1.5 全称量词与存在量词
1.5.1 全称量词与存在量词
课标要求
素养要求
通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.
用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数学内容，重点提升数学抽象、逻辑推理素养.
教材知识探究
1.观察下面的两个语句，思考下列问题：
P：m≤5；
Q：对所有的m∈R，m≤5.
问题 (1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？
(2)常见的全称量词有哪些？(至少写出五个).
提示 (1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题.语句P是命题Q中的一部分.
(2)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等.
2.观察下面的两个语句，思考下列问题：
P：m>5；
Q：存在一个m0∈Z，m0>5.
问题 (1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？
(2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个).
提示 (1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题.语句P是命题Q中的一部分.
(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.
1.全称量词和全称量词命题 要记准概念中的关键词语，还要记住专用符号
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示.
(2)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.
(3)全称量词命题：含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x).
2.存在量词与存在量词命题
(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示.
(2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等.
(3)存在量词命题：含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x).
教材拓展补遗
[微判断]
1.“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题.(√)
2.存在量词命题“?x∈R，x2＜0”是真命题.(×)
提示 不存在x∈R，使得x2<0成立.
3.“三角形内角和是180°”是全称量词命题.(√)
4.?x∈R，x2＋1≥1是真命题.(√)
5.“对每一个无理数x，x2也是无理数”是真命题.(×)
提示 是无理数，但()2＝3是有理数.
[微训练]
用符号“?”表示下列存在量词命题：
(1)存在一个实数对(x，y)，使2x＋3y＋3<0成立；
(2)有些整数既能被2整除，又能被3整除；
(3)某个四边形不是平行四边形.
解 (1)?(x，y)∈{(x，y)|x∈R，y∈R}，2x＋3y＋3<0.
(2)?x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除.
(3)?x∈{x|x是四边形}，x不是平行四边形.
[微思考]
1.全称量词命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？
提示 元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“?x∈N，x≥0”.
2.在全称量词命题和存在量词命题中，量词是否可以省略？
提示 在存在量词命题中，量词不可以省略；在有些全称量词命题中，量词可以省略.
题型一 全称量词命题与存在量词命题的识别
【例1】 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的速度方向不定；
(3)对任意直角三角形的两锐角∠A，∠B，都有sin ∠A＝cos ∠B.
解 (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题.
(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题.
(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.
规律方法 判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.
【训练1】 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“?”或“?”表示下列命题：
(1)自然数的平方大于或等于零；
(2)有的一次函数图象经过原点；
(3)所有的二次函数的图象的开口都向上.
解 (1)全称量词命题.表示为?n∈N，n2≥0.
(2)存在量词命题.?一次函数，它的图象过原点.
(3)全称量词命题.?二次函数，它的图象的开口都向上.
题型二 全称量词命题与存在量词命题的真假的判断
【例2】 判断下列命题的真假.
(1)所有的素数都是奇数；
(2)任意矩形的对角线相等；
(3)存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0.
解 (1)2是素数，但2不是奇数.
所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题.
(2)是真命题.
(3)由于任意x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以存在量词命题“存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0”为假命题.
规律方法 判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言：
(1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则命题为假.
(2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x，使p(x)不成立即可.
【训练2】 判断下列命题的真假：
(1)有一些二次函数的图象过原点；
(2)?x∈R，2x2＋x＋1<0；
(3)?x∈R，x2>0.
解 (1)该命题中含有“有一些”，是存在量词命题.如y＝x2，其图象过原点，故该命题是真命题.
(2)该命题是存在量词命题.
∵2x2＋x＋1＝2＋≥>0，
∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0.
故该命题是假命题.
(3)该命题是全称量词命题.
x＝0时，x2＝0，故该命题是假命题.
题型三 依据含量词命题的真假求参数取值范围
【例3】 已知命题p：?x∈R，函数y＝ax2＋2x＋3的图象总在x轴上方是真命题，求实数a的取值范围.
解 命题p为真命题，①当a＝0时，一次函数y＝2x＋3的图象总在x轴上方，显然不能恒成立；
②当a≠0时，由二次函数y＝ax2＋2x＋3的图象总在x轴上方，得
即∴a>.
综上，a的取值范围为.
规律方法 根据含量词命题的真假等价转化为关于参数的不等式(组)求参数范围.
【训练3】 命题p：任意x∈R，一次函数y＝2x＋b的图象不经过第四
象限，若命题p为真命题，求实数b的取值范围.
解 因为一次函数y＝2x＋b的图象不经过第四象限，如图所示，故b≥0.
一、素养落地
1.通过学习全称量词命题与存在量词命题的概念提升数学抽象素养.通过判断全称量词命题与存在量词命题的真假培养逻辑推理素养.
2.判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称量词命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.
3.要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题.
4.要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在量词命题是假命题.
二、素养训练
1.下列命题中全称量词命题的个数是( )
①任意一个自然数都是正整数；
②有的平行四边形也是菱形；
③三角形的内角和是180°.
A.0 B.1
C.2 D.3
解析 ①③是全称量词命题.
答案 C
2.下列命题中，不是全称量词命题的是( )
A.任何一个实数乘以0都等于0
B.任意一个负数都比零小
C.每一个正方形都是矩形
D.一定存在没有最大值的二次函数
解析 D选项是存在量词命题.
答案 D
3.下列存在量词命题是假命题的是( )
A.存在x∈Q，使4－x2＝0
B.存在x∈R，使x2＋x＋1＝0
C.有的素数是偶数
D.有的有理数没有倒数
解析 对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝＋>0恒成立.
答案 B
4.以下四个命题，既是存在量词命题，又是真命题的是( )
A.锐角三角形的内角是锐角或直角
B.至少有一个实数x，使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x，使>2
答案 B
5.命题p：?x∈R，x2＋2x＋5＝0是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)
答案 存在量词命题 假
基础达标
一、选择题
1.下列命题：
①中国公民都有受教育的权利；
②每一个中学生都要接受爱国主义教育；
③有人既能写小说，也能搞发明创造；
④任何正方形都是平行四边形.
其中全称量词命题的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 命题①②④都是全称量词命题.
答案 C
2.下列命题中存在量词命题的个数是( )
①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|x|≥0.
A.0 B.1
C.2 D.3
解析 命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而命题④是全称量词命题.故有一个存在量词命题.
答案 B
3.已知命题p：?x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是( )
A.0
4
C.a<0 D.a≥4
解析 ∵p是假命题，∴方程x2＋4x＋a＝0没有实数根，即Δ＝16－4a<0，即a>4.
答案 B
4.下列四个命题：
①一切实数均有相反数；②?a∈N，使得方程ax＋1＝0无实数根；③梯形的对角线相等；④有些三角形不是等腰三角形.
其中，真命题的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 ①为真命题；对于②，当a＝0时，方程ax＋1＝0无实数根；对于③，等腰梯形的对角线相等，故③错误；④为真命题.
答案 C
5.下列全称量词命题中真命题的个数为( )
①对于任意实数x，都有x＋2>x；
②对任意的实数a，b，都有若|a|>|b|，则a2>b2成立；
③二次函数y＝x2－ax－1与x轴恒有交点；
④?x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 ①②③为真命题.
答案 C
二、填空题
6.给出下列三个命题：
①?x∈R，x2＋1≠0；②矩形都不是梯形；
③?x，y∈R，x2＋y2≤1.
其中全称量词命题是________(填序号).
解析 ②省略了量词“所有的”.
答案 ①②
7.对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________.
解析 对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.
答案 a≤3
8.试判断下列全称量词命题的真假：
①?x∈R，x2＋2>0；
②?x∈N，x4≥1；
③对任意x，y，都有x2＋y2≠0.
其中真命题的个数为________.
解析 ①由于?x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“?x∈R，x2＋2>0”是真命题.
②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“?x∈N，x4≥1”是假命题.
③当x＝y＝0时，x2＋y2＝0，所以是假命题.
答案 1
三、解答题
9.试判断下列全称量词命题的真假：
(1)?x∈R，x2＋1≥2；
(2)直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点；
(3)每个二次函数都有最小值.
解 (1)取x＝0，则x2＋1＝1<2，所以“?x∈R，x2＋1≥2”是假命题.
(2)与x轴平行的直线与x轴无交点，所以该命题为假命题.
(3)对于y＝ax2＋bx＋c，当a<0时函数有最大值无最小值，所以“每个二次函数都有最小值”是假命题.
10.判断下列存在量词命题的真假：
(1)?x∈Z，x3<1；
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
(3)存在一对整数x，y，使得2x＋4y＝6.
解 (1)∵－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，
∴“?x∈Z，x3<1”是真命题；
(2)真命题，如梯形；
(3)取x＝3，y＝0，则2x＋4y＝6，故为真命题.
能力提升
11.判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性.
(1)对所有的正实数t，为正且(2)存在实数x，使得x2－3x－4＝0；
(3)存在实数对(x，y)，使得3x－4y－5>0；
(4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
解 (1)为全称量词命题，且为假命题，如取t＝1，则0；(3)为存在量词命题，且为真命题，如取实数对(2，0)，则3x－4y－5>0成立；(4)为全称量词命题，且为真命题.
12.若?x∈R，函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围.
解 (1)当m＝0时，y＝x－a与x轴恒有公共点，
所以a∈R.
(2)当m≠0时，二次函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立.
设y1＝4m2＋4am＋1，则可转化为此二次函数的图象恒在x轴上方(或图象顶点在x轴上)的充要条件是Δ1＝(4a)2－16≤0，可得－1≤a≤1.
综上所述，当m＝0时，a∈R；
当m≠0时，a∈{a|－1≤a≤1}.
课件25张PPT。1.5 全称量词与存在量词
1.5.1 全称量词与存在量词教材知识探究1.观察下面的两个语句，思考下列问题：
P：m≤5；
Q：对所有的m∈R，m≤5.
问题 (1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？
(2)常见的全称量词有哪些？(至少写出五个).
提示 (1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题.语句P是命题Q中的一部分.
(2)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等.2.观察下面的两个语句，思考下列问题：P：m>5；
Q：存在一个m0∈Z，m0>5.
问题 (1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？
(2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个).
提示 (1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题.语句P是命题Q中的一部分.
(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.全称量词和全称量词命题(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 ，并用符号“ ”表示.
(2)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.
(3)全称量词命题：含有 的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为 .要记准概念中的关键词语，还要记住专用符号1.全称量词?全称量词?x∈M，p(x)2.存在量词与存在量词命题(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做 ，并用符号“ ”表示.
(2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等.
(3)存在量词命题：含有 的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为 .存在量词?存在量词?x∈M，p(x)教材拓展补遗
[微判断]
1.“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题. ( )
2.存在量词命题“?x∈R，x2＜0”是真命题.( )
提示 不存在x∈R，使得x2<0成立.
3.“三角形内角和是180°”是全称量词命题.( )
4.?x∈R，x2＋1≥1是真命题.( )
5.“对每一个无理数x，x2也是无理数”是真命题.( )√×√√×[微训练]
用符号“?”表示下列存在量词命题：
(1)存在一个实数对(x，y)，使2x＋3y＋3<0成立；
(2)有些整数既能被2整除，又能被3整除；
(3)某个四边形不是平行四边形.
解 (1)?(x，y)∈{(x，y)|x∈R，y∈R}，2x＋3y＋3<0.
(2)?x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除.
(3)?x∈{x|x是四边形}，x不是平行四边形.[微思考]
1.全称量词命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？
提示 元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“?x∈N，x≥0”.2.在全称量词命题和存在量词命题中，量词是否可以省略？
提示 在存在量词命题中，量词不可以省略；在有些全称量词命题中，量词可以省略.题全称量词命题与存在量词命题的识别【例1】 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的速度方向不定；
(3)对任意直角三角形的两锐角∠A，∠B，都有sin ∠A＝cos ∠B.题型一解 (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题.
(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题.
(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.
规律方法 判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.【训练1】 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“?”或“?”表示下列命题：
(1)自然数的平方大于或等于零；
(2)有的一次函数图象经过原点；
(3)所有的二次函数的图象的开口都向上.
解 (1)全称量词命题.表示为?n∈N，n2≥0.
(2)存在量词命题.?一次函数，它的图象过原点.
(3)全称量词命题.?二次函数，它的图象的开口都向上.题型二 全称量词命题与存在量词命题的真假的判断【例2】 判断下列命题的真假.
(1)所有的素数都是奇数；
(2)任意矩形的对角线相等；
(3)存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0.
解 (1)2是素数，但2不是奇数.
所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题.
(2)是真命题.
(3)由于任意x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以存在量词命题“存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0”为假命题.规律方法 判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言：
(1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则命题为假.
(2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x，使p(x)不成立即可.【训练2】 判断下列命题的真假：
(1)有一些二次函数的图象过原点；
(2)?x∈R，2x2＋x＋1<0；
(3)?x∈R，x2>0.
解 (1)该命题中含有“有一些”，是存在量词命题.如y＝x2，其图象过原点，故该命题是真命题.
(2)该命题是存在量词命题.∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0.
故该命题是假命题.
(3)该命题是全称量词命题.
x＝0时，x2＝0，故该命题是假命题.题型三 依据含量词命题的真假求参数取值范围
【例3】 已知命题p：?x∈R，函数y＝ax2＋2x＋3的图象总在x轴上方是真命题，求实数a的取值范围.
解 命题p为真命题，①当a＝0时，一次函数y＝2x＋3的图象总在x轴上方，显然不能恒成立；规律方法 根据含量词命题的真假等价转化为关于参数的不等式(组)求参数范围.【训练3】 命题p：任意x∈R，一次函数y＝2x＋b的图象不经过第四象限，若命题p为真命题，求实数b的取值范围.解 因为一次函数y＝2x＋b的图象不经过第四象限，如图所示，故b≥0.1.通过学习全称量词命题与存在量词命题的概念提升数学抽象素养.通过判断全称量词命题与存在量词命题的真假培养逻辑推理素养.
2.判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称量词命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.
3.要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题.
4.要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在量词命题是假命题.二、素养训练
1.下列命题中全称量词命题的个数是( )
①任意一个自然数都是正整数；
②有的平行四边形也是菱形；
③三角形的内角和是180°.
A.0 B.1
C.2 D.3
解析 ①③是全称量词命题.
答案 C2.下列命题中，不是全称量词命题的是( )
A.任何一个实数乘以0都等于0
B.任意一个负数都比零小
C.每一个正方形都是矩形
D.一定存在没有最大值的二次函数
解析 D选项是存在量词命题.
答案 D3.下列存在量词命题是假命题的是( )
A.存在x∈Q，使4－x2＝0
B.存在x∈R，使x2＋x＋1＝0
C.有的素数是偶数
D.有的有理数没有倒数答案 B答案 B5.命题p：? x ∈R，x2＋2x＋5＝0是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)
答案 存在量词命题 假