，但q? p.
答案 B5.关于x的不等式|x|>a的解集为R的充要条件是________.
解析 由题意知|x|>a恒成立，
∵|x|≥0，∴a<0.
答案 a<0
