课件32张PPT。 第二章 一元二次函数、方程和不等式[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
柯西与柯西不等式
在历史上，有一位数学家叫欧拉，他的徒弟叫拉格朗日，他徒弟的徒弟叫柯西.这个徒弟的徒弟虽然比不上他，但是还是写了些东西，做出了一些成就.柯西，出生于巴黎，在数学领域有很高的建树和造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式，他在纯数学和应用数学的功底是相当深厚的，在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书.[读图探新]——发现现象背后的知识
1.在日常生活中，购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.2 m(含1.2 m)而不超过1.5 m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票(简称儿童票)，超1.5 m时应买全价票.每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票.图12.汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还需继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，“刹车距离”是分析事故的重要因素.在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但最后还是碰了，事后现场勘查发现甲的刹车距离超过12 m，乙的刹车距离超过10 m，又知甲乙两种车型的刹车距离S(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.图2图3问题1：在图1中，从数学的角度应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？
问题2：在图2中，如何检验甲乙两车有无超速现象？
问题3：在图3中，这样计算的重量相对于原来的真实重量到底是大了还是小了呢？
链接：相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，我们可以利用相等关系或不等关系构建方程、不等式等，不等式中通常利用不等符号来表示，如不超过即为小于等于，超过则为大于.刹车距离与速度有着密切的关系，通过本章学习，我们可以迅速的判断汽车是否超速及项链重量的真实性问题.2.1 等式性质与不等式性质
第一课时 不等关系与不等式教材知识探究(1)如图，某城市的高楼有高、有矮，有的高度相同.
(2)任意两个实数之间有三种关系：a>b，a＝b，a
(3)同号两数的积为正值.
问题 通过以上三例我们可以发现在客观世界中，量与量之间的关系有哪些？
提示 量与量之间有相等关系与不等关系.1.在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和 .反映在数量关系上，相等用等式表示，不等用不等式表示2.关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实：
如果a－b是正数，那么 ；如果a－b等于0，那么 ；
如果a－b是负数，那么 ，反过来也对.
这个基本事实可以表示为
a>b?
a＝b? 作差法可以比较两个实数的大小
aba=ba0a-b=0a-b<02aba=b教材拓展补遗
[微判断]
1.a不小于b可以表示为a>b.( )
提示 a不小于b应表示为a≥b.
2.若x－y>0，我们就说x大于y.( )
3.代数式x2＋1一定大于代数式2x.( )
提示 ∵x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，∴x2＋1≥2x，故错误.×√×[微训练]
1.下面列出的不等式中，正确的是( )
A.a不是负数，可表示成a>0
B.x不大于3，可表示成x<3
C.m与4的差是负数，可表示成m－4<0
D.x与2的和是非负数，可表示成x＋2>0
解析 a不是负数，可表示成a≥0；x不大于3可表示成x≤3；m与4的差是负数，可表示成m－4<0；x与2的和是非负数，可表示成x＋2≥0.
答案 C解析 两个条件同时成立，需用不等式组表示.
答案 D[微思考]
1.当x＝3时，x≥3成立吗？
提示 当x＝3时，x≥3成立，实际上，x≥3的含义是x>3或x＝3中有一个成立时，x≥3成立.
2.不等关系与不等式有什么区别？
提示 不等关系是量与量之间的关系，而不等式是表示不等关系的式子.题型一 用不等式(组)表示不等关系 【例1】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种.按照生产的要求600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍，写出满足所有上述不等关系的不等式(组).
解 设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根.规律方法 1.将不等关系表示成不等式(组)的思路
(1)读懂题意，找准不等式所联系的量.
(2)用适当的不等号连接.
(3)多个不等关系用不等式组表示.2.常见的文字语言与符号语言之间的转换【训练1】 某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组).
解 设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则规律方法 作差法比较两个实数(代数式)大小的步骤
第一步：作差并变形，其目标是应容易判断差的符号.
变形有两种情形：
①将差式进行因式分解转化为几个因式相乘.
②将差式通过配方转化为几个非负数之和，然后判断.
第二步：判断差值与零的大小关系第三步：得出结论.【训练2】 已知x<1，试比较x3－1与2x2－2x的大小.解 ∵(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2题型三 不等关系的实际应用
【例3】 为打造“书香校园”，某学校计划用不超过①1 900本科技类书籍和1 620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本.设组建中型图书角x个②， 用不等式组将题目中的不等关系表示出来，并求有哪些符合题意的组建方案.①不超过是小于等于；②利用x只能取整数求解解 因为组建中型图书角x个，所以组建小型图书角为(30－x)个，解这个不等式组得18≤x≤20.
由于x只能取正整数，
∴x的取值是18，19，20.
当x＝18时，30－x＝12；
当x＝19时，30－x＝11；
当x＝20时，30－x＝10.故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个.规律方法 1.根据实际问题列不等式(组)的关键是通过分析找出问题中的不等关系，并确定不等号，然后写出不等号两边的代数式.
2.根据实际问题列出不等式(组)，应从是否符合实际意义出发，而不能拘于某一种形式.【训练3】 在例3的方案中，哪种方案用书籍最少？共用多少本？
解 比较3种方案可知当x＝18时用书籍最少.共用书籍130×18＋90×12＝3 420(本).一、素养落地
1.通过用不等式(组)表示实际问题的不等关系，提升数学抽象素养，通过作差法比较两实数的大小，培养数学运算素养.
2.比较两个实数的大小，只要考查它们的差就可以了.作差法比较实数的大小一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论.作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式.答案 C解析 当导火索的长度为x厘米时，燃烧的时间为2x秒，人跑开的距离为4×2x米，为了保证安全，有4×2x>100.
答案 C4.一个两位数个位数字为x，十位数字为y，且这个两位数大于70，用不等式表示为________.
解析 该两位数可表示为10y＋x，∴70<10y＋x.
答案 10y＋x>705.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐5 t，硝酸盐14 t，生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐2 t、硝酸盐13 t，现库存磷酸盐20 t，硝酸盐60 t，在此基础上生产这两种混合肥料，列出满足生产条件的数学关系式.
解 设x，y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：课件24张PPT。第二课时 等式性质与不等式的性质教材知识探究在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜，也可以用不等式来表示这一现象.
问题 你能利用这一事实表示出糖水浓度不等式吗？1.等式的性质性质1 如果a＝b，那么 ；
性质2 如果a＝b，b＝c，那么 ；
性质3 如果a＝b，那么 ；
性质4 如果a＝b，那么 ；
性质5 如果a＝b，c≠0，那么 .b=aa=ca±c=b±cac=bc2.不等式的性质注意这些性质是否可逆(易错点)性质1 如果a>b，那么bb.即a>b?b性质2 如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c? .
性质3 如果a>b，那么a＋c>b＋c.
性质4 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么 .
性质5 如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
性质6 如果a>b>0，c>d>0，那么 .
性质7 如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2).a>cacbd教材拓展补遗
[微判断]
1.a>b?ac2>bc2.( )
提示 当c＝0时，不成立.
2.同向不等式相加与相乘的条件是一致的.( )3.设a，b∈R，且a>b，则a3>b3.( )××√答案 B答案 D[微思考]
1.若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？
提示 a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立.2.若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？
提示 不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立.答案 C规律方法 不等式的性质常与比较大小结合考查，此类问题一般结合不等式的性质，利用作差法或作商法求解，也可以用特殊值求解.答案 B题型二 利用不等式的证明 ∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，
∴bc＋bd≥ad＋bd，
即b(c＋d)≥d(a＋b).性质证明不等式规律方法 1.不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小；
2.证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导.证明 (1)因为a>b，c>0，所以ac>bc，即－ac<－bc.
又e>f，即f0，ab>0，题型三 利用求解范围时，不可两式直接相减a－b，不等式的性质求范围解 ∵3∴1－40，∴0<α－β<π，一、素养落地
1.通过学习并理解不等式的性质，培养数学抽象素养，通过运用不等式的性质解决问题，提升数学运算素养.
2.利用不等式的性质证明简单的不等式是否成立，实际上就是根据不等式的性质把不等式进行适当的变形，证明过程中注意不等式成立的条件.二、素养训练
1.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )
A.M>N B.M＝N
C.M A.a－b>0 B.a3＋b3>0
C.a2－b2<0 D.a＋b<0
解析 本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，排除A，B，C，故选D.
答案 D答案 ①②④第二课时 等式性质与不等式的性质
课标要求
素养要求
1.掌握不等式的基本性质；
2.运用不等式的性质解决有关问题.
通过学习不等式的性质及运用不等式的性质解决问题，提升数学抽象及数学运算素养.
教材知识探究
在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜，也可以用不等式来表示这一现象.
问题 你能利用这一事实表示出糖水浓度不等式吗？
提示 糖水变甜这一现象对应的不等式为<，其中a0.
1.等式的性质
性质1 如果a＝b，那么b＝a；
性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 如果a＝b，c≠0，那么＝.
2.不等式的性质 注意这些性质是否可逆(易错点)
性质1 如果a>b，那么bb.即a>b?b性质2 如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c?a>c.
性质3 如果a>b，那么a＋c>b＋c.
性质4 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac性质5 如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
性质6 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
性质7 如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2).
教材拓展补遗
[微判断]
1.a>b?ac2>bc2.(×)
提示 当c＝0时，不成立.
2.同向不等式相加与相乘的条件是一致的.(×)
提示 相乘需要看是否而相加与正、负和零均无关系.
3.设a，b∈R，且a>b，则a3>b3.(√)
[微训练]
1.已知a，b，m是正实数，则不等式>成立的条件是( )
A.ab
C.与m有关 D.恒成立
解析 －＝，而a>0，m>0且>0，∴a－b>0.即a>b.
答案 B
2.已知m>n，则( )
A.m2>n2 B.>
C.mx2>nx2 D.m＋x>n＋x
解析 由于m2－n2＝(m－n)(m＋n)，而m＋n>0不一定成立，所以m2>n2不一定成立，而，不一定有意义，所以选项A，B不正确；选项C中，若x2＝0，则不成立.
答案 D
[微思考]
1.若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？
提示 a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立.
2.若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？
提示 不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立.
题型一 利用不等式的性质判断命题的真假
【例1】 若<<0，有下面四个不等式：①|a|>|b|，②ab3，则不正确的不等式的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析 由<<0可得b0，则a＋bb3，④正确.
故不正确的不等式的个数为2.
答案 C
规律方法 不等式的性质常与比较大小结合考查，此类问题一般结合不等式的性质，利用作差法或作商法求解，也可以用特殊值求解.
【训练1】 设a>b>0，cA.ac>bd B.<
C.> D.ac2解析 a>b>0，c－d>0，
即有－ac>－bd>0，即ac由cd>0，又ac由－c>－d>0，－ac>－bd>0，
可得ac2>bd2，则D错.故选B.
答案 B
题型二 利用不等式的性质证明不等式
【例2】 若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤.
证明 ∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，
∴bc＋bd≥ad＋bd，
即b(c＋d)≥d(a＋b).
又bd>0，两边同除以bd得，≤.
规律方法 1.不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小；
2.证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导.
【训练2】 (1)已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac(2)a证明 (1)因为a>b，c>0，所以ac>bc，即－ac<－bc.
又e>f，即f(2)由于－＝＝，
∵a0，ab>0，
∴<0，故<.
题型三 利用不等式的性质求范围
【例3】 已知1求解范围时，不可两式直接相减
解 ∵3∴1－4又<<，∴<<，
即<<2.
规律方法 求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除.
【训练3】 已知－<β<α<，求2α－β的取值范围.
解 ∵－<α<，－<β<，
∴－<－β<.∴－π<α－β<π.
又∵β<α，∴α－β>0，∴0<α－β<π，
又2α－β＝α＋(α－β)，∴－<2α－β<π.
一、素养落地
1.通过学习并理解不等式的性质，培养数学抽象素养，通过运用不等式的性质解决问题，提升数学运算素养.
2.利用不等式的性质证明简单的不等式是否成立，实际上就是根据不等式的性质把不等式进行适当的变形，证明过程中注意不等式成立的条件.
二、素养训练
1.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )
A.M>N B.M＝N
C.M解析 M－N＝x2＋x＋1＝＋>0.
∴M>N.
答案 A
2.设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是( )
A.a－b>0 B.a3＋b3>0
C.a2－b2<0 D.a＋b<0
解析 本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，排除A，B，C，故选D.
答案 D
3.若8解析 ∵2又∵8答案 2<<5
4.下列命题中，真命题是________(填序号).
①若a>b>0，则<；②若a>b，则c－2a0，则<；④若a>b，则2a>2b.
解析 ①a>b>0?0<<?<；②a>b?－2a<－2b?c－2a答案 ①②④
5.已知>，bc>ad，求证：ab>0.
证明 ∵∴∴∴ab>0.
基础达标
一、选择题
1.已知aA.< B.>
C.a2解析 因为a则－>－，可排除A；
(－3)2>(－2)2，可排除C；
＝>1，可排除D；
而－>－，即>，B正确.
答案 B
2.设xA.x2ax>a2
C.x2a2>ax
解析 ∵xa2.
∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.
又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.
∴x2>ax>a2.
答案 B
3.设aA.> B.acC.|a|>－b D.>
解析 a，选项A正确；当c>0时选项B成立，其余情况不成立，则选项B不正确；|a|＝－a>－b，则选项C正确；由－a>－b>0，可得>，则选项D正确，故选B.
答案 B
4.已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是( )
A.a>> B.>>a
C.>a> D.>>a
解析 由题意知>0，b2>1，
则>a，且<0，所以>>a.
答案 D
5.若1A.－3C.－3解析 ∵－4又∵1答案 C
二、填空题
6.若a>b>0，则a＋________b＋(用“<”，“>”，“＝”填空).
解析 法一 ∵a>b>0，∴0<<，
即>>0，∴a＋>b＋.
法二 a＋－(b＋)＝，
∵a>b>0，∴a－b>0，ab>0，1＋ab>0，
则a＋>b＋.
答案 >
7.若a解析 －＝＝，
∵a答案 <
8.已知－≤α<β≤，则的取值范围是________.
解析 ∵－≤α<β≤，∴－≤<≤.
∴－≤<，①
－<≤，∴－≤－<.②
由①＋②得－≤<.
又知α<β，∴α－β<0.∴－≤<0.
答案 －≤<0
三、解答题
9.判断下列各命题的真假，并说明理由.
(1)若a(2)若ac3b；
(3)若a>b，且k∈N*，则ak>bk；
(4)若a>b，b>c则a－b>b－c.
解 (1)∵a0，
∴>不一定成立，
∴推不出<，∴是假命题.
(2)当c>0时，c3>0，∴a(3)当a＝1，b＝－2，k＝2时，显然命题不成立，∴是假命题.
(4)当a＝2，b＝0，c＝－3时，满足a>b，b>c这两个条件，但是a－b＝210.已知c>a>b>0，求证：>.
证明 －＝
＝＝.
∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0，a－b>0.
∴>0.∴>.
能力提升
11.已知a>b>0，c证明 ∵c－d>0，
∴0<－<－.
∵a>b>0，∴－>－>0，
∴>，即－>－，
∴<.
12.已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，求4a－2b的取值范围.
解 法一 设u＝a＋b，v＝a－b得a＝，b＝，
∴4a－2b＝2u＋2v－u＋v＝u＋3v.
∵1≤u≤4，－1≤v≤2，∴－3≤3v≤6.
则－2≤u＋3v≤10，即－2≤4a－2b≤10.
法二 令4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，
∴4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b.
∴∴
又
∴－2≤4a－2b≤10.
